Voir la source de Polynôme cyclotomique

[[Image:Carl Friedrich Gauss.jpg|vignette|droite|[[Carl Friedrich Gauss]]]]
En [[mathématiques]], plus précisément en [[algèbre commutative]], le '''polynôme cyclotomique'''<ref>du grec {{Grec ancien|κύκλος|kúklos}}, « cercle », et {{Grec ancien|τομή|tomḗ}}, « coupure »</ref> usuel associé à un [[entier naturel]] ''n'' est le [[polynôme unitaire]] dont les [[Racine d'un polynôme|racines]] [[nombre complexe|complexes]] sont les [[racine de l'unité|racines primitives ''n''-ièmes de l'unité]]. Son degré vaut φ(''n''), où φ désigne la fonction [[indicatrice d'Euler]]. Il est à coefficients [[entier relatif|entiers]] et [[Polynôme irréductible|irréductible]] sur [[Nombre rationnel|ℚ]]. Lorsqu'on [[Anneau ℤ/nℤ|réduit]] ses coefficients modulo un [[nombre premier]] ''p'' ne divisant pas ''n'', on obtient un polynôme unitaire (également appelé polynôme cyclotomique) à coefficients dans le [[corps fini]] '''F'''''<sub>p</sub>'', et dont les racines sont les racines primitives ''n''-ièmes de l'unité dans la [[clôture algébrique]] de ce corps, mais qui n'est plus nécessairement irréductible. Pour tout entier ''m'', le polynôme ''X{{exp|m}} ''– 1 est le produit des polynômes cyclotomiques associés aux diviseurs de ''m''.

L'analyse de ces polynômes permet la résolution de nombreux problèmes. Historiquement, la construction des [[polygone]]s réguliers [[construction à la règle et au compas|à la règle et au compas]] est celui qui a amené le développement du concept. Ils sont traditionnellement utilisés pour illustrer la [[théorie de Galois]], la résolution d'[[Équation polynomiale|équations polynomiales]] et la structure des [[extension abélienne|extensions abéliennes]].

== Histoire ==
=== Naissance de la notion ===
[[Image:Disqvisitiones-800.jpg|vignette|gauche|Le traité d'analyse des polynômes cyclotomiques]]

[[Carl Friedrich Gauss]] utilise dans ses ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'', parues en [[1801 en science|1801]], les polynômes cyclotomiques. Il apporte une contribution majeure à un problème ouvert depuis l'Antiquité : celui de la [[construction à la règle et au compas]] de [[polygone]]s réguliers. Ces travaux servent de référence durant tout le siècle. Dans ce texte, Gauss détermine avec exactitude la liste des polygones constructibles, et donne une méthode effective pour leur construction jusqu'au polygone à 256 côtés. Ce problème de construction reçoit une réponse définitive en [[1837 en science|1837]] par [[Pierre-Laurent Wantzel]]<ref>Voir l'article « [[Théorème de Wantzel]] ».</ref>.

Cette approche est novatrice et, à bien des égards, préfigure l'algèbre moderne :

Un polynôme n'apparaît plus comme un objet à part entière mais comme un élément d'un ensemble structuré. Si la notion d'[[Anneau unitaire|anneau]] des polynômes n'est pas encore formalisée, sa structure [[Anneau euclidien|euclidienne]] est découverte et représente l'outil de base de l'analyse de Gauss.

La résolution effective de l'équation cyclotomique conduit Gauss à considérer une structure finie : celle des [[permutation]]s des racines. On les appelle maintenant [[période de Gauss]]. Là encore leurs propriétés algébriques permettent de trouver la solution. Cette approche préfigure l'utilisation de la [[théorie des groupes]] en algèbre et la [[théorie de Galois]].

De nouvelles structures sont par la suite définies. La division euclidienne introduit la notion de ''reste'' et leur ensemble possède des propriétés algébriques fortes. Une telle structure est maintenant considérée comme un cas particulier de [[corps fini]] si le diviseur est un [[nombre premier]]. Gauss met en évidence de tels ensembles et utilise avant l'heure le ''transport'' de structure par [[morphisme]] entre deux anneaux pour montrer le caractère irréductible des polynômes cyclotomiques. Dans le même livre, il utilise ces mêmes structures pour résoudre un autre problème que [[Leonhard Euler]] n'était parvenu à formuler qu'à la fin de sa vie : celui de la [[loi de réciprocité quadratique]].

Dès cette époque, de nombreuses applications sont proposées. L'utilisation de la géométrie ne se limite pas à la construction à la règle et au compas. Le polynôme cyclotomique d'indice quatre permet la construction d'un nouvel ensemble de [[nombre algébrique|nombres algébriques]] : celui des [[entier de Gauss|entiers de Gauss]]. Une branche mathématique naît : la [[théorie algébrique des nombres]], elle simplifie la résolution d'[[équation diophantienne|équations diophantiennes]] et permet d'en résoudre de nouvelles.

=== Polynôme cyclotomique et équation algébrique ===
[[Image:evariste galois.jpg|vignette|gauche|[[Évariste Galois]]]]
La recherche de solutions à l'[[équation polynomiale]] est un problème qui remonte aux premiers développements sur les polynômes par les mathématiciens de langue arabe. Si l'on cite généralement [[Al-Khwârizmî]] <small>([[783]] - [[850]])</small> comme précurseur<ref>Al-Khwârizmî, ''[[Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison]]''</ref> avec la résolution de six équations canoniques puis [[Jérôme Cardan]] <small>([[1501 en science|1501]] - [[1576 en science|1576]])</small> pour la résolution du cas de degré trois<ref>Girolamo Cardano, ''[[Ars Magna (Girolamo Cardano)|Ars Magna]]'', [[1545 en science|1545]].</ref> et [[Ludovico Ferrari]] <small>([[1522 en science|1522]] - [[1565 en science|1565]])</small> pour le quatrième degré, le cas général est resté longtemps mystérieux.

[[Joseph-Louis Lagrange]] <small>([[1736 en science|1736]] - [[1813 en science|1813]])</small> comprend que la résolution de ce problème général est intimement liée aux propriétés des permutations des racines<ref>Joseph-Louis Lagrange, ''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'', [[1770 en science|1770]]</ref>. Le cas particulier des polynômes cyclotomiques l'illustre. Le groupe des ''bonnes'' permutations, aujourd'hui appelé [[groupe de Galois]], est non seulement [[Loi commutative|commutatif]] mais même [[groupe cyclique|cyclique]]. Cette propriété, utilisée à travers le concept des [[Période de Gauss|périodes de Gauss]], permet une résolution effective pour ce cas particulier.

Une analyse plus profonde par [[Paolo Ruffini (mathématicien)|Paolo Ruffini]]<ref>Paolo Ruffini, ''La théorie générale des équations dans laquelle il est démontré qu'il est impossible de donner les solutions générales des équations de degré strictement supérieur à 4'', [[1799 en science|1799]].</ref> <small>([[1765 en science|1765]] - [[1822 en science|1822]])</small>, [[Niels Henrik Abel]]<ref>Niels Henrik Abel, ''Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré'', 1824.</ref> <small>([[1802 en science|1802]] - [[1829 en science|1829]])</small> et surtout par [[Évariste Galois]]<ref>Évariste Galois, « Manuscrit de Galois » dans ''[[Journal de mathématiques pures et appliquées]]'', [[1846 en science|1846]].</ref> <small>([[1811 en science|1811]] - [[1832 en science|1832]])</small> montre que l'aspect commutatif du groupe est en fait une condition suffisante. Pour être précis, la condition indique que le groupe doit être décomposable en une suite de groupes emboîtés commutatifs. La question naturelle qui se pose alors est de déterminer les extensions du corps des rationnels dont le groupe de Galois est commutatif. Ces extensions sont appelées [[extension abélienne|extensions abéliennes]]. La structure de corps associée au polynôme cyclotomique, appelée extension cyclotomique, en est un exemple. Qu'elle soit unique signifie que toute équation algébrique résoluble par radicaux se ramène d'une manière ou d'une autre à un polynôme cyclotomique. La réponse est positive : toute extension abélienne du corps des rationnels est un sous-corps d'une extension cyclotomique. La démonstration de ce résultat a demandé presque un demi-siècle d'efforts. Les artisans principaux sont [[Leopold Kronecker]] <small>([[1823 en science|1823]] - [[1891 en science|1891]])</small> et [[Heinrich Weber (mathématicien)|Heinrich Weber]]<ref>{{de}} Heinrich Weber, ''{{Lang|de|Lehrbuch der Algebra}}'', 1895.</ref> <small>([[1842 en science|1842]] - [[1913 en science|1913]])</small>.

Si l'analyse des extensions abéliennes finies se termine avec le {{s-|XIX|e}}, elle laisse ouvert un large champ de questions, par exemple en arithmétique. Il apparaît alors nécessaire de généraliser la notion de corps cyclotomique sur les extensions infinies. Le sujet est ouvert par [[David Hilbert]]<ref>David Hilbert, ''La théorie des corps de nombres algébriques'', [[1897 en science|1897]].</ref> <small>([[1862 en science|1862]] - [[1943 en science|1943]])</small>. Cet axe de recherche est appelé la [[théorie des corps de classes]]. Cette théorie est l'une des plus fructueuses au {{s-|XX}}. On peut citer par exemple le [[Loi de réciprocité d'Artin|théorème de réciprocité]] d'[[Emil Artin]]<ref>{{de}} Emil Artin, ''{{Lang|de|Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes}}'', [[1927 en science|1927]].</ref> <small>([[1898 en science|1898]] - [[1962 en science|1962]])</small> qui résout le neuvième des [[problèmes de Hilbert]] ou, plus récemment, deux lauréats de la [[médaille Fields]] pour leurs travaux sur des généralisations de la théorie : [[Vladimir Drinfeld]] en 1990 et [[Laurent Lafforgue]] en 2002.

== Définition et exemples ==
=== Définition ===

Soit ''n'' un entier strictement positif.

Le ''n''-ième '''polynôme cyclotomique usuel''', Φ<sub>''n''</sub>, est défini par<ref>{{Ouvrage|titre=Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 1|numéro d'édition=3|auteur=[[Jean-Pierre Ramis]]|auteur2=[[André Warusfel]]|et al.=oui|éditeur=[[Dunod]]|date=2018|url={{Google Livres|fWFwDwAAQBAJ|page=307}}|page=307}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|titre=Leçons d'oral pour l'agrégation de mathématiques|sous-titre=Première épreuve : les exposés|auteur=Jean-Étienne Rombaldi|éditeur=[[De Boeck Supérieur]]|date=2019|url={{Google Livres|sq-ZDwAAQBAJ|page=30}}|page=30}}.</ref>
:<math>\Phi_n(X)=\prod_{0\leq k <n,~k\land n=1}\left(X-\exp\frac{2\mathrm ik\pi}n\right)</math>,
où [[Plus grand commun diviseur|''k''∧''n'']] = 1 signifie que ''k ''et ''n ''sont [[Nombres premiers entre eux|premiers entre eux]].

C'est le cas particulier correspondant à un corps de [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] nulle de la généralisation suivante<ref>Extraite de {{Perrin1}}, {{p.|80}}.</ref>.
 
Soit ''k'' un corps dont la caractéristique ne divise pas ''n''. Le ''n''-ième '''polynôme cyclotomique sur ''k''''', Φ<sub>''n, k''</sub>, est défini par
:<math>\Phi_{n,k}(X)=\prod_{\zeta\in\mu_{n,k}^*}(X-\zeta)</math>,
où μ*<sub>''n, k''</sub> désigne l'ensemble des [[racine de l'unité|racines primitives ''n''-ièmes de l'unité]] dans un [[corps de décomposition]] de ''X<sup>n</sup>'' – 1 sur ''k''.

On remarque immédiatement que :
* ce polynôme est [[Polynôme unitaire|unitaire]],
* ses racines sont simples,
* son degré vaut φ(''n''), où φ désigne la fonction [[indicatrice d'Euler]],
* il est égal à Φ<sub>''n, k''<sub>0</sub></sub> si ''k''<sub>0</sub> est le sous-corps premier de ''k''.

Quelques propriétés plus secondaires découlent aussi directement de la définition :
* pour ''n'' > 1, Φ<sub>''n''</sub> est un [[polynôme réciproque]], c'est-à-dire que dans la suite de ses coefficients, le premier est égal au dernier, le deuxième à l'avant-dernier, etc. ;
* si ''p'' est un nombre premier ne divisant pas ''n'' alors Φ<sub>''pn''</sub>(''X'') = Φ<sub>''n''</sub>(''X<sup>p</sup>'')/Φ<sub>''n''</sub>(''X'') — par exemple <math>\Phi_p(X)=\frac{X^p-1}{X-1}=X^{p-1}+X^{p-2}+\dots+X^2+X+1</math> ;
* si ''q'' est le [[Radical d'un entier|radical]] de ''n'' — par exemple si ''n'' est une [[Nombre primaire|puissance d'un nombre premier]] ''q'' — alors Φ<sub>''n''</sub>(''X'') = Φ<sub>''q''</sub>(''X<sup>n/q</sup>'') ;
* Φ<sub>2''n''</sub>(''X'') est égal à Φ<sub>''n''</sub>(–''X'') si ''n'' est impair, et à Φ<sub>''n''</sub>(''X''<sup>2</sup>) si ''n'' est pair.

Dans la suite de l'article, on démontrera les propriétés plus importantes suivantes :
* les polynômes cyclotomiques ''usuels'' Φ<sub>''n''</sub> sont à coefficients [[entier relatif|entiers]], et [[Polynôme irréductible|irréductibles]] sur [[Nombre rationnel|ℚ]].
* Φ<sub>''n, k''</sub>(''X'') est l'image de Φ<sub>''n''</sub>(''X'') par le morphisme canonique ℤ[''X''] → ''k''[''X''] ;
La seconde propriété fait que le polynôme cyclotomique sur ''k'', Φ<sub>''n, k''</sub>, est souvent noté simplement Φ<sub>''n''</sub>.

On appelle '''corps cyclotomique''', ou [[extension cyclotomique]] de ℚ, tout [[corps de rupture]] (qui sera aussi le [[corps de décomposition]]) d'un polynôme cyclotomique usuel Φ<sub>''n''</sub>.

=== Premiers polynômes cyclotomiques ===
Les six premiers polynômes cyclotomiques sont :
: <math>\Phi_1(X) = X - 1\,</math>
: <math>\Phi_2(X) = X + 1\,</math>
: <math>\Phi_3(X) = X^2 + X + 1\,</math>
: <math>\Phi_4(X)=\Phi_2(X^2)=X^2 + 1\,</math>
: <math>\Phi_5(X) = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\,</math>
: <math>\Phi_6(X)=\Phi_3(-X)=X^2 - X + 1.</math>

Migotti a démontré que si ''n'' n'a qu'un ou deux facteurs premiers impairs alors tous les coefficients de Φ<sub>''n''</sub> sont égaux à 0, –1 ou 1<ref>{{Ouvrage | langue=en | auteur1={{Lien|Martin Isaacs}} | titre=Algebra | sous-titre=A Graduate Course | lieu=Providence | éditeur=AMS Bookstore | année=2009 | pages totales=516 | passage=310 | isbn=978-0-8218-4799-2 | lire en ligne=https://books.google.com/books?id=5tKq0kbHuc4C&printsec=frontcover}}.</ref>. Le plus petit ''n'' ayant trois facteurs premiers impairs est ''n'' = 3 × 5 × 7 = 105 et Φ<sub>105</sub> a deux coefficients égaux à –2 :
:<math>\begin{align}\Phi_{105}(X)=&\quad X^{48}+X^{47}+X^{46}-X^{43}-X^{42}-2X^{41}-X^{40}-X^{39}+X^{36}+X^{35}+X^{34}\\&+X^{33}+X^{32}+X^{31}-X^{28}-X^{26}-X^{24}-X^{22}-X^{20}+X^{17}+X^{16}+X^{15}\\&+X^{14}+X^{13}+X^{12}-X^9-X^8-2 X^7-X^6-X^5+X^2+X+1~.\end{align}</math>
Mais la réciproque est fausse : par exemple Φ<sub>651</sub> = Φ<sub>3 × 7 × 31</sub> n'a que des coefficients égaux à 0, –1 ou 1.

Pour tout entier naturel ''m'', il existe un entier ''n'' tel que ''m'' ou –''m'' soit l'un des coefficients de Φ<sub>''n''</sub>, et le plus petit tel ''n'' est donné, en fonction de ''m'', par la {{OEIS|id=A013594}}.

== Propriétés remarquables ==
=== Formule multiplicative et conséquences ===
En supposant toujours que la caractéristique de ''k'' ne divise pas ''n'', et en groupant les ''n'' racines ''n''-ièmes de l'unité (dans la [[clôture algébrique]] de ''k'') suivant leurs ordres, on obtient l'équation suivante, où le produit porte sur l'ensemble des entiers positifs qui divisent ''n'' :
<center><math>(1)\qquad X^n-1= \prod_{d|n} \Phi_{d,k}(X)~.</math></center>
[[Image:Polynôme cyclotomique d'ordre 6.jpg|vignette|droite|Les six racines sixièmes de l'unité]]
La figure de droite illustre cette décomposition. Le groupe des six racines sixièmes de l'unité est constitué d'une racine d'ordre 1, une d'ordre 2, deux d'ordre 3, et deux d'ordre 6, qui sont respectivement racines de Φ<sub>1</sub>, Φ<sub>2</sub> (de degré 1) et Φ<sub>3</sub>, Φ<sub>6</sub> (de degré 2).

''Remarque 1 :'' l'identité sur les degrés dans (1) fournit immédiatement :
<center><math>n=\sum_{d|n} \varphi(d),</math></center>
où <math>\varphi</math> est la fonction [[indicatrice d'Euler]]. Cette identité peut aussi s'obtenir par un dénombrement direct des éléments d'un [[groupe cyclique]] d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] ''n''.

''Remarque 2 :'' l'égalité (1) fournit également, par la [[formule d'inversion de Möbius]], une expression des polynômes cyclotomiques usuels, à l'aide de la [[fonction de Möbius]] μ :
<center><math>(2)\qquad\Phi_n(X) = \prod_{d|n}(X^d - 1)^{\mu(n/d)}.</math></center>

''Remarque 3 :'' on déduit de (2) que Φ{{ind|''n''}}(''x'') > 0 pour tout [[Nombre réel|réel]] ''x'' > 1, et que si ''n'' est premier, alors :
<center><math>\Phi_n(X)=\frac{X^n-1}{X-1}=\sum_{\ell=0}^{n-1} X^\ell.</math></center>

Mais l'égalité (1) permet surtout de démontrer, par [[Raisonnement par récurrence#Récurrence bien fondée|récurrence bien fondée]] sur ''n'', que les Φ<sub>''n, k''</sub> sont à coefficients dans le sous-anneau ''A'' de ''k'' engendré par 1 ({{c.-à-d.}} à coefficients entiers si ''k'' est de caractéristique nulle, et à coefficients dans '''F'''''<sub>p</sub>'' si ''k'' est de caractéristique ''p''). En effet, si les Φ<sub>''d, k''</sub>(''X'') appartiennent à ''A''[''X''] pour tous les diviseurs stricts ''d'' de ''n'' alors
:<math>\Phi_{n,k}(X)=\frac{X^n-1}{\displaystyle{\prod_{d|n,~d\ne n}\Phi_{d,k}(X)}}\in A[X],</math>
[[Division d'un polynôme#Palliatifs|puisque le dénominateur]] est un [[polynôme unitaire]].
Le résultat principal est donc :
* Les polynômes cyclotomiques usuels sont à coefficients entiers.
Alternativement, il peut se déduire de l'égalité (2). Le résultat pour les polynômes cyclotomiques « généralisés » a été démontré par la même occasion, mais s'en déduit aussi par la propriété suivante, qui se démontre selon le même schéma de récurrence :
* Les polynômes cyclotomiques sur ''k'' sont les images des polynômes cyclotomiques usuels par le morphisme canonique ℤ[''X''] → ''k''[''X''].

Ceci permet d'étendre l'égalité (2) aux polynômes cyclotomiques sur ''k''.

=== Cas du corps des nombres rationnels ===

* Tout polynôme cyclotomique usuel est [[polynôme irréductible|irréductible]] sur [[Nombre rationnel|ℚ]].
Autrement dit : si ζ est une racine primitive ''n''-ième de 1 dans [[nombre complexe|ℂ]], le degré [ℚ(ζ):ℚ] de l'[[extension algébrique|extension]] ℚ(ζ)/ℚ est exactement φ(''n'')<ref>{{Lang1}} et {{Harvsp|Perrin}} donnent ces deux formulations équivalentes et en fournissent essentiellement la même démonstration que celle présentée ici.</ref>.

Ces polynômes étant unitaires et à coefficients entiers, ils sont donc également irréductibles sur ℤ. L'anneau des [[Entier algébrique|entiers]] de ℚ(ζ) est égal à ℤ[ζ].
C'est cet anneau, en général non principal, qui est associé à de nombreux problèmes de [[théorie des nombres]], comme les versions historiques du théorème de Fermat (voir le [[#Extension cyclotomique|§ Extension cyclotomique]] et son article détaillé).

{{Démonstration|contenu=
Soit ζ une racine primitive ''n''-ième de 1 dans ℂ, il s'agit de prouver que pour toute racine primitive ''n''-ième ζ' de 1, le polynôme minimal de ζ' sur ℚ coïncide avec celui de ζ. Comme ζ' est de la forme ζ<sup>''m''</sup> avec ''m'' produit de nombres premiers ne divisant pas ''n'', on peut, de proche en proche, se ramener au cas où ζ' = ζ<sup>''p''</sup> avec ''p'' premier ne divisant pas ''n''.

Notons alors ''f''(''X'') et ''g''(''X'') les polynômes minimaux respectifs sur ℚ de ζ et de ζ' = ζ<sup>''p''</sup>, et montrons [[Raisonnement par l'absurde|par l'absurde]] qu'ils sont égaux. Sinon, ils seraient deux facteurs irréductibles distincts de Φ<sub>''n''</sub>, donc il existerait un polynôme ''h'' tel que
:<math>\Phi_n(X)=f(X)g(X)h(X)~,</math>
les polynômes unitaires ''f, g, h'' étant à coefficients entiers (par le [[Lemme de Gauss (polynômes)|lemme de Gauss]]).

Par ailleurs, 0 = ''g''( ζ' ) = ''g''( ζ<sup>''p''</sup> ). On en déduit l'existence d'un polynôme unitaire ''k'' (lui aussi à coefficients entiers) tel que :
:<math>g(X^p)=f(X)k(X)~.</math>

En prenant les images canoniques de tous ces polynômes dans '''F'''''<sub>p</sub>''[''X''] on aurait donc :
:<math>\overline f(X)\overline g(X)~\text{divise}~\Phi_{n,F_p}\qquad\text{et}\qquad\overline f(X)~\text{divise}~\overline g(X^p)=(\overline g(X))^p~,</math>
cette dernière égalité résultant de la [[Formule du binôme de Newton|formule du binôme]] et du [[petit théorème de Fermat]].

Tout facteur irréductible de <math>\overline f(X)</math> diviserait alors <math>(\overline g(X))^p</math> donc aussi <math>\overline g(X)</math>, si bien que son carré diviserait Φ<sub>''n'','''F'''''<sub>p</sub>''</sub>, ce qui est absurde puisque ce polynôme est à racines simples (dans un [[corps de décomposition]]). Cette contradiction termine la démonstration.
}}

=== Cas de la caractéristique non nulle ===
{{Loupe|Corps fini}}
En caractéristique ''p'' (un nombre premier), les polynômes cyclotomiques ne sont pas nécessairement irréductibles sur le sous-corps premier '''F'''''<sub>p</sub>''. Par exemple :
:<math>\Phi_{7,F_2}(X)=(X^3+X^2+1)(X^3+X+1)~.</math>
D'autres exemples sont donnés dans le paragraphe [[Corps fini#Polynômes irréductibles|Polynôme irréductible]] de l'article sur les [[corps fini]]s.

Nous allons préciser le nombre et le degré des facteurs irréductibles de Φ<sub>''n'', '''F'''<sub>''p''</sub></sub>.

Soient ''P'' un facteur irréductible de Φ<sub>''n'', '''F'''<sub>''p''</sub></sub> et ''d'' son degré. L'[[extension algébrique|extension]] '''F'''''<sub>p</sub>''[''X'']/(''P''(''X'')) est un corps de cardinal ''q'' = ''p<sup>d</sup>'', donc est isomorphe au corps fini '''F'''''<sub>q</sub>''. Or tout corps fini de caractéristique ''p'' est de cardinal une puissance ''q{{'}}'' de ''p'', et est le [[corps de décomposition]] du polynôme ''X<sup>q{{'}} – 1</sup>'' – 1. Par conséquent, '''F'''''<sub>q</sub>'' étant la plus petite [[extension de corps]] de '''F'''''<sub>p</sub>'' contenant une racine primitive ''n''-ième de l'unité, ''d'' est le plus petit entier tel que ''n'' divise ''p<sup>d</sup>'' – 1. On retrouve ainsi — cf. [[Théorème d'Euler (arithmétique)|théorème d'Euler]] — que cet entier ''d'' divise φ(''n''), mais surtout, on vient de montrer que<ref>Une manière plus savante de démontrer ce résultat est d'étudier l'[[Action de groupe (mathématiques)|action]] sur l'[[extension galoisienne]] '''F'''''<sub>q</sub>'' (par [[automorphisme]]s) du [[groupe de Galois]], engendré par l'[[automorphisme de Frobenius]].</ref> :

* En notant ''d'' l'[[ordre multiplicatif]] de ''p'' [[arithmétique modulaire|modulo ''n'']], Φ<sub>''n'', '''F'''''<sub>p</sub>''</sub> est le produit de φ(''n'')/''d'' facteurs irréductibles de degré ''d''.

En particulier, Φ<sub>''n'', '''F'''''<sub>p</sub>''</sub> est irréductible si et seulement si ''p'' engendre le [[Anneau ℤ/nℤ#Groupe des unités|groupe des unités de l'anneau ℤ/''n''ℤ]]. Une condition nécessaire (mais pas suffisante) pour cela est donc que ce groupe soit [[groupe cyclique|cyclique]], c'est-à-dire<ref>{{Harvsp|Perrin|p=84}}.</ref> que ''n'' = 4, ou une puissance d'un premier impair, ou le double d'une telle puissance. Par exemple pour ''n'' = 8, ce groupe n'est pas cyclique, donc Φ<sub>8</sub> est réductible sur tous les '''F'''''<sub>p</sub>''. À l'inverse, lorsque ce groupe est cyclique, il existe (d'après le [[théorème de la progression arithmétique]]) une infinité de nombres premiers ''p'' pour lesquels Φ<sub>''n'', '''F'''''<sub>p</sub>''</sub> est irréductible (ce qui, pour ces ''n'', fournit autant de preuves alternatives de l'irréductibilité sur ℤ du polynôme cyclotomique usuel Φ<sub>''n''</sub>).

== Extension cyclotomique ==
{{loupe|Extension cyclotomique}}

Une extension cyclotomique (sur ℚ) est par définition un [[corps de rupture]] d'un polynôme cyclotomique usuel Φ<sub>''n''</sub>, c’est-à-dire le plus petit corps contenant une racine primitive ''n''-ième de l'unité. C'est une [[extension de Galois]] [[Extension abélienne|abélienne]]. D'après le [[théorème de Gauss-Wantzel]], elle se décompose en une [[tour d'extensions quadratiques]] si et seulement si ''n'' est le produit d'une [[Puissance de deux|puissance de 2]] par un nombre fini de [[Nombre de Fermat|nombres premiers de Fermat]] distincts. Or d'après le [[théorème de Wantzel]], cette propriété de réductibilité à une succession d'[[Extension quadratique|extensions quadratiques]] équivaut à la [[nombre constructible|constructibilité]] d'une racine primitive ''n''-ième de l'unité, c'est-à-dire à la possibilité d'une [[construction à la règle et au compas]] du [[polygone régulier]] à ''n'' sommets.

== Théorème de Wedderburn ==
{{Article détaillé|Théorème de Wedderburn}}
[[Image:Wederburn schema 2.jpg|vignette|droite]]
Le [[théorème de Wedderburn]] affirme que tout corps fini '''K''' est nécessairement commutatif. La démonstration de [[Ernst Witt]] est relativement curieuse. Tout d'abord le polynôme cyclotomique utilisé est celui de la caractéristique zéro et non celui du corps. Ensuite, son rôle est celui d'un [[dénombrement]]. Les cardinaux des classes par l'[[action par conjugaison]] sont sommés pour obtenir le cardinal du groupe multiplicatif du corps. Cette égalité s'exprime par une équation de la forme ''q'' – 1 = Φ<sub>''d''</sub>(''q'') ''Q''(''q''), où ''q'' est le cardinal (au moins égal à 2) du [[Centre (algèbre)|centre]] du corps ''K'', le cardinal de ''K'' étant ''q<sup>d</sup>'' ; ''Q''(''X'') est un polynôme à coefficients entiers, ce qui implique que ''Q''(''q'') est une valeur entière, si bien que
<center><math>|\Phi_d(q)|\le q-1.</math></center>
La fin de la démonstration quitte le dénombrement pour devenir géométrique. Pour tout ''n'' > 1, toute racine primitive ''n''-ième de l'unité ''u'' vérifie la minoration {{nobr| {{!}}''q – u''{{!}} > ''q'' – 1}} (illustrée par la figure de droite), qui permet de prouver que
<center><math>\forall n>1,\quad |\Phi_n(q)|>q-1.</math></center>
On en déduit ''d'' = 1, si bien que ''K'' coïncide avec son centre.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Cyclotomic polynomial|401521954|type=note}}
{{Références|colonnes=2}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Factorisation aurifeuillienne]]
* [[Théorème de Zsigmondy]]

=== Liens externes ===
* [http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/Cyclotomiques.pdf Sur l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques] par Daniel Ferrand, [[université de Rennes 1]], {{date-|janvier 2007}}, cours de préparation à l'[[agrégation de mathématiques]]
* [http://tanopah.jo.free.fr/epilogues/cyclo.pdf L'incroyable histoire des polynômes cyclotomiques] (niveau {{3e|année}} de [[Licence (France)|licence]]) sur le site tanopah.jo.free.fr
=== Bibliographie ===
* Jean-Pierre Escofier, ''Théorie de Galois. Cours avec exercices corrigés'', Masson, 1997
* {{Samuel1}}

{{Palette|Théorie de Galois}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Polynôme remarquable|Cyclotomique]]
[[Catégorie:Théorie de Galois]]
[[Catégorie:Corps cyclotomiques]]
[[Catégorie:Équation polynomiale]]
[[Catégorie:Carl Friedrich Gauss]]