Voir la source de Polynôme de Koornwinder

En mathématiques, '''les polynômes de Macdonald-Koornwinder''' (également appelés '''polynômes de Koornwinder''') sont une famille de [[Suite de polynômes orthogonaux|polynômes orthogonaux]] à plusieurs variables, introduite par [[Tom Koornwinder]] (et [[Ian G. Macdonald]] en 1987 pour des cas particuliers importants), qui généralisent les [[Polynôme d'Askey-Wilson|polynômes d'Askey–Wilson]]. Ce sont les polynômes de Macdonald attachés au système racinaire affine non réduit de type (''C''{{su|b=''n''|p=&or;}}, ''C''<sub>''n''</sub>), et en particulier, d'après {{Référence Harvard sans parenthèses|van Diejen|1996}} et {{Référence Harvard sans parenthèses|Sahi|1999}}, ils satisfont à des analogues des conjectures de Macdonald {{Référence Harvard|Macdonald|2003|loc=Chapter 5.3}}. De plus, [[Jan Felipe van Diejen]] a montré que les polynômes de Macdonald associés à tout système de racines classique peuvent être exprimés comme des limites ou des cas particuliers de polynômes de Macdonald-Koornwinder et il a explicité des ensembles complets d'opérateurs aux différences commutant deux à deux qu'ils diagonalisent {{Référence Harvard|van Diejen|1995}}. De plus, il existe une grande classe de familles intéressantes de polynômes orthogonaux à plusieurs variables associés à des systèmes de racines classiques qui sont des cas dégénérés des polynômes de Macdonald-Koornwinder {{Référence Harvard|van Diejen|1999}}. Les polynômes de Macdonald-Koornwinder ont également été étudiés à l'aide d'[[Algèbre affine de Hecke|algèbres de Hecke affines]] ({{Référence Harvard sans parenthèses|Noumi|1995}}, {{Référence Harvard sans parenthèses|Sahi|1999}}, {{Référence Harvard sans parenthèses|Macdonald|2003}}).

Le polynôme de Macdonald-Koornwinder à ''n'' variables associé à la partition λ est l'unique [[polynôme de Laurent]] invariant par permutation et inversion des variables, de '''monôme dominant''' ''x''<sup>λ</sup>, et orthogonal par rapport à la densité

: <math> \prod_{1\le i<j\le n} \frac{(x_i x_j,x_i/x_j,x_j/x_i,1/x_ix_j;q)_\infty}{(t x_ix_j,t x_i/x_j,t x_j/x_i,t/x_ix_j;q)_\infty}
\prod_{1\le i\le n} \frac{(x_i^2,1/x_i^2;q)_\infty}{(a x_i,a/x_i,b x_i,b/x_i,c x_i,c/x_i,d x_i,d/x_i;q)_\infty}
</math>

sur le tore unité d'équations

: <math> |x_1|=|x_2|=\cdots|x_n|=1</math>,

où les paramètres satisfont aux contraintes

: <math>|a|,|b|,|c|,|d|,|q|,|t|<1, </math>

et où (''x'' ; ''q'')<sub>∞</sub> désigne le [[q-symbole de Pochhammer]] infini. Ici dire que ''x''<sup>λ</sup> est le monôme dominant signifie que μ≤λ pour tous les termes ''x''<sup>μ</sup> ayant un coefficient non nul, où μ≤λ si et seulement si μ<sub>1</sub> ≤λ<sub>1</sub>, μ<sub>1</sub> +μ<sub>2</sub> ≤ λ<sub>1</sub> +λ<sub>2</sub>,…, μ<sub>1</sub> +…+µ<sub>''n''</sub> ≤ λ<sub>1</sub> +…+λ<sub>''n''</sub>. Sous les contraintes supplémentaires que ''q'' et ''t'' sont réels et que ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' sont réels ou, s'ils sont complexes, apparaissent par paires de complexes conjugués, la densité donnée est positive.

Pour quelques notes de cours sur les polynômes de Macdonald-Koornwinder du point de vue des algèbres de Hecke, voir par exemple {{Référence Harvard|Stokman|2004}}.

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Koornwinder polynomials|1105058078}}
* {{Article | nom1=van Diejen | prénom1=Jan F. | titre=Commuting difference operators with polynomial eigenfunctions | périodique=[[Compositio Mathematica]] | volume=95 | année=1995 | pages=183–233 |mr=1313873   | arxiv=funct-an/9306002 }}
* {{Article  | nom1=van Diejen | prénom1=Jan F. | titre=Self-dual Koornwinder-Macdonald polynomials | périodique=[[Inventiones Mathematicae]] | volume=126 | année=1996 | numéro=2 | pages=319-339 | doi=10.1007/s002220050102 | arxiv=q-alg/9507033 | bibcode=1996InMat.126..319V |mr=1411136   | s2cid=17405644 }}
* {{Article  | nom1=van Diejen | prénom1=Jan F. | titre=Properties of some families of hypergeometric orthogonal polynomials in several variables | périodique=Trans. Amer. Math. Soc.| volume=351 | année=1999 | pages=233-270 | doi=10.1090/S0002-9947-99-02000-0 |mr=1433128   | s2cid=16214156 }}
* {{Chapitre | nom1=Koornwinder | prénom1=Tom H. |lien auteur1=Tom Koornwinder | titre=Askey-Wilson polynomials for root systems of type BC | éditeur=American Mathematical Society| collection=Contemporary Mathematics| titre ouvrage=Hypergeometric Functions on Domains of Positivity, Jack Polynomials, and Applications | auteur ouvrage=Donald St. P. Richards (dir.) | volume=138 | année=1992 | passage=189-204 | pages=259| doi=10.1090/conm/138/1199128 |mr=1199128| s2cid=14028685 | isbn=978-0-8218-5159-3}}
* {{Ouvrage  | auteur1=[[Ian G. Macdonald]]| titre= Affine Hecke algebras and orthogonal polynomials | lieu= Cambridge | collection= Cambridge Tracts in Mathematics | volume=157 | éditeur=Cambridge University Press | année=2003 | pages totales=x+175 | isbn=978-0-521-82472-9|mr=1976581}}
* {{Chapitre | nom1=Noumi | prénom1=Masatoshi | titre = Macdonald-Koornwinder polynomials and affine Hecke rings| titre ouvrage=Various Aspects of Hypergeometric Functions 
| collection=Surikaisekikenkyusho Kokyuroku | volume=919 | année=1995 | passage=44–55|mr=1388325}}
* {{Article | nom1=Sahi | prénom1=Siddhartha | titre=Nonsymmetric Koornwinder polynomials and duality | périodique=Annals of Mathematics |série=Second Series| volume=150 | année=1999 | numéro=1 | pages=267–282 | doi=10.2307/121102 | jstor=121102 | arxiv=q-alg/9710032 |mr=1715325   | s2cid=8958999 }}
* {{Chapitre | nom1=Stokman | prénom1=Jasper V. | titre ouvrage=Laredo Lectures on Orthogonal Polynomials and Special Functions | éditeur=Nova Science Publishers | lieu=Hauppauge, NY | collection=Adv. Theory Spec. Funct. Orthogonal Polynomials |mr=2085855 | année=2004 | titre=Lecture notes on Koornwinder polynomials | passage=145-207 | pages totales=207|isbn=1-59454-009-8}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Polynômes orthogonaux]]