Voir la source de Point (géométrie)

{{Voir homonymes|Point}}
{{sources à lier|date=décembre 2023}}
[[Fichier:ACP 3.svg|thumb|Points dans un [[plan euclidien]].]] 
En [[géométrie]], un '''point''' est le plus petit élément constitutif de l'[[espace (notion)|espace]] [[Géométrie|géométrique]], c'est-à-dire un lieu au sein duquel on ne peut distinguer aucun autre lieu que lui-même.

== En géométrie euclidienne élémentaire ==
{{Article détaillé|géométrie euclidienne}}
Le point, selon [[Euclide]], est {{Citation|ce qui n'a aucune partie<ref>{{Lien web|auteur=Éric Charpentier|titre=Géométries euclidienne et non euclidiennes|url=https://culturemath.ens.fr/thematiques/superieur/geometries-euclidienne-et-non-euclidiennes|site=culturemath.ens.fr|date=22 novembre 2018|consulté le=27 décembre 2021}}.</ref>}}. On peut aussi dire plus simplement qu'un point ne désigne pas un objet mais un emplacement. Il n'a donc aucune dimension, longueur, largeur, épaisseur, aire ou volume<ref>{{Lien web|auteur=Jean-Claude Chirollet|titre=Point euclidien / Point fractal - Arts / Numérisation / Fractals|url=https://www.jean-claude-chirollet.fr/point-euclidien-point-fractal|site=jean-claude-chirollet.fr|date=octobre 2011|consulté le=27 décembre 2021}}.</ref>. Sa seule caractéristique est sa position. On dit parfois qu'il est « [[infiniment petit]] ». Toutes les figures du plan et de l'espace sont des ensembles de points.

Le point étant considéré comme l'unique élément commun à deux droites sécantes, on représente habituellement le point par une croix (intersection de deux petits segments) plutôt que par le [[glyphe]] [[point (signe)|du même nom]]<ref>{{Lien web|titre=Chapitre 01 : Utilisation de la règle graduée|url=http://blog.ac-versailles.fr/herauville/public/6eme_-_cours/Chapitre_01_UTILISATION_DE_LA_DROITE_GRADUEE_cours_eleve.pdf|site=[[Académie de Versailles (éducation)|Académie de Versailles]]|format électronique=pdf|consulté le=27 décembre 2021}}.</ref>.

Lorsque le plan ou l'espace est muni d'un repère cartésien, on peut positionner tout point par rapport aux axes de ce repère par ses [[coordonnées cartésiennes]] ; le point est alors associé à un couple de réels en dimension 2 ou un triplet de réels en dimension 3.
Il existe cependant d'autres manières de repérer les points ([[coordonnées polaires]] en dimension 2, [[coordonnées sphériques]] ou [[coordonnées cylindriques]] en dimension 3)

== En géométrie affine ==
{{Article détaillé|géométrie affine}}
Dans un [[espace affine]] E associé à l'espace vectoriel V, les éléments de E sont appelés les '''points''' et les éléments de V sont appelés les vecteurs. À chaque couple de points (A,B), on associe un vecteur : <math>\phi(A,B) = \vec u</math>
vérifiant les propriétés suivantes :
*la [[relation de Chasles]] : <math>\phi(A,B) + \phi(B,C) = \phi (A,C)</math> ;
*si A est fixé, il y a correspondance [[Bijection|bijective]] entre les points de l'espace affine E et les vecteurs de l'espace vectoriel V, c'est l'application qui, au point B, associe le vecteur <math>\phi(A,B)</math>.

== En géométrie projective ==
{{Article détaillé|géométrie projective}}
En [[géométrie projective]], les '''points''' de l'[[espace projectif]] E associé à l'espace vectoriel V sont les [[Droite vectorielle|droites vectorielles]] de V.
Lorsque l'espace vectoriel V est de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] n, et qu'il lui est associé un espace affine A, il est fréquent d'associer à l'espace E deux ensembles de points : l'ensemble des points d'un [[sous-espace affine]] A' de dimension n-1 d'équation x = 1 (par exemple) et l'ensemble des droites vectorielles du [[sous-espace vectoriel]] V' associé à A'.

L'espace projectif E est alors assimilé à un espace affine A' auquel on ajoute les droites vectorielles de V' . On distingue alors, dans E, les points de type affine (ceux dans A') et les autres appelés [[point à l'infini|points à l'infini]].

En particulier, si ''K'' est un [[Corps (mathématiques)|corps]], le ''K''-[[plan projectif]] (l'espace projectif associé à ''K''{{2}}) est assimilable au corps ''K'' auquel s'ajoute un point à l'infini.

== Histoire ==

La notion de point, en [[mathématiques]], a aujourd'hui un sens très large. Historiquement, les ''points'' étaient les « constituants » fondamentaux, les « atomes », dont étaient faits les [[droite (mathématiques)|droites]], les [[plan (mathématiques)|plans]] et l'[[espace (notion)|espace]], tels que les concevaient les [[géométrie|géomètres]] [[Grèce|grecs]] de l'[[Antiquité]]. on disait ainsi qu'une ''droite'', un ''plan'' ou ''l'espace'' tout entier étaient des [[ensemble]]s de points.

Depuis la création de la [[théorie naïve des ensembles|théorie des ensembles]] par [[Georg Cantor]] à la fin du {{XIXe siècle}} et l'explosion des « [[Structure (mathématiques)|structures mathématiques]] » qui a suivi, on utilise le terme de « point » pour désigner un [[Élément (mathématiques)|élément]] quelconque d'un ensemble que l'on décide arbitrairement d'appeler « espace » : c'est ainsi que l'on parlera d'un point de la [[nombre réel|droite des nombres réels]] (alors que les Grecs faisaient évidemment la distinction entre un « point » et un « nombre »), d'un point d'un [[espace métrique]], d'un [[espace topologique]], d'un [[espace projectif]], etc.

Bref, il suffit qu'un mathématicien qualifie « d'espace » tel ou tel ensemble, au sens le plus général de ce terme et muni de propriétés particulières régies par des [[axiome]]s, pour que ses éléments soient aussitôt qualifiés de « points ».

Ainsi, aujourd'hui, le terme « d'espace » étant presque devenu synonyme « d'ensemble », le terme « point » est donc presque devenu synonyme « d'élément ». Ces termes « d'espace » et de « points » sont juste utilisés pour leur pouvoir suggestif, même si ces termes en question n'ont plus rien à voir avec la [[géométrie]].

== Références ==
{{Références}}

==Voir aussi==
{{autres projets| commons = category:Points (mathematics)|wiktionary = point}}
===Bibliographie===
*{{en}} Bowman L. Clark, « [https://projecteuclid.org/journals/notre-dame-journal-of-formal-logic/volume-26/issue-1/Individuals-and-points/10.1305/ndjfl/1093870761.full? Individuals and points] », ''[[Notre Dame Journal of Formal Logic]]'', vol. 26, 1985, p. 61-75
*{{en}} T. De Laguna, « Point, line and surface as sets of solids », ''[[The Journal of Philosophy]]'', vol. 19, 1922, p. 449-461
*{{Chapitre|lang=en|auteur=G. Gerla|url=https://web.archive.org/web/20110717210751/http://www.dmi.unisa.it/people/gerla/www/Down/point-free.pdf|titre=Pointless Geometries|auteurs ouvrage=[[Francis Buekenhout|F. Buekenhout]] et W. Kantor|titre ouvrage=Handbook of incidence geometry: buildings and foundations|éditeur=[[North-Holland]]|date=1995|page=1015-1031}}
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Alfred North Whitehead]]|titre=An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge|année première édition=1919|éditeur=Cambridge Univ. Press. |numéro d'édition=2|date=1925}}
* --------, 1920. ''[http://www.gutenberg.org/files/18835/18835-h/18835-h.htm The Concept of Nature]''. Cambridge Univ. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures delivered at [[Trinity College (Cambridge)|Trinity College]].
* --------, 1979 (1929). ''[[Procès et réalité]]''. Free Press.

===Liens externes===
*{{en}} [http://www.mathopenref.com/point.html ''Definition of Point''] avec applet interactive
*{{en}} [http://www.mathopenref.com/tocs/pointstoc.html ''Points definition pages''], avec des animations interactive aussi utiles pour enseigner en classe. Math Open Reference
* {{Planetmath|titre=Point}}
* {{MathWorld|titre=Point|nom_url=Point}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Point| ]]
[[Catégorie:Objet mathématique]]
[[Catégorie:Géométrie]]