Voir la source de Polyèdre flexible

[[File:Ste-anim.gif|thumb|Le {{Lien|langue=en|trad=Steffen's polyhedron|fr=polyèdre de Steffen}}, le plus simple des polyèdres flexibles non croisés.]]
En géométrie, un '''polyèdre''' '''flexible''', ou '''flexaèdre''', est un [[polyèdre]] que l'on peut déformer continûment sans changer la forme de ses faces. Le [[Théorème de Cauchy (géométrie)|théorème de rigidité de Cauchy]] montre qu'un tel polyèdre ne peut être [[Ensemble convexe|convexe]].

== Historique ==
Les premiers exemples de polyèdres flexibles, les {{Lien|langue=en|trad=Bricard octahedron|fr=octaèdre de Bicard|texte=octaèdres de Bricard}}, furent découverts par [[Raoul Bricard]] en 1897<ref>{{harvsp|Bricard|1897}}.</ref>. Ce sont des surfaces auto-intersectantes (on parle parfois de [[Polyèdre étoilé|polyèdres croisés, ou étoilés]]). Le premier exemple de polyèdre flexible de <math>\mathbb{R}^3</math> non croisé, la '''sphère de''' '''Connelly''', fut découvert par {{Lien|langue=en|trad=Robert Connelly|fr=Robert Connelly}} en 1977<ref>{{harvsp|Connelly|1977}}</ref> ; le  {{Lien|langue=en|trad=Steffen's polyhedron|fr=polyèdre de Steffen}}, le plus simple des polyèdres flexibles non croisés, fut construit par {{Lien|langue=de|trad=Klaus Steffen}} en 1978 à partir des octaèdres de Bricard.

== Conjecture du soufflet ==

À la fin des années 70, Connelly et Sullivan formulèrent la '''conjecture du [[Soufflet (outil)|soufflet]]''', affirmant que le volume d'un polyèdre flexible est invariant quand il se déforme. Cette [[conjecture]] fut démontrée en 1995 pour les polyèdres [[Homéomorphisme|homéomorphes]] à la [[sphère]] (et donc de [[caractéristique d'Euler]] égale à 2) par Sabitov<ref>{{harvsp|Sabitov|1995}}.</ref> en utilisant la [[théorie de l'élimination]] ; en 1997, Connelly, Sabitov et Walz démontrèrent le cas général en utilisant une extension à tous les polyèdres de la formule de [[Piero della Francesca]] donnant le [[Tétraèdre#Volume du tétraèdre|volume d'un tétraèdre]]. Cette formule étendue montre que le volume est une [[racine d'un polynôme]] dont les coefficients ne dépendent que des longueurs des côtés du polyèdre ; durant une déformation continue, ce polynôme reste fixe, et ses racines forment un ensemble discret, donc le volume reste invariant{{sfn|Demaine|O'Rourke|2007}}.

== Invariants ==
Connelly conjectura également que l'[[Troisième problème de Hilbert|invariant de Dehn]] d'un polyèdre flexible ne varie pas lorsque le polyèdre se déforme. Cette conjecture fut démontrée en 2018, et est désormais connue sous le nom de '''théorème fort du souflet'''{{sfn|Gaĭfullin|Ignashchenko|2018}}.
Il est possible de définir un analogue de la [[courbure moyenne]] pour les polyèdres, comme étant la somme des produits des longueurs des arêtes  par les angles (extérieurs) des dièdres qu'elles délimitent ; ce nombre reste lui aussi constant lorsque le polyèdre se déforme{{sfn|Alexander|1985}}.

== Existence ==
Il est prouvé que tout polyèdre simple à 7 sommets ou moins est rigide. Le polyèdre de Steffen est un exemple de polyèdre flexible à 9 sommets. L'existence ou non de polyèdre flexible à 8 sommets reste en 2006 un problème ouvert{{sfn|Lambre|2006|p=10}}.

== Généralisations ==

Des [[4-polytope]]s flexibles, et des polyèdres flexibles de l'[[Géométrie hyperbolique|espace hyperbolique]] à 3 dimensions furent construits par {{Lien|langue=en|trad=Hellmuth Stachel|fr=Hellmuth Stachel}} en 2000<ref>{{harvsp|Stachel|2000}} et {{harvsp|Stachel|2006}}.</ref>. En dimensions <math>n\geq 5</math>, des polytopes flexibles furent construits par Alexander Gaifullin en 2014<ref>{{harvsp|Gaifullin|2014}}</ref>.

== Voir aussi ==
* [[Flexagone]]

== Notes et références ==
=== Références ===
{{Références}}

=== Sources primaires ===
{{refbegin|30em}}
* {{article| lang = en
 | nom = Alexander | prénom = Ralph
 | doi = 10.2307/1999957
 | numéro = 2
 | journal = Transactions of the American Mathematical Society
 | mr = 776397
 | pages = 661–678
 | titre = Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces. I
 | volume = 288
 | année = 1985| jstor = 1999957
 <!--| doi-access = free-->
 }}.
* {{article| lang = en
 | nom = Alexandrov | prénom = Victor
 | arxiv = 0901.2989
 | doi = 10.1007/s00022-011-0061-7
 | numéro = 1–2
 | journal = Journal of Geometry
 | mr = 2823098
 | pages = 1–13
 | titre = The Dehn invariants of the Bricard octahedra
 | volume = 99
 | année = 2010}}.
* {{article|prénom=R.|nom=Bricard|titre=Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé|journal=J. Math. Pures Appl.|volume=5|numéro=3|année=1897|pages=113–148|url=http://portail.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1897_5_3_A5_0|consulté le=2008-07-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20120216011406/http://portail.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1897_5_3_A5_0|archive-date=2012-02-16}}
* {{article| lang = en | nom1=Connelly | prénom1=Robert | titre=A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1977__47__333_0 | mr=0488071  | année=1977 | journal=[[Publications mathématiques de l'IHÉS]] | issn=1618-1913 | numéro=47 | pages=333–338 | doi=10.1007/BF02684342 | volume=47}}
* {{article| lang = en | nom1=Connelly | prénom1=Robert | nom2=Sabitov | prénom2=I. | nom3=Walz | prénom3=Anke | titre=The bellows conjecture | mr=1447981 | année=1997 | journal=Beiträge zur Algebra und Geometrie | issn=0138-4821 | volume=38 | numéro=1 | pages=1–10 | url=http://emis.ams.org/journals/BAG/vol.38/no.1/1.html }}
* {{article| lang = en
 | nom = Gaifullin | prénom = Alexander A.
 | doi = 10.1134/S0081543814060066
 | numéro = 1
 | journal = Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics
 | mr = 3482593
 | pages = 77–113
 | titre = Flexible cross-polytopes in spaces of constant curvature
 | volume = 286
 | année = 2014| arxiv = 1312.7608
 }}.
* {{article| lang = en
 | nom1 = Gaĭfullin | prénom1 = A. A.
 | nom2 = Ignashchenko | prénom2 = L. S.
 | doi = 10.1134/S0371968518030068
 | isbn = 5-7846-0147-4
 | numéro = Topologiya i Fizika
 | journal = Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V
 | mr = 3894642
 | pages = 143–160
 | titre = Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra
 | volume = 302
 | année = 2018}}.
* {{article| lang = en | nom1=[[:ru:Сабитов, Иджад Хакович|Sabitov]] | prénom1=I. Kh. | titre=On the problem of the invariance of the volume of a deformable polyhedron | mr=1339277  | année=1995 | journal=Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk | issn=0042-1316 | volume=50 | numéro=2 | pages=223–224}}
* {{chapitre| lang = en
 | nom1 = Stachel | prénom1 = Hellmuth | lien auteur1 = Hellmuth Stachel
 | titre chapitre= Flexible octahedra in the hyperbolic space
 | doi = 10.1007/0-387-29555-0_11
 | auteurs ouvrage= A. Prékopa, E. Molnàr
 | isbn =  978-0-387-29554-1
 | mr = 2191249
 | passage = 209–225
 | éditeur = Springer | lieu = New York
 | series = Mathematics and its Applications
 | titre = Non-Euclidean geometries (János Bolyai memorial volume)
 | volume = 581
 | année = 2006|<!--- non supporté citeseerx = 10.1.1.5.8283---> }}.
* {{article| lang = en
 | nom = Stachel | prénom = Hellmuth | lien auteur = Hellmuth Stachel
 | numéro = 2
 | journal = Journal for Geometry and Graphics
 | mr = 1829540
 | pages = 159–167
 | titre = Flexible cross-polytopes in the Euclidean 4-space
 | url = http://www.geometrie.tuwien.ac.at/stachel/cross.pdf
 | volume = 4
 | année = 2000}}.
{{refend}}

=== Sources secondaires ===
{{refbegin|30em}}
* {{article
 | nom = Lambre | prénom = Thierry 
 | journal = Fête de la Science 
 | titre = Les polyèdres flexibles et la conjecture du soufflet
 | année = 2006| url = http://maths.ac-noumea.nc/polyhedr/stuff/poly_flex.pdf }}.
* {{article
 |auteur=Jean Lefort
 |titre=Les flexaèdres
 |périodique=L'Ouvert
 |numéro=16
 |passage=2-6
 |éditeur=[[Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques|IREM]] de Strasbourg
 |année=1978
 |lire en ligne=https://numerisation.irem.univ-mrs.fr/ST/IST78013/IST78013.pdf}}.
* {{chapitre
 |auteur1=[[Étienne Ghys]]
 |titre chapitre=Le théorème du soufflet
 |titre ouvrage=L'explosion des mathématiques
 |édition=[[Société mathématique de France|SMF]] et [[Société de mathématiques appliquées et industrielles (association française)|SMAI]]
 |année=2002
 |passage=23-27
 |lire en ligne=http://maths.ac-amiens.fr/IMG/pdf/explosion_des_mathematiques.pdf}}.
* {{article| lang = en
 | nom = Connelly | prénom = Robert | lien auteur = Robert Connelly
 | doi = 10.2307/2689778
 | numéro = 5
 | journal = [[Mathematics Magazine]]
 | mr = 551682
 | pages = 275–283
 | titre = The rigidity of polyhedral surfaces
 | volume = 52
 | année = 1979| jstor = 2689778 }}.
* {{chapitre| lang = en
 | nom1 = Connelly | prénom1 = Robert | lien auteur1 = Robert Connelly
 <!--| editor-last = [[David A. Klarner|Klarner, David A.]]--> <!--| editor-first =--> 
 | titre chapitre= Flexing surfaces
 | doi = 10.1007/978-1-4684-6686-7_10
 | isbn = 978-1-4684-6688-1
 | passage = 79–89
 | éditeur = Springer
 | titre ouvrage= The Mathematical Gardner
 | auteurs ouvrage = David A. Klarner
 | année = 1981}}.
* {{chapitre| lang = en
 | nom1 = Connelly | prénom1 = Robert | lien auteur1 = Robert Connelly
 | titre chapitre = Rigidity
 | url = http://pi.math.cornell.edu/~web7620/Rigidity-Connelly.pdf
 | lieu = Amsterdam
 | mr = 1242981
 | passage = 223–271
 | éditeur = North-Holland
 | titre ouvrage= Handbook of convex geometry, Vol. A
 | auteurs ouvrage = P.M. Gruber, J.M. Wills
 | année = 1993}}.
* {{chapitre| lang = en
 | nom1 = Demaine | prénom1 = Erik D. | lien auteur1 = Erik Demaine|directeur1=oui
 | nom2 = O'Rourke | prénom2 = Joseph | lien auteur2 = Joseph O'Rourke (professor)
 | titre chapitre = 23.2 Flexible polyhedra
 | doi = 10.1017/CBO9780511735172
 | isbn = 978-0-521-85757-4
 | mr = 2354878
 | passage = 345–348
 | éditeur = Cambridge University Press, Cambridge
 | titre ouvrage= Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra
 | lien titre=Geometric Folding Algorithms
 | année = 2007}}.
* {{chapitre| lang = en
 | nom1 = Fuchs | prénom1 = Dmitry
 | nom2 = Tabachnikov | prénom2 = Serge
 | doi = 10.1090/mbk/046
 | isbn = 978-0-8218-4316-1
 | lieu = Providence, RI
 | mr = 2350979
 | éditeur = American Mathematical Society
 | titre ouvrage= Mathematical Omnibus: Thirty lectures on classic mathematics
 | année = 2007
 | titre chapitre = Lecture 25. Flexible polyhedra
 | passage = 345–360}}
{{refend}}

== Liens externes ==
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Flexible polyhedron|id1=990166029}}

* {{MathWorld |nom url = FlexiblePolyhedron |titre = Flexible polyhedron}}
* {{MathWorld |nom url = BellowsConjecture |titre = Bellows conjecture }}
{{Portail|Géométrie}}

[[Catégorie:Polyèdre non convexe]]
[[Catégorie:Mécanique du solide]]