Voir la source de Polyèdre

Un '''polyèdre''' est une forme [[Géométrie|géométrique]] à [[trois dimensions]] (un [[solide géométrique]]) ayant des [[face (géométrie)|faces]] planes [[polygone|polygonales]] qui se rencontrent selon des segments de droite qu'on appelle [[Arête (géométrie)|arêtes]].

Le mot ''polyèdre'', signifiant ''à plusieurs faces'', provient des racines grecques ''πολύς'' (''polys''), « beaucoup » et ''ἕδρα'' (''hedra''), « base », « siège » ou « face »<ref>Le français écrit ''polyèdre'', tandis que l'anglais écrit ''polyhedron''. En grec ancien, l'aspiration est écrite dans la racine ''ἕδρα'' (''hedra''), mais ne peut pas être écrite dans le mot composite ''πολύεδρον'' (''polyedron'').</ref>. Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones. Les côtés de ces polygones sont appelés arêtes. Les extrémités des arêtes sont des points appelés sommets.
[[Fichier:POV-Ray-Dodecahedron.svg|droite|vignette|Un polyèdre particulier : le [[dodécaèdre régulier]].]]

== Historique ==
[[Fichier:All Gizah Pyramids.jpg|vignette|Les [[pyramides d'Égypte]].]]
Comme beaucoup d'autres concepts, la notion de polyèdre a été formellement introduite par les [[Grèce antique|Grecs]]. Leur étude occupe une place tout à fait significative dans les ''[[Éléments d'Euclide|Éléments]]'' d'[[Euclide]] et a, pour ce qui est des mathématiques, constitué l'une des préoccupations importantes de [[Platon]].

Il suffit cependant de contempler les [[pyramides d'Égypte|pyramides]] pour réaliser que cette notion est perçue depuis des temps encore plus anciens.

Après Platon, Euclide et [[Archimède]] dans l'[[Antiquité]], l'étude des polyèdres a occupé nombre de bons esprits des temps modernes, et notamment ceux de [[Johannes Kepler|Kepler]], [[Leonhard Euler|Euler]], [[Henri Poincaré|Poincaré]], [[David Hilbert|Hilbert]]{{etc.}}

Les [[polytope]]s sont la généralisation à une [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] quelconque {{mvar|n}} des [[polygone]]s (dimension 2) et des polyèdres (dimension 3).

== Définition ==
La définition donnée en introduction peut sembler suffisamment claire pour la plupart d'entre nous. Elle ne l'est pas pour un [[mathématicien]]<ref>Dans une remarque souvent citée mais rarement appliquée, {{Harvsp|Grünbaum|1994|texte=Grünbaum (1994)}} remarqua que :{{Citation bloc|Le [[Péché originel]] dans la théorie des polyèdres remonte à Euclide, puis à travers Kepler, [[Louis Poinsot|Poinsot]], [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], {{Lien|lang=de|Edmund Hess|texte=Hess}}, Brückner … [en cela] qu'à chaque étape … les auteurs ont omis de définir ce que sont les « polyèdres »…}}. Voir aussi {{Harvsp|Grünbaum|2003}}.</ref>. Aussi étrange que cela puisse paraître, dans la mesure où le concept de ''polyèdre'' ne fait pas référence à la [[dimension]] de l'espace dans lequel il se trouve, il n'existe pas de définition universellement agréée sur ce qui fait que « quelque chose » soit un ''polyèdre'' (le cœur du problème vient de ce que la notion intuitive de polyèdre n'est pas exactement la même selon qu'on a dans l'idée une surface ou un volume).

Afin d'obvier à cette difficulté, on introduit la notion de [[simplexe]]. On peut la considérer comme équivalente à celle de polyèdre en dimension 3 et elle permet des généralisations aux dimensions supérieures. Un polyèdre <math>P</math> de dimension <math>p</math> est alors la réunion d'un [[ensemble fini]] de simplexes <math>S_i</math> de dimension <math>q_i \le p</math> tel que chacune des <math>d</math>-faces (<math>d \le q_i</math>) d'un simplexe <math>S_i</math> est un élément de <math>P</math>, et tel que pour tout couple de simplexe <math>(S_i, S_j)</math> l'intersection <math>S_i \cap S_j</math> est soit vide soit une <math>(d-1)</math>-face commune à <math>S_i</math> et <math>S_j</math>.

Ainsi un simplexe représente-t-il une définition généralisable de la notion intuitive de polyèdre.
Il est la réunion de ses <math>d</math>-faces, et l'intersection de deux <math>d</math>-faces quelconques d'un simplexe est soit vide soit une face de dimension <math>d-1</math>. Par exemple, un triangle, qui est un 2-simplexe, est la réunion de segments, et l'intersection de deux segments adjacents est un point qui est un sommet du triangle.

Un polyèdre apparaît ainsi comme construit à partir de différentes sortes d'éléments ou d'entités, présentant un nombre différent de dimensions :
* 3 dimensions : le corps est limité par les faces et correspond habituellement au volume compris à l'intérieur ;
* 2 dimensions : une face est limitée par un ''circuit'' d'arêtes et est habituellement une région plane appelée un [[polygone]]. Les faces mises ensemble forment la surface polyédrique ;
* 1 dimension : une arête joint un sommet à un autre et une face à une autre et est habituellement une droite d'une certaine sorte. Les arêtes mises ensemble forment le squelette polyédrique ;
* 0 dimension : un [[sommet (géométrie)|sommet]] est un point de coin.

Il s'ensuit que l'objet ci-dessous n'est pas un polyèdre au sens de cette définition. En effet, la face supérieure de la boîte n'est pas limitée par un mais par deux circuits d'arêtes : l'un qui la limite extérieurement et l'autre qui la limite intérieurement.[[Fichier:NonPolyedre.PNG|vignette|Un solide à faces planes qui n'est pas un polyèdre.]]

Plus généralement en [[mathématiques]] et dans d'autres disciplines, le terme « polyèdre » est utilisé pour faire référence à une variété de constructions reliées, certaines géométriques et d'autres purement algébriques ou abstraites.

Dans ''{{Langue|en|Computational Geometry: An Introduction}}'', [[Franco Preparata]] et {{Lien|langue=en|fr=Michael Ian Shamos}} définissent les polyèdres par un ensemble fini de polygones planaires tels que chaque arête d’un polygone est partagée par un seul autre polygone, et aucun autre sous-ensemble des polygones ne possède cette propriété. Cette définition implique des contraintes strictes : par exemple, les polyèdres ne doivent pas présenter d’auto-intersections.

== Propriétés caractéristiques ==
=== Nomenclature ===
Les polyèdres sont en général nommés selon leur nombre de faces. La nomenclature est basée sur le grec classique. On a ainsi, par exemple : [[tétraèdre]] (4 faces), [[pentaèdre]] (5 faces), [[hexaèdre]] (6 faces), [[heptaèdre]] (7 faces), [[triacontaèdre rhombique|triacontaèdre]] (30 faces), et ainsi de suite. Cette méthode de désignation a son équivalent dans la nomenclature des [[Polygone|polygones]]<ref>{{refins|date=31/08/2015|[[Polygone#Classement suivant le nombre de côtés|La page « Polygone » contient une liste]]}} de préfixes grecs utilisés pour nommer les polygones. Il suffit de remplacer -gone par -èdre.</ref>.

=== Arêtes ===
Les arêtes ont deux caractéristiques importantes (à moins que le polyèdre ne soit [[#Polyèdres complexes|complexe]]) :
* une arête joint simplement deux sommets ;
* une arête joint simplement deux faces.
Ces deux caractéristiques sont [[#Dualité|duales]].

=== Convexité ===
Un polyèdre est dit [[ensemble convexe|convexe]] si tout point de tout segment joignant deux points quelconques du polyèdre appartient au polyèdre.
Autrement dit, un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont entièrement contenues dans son intérieur.
Il est possible de donner une définition [[barycentre (géométrie élémentaire)|barycentrique]] d'un tel polyèdre : c'est l'[[enveloppe convexe]] d'un ensemble fini de points non [[coplanaire]]s.

Si un polyèdre est convexe alors toutes ses faces sont convexes. Mais la réciproque est fausse : nombreux sont les polyèdres non convexes ayant des faces convexes comme l'[[icosaèdre de Jessen]] ou le [[polyèdre de Császár]].

=== [[Caractéristique d'Euler]] ===
Soit un polyèdre. Si l'on note :
* <math> f </math> son nombre de faces,
* <math> a </math> son nombre d'arêtes,
* <math> s </math> son nombre de sommets,
on appelle caractéristique d'Euler le nombre
:<math> \chi \equiv f - a + s</math>

Pour un polyèdre convexe, cette caractéristique vaut toujours 2.
C'est la [[théorème de Descartes-Euler|relation d'Euler]]
:<math> \chi \equiv f - a + s = 2.</math>

=== Dualité ===
[[Fichier:Dual Cube-Octahedron.svg|vignette|gauche]]

Pour chaque polyèdre, il existe un [[Dual d'un polyèdre|polyèdre dual]] ayant des faces à la place des sommets originaux et vice versa. Dans la plupart des cas, le dual peut être obtenu par le processus de [[Dualité (géométrie projective)|réciprocité sphérique]].
Le dual d'un polyèdre régulier peut se construire en joignant les centres des faces adjacentes.
{{clr}}

== Polyèdres simples ==
[[Fichier:rhombicosidodecahedron.jpg|droite|vignette|Un [[petit rhombicosidodécaèdre]].]]
Un polyèdre est une forme tridimensionnelle qui se compose d'un nombre fini de faces polygonales qui sont des parties de [[plan (mathématiques)|plans]] ; les faces se rencontrent le long des arêtes qui sont des segments de [[Droite (mathématiques)|droite]], et les arêtes se rencontrent aux points nommés sommets. Les [[cube]]s, les [[prisme (solide)|prismes]] et les [[pyramide]]s sont des exemples de polyèdres.

Le plus souvent, le polyèdre délimite un volume limité de l'espace à trois dimensions. Quelquefois, ce volume intérieur est considéré être une partie du polyèdre ; d'autres fois, seule la surface est considérée.
Les polyèdres traditionnels incluent les cinq polyèdres convexes réguliers que l'on nomme les [[solide de Platon|solides de Platon]] : le [[tétraèdre]] (4 faces), le [[cube]] (ou hexaèdre) (6 faces), l'[[octaèdre]] (8 faces), le [[dodécaèdre régulier]] (12 faces) et l'[[icosaèdre]] (20 faces). Les autres polyèdres traditionnels sont les quatre polyèdres non convexes réguliers (les [[solide de Kepler-Poinsot|solides de Kepler-Poinsot]]), les treize [[solide d'Archimède|solides d'Archimède]] convexes (cuboctaèdre, icosidodécaèdre, tétraèdre tronqué, cube tronqué, octaèdre tronqué, dodécaèdre tronqué, icosaèdre tronqué, [[cuboctaèdre tronqué]], [[icosidodécaèdre tronqué]], rhombicuboctaèdre, [[cube adouci]], [[dodécaèdre adouci]] et rhombicosidodécaèdre) et les 53 [[polyèdre uniforme|polyèdres uniformes]] restants.

=== Plus petit polyèdre ===
Un polyèdre possède au moins 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes. Le plus petit polyèdre est le tétraèdre.

=== Polyèdres symétriques ===
On peut définir diverses classes de polyèdres présentant des [[symétrie]]s particulières :
* polyèdres [[figure isogonale|isogonaux]] (sommets uniformes) : si tous les sommets sont les mêmes, au sens où pour deux sommets quelconques, il existe une [[groupe de symétrie|symétrie]] du polyèdre appliquant le premier [[isométrie|isométriquement]] sur le deuxième ;
* polyèdres [[Figure isotoxale|isotoxaux]] (arêtes uniformes) : si toutes les arêtes sont les mêmes, au sens où pour deux arêtes quelconques, il existe une symétrie du polyèdre appliquant le premier isométriquement sur le deuxième ;
* polyèdres [[Polyèdre isoédrique|isoédriques]] (faces uniformes) : si toutes les faces sont les mêmes, au sens où pour deux faces quelconques, il existe une symétrie du polyèdre appliquant le premier isométriquement sur le deuxième ;
* [[Polyèdre quasi régulier|polyèdres quasi réguliers]] : d'arêtes uniformes mais pas de faces uniformes ou pas de sommets uniformes ;
* [[Polyèdre semi-régulier|polyèdres semi-réguliers]] : de sommets uniformes mais pas de faces uniformes, et dont chaque face est un [[polygone régulier]]. (C'est une des nombreuses définitions du terme, dépendant de l'auteur, qui chevauchent la catégorie quasi régulière) ;
* [[Polyèdre régulier|polyèdres réguliers]] : de sommets uniformes, d'arêtes uniformes et de faces uniformes (l'uniformité des sommets et l'uniformité des arêtes combinées implique que les faces sont régulières) ;
* [[Polyèdre uniforme|polyèdres uniformes]] : de sommets uniformes et dont chaque face est un polygone régulier, {{c.-à-d.}} réguliers ou semi-réguliers.
On appelle solide uniforme un solide dont toutes les faces sont régulières et tous les sommets identiques. Ainsi sont donc tous les solides réguliers et semi-réguliers précédents. Ils sont en tout 75, auxquels il faut ajouter les deux familles infinies des [[prisme (solide)|prismes]] et des [[antiprisme]]s.

Bien sûr, il est facile de tordre de tels polyèdres, de telle façon qu'ils ne sont plus symétriques. Mais, lorsqu'un nom de polyèdre est donné, tel que l'[[icosidodécaèdre]], la géométrie la plus symétrique est toujours impliquée, sauf indication contraire.

Les [[groupe de symétrie|groupes de symétrie]] polyédriques sont tous des [[Groupe ponctuel de symétrie|groupes ponctuels]] et incluent :
* T - [[Groupe alterné#Groupe des rotations du tétraèdre|symétrie tétraédrique chirale]] ; le groupe des rotations du [[tétraèdre régulier]] ; [[Ordre d'un groupe|ordre]] 12 ;
* T<sub>d</sub> - [[Représentations du groupe symétrique#Représentation φ1|symétrie tétraédrique complète]] ; le groupe de symétrie du tétraèdre régulier ; ordre 24 ;
* T<sub>h</sub> - [[symétrie tétraédrique|symétrie pyritoédrique]] ; ordre 24. La symétrie d'un [[pyritoèdre]]<ref>{{MathWorld|nom_url=Pyritohedron|titre=Pyritohedron}}.</ref> ;
* O - [[Représentations du groupe symétrique#Représentation φ2|symétrie octaédrique chirale]] ; le groupe des rotations du [[cube]] et de l'[[octaèdre régulier]] ; ordre 24 ;
* O<sub>h</sub> - [[Cube#Groupe des isométries|symétrie octaédrique complète]] ; le groupe de symétrie du cube et de l'octaèdre régulier ; ordre 48 ;
* I - [[Groupe alterné#Groupe des rotations du dodécaèdre|symétrie icosaédrique chirale]] ; le groupe des rotations de l'[[icosaèdre]] et du [[dodécaèdre régulier]] ; ordre 60 ;
* I<sub>h</sub> - [[Icosaèdre#Groupe de symétrie|symétrie icosaédrique complète]] ; le groupe de symétrie de l'icosaèdre et du dodécaèdre régulier ; ordre 120 ;
* C<sub>nv</sub> - [[symétrie cyclique|symétrie pyramidale à ''n'' plis]] ;
* D<sub>nh</sub> - [[symétrie dièdrique|symétrie prismatique à ''n'' plis]] ;
* D<sub>nv</sub> - [[symétrie dièdrique|symétrie antiprismatique à ''n'' plis]].

Les polyèdres à symétrie [[Chiralité|chirale]] n'ont pas de [[symétrie axiale]] et par conséquent ont deux formes [[Chiralité|énantiomorphes]] qui sont les réflexions l'un de l'autre. Les polyèdres adoucis ont cette propriété.

==== Polyèdres réguliers ====
Un [[polyèdre régulier]] possède des faces régulières et des sommets réguliers. Le dual d'un polyèdre régulier est aussi régulier.

Partons d'un sommet et prenons les points situés à une distance donnée sur chacune des arêtes. Relions ces points, nous obtenons le [[figure de sommet|polygone du sommet]]. Si celui-ci est régulier on dit que le sommet est régulier.
Un polyèdre est régulier s'il est constitué de faces toutes identiques et régulières, et que tous ses sommets sont identiques. Ils sont au nombre de neuf, classiquement répartis en deux familles :
* les cinq [[Solide de Platon|solides de Platon]], ou polyèdres réguliers convexes : [[tétraèdre]], [[cube]], [[octaèdre]], [[dodécaèdre régulier]] et [[icosaèdre]] réguliers. Platon considérait ces solides comme l'image de la perfection. Les mathématiques modernes rattachent ces exemples à la notion de [[Groupe (mathématiques)|groupe]].

<gallery caption="Les cinq solides de Platon">
Fichier:Tetrahedron.svg
Fichier:Hexahedron.svg
Fichier:Octahedron.svg
Fichier:POV-Ray-Dodecahedron.svg
Fichier:Icosahedron.svg
</gallery>

* les quatre [[solide de Kepler-Poinsot|polyèdres de Kepler-Poinsot]], ou polyèdres réguliers étoilés.

[[Image:Kepler-Poinsot solids.svg|vignette|upright=2.5|centré|Une face unique est colorée en jaune et entourée de rouge pour aider à identifier les faces.]]

==== Polyèdres quasi réguliers et duaux ====
Les [[polyèdre quasi régulier|polyèdres quasi réguliers]] sont à faces régulières, de [[sommet uniforme]] et d'[[Figure isotoxale|arête uniforme]]. Il en existe deux convexes :

[[Fichier:cuboctahedron.jpg|50px]]
[[Fichier:icosidodecahedron.jpg|50px]]

Les polyèdres duaux quasi réguliers sont d'arête uniforme et de [[Polyèdre isoédrique|face uniforme]]. Il en existe deux convexes, en correspondance avec les deux précédents :

[[Fichier:rhombicdodecahedron.jpg|50px]]
[[Fichier:rhombictriacontahedron.jpg|50px]]

==== Polyèdres semi-réguliers et leurs duaux ====
Le terme [[polyèdre semi-régulier|semi-régulier]] est diversement défini. Une définition consiste en « des polyèdres de [[sommet uniforme]] avec deux sortes ou plus de faces polygonales ». Ils sont effectivement les polyèdres uniformes qui ne sont ni réguliers, ni quasi réguliers.

Un polyèdre est semi-régulier si ses faces sont constituées de plusieurs sortes de polygones réguliers, et que tous ses sommets sont identiques. Ainsi sont par exemple les [[solide d'Archimède|solides d'Archimède]], les prismes et les antiprismes réguliers. La terminologie ne paraît pas tout à fait arrêtée. On parle parfois de ''solides semi-réguliers de la première espèce'' pour désigner ceux de ces solides qui sont convexes, et de ''solides uniformes'' pour le cas général. Les [[solide de Catalan|polyèdres de Catalan]] ne sont pas semi-réguliers, mais ont des faces identiques et des sommets réguliers. On dit parfois de tels polyèdres qu'ils sont ''semi-réguliers de la seconde espèce''.

Les polyèdres ''convexes'' et leurs duaux incluent les ensembles des :

{| class="wikitable"
! 
!Uniforme convexe
!Dual convexe
!Uniforme étoilé
!Dual étoilé
|-
![[Polyèdre régulier|Régulier]]
|colspan="2"|[[Solide de Platon|Solides de Platon]]
|colspan="2"|[[Solide de Kepler-Poinsot|Solides de Kepler-Poinsot]]
|-
![[Polyèdre quasi régulier|Quasi régulier]]
|rowspan="2"|[[Solide d'Archimède|Solides d'Archimède]]
|rowspan="2"|[[Solide de Catalan|Solides de Catalan]]
| (pas de nom spécial)
| (pas de nom spécial)
|-
!rowspan="3"|[[Polyèdre semi-régulier|Semi-régulier]]
| (pas de nom spécial)
| (pas de nom spécial)
|-
|[[Prisme (solide)|Prismes]]
|[[Bipyramide|Diamants]]
|[[Prisme (solide)|Prismes étoilés]]
|[[Bipyramide|Diamants étoilés]]
|-
|[[Antiprisme]]s
|[[Trapèzoèdre]]s
|[[Antiprisme]]s étoilés
|[[Trapèzoèdre]]s étoilés
|}

Il existe aussi beaucoup de [[polyèdre uniforme|polyèdres uniformes]] non convexes, incluant des exemples de diverses sortes de prismes.

==== Polyèdres nobles ====
Un {{Lien|langue=en|trad=Noble polyhedron|fr=polyèdre noble}} est à la fois [[Polyèdre isoédrique|isoédrique]] (faces égales) et [[Figure isogonale|isogonal]] (de coins égaux). En plus des polyèdres réguliers, il existe beaucoup d'autres exemples.

Le [[Polyèdre dual|dual]] d'un polyèdre noble est aussi un polyèdre noble.

=== Autres polyèdres à faces régulières ===
==== Faces égales régulières ====
Quelques familles de polyèdres, où chaque face est un polygone de même sorte :
* les [[#Deltaèdres|deltaèdres]] ont des [[triangle équilatéral|triangles équilatéraux]] pour faces ;
* en ce qui concerne les polyèdres dont les faces sont toutes des carrés : il n'existe que le cube, si les faces [[coplanaire]]s ne sont pas permises, même si elles sont déconnectées. Autrement, il existe aussi le résultat du collage de six cubes sur les faces d'un seul, tous les sept de la même taille; il possède 30 faces carrées (comptant pour des faces déconnectées dans le même plan comme séparé). Ceci peut être étendu à une, deux ou trois directions : nous pouvons considérer l'union d'un grand nombre arbitraire de copies de ces structures, obtenues par translations de (exprimé en tailles de cubes) (2,0,0), (0,2,0), et/ou (0,0,2), par conséquent avec chaque paire adjacente ayant un cube en commun. Le résultat peut être un ensemble quelconque de cubes connectés avec les positions (''a'',''b'',''c''), avec les entiers ''a'',''b'',''c'' ou un au plus est pair ;
* il n'existe pas de nom particulier pour les polyèdres qui ont toutes les faces en forme de pentagones équilatéraux ou en pentagrammes. Il existe une infinité d'entre eux, mais seulement un est convexe : le dodécaèdre régulier. Le reste est assemblé par (collages) combinaisons de polyèdres réguliers décrit précédemment : le dodécaèdre régulier, le [[petit dodécaèdre étoilé]], le [[grand dodécaèdre étoilé]] et le [[grand icosaèdre]].

Il n'existe pas de polyèdre dont les faces sont toutes identiques et qui sont des polygones réguliers avec six côtés ou plus car le point de rencontre de trois [[hexagone]]s réguliers définit un plan. (voir [[polyèdre oblique infini]] pour les exceptions).

===== Deltaèdres =====
Un [[deltaèdre]] est un polyèdre dont les faces sont toutes des triangles équilatéraux. Il en existe une infinité, mais seuls huit sont convexes :
* 3 polyèdres réguliers convexes (3 des solides de Platon) :
** [[tétraèdre]],
** [[octaèdre]],
** [[icosaèdre]] ;
* 5 polyèdres non uniformes convexes (5 des solides de Johnson) :
** [[diamant triangulaire]],
** [[diamant pentagonal]],
** [[disphénoïde adouci]],
** [[prisme triangulaire triaugmenté]],
** [[diamant carré gyroallongé]].

==== [[solide de Johnson|Solides de Johnson]] ====
[[Norman Johnson]] a cherché les polyèdres non uniformes ayant des faces régulières. En 1966, il publia une liste de 92 solides convexes, maintenant connus comme les [[solide de Johnson|solides de Johnson]], et leur donna leurs noms et leurs nombres. Il ne prouva pas qu'ils n'étaient que 92, mais il conjectura qu'il n'y en avait pas d'autres. {{Lien|langue=en|fr=Victor Zalgaller}}, en 1969, démontra que la liste de Johnson était complète.

=== Autres familles de polyèdres ===
==== Pyramides ====
Les [[pyramide]]s sont autoduales.

==== Stellations et facettages ====
<gallery>
Fichier:First stellation of octahedron.png
Fichier:First stellation of dodecahedron.png
Fichier:Second stellation of dodecahedron.png
Fichier:Third stellation of dodecahedron.png
Fichier:Sixteenth stellation of icosahedron.png
Fichier:First stellation of icosahedron.png
Fichier:Seventeenth stellation of icosahedron.png
</gallery>

La [[stellation]] d'un polyèdre est le processus d'expansion des faces (dans leurs plans), c’est-à-dire qu'elles se rencontrent pour former un nouveau polyèdre.

C'est la réciproque exacte du [[facettage]] qui est le processus d'enlèvement de parties d'un polyèdre sans créer de nouveau sommets quelconques. Le facettage permet d'obtenir, entre autres, de nombreux nouveaux solides semi-réguliers concaves. On construit de nouvelles faces régulières en regroupant les arêtes d'un polyèdre semi-régulier. Le plus simple est un héptaèdre construit à partir de l'octaèdre, constitué de trois faces carrées et de quatre faces triangulaires.

==== Troncatures ====
C'est l'opération qui consiste à raboter un sommet ou une arête. Elle conserve les symétries du solide.

===== Troncature des sommets =====
Cette opération permet d'obtenir sept des solides d'Archimède à partir des solides de Platon. On remarque en effet qu'en rabotant de plus en plus les arêtes d'un cube on obtient successivement le [[cube tronqué]], le [[cuboctaèdre]], l'[[octaèdre tronqué]] et enfin l'[[octaèdre]]. On peut aussi suivre cette série dans l'autre sens.

En partant du [[dodécaèdre régulier]] on obtient le [[dodécaèdre tronqué]], l'[[icosidodécaèdre]], l'[[icosaèdre tronqué]] (qui donne sa forme au ballon de football), puis l'[[octaèdre]].

Le [[tétraèdre]] donne le [[tétraèdre tronqué]].

On peut appliquer cette opération au [[grand dodécaèdre]] ou au grand icosaèdre et obtenir des solides uniformes concaves.

===== Troncature des arêtes =====
À partir d'un cube, cette opération donne successivement un [[cuboctaèdre]], puis un [[dodécaèdre rhombique]].

À partir d'un [[dodécaèdre régulier]], on obtient l'[[icosidodécaèdre]] puis le [[triacontaèdre rhombique]].

==== Composés ====
Les [[Composé polyédrique|composés polyédriques]] sont formés comme des composés de deux polyèdres et plus.

Ces composés partagent souvent les mêmes sommets que les autres polyèdres et sont souvent formés par stellation. Certains sont listés dans la {{Lien|langue=en|trad=List of Wenninger polyhedron models|fr=liste des modèles de polyèdre de Wenninger}}.

==== Zonoèdres ====
Un [[zonoèdre]] est un polyèdre convexe où chaque face est un [[polygone]] avec une [[symétrie]] inverse ou, de manière équivalente, des [[Rotation dans l'espace|rotations]] à 180°.

== Généralisations ==
Le mot « polyèdre » a été employé pour une variété d'objets ayant des propriétés structurelles similaires aux polyèdres traditionnels.

=== Polyèdres complexes ===
Un {{Lien|langue=en|trad=Complex polytope|fr=Polytope complexe|texte=polyèdre complexe}} est un polyèdre qui est construit dans un espace à trois dimensions complexes. Cet espace possède six dimensions : trois dimensions réelles correspondant à l'espace ordinaire, avec une dimension imaginaire accompagnant chacune<ref>Voir par exemple {{en}} [[H. S. M. Coxeter]], ''Regular Complex Polytopes'', [[Cambridge University Press|CUP]], 1974.</ref>.

=== Polyèdres courbés ===
Certains champs d'étude permettent aux polyèdres d'avoir des faces et des arêtes courbées.

==== Polyèdres sphériques ====
La surface d'une sphère peut être divisée par des [[Arc de cercle|arcs]] de [[Grand cercle|grands cercles]] (délimitant des régions appelées [[polygone sphérique|polygones sphériques]]) pour former un [[polyèdre sphérique]]. Ce point de vue est très adapté pour démontrer une grande partie de la théorie des polyèdres symétriques.

==== Polyèdres courbés remplissant l'espace ====
Les deux types importants sont :
* Les bulles dans les mousses et l'écume.
* Les formes remplissant l'espace utilisées en [[architecture]]<ref>Voir par exemple {{en}} {{Lien|trad=Peter Jon Pearce|Peter Pearce}}, ''Structure in Nature Is a Strategy for Design'', [[MIT]], 1978, {{Google Livres|sfc2OEuE8oQC|aperçu}}.</ref>.

=== Polyèdres généraux ===
Plus récemment, les mathématiciens ont défini un polyèdre comme un ensemble dans un espace [[géométrie affine|affine]] [[nombre réel|réel]] (ou [[géométrie euclidienne|euclidien]]) de dimension quelconque ''n'' qui possède des côtés plats. Il peut être défini comme l'union d'un nombre fini de polyèdres convexes, où un ''polyèdre convexe'' est un ensemble quelconque qui est l'intersection d'un nombre fini de [[demi-espace]]s. Il peut être borné ou non borné. Dans ce sens, un [[polytope]] est un polyèdre borné.

Tous les polyèdres traditionnels sont des polyèdres généraux, et en plus, il existe des exemples tels que :
* un quadrant dans le plan. Par exemple, la région du plan cartésien constituée de tous les points au-dessus de l'axe des abscisses et à droite de l'axe des ordonnées : { ( ''x'', ''y'' ) | x ≥ 0, y ≥ 0 }. Ses côtés sont les deux axes positifs ;
* un octant dans l'espace à trois dimensions euclidien, { ( ''x'', ''y'', ''z'' ) | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 } ;
* un prisme d'extension infinie. Par exemple, un prisme carré doublement infini dans l'espace tridimensionnel, constitué d'un carré dans le plan ''xy'' balayé le long de l'axe ''z'' : { ( ''x'', ''y'', ''z'' ) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 } ;
* chaque cellule dans un [[diagramme de Voronoï|pavage de Voronoï]] est un polyèdre convexe. Dans le pavage de Voronoï d'un ensemble ''S'', la cellule ''A'' correspondant à un point ''c''∈''S'' est bornée (et est par conséquent un polyèdre traditionnel) lorsque ''c'' est placé dans l'[[intérieur (topologie)|intérieur]] de l'enveloppe convexe de ''S'', et autrement (lorsque ''c'' est placé sur la [[frontière (topologie)|frontière]] de l'enveloppe convexe de ''S'') ''A'' est non bornée.

== Quelques exemples de polyèdres dans les arts plastiques et l'architecture ==
[[Fichier:Henk Visch 03.JPG|vignette|Marathon, sculpture de Henk Visch]]
* [[Pyramides de Gizeh]]
* Les polyèdres réguliers dessinés par [[Léonard de Vinci]], pour illustrer la Divine Proportion, de [[Luca Pacioli]]
* Portrait de Luca Pacioli, par [[Jacopo de' Barbari|Jacopo de’ Barbari]], 1495
* [[Melencolia I]] d’[[Albrecht Dürer]], 1514. Un [[polyèdre de Dürer|polyèdre à huit faces]] est représenté. Il faut noter qu’Albrecht Dürer et Jacopo de’ Barbari se connaissaient.
* Les "cubes" d'[[Alberto Giacometti]], 1934, qui font référence au polyèdre de Dürer.
* Étoiles de [[Maurits Cornelis Escher]], 1948
* De nombreuses peintures et sculptures de [[Sol LeWitt]] représentent des polyèdres.
* [[Tony Smith (sculpteur)|Tony Smith]], un autre artiste minimaliste, a utilisé ces formes géométriques, par exemple Wandering Rocks, Milwaukee, 1967
* Le Kinémax du [[Futuroscope]], 1987, [[Denis Laming]]
* La [[Pyramide du Louvre]], 1988, [[Ieoh Ming Pei]]
* La série Melancholia d'[[Anselm Kiefer]], commencée en 1988, et fait référence à Dürer.
* Marathon de Henk Visch, Rotterdam, 2001. Un polyèdre irrégulier et coloré.
* Les polyèdres irréguliers appelés Moduloform par le NeoConsortium
* Les docks - Cité de la Mode et du Design, Paris, 2008, cabinet [[Jakob + MacFarlane|Jacob + Mac Farlane]]
* La [[Caverne du Pont-d'Arc|Caverne du Pont d'Arc]], 2015, Vallon-Pont-d'Arc, cabinet [[Xavier Fabre|Fabre/Speller]]

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Polyhedron|107941531}}
{{références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets| commons=Category:Polyhedra}}

=== Bibliographie ===
* Guy Le Berre, ''L'Évasion des polyèdres'', Mathématières, Quimper, 2006 {{ISBN|2-9526355-0-1}}
* {{Chapitre|lang=en|auteur=[[Branko Grünbaum]]|titre=Polyhedra with hollow faces|titre ouvrage=Polytopes: Abstract, Convex and Computational|auteurs ouvrage=T. Bisztriczky, {{Lien|langue=en|fr=Peter McMullen|texte=P. McMullen}}, R. Schneider et A. Ivić Weiss|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=1994|page=43-70|doi=10.1007/978-94-011-0924-6_3}}
* {{Chapitre|lang=en|auteur=Branko Grünbaum|titre=Are your polyhedra the same as my polyhedra?|titre ouvrage=Discrete and Computational Geometry — The [[Jacob E. Goodman|Goodman]]-[[Richard M. Pollack|Pollack]] [[Festschrift]]|auteurs ouvrage={{Lien|langue=en|fr=Boris Aronov|texte=B. Aronov}}, S. Basu, [[János Pach|J. Pach]] et {{Lien|langue=en|fr=Micha Sharir|texte=M. Sharir}}|éditeur=Springer|année=2003|page=461-488|url=http://www.math.washington.edu/~grunbaum/Your%20polyhedra-my%20polyhedra.pdf}}
* [[Paul-Émile Javary#Famille|Adrien Javary]], ''Traité de géométrie descriptive'', vol. 1 : ''La ligne droite, le plan, les polyèdres'', 1881, {{Présentation en ligne|lien=http://notices.bnf.fr/AfficherNoticeServlet?idNotice=37251164}}, {{Lire en ligne|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k28506r}} (sur [[Gallica]])
* Louis Joly, ''Les Polyèdres réguliers, semi-réguliers et composés'', Blanchard, 1992 {{ISBN|2-85367-049-X}}
* Michèle Minguin-Debray, ''L'Atelier des polyèdres'', ACL-les Éditions du Kangourou, 2001 {{ISBN|2-87694-085-X}}
* Les dossiers du PLOT, ''Polyèdres dans l'espace'', [[APMEP]], {{date|mars 1987}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|langue=en|fr=Magnus Wenninger}}|titre=Dual Models|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=2003|année première édition=1983|pages totales=172|isbn=978-0-521-54325-5|lire en ligne={{Google Livres|mfmzUjhs-_8C}}}}

=== Articles connexes ===
* {{Lien|langue=en|trad=Polyhedral space|fr=Espace polyédrique}}
* [[Polyèdre oblique infini]]
* [[Polyèdre idéal]]
* {{Lien|langue=en|trad=Projective polyhedron|fr=Polyèdre projectif}}
* {{Lien|langue=en|trad=Toroidal polyhedron|fr=Polyèdre toroïdal}}
* [[Polytope]]
* [[Polytope abstrait]]
* [[Théorème des quatre couleurs]]

=== Liens externes ===
* {{en}} [http://dogfeathers.com/java/hyperstar.html Applet Java de projection de polytopes 4D dans l'espace 3D]
* {{fr}} [http://www.ac-noumea.nc/maths/polyhedr/index.htm Pages très complètes, en français, avec des applets LiveGraphics3D]
* {{en}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html The Encyclopedia of Polyhedra]

=== Ressources de construction de modèles physique ===
<!-- Pay-for resources should not be linked to, per WP:LINKSTOAVOID -->
* [http://www.korthalsaltes.com/ Modèles polyédraux en papier] Réseau de polyèdres gratuit
* [http://ldlewis.com/How-to-Build-Polyhedra/ Instructions simples pour construire plus de 30 polyèdres en papier]
* [http://hbmeyer.de/flechten/indexeng.htm Polyèdre à l'aide de lamination] – Modèles polyédraux construits sans l'aide de colle.
* [https://www.polytopia.eu/en/ Adoptez un polyèdre] - Affichage interactif, réseaux et données aux fins d'impression 3d pour tous les types combinatoires de polytopes jusqu'à 9 sommets

{{Palette|Solides géométriques}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Polyèdre| ]]
[[Catégorie:Surface]]