Voir la source de Polygone

{{Voir homonymes}}
Un '''polygone'''<ref group=grec>du [[grec (langue)|grec]] ''[[wikt:poly-|polus]]'', nombreux, et ''gônia'', [[angle]]</ref>, en [[géométrie euclidienne]], est une [[Forme (géométrie)|forme géométrique]] [[Plan (mathématiques)|plane]] formée d'une [[ligne polygonale|ligne brisée]] (appelée aussi ''ligne polygonale'') fermée, c'est-à-dire d'une suite cyclique de [[Segment (mathématiques)|segments]] consécutifs.

Les segments sont appelés bords ou côtés et les extrémités des côtés sont appelés sommets ou coins du polygone.

Un polygone est dit [[#Polygone croisé|croisé]] si au moins deux côtés non consécutifs sont sécants, et [[Polygone simple|simple]] si l'[[Intersection (mathématiques)|intersection]] de deux côtés est vide ou réduite à un sommet pour deux côtés consécutifs. La somme des angles d'un polygone simple ([[#Polygone convexe|convexe]] ou non) ne dépend que de son nombre de sommets.

Dans le cas des [[#Polygone simple|polygones simples]], on confond souvent le polygone et son intérieur en appelant ''polygone'' la surface délimitée par la ligne polygonale fermée<ref>Voir, par exemple, l'article  [https://www.larousse.fr/dictionnaires/francais/polygone/62317 Polygone] du dictionnaire Larousse.</ref>.

La notion de polygone est généralisée :
* sur une [[surface (géométrie analytique)|surface]], par des figures dont les côtés sont des segments d'[[orthodromie]] (ligne de plus court chemin), par exemple sur la [[sphère]] par les [[polygone sphérique|polygones sphériques]] (dont les côtés sont des [[arc de cercle|arcs]] de [[grand cercle]]) ;
* en [[dimension]] 3 par les [[polyèdre]]s et en dimension quelconque par les [[polytope]]s.

[[Image:Assorted polygons.svg|vignette|upright=2|Des polygones.]]

== Vocabulaire de base ==
Un polygone est constitué :
* d'une [[n-uplet|suite finie]]<ref group=grec>Il s'agit plus exactement d'une suite cyclique, c'est-à-dire que le premier terme est le successeur du dernier et qu'un décalage des termes de la suite décrit le même polygone.</ref> de [[point (géométrie)|points]] du plan appelés ''[[sommet (géométrie)|sommets]]''<ref group=grec>Plusieurs sommets peuvent coïncider en un même point. Un sommet est donc plutôt un terme de la suite qu'une image dans le plan.</ref> ;
* des segments reliant les couples de sommets consécutifs ainsi que d'un segment reliant le premier et le dernier point, tous ces segments étant appelés ''côtés''.

[[Image:An-poly.svg|Représentation d'un polygone ABCDE.|vignette]]
Un polygone est en général désigné par la juxtaposition des lettres désignant les sommets, dans l'ordre de la suite.

La désignation d'un polygone en toute généralité s'écrit donc A{{ind|1}}A{{ind|2}}A{{ind|3}}···A{{ind|n}}, constitué de ''n'' sommets et de ''n'' segments [A{{ind|1}}, A{{ind|2}}], [A{{ind|2}}, A{{ind|3}}], …, [A{{ind|''n''–1}}, A{{ind|''n''}}] et {{nobr|[A{{ind|''n''}}, A{{ind|1}}].}}

Dans le cas d'un polygone simple, chaque sommet distinct de ses deux voisins est associé à un ''[[angle interne]]'' : c'est l'[[angle]] entre les deux côtés qui aboutissent au sommet.

Le [[périmètre]] d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés.

=== Ordre d'un polygone ===
L'''ordre'' d'un polygone est le nombre de ses côtés. C'est évidemment aussi le nombre de ses sommets ou celui de ses angles.

=== Éléments opposés ===
* Si l'ordre d'un polygone est [[Parité (arithmétique)|pair]] :
** les sommets séparés par <math>\frac n2</math> côtés sont dits « opposés » entre eux ;
** même chose pour les angles correspondants ;
** les côtés séparés par <math>\frac n2</math> sommets sont dits eux aussi « opposés » entre eux.
* Si l'ordre du polygone est [[Parité (arithmétique)|impair]], les côtés sont « opposés » aux sommets et aux angles (et vice-versa) ; plus précisément, chaque sommet (ou chaque angle) est « opposé » au côté situé <math>\frac{n-1}2</math> sommets plus loin.

=== Côtés prolongés et diagonales ===
Les droites qui portent les côtés d'un polygone sont appelées les ''côtés prolongés'' de ce polygone.

Une ''[[diagonale]]'' d'un polygone est un segment qui joint deux sommets non consécutifs, c'est-à-dire un segment qui joint deux sommets et qui n'est pas un côté du polygone.

Un polygone à ''n'' côtés possède ainsi <math>{n \choose 2} - n = \frac{n(n-3)}2</math> diagonales.

== Typologie des polygones ==

Il existe de nombreuses manières de classer les polygones : en fonction de leur ''convexité'', de leurs ''symétries'', de leurs ''angles''... Mais on les classe d'abord suivant leur nombre de côtés.

=== Classement suivant le nombre de côtés ===

Les polygones peuvent être classés entre eux suivant leur [[#Ordre d'un polygone|ordre]].

Les polygones d'ordre 1 et 2 sont dits dégénérés : ils correspondent respectivement à un [[Point (géométrie)|point]], et à un [[Segment (mathématiques)|segment]], et possèdent en particulier de ce fait une [[Aire (géométrie)|aire]] nulle.

Le polygone non dégénéré le plus élémentaire est le [[triangle]].

Vient ensuite le [[quadrilatère]], d'ordre 4.

À partir de l'ordre 5, chaque nom de polygone est formé d'une racine grecque correspondant à l'ordre du polygone suivie du suffixe ''[[wikt:-gone|-gone]]''.

Pour s'y retrouver dans la dénomination des polygones, il faut retenir que ''-kai-'' signifie « et » en [[grec (langue)|grec]], et que ''-conta-'' signifie « dizaine ». Par exemple, le mot ''triacontakaiheptagone'' signifie trois (''tria-'') dizaines (''-conta-'') et (''-kai-'') sept (''-hepta-'') unités, et correspond donc à un polygone de trente-sept côtés, « et » étant interprété ici comme « [[Addition|plus]] »<ref name="Verdan 2007">{{Article|langue=Français|auteur1=Samuel Verdan|titre=Systèmes numéraux en Grèce ancienne: description et mise en perspective historique|périodique=CultureMATH|date=20 mars 2007|lire en ligne=http://culturemath.ens.fr/histoire%20des%20maths/htm/Verdan/Verdan.htm}}</ref>.

Au-delà de 12 côtés, la coutume est de parler de ''polygone à n côtés''.

Il existe cependant plusieurs dénominations anciennes pour des nombres « ronds » comme pour un polygone à vingt côtés ([[wikt:icosa-|icosa-]]), à cent côtés ([[wikt:hecto-|hecto-]]), à mille côtés ([[wikt:chilio-|chilio-]]) et à dix mille côtés ([[wikt:myria-|myrya-]]).

{{Démonstration|titre=Dénominations des polygones|{{Ouvrage
|langue=fr
|auteur1=[[Jean Le Rond d'Alembert]]
|titre=[[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|Encyclopédie]]
|numéro édition=1
|tome=12
|année=1751
|passage=941-943
|wikisource=L’Encyclopédie/1re édition/POLYGONE
}}

L{{'}}''[[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|Encyclopédie]]'' donne le principe, auquel la numération du grec ancien doit être ajoutée<ref name="Verdan 2007" />.
{{colonnes|nombre=2|
*1 côté dégénéré : [[hénagone]] ou ''monogone''<ref group=grec>Objet impossible en [[géométrie euclidienne]] mais en [[géométrie sphérique]], on peut le représenter par un sommet placé sur un [[grand cercle]].</ref>
*2 côtés dégénérés : [[digone]] ou ''segment''
*3 côtés : [[triangle]] ou ''trigone''
*4 : [[quadrilatère]] ou ''tétragone''
*5 : [[pentagone]]
*6 : [[hexagone]]
*7 : [[heptagone]]
*8 : [[octogone]]
*9 : [[ennéagone]] ou ''nonagone''
*10 : [[décagone]]
*11 : [[hendécagone]]
*12 : [[dodécagone]]
*13 : [[tridécagone]] ou ''triskaidécagone''
*14 : [[tétradécagone]] ou ''tétrakaidécagone'' ou ''quadridécagone''
*15 : [[pentadécagone]] ou ''pentakaidécagone'' ou ''quidécagone''
*16 : [[hexadécagone]] ou ''hexakaidécagone''
*17 : [[heptadécagone]] ou ''heptakaidécagone''
*18 : [[octadécagone]] ou ''octakaidécagone''
*19 : [[ennéadécagone]] ou ''ennéakaidécagone''
*20 : [[icosagone]]
*21 : henicosagone ou ''icosikaihenagone''
*22 : doicosagone ou ''icosikaidigone''
*23 : triaicosagone ou ''icosikaitrigone''
*24 : tétraicosagone ou ''icosikaitétragone''
*25 : pentaicosagone ou ''icosikaipentagone''
*26 : hexaicosagone ou ''icosikaihexagone''
*27 : heptaicosagone ou ''icosikaiheptagone''
*28 : octaicosagone ou ''icosikaioctagone''
*29 : ennéaicosagone ou ''icosikaiennéagone''
*30 : triacontagone
*31 : hentriacontagone ou ''triacontakaihenagone''
*32 : dotriacontagone ou ''triacontakaidigone''
*33 : tritriacontagone ou ''triacontakaitrigone''
*34 : tétratriacontagone ou ''triacontakaitétragone''
*35 : pentatriacontagone ou ''triacontakaipentagone''
*36 : hexatriacontagone ou ''triacontakaihexagone''
*37 : heptatriacontagone ou ''triacontakaiheptagone''
*38 : octatriacontagone ou ''triacontakaioctogone''
*39 : ennéatriacontagone ou ''triacontakaiennégone''
*40 : tétracontagone
*50 : [[pentacontagone]]
*60 : [[hexacontagone]]
*70 : [[heptacontagone]]
*80 : [[octacontagone]]
*90 : [[ennéacontagone]]
*100 : [[hectogone]] ou ''hécatontagone''
*200 : [[dihectogone]]
*300 : [[trihectogone]]
*400 : [[tétrahectogone]]
*500 : [[pentahectogone]]
*600 : [[hexahectogone]]
*700 : [[heptahectogone]]
*800 : [[octahectogone]]
*900 : [[ennéahectogone]]
*{{formatnum:1000}} : [[chiliogone]] ou ''chiliagone'' ou ''chiligone''<ref name="descartes" group=grec>Dans la {{6e}} de ses ''[[Méditations métaphysiques]]'', [[Descartes]] se sert du chiliogone et du myriogone pour montrer la différence entre l'imagination et la conception pure.</ref> 
*{{formatnum:10000}} : [[myriagone]] ou ''myriogone''<ref name="descartes" group=grec />
}}
}}

Les mêmes principes s'appliquent aux [[polyèdre]]s, où il suffit de remplacer le suffixe ''-gone'' par le suffixe ''-èdre''.

=== Classement par convexité ===

==== Polygone croisé ====
[[Image:Etoile 1.svg|vignette|Pentagone croisé.]]
Un polygone est dit '''croisé''' si au moins deux de ses côtés sont [[Droite sécante|sécants]], c'est-à-dire si au moins deux de ses côtés non consécutifs se coupent<ref> Selon le [http://mathenjeans.free.fr/amej/glossair/glossere.html#polygone glossaire Math en Jeans], il n'y a pas unanimité sur la notion, certains exigeant que la rencontre se fasse en un point différent d'un sommet et d'autres non.</ref>. C'est le cas du [[pentagone]] ''ABCDE'' ci-contre.

==== Polygone simple ====
{{Loupe|polygone simple}}
Un polygone est dit ''simple'' si deux côtés non consécutifs ne se rencontrent pas et deux côtés consécutifs n'ont en commun que l'un de leurs sommets<ref>[http://mathenjeans.free.fr/amej/glossair/glossere.html#polygone Glossaire de Math en Jeans].</ref>. Un polygone simple est toujours non croisé.

Il forme alors une [[courbe de Jordan]], qui délimite une [[partie bornée]] du plan, appelée son ''intérieur''. On appelle [[aire d'un polygone]] simple l'[[Aire (géométrie)|aire]] de son intérieur.
{{clr}}

===== Polygone non convexe =====
{{Article détaillé|Polygone non convexe}}

[[Image:Polygone-concave.png|vignette|Pentagone simple non convexe.]]

Un polygone simple est dit ''non convexe'' si son intérieur n'est pas [[Ensemble convexe|convexe]], autrement dit si l'une de ses [[#Côtés prolongés et diagonales|diagonales]] n'est pas entièrement dans son intérieur.

Par exemple, le pentagone simple ACDBE ci-contre est non convexe car les diagonales [B, C] et [C, E] ne sont pas dans l'intérieur du polygone. Le segment [[ouvert (topologie)|ouvert]] ]B, C[ est même complètement à l'extérieur. L'existence d'une telle « bouche » est une propriété générale des polygones simples non convexes<ref>{{Article|lang=en|titre=Anthropomorphic polygons|auteur={{Lien|Godfried Toussaint}}|revue=[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|vol=98|numéro=1|année=1991|p.=31-35|doi=10.2307/2324033|url=http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/mouth.pdf}}, {{Citation étrangère|lang=en|Theorem 2 (the One-Mouth theorem)}}.</ref>.

{{clr}}

===== Polygone convexe =====
{{Voir|Polygone convexe}}

[[Image:Polygone-convexe.png|vignette|Hexagone convexe.]]

Un polygone est dit ''[[polygone convexe|convexe]]'' s'il est simple et si son intérieur est [[Ensemble convexe|convexe]]. Ainsi, l'[[hexagone]] ''MNOPQR'' ci-contre est convexe.

{{clr}}

=== Classement par symétrie ===
{{Voir|Groupe de symétrie#Dimension 2{{!}}Groupe de symétrie en dimension 2|Liste des groupes de symétrie du plan#Groupes ponctuels{{!}}Groupes ponctuels de symétrie du plan}}

==== Notion d'élément de symétrie ====
[[Fichier:Triangle.Scalene.svg|vignette|Un [[triangle scalène]] n'a aucun élément de symétrie.]]
[[Fichier:Academ This hexagon is unchanged by a rotation with angle 120 degrees.svg|vignette|Le groupe de symétrie de cet hexagone [[Figure isogonale|isogonal]] est D{{ind|3}}.]]
Les ''symétries d'un polygone'' d'ordre ''n'' sont les [[Isométrie affine|isométries]] du [[plan euclidien]] qui [[Permutation|permutent]] à la fois ses ''n'' sommets et ses ''n'' côtés. Une telle [[application affine]] [[Point fixe|fixe]] nécessairement l'[[isobarycentre]] ''G'' des sommets donc ne peut être que de deux types :
* une [[symétrie axiale]] dont l'axe passe par ''G'' ;
* une [[Rotation plane|rotation]] de centre ''G'' dont l'angle (en [[radian]]s) est un multiple de 2[[Pi|π]]/''n'', ou encore : de la forme 2π''p''/''q'' où ''p''/''q'' est une [[fraction irréductible]] et ''q'' est un [[diviseur]] de ''n'' (''q'' est l'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] de la rotation, qui indique combien de fois il faut appliquer la rotation pour revenir au point de départ : par exemple, la rotation d'ordre 2, c'est-à-dire d'angle π, est la [[symétrie centrale|symétrie de centre ''G'']]).

L'ensemble des symétries de n'importe quelle figure plane est un [[sous-groupe]] du [[Groupe (mathématiques)|groupe]] des isométries du plan. En effet, lorsqu'on [[Composition de fonctions|compose]] deux de ces symétries ou qu'on prend la [[bijection réciproque]] de l'une d'elles, le résultat est encore une symétrie de la figure.

Les symétries d'un polygone d'ordre ''n'' forment même un [[groupe fini]], qui est égal, pour un certain diviseur ''d'' de ''n'' :
* ou bien au [[groupe cyclique]] C{{ind|''d''}} des ''d'' rotations d'angles multiples de 2π/''d'' (si ''d'' = 1, c'est le [[groupe trivial]], réduit à l'[[application identité]] : le polygone n'a aucun « élément de symétrie ») ;
* ou bien au [[groupe diédral]] D{{ind|''d''}} constitué de ces ''d'' rotations et de ''d'' symétries axiales (si ''d'' = 1, le seul « élément de symétrie » du polygone est alors un axe de symétrie).
{{clr}}

==== Notion de polygone régulier ====
[[Image:Nonagon.svg|vignette|« L' » [[ennéagone]] régulier.]]
{{Voir|Polygone régulier}}
Un polygone d'[[#Ordre d'un polygone|ordre]] ''n'' est dit [[Polygone régulier|régulier]] s'il est [[Polygone équilatéral|équilatéral]] (côtés égaux) et [[#Polygone équiangle|équiangle]] (angles égaux), ou encore s'il est « le plus symétrique possible », c'est-à-dire si son groupe de symétrie est D{{ind|''n''}}. Il suffit pour cela que le polygone possède ''n'' axes de symétrie, ou encore : une rotation d'ordre ''n''. Lorsqu'on dit « ''le'' polygone régulier d'ordre ''n'' », il s'agit de l'« [[à quelque chose près|unique]] » polygone ''[[#Polygone convexe|convexe]]'' de cette famille (on calcule facilement [[Polygone régulier#Périmètre et aire|son périmètre et son aire]]).{{ancre|Polygone étoilé}} Les autres sont dits [[Polygone régulier étoilé|étoilés]]<ref group=grec>Notion qui, comme celles de [[Polyèdre étoilé#Les polytopes étoilés|polytope étoilé]], de [[partie étoilée]] et de {{Lien|trad=Star-shaped polygon|partie polygonale étoilée}}, formalise à sa façon l'intuition vague de « forme en étoile ».</ref>.

;Quelques exemples et contre-exemples
* tout [[triangle équilatéral]] ou équiangle est régulier ;
* les [[#Classement suivant le nombre de côtés|quadrilatères]] à 4 sommets distincts :
** équiangles sont les [[rectangle]]s ;
** équilatéraux sont les [[losange]]s ;
** réguliers sont donc les [[carré (géométrie)|carrés]].

==== Symétrie axiale ====
[[Fichier:Antiparallelogram.svg|vignette|upright=0.7|Tout [[antiparallélogramme]] admet un axe de symétrie.]]
Le groupe de symétrie est diédral si et seulement si le polygone admet un axe de symétrie. {{Refnec|date=25/08/2015|''Si le polygone n'est pas [[#Polygone croisé|croisé]]'', un tel axe passe nécessairement par un sommet ou le [[Milieu d'un segment|milieu d'un côté]].}}

Plus précisément :
* dans un polygone non croisé d'ordre impair, tout axe de symétrie est [[bissectrice]] de l'angle interne en un sommet et [[médiatrice]] du côté opposé ;
* dans un polygone non croisé d'ordre pair, tout axe de symétrie est soit bissectrice de deux angles internes opposés, soit médiatrice de deux côtés opposés.

;Quelques exemples
* un [[triangle isocèle]] est symétrique par rapport à sa [[Symétrie (transformation géométrique)#Axe de symétrie|bissectrice principale]] ;
* les quadrilatères admettant un axe de symétrie sont les [[Trapèze isocèle|trapèzes isocèles]], les [[cerf-volant (géométrie)|cerfs-volants]] et les [[antiparallélogramme]]s ;
** les [[parallélogramme]]s admettant un axe de symétrie sont les [[losange]]s et les [[rectangle]]s ;
*** le [[rectangle]], cas particulier de trapèze isocèle, possède deux axes de symétrie qui sont portés par [[Médiane (géométrie)#Médianes dans un quadrilatère|ses médianes]] ;
*** le [[losange]], cas particulier de cerf-volant, possède deux axes de symétrie qui sont portés par ses diagonales ;
*** le [[carré]] est un quadrilatère régulier donc il possède quatre axes de symétrie : ceux du losange et ceux du rectangle, dont il est un cas particulier.
{{clr}}

==== Symétrie centrale ====
[[Image:Parallélogramme.svg|vignette|Les parallélogrammes possèdent une symétrie centrale.]]
Dans un polygone d'ordre ''n'', pour que l'isobarycentre soit un centre de symétrie — c'est-à-dire pour que le [[#Notion d'élément de symétrie|groupe de symétrie C{{ind|''d''}} ou D{{ind|''d''}}]] contienne la rotation d'angle π — il faut et il suffit que ''d'' soit pair, donc il faut que ''n'' soit pair. Les côtés opposés sont alors parallèles et de même longueur.

Les quadrilatères non croisés possédant une symétrie centrale sont les parallélogrammes.

=== Classement par les angles ===

==== Polygone équiangle ====
{{Voir|Polygone équiangle}}
Un polygone est dit [[Polygone équiangle|équiangle]] quand tous ses angles internes sont égaux. Dans un [[polygone convexe]] équiangle à ''n'' côtés, chaque angle interne mesure (1 – 2/''n'')×180° (cf. § « Somme des angles » [[#Somme des angles|ci-dessous]]).

;Quelques exemples
* le seul triangle équiangle est le triangle équilatéral ;
* les quadrilatères équiangles sont les rectangles ;
* tous les [[#Notion de polygone régulier|polygones réguliers]] sont équiangles par définition.

==== Angles droits ====
Un [[triangle rectangle]] comporte un angle droit et deux [[Angle aigu|angles aigus]].

Les quadrilatères convexes à au moins deux angles droits sont les [[Trapèze rectangle|trapèzes rectangles]] et les [[Quadrilatère inscriptible|quadrilatères inscriptibles]] dont une diagonale est un diamètre (constitués de deux triangles rectangles accolés par leur [[hypoténuse]]), parmi lesquels on compte les [[Cerf-volant droit|cerfs-volants droits]] .

Les quadrilatères comportant au moins trois angles droits sont les rectangles.

Un polygone convexe ne peut présenter plus de quatre angles droits.

=== Autres classements ===

==== Polygone inscriptible (dans un cercle) ====

Un polygone est dit ''inscriptible'' quand tous ses sommets se trouvent sur un même [[cercle]], dit ''[[cercle circonscrit]] au polygone''. Ses côtés sont alors des [[Corde d'un cercle|cordes de ce cercle]].

Parmi les [[Quadrilatère inscriptible|quadrilatères inscriptibles]], on trouve les [[Trapèze isocèle|trapèzes isocèles]], les [[antiparallélogramme]]s et les [[#Angles droits|cerfs-volants à deux angles droits]].

==== Polygone circonscriptible (à un cercle) ====
{{Voir|contenu=Article détaillé : [[Polygone circonscriptible]].}}
Un polygone est dit ''circonscriptible'' quand tous ses côtés sont tangents à un même cercle, dit ''[[cercle inscrit]] dans le polygone''. Les anglophones et les germanophones ont baptisé « polygone tangent » ce type de polygone.
;Exemples de [[Quadrilatère circonscriptible|quadrilatères circonscriptibles]]
* Les parallélogrammes circonscriptibles sont les losanges.
* Les seuls quadrilatères circonscriptibles possédant deux côtés adjacents égaux sont les [[Cerf-volant (géométrie)|cerfs-volants]].
* Le [[théorème de Pitot]] généralise ces deux énoncés.

==== Polygone bicentrique ====
Un polygone à la fois inscriptible et circonscriptible est dit [[Polygone bicentrique|bicentrique]]. Les triangles et les polygones réguliers sont bicentriques.

Voir aussi : « [[Grand théorème de Poncelet]] » et « [[Quadrilatère bicentrique]] ».

== Somme des angles ==
[[Fichier:Interior exterior triangle.svg|vignette|La somme des angles externes vaut 360° et les angles externe et interne associés à un même sommet sont supplémentaires.]]
[[Fichier:Triangle strip.png|vignette|gauche|Un heptagone simple non convexe partagé en 5 triangles.]]
[[Fichier:Pentagon not pitteway.png|vignette|gauche|upright=0.6|Un pentagone convexe partagé en 3 triangles ayant un sommet commun.]]

La somme des [[Angle interne|angles internes]] d'un polygone ''[[#Polygone simple|simple]]'' d'ordre ''n'' ne dépend pas de sa forme. Elle vaut (en [[radian]]s et en [[Degré (angle)|degrés]]) :

<center><math>S = (n - 2)\times\pi~\mathrm{rad}=(n-2)\times180^\circ=n \times180^\circ-360^\circ.</math></center>

En effet, cette formule, [[Somme des angles d'un triangle|bien connue pour ''n'' = 3]], se généralise en [[Triangulation d'un polygone#Méthode "des oreilles"|découpant le polygone en ''n'' – 2 triangles]] accolés deux à deux par un côté commun, qui est une diagonale de ce polygone (dans le cas particulier d'un polygone convexe, il suffit de considérer tous les segments joignant un certain sommet à tous les autres).

Une autre façon de démontrer cette formule<ref>Les deux méthodes sont données dans {{Ouvrage|auteur1=COJEREM|titre=Des situations pour enseigner la géométrie : {{1re}}/{{4e}}|sous-titre=notions pour l'élève|éditeur=[[De Boeck]]|année=1995|passage=163-164|isbn=978-2-8041-2230-0|lire en ligne={{Google Livres|b6MLurjEcaoC|page=163}}}} et {{Ouvrage|titre=Guide méthodologique|passage=134-153|isbn=978-2-8041-2231-7|lire en ligne={{Google Livres|EYt029xLzCgC|page=134}}}} pour le cas particulier d'un polygone convexe et dans {{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|Martin Isaacs}}|titre=Geometry for College Students|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=2009|passage=13-14|lire en ligne={{Google Livres|0ahK8UneO3kC|page=13}}}} pour le cas général.</ref> est de remarquer que (pour des [[Angle#Angles orientés dans le plan|angles orientés]] convenablement<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[William H. Press]]|titre=Numerical Recipes|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=2007|numéro d'édition=3|passage=1123|lire en ligne={{Google Livres|1aAOdzK3FegC|page=1123}}}}, Figure 21.4.4.</ref>) la somme des ''n'' [[Angle externe|angles externes]] est égale à 360° et les angles externe et interne associés à un même sommet ont pour [[Angle supplémentaire|somme 180°]].
{{clr}}

== Polygones équivalents (combinatoire) ==
[[Fichier:inequivalent_polygons.jpg|Polygones non équivalents par réflexion et rotation, avec 3, 4, 5, 6 et 7 côtés.|thumb|upright=2.8]]
Deux polygones sont dits équivalents s'ils peuvent s'obtenir par rotation ou réflexion l'un de l'autre.

Ainsi pour <math>n= 3, 4, 5, 6, 7, 8,\dots</math> il existe <math>1,2,4,12,39,202,\dots</math> polygones non équivalents ({{OEIS|A000940}}).

Parmi eux certains sont chiraux (<math>2,15,130,\dots</math> polygones chiraux pour <math>n=6,7,8,\dots</math> côtés).
Le nombre de polygones non équivalents par rotation seulement vaut donc <math>1,2,4,14,54,332,\dots</math> ({{OEIS|A000939}}).


== Notes et références ==
===Notes===
{{Références|groupe=grec}}
===Références===
{{Références}}
== Voir aussi ==
{{Autres projets|wiktionary=polygone|commons=Category:Polygons}}

=== Articles connexes ===
{{Colonnes|nombre=3|
* [[Aire d'un polygone]]
* [[Construction à la règle et au compas]]
* [[Forme cristalline]]
* [[Golygone]]
*[[Polygone dual]]
*[[Polygone équilatéral]]
*[[Polygone isogonal]]
*[[Polygone isotoxal]]
* [[Surface de sustentation]]
* [[Théorème de Gauss-Wantzel]]
* [[Approximation de π]]
}}

=== Liens externes ===
* {{Lien web|url=http://www.mathcurve.com/polyedres/polygone/polygone.shtml|titre=Polygone|site=mathcurve.com}}
* {{Lien web|url=http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Polygone.htm#construction|titre=Polygones|site=Nombres — Curiosités, théorie et usages|auteur=G. Villemin}}

{{Palette|Polygones}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Polygone|*]]