Voir la source de Polynôme de Legendre

{{Confusion|Polynôme associé de Legendre}}
[[Fichier:Legendre poly.svg|thumb|upright=1.5|Polynômes de Legendre]]

En [[mathématiques]] et en [[physique théorique]], les '''polynômes de [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]]''' constituent l'exemple le plus simple d'une [[suite de polynômes orthogonaux]]. Ce sont des solutions polynomiales <math> P_n (x) </math>, sur le segment <math> [-1, 1] </math>, de l'[[équation différentielle]] de [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] :
:<math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\frac\mathrm d{\mathrm dx}P_n(x)\right]+n(n+1)\,P_n(x)=0</math>,
dans le cas particulier où le paramètre {{mvar|n}} est un [[entier naturel]].

De façon équivalente, les polynômes de Legendre sont les [[fonction propre|fonctions propres]] de l'[[Endomorphisme linéaire|endomorphisme]] de [[Polynôme formel|<math> \mathbb{R}[X]</math>]] défini par :
:<math>P\mapsto u(P)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\frac{\mathrm dP}{\mathrm d x}\right]</math>,
pour les [[valeur propre|valeurs propres]] <math>-n(n+1),\ n\in\mathbb{N}</math>.

Ces polynômes orthogonaux ont de nombreuses applications tant en mathématiques, par exemple pour la décomposition d'une fonction en série de polynômes de Legendre, qu'en calcul numérique des intégrales notamment dans les méthodes de quadrature de Gauss, qu'en physique, où l'équation de Legendre apparaît naturellement lors de la résolution des équations [[équation de Laplace|de Laplace]] ou [[équation de Helmholtz|de Helmholtz]] en [[coordonnées sphériques]].

== Définitions et propriétés générales ==
=== Définition en tant que solution de l'équation de Legendre ===
On appelle équation de Legendre l'[[équation différentielle linéaire d'ordre deux#Équation à coefficients non constants|équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2]]<ref>L'étude ci-dessous de cette équation constitue — aux notations près, le {{mvar|α}} de cette source désignant notre {{math|''α''(α + 1)}} — le problème 9.3 de {{Ouvrage|titre=Exercices et problèmes de mathématiques pour l'ingénieur|sous-titre=Rappels de cours, corrigés détaillés, méthodes|auteur=Yves Leroyer|auteur2=Patrice Tesson|éditeur=[[Dunod]]|date=2009|url={{Google Livres|v0Y5y8gfl1MC}}}} (énoncé p. [https://books.google.fr/books?id=v0Y5y8gfl1MC&pg=PA225 225] et corrigé p. [https://books.google.fr/books?id=v0Y5y8gfl1MC&pg=PA233 233], [https://books.google.fr/books?id=v0Y5y8gfl1MC&pg=PA234 234] et 235).</ref> :
:<math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right]+\alpha(\alpha+1)\,y=0</math>,
avec en général <math>\alpha \in \mathbb{R}</math><ref group=note>Alors, [[sans perte de généralité]], <math>\alpha\ge-1/2</math>, puisque <math>\alpha(\alpha+1)=\beta(\beta+1)</math> pour <math>\beta=-\alpha-1</math>.</ref>. On trouve les solutions non nulles de cette équation sous forme de [[série entière|séries entières]] en utilisant la [[méthode de Frobenius]]. D'après le [[Méthode de Frobenius#Forme générale des solutions - Théorème de Fuchs|théorème de Fuchs]], puisque les seuls points singuliers de cette équation sont {{math|1}} et {{math|–1}}<ref group=note>En effet, l'équation différentielle se met sous la forme <math>y''+p(x)\,y'+q(x)\,y=0</math>, avec <math>p(x)=\frac{-2x}{1-x^2}</math> et <math>q(x)=\frac{\alpha(\alpha+1)}{1-x^2}</math>.</ref>, le [[rayon de convergence]] d'une telle série vaut au moins {{math|1}}. Si {{mvar|α}} n'est pas entier, ce rayon est exactement égal à {{math|1}} car la série ne peut pas converger à la fois en {{math|1}} et en {{math|–1}}<ref group=note>En effet, [[Méthode de Frobenius#Exposé de la méthode|les coefficients <math>a_n</math> d'une telle série entière vérifient]] la [[relation de récurrence]] <math>a_{n+2}=\frac{n(n+1)-\alpha(\alpha+1)}{(n+1)(n+2)}a_n</math>, or <math>\frac{n(n+1)-\alpha(\alpha+1)}{(n+1)(n+2)}=1-\frac2n+O\left(\frac1{n^2}\right)</math> donc d'après le [https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Gauss_criterion critère de Gauss] ([[Corollaire (mathématiques)|corollaire]] de [[Règle de Raabe-Duhamel#Règle de Kummer|celui de Kummer]]), chacune des deux sommes <math>A=\sum_{k\in\N}a_{2k}</math> et <math>B=\sum_{k\in\N}a_{2k+1}</math> est infinie sauf si son premier terme est nul (auquel cas tous ses termes sont nuls), si bien que <math>A</math> ou <math>B</math> est infinie (puisqu'on a exclu la solution nulle).</ref>.

En revanche<ref group=note>D'après la relation de récurrence précédente.</ref>, si {{mvar|α}} est un entier naturel, une (et une seule) de ces séries entières converge sur {{math|[–1, 1]}} et vaut {{math|1}} au point {{math|1}} (cette solution est alors polynomiale, de degré {{mvar|α}} et de même [[Parité d'une fonction|parité]] que cet entier).

On peut donc définir le polynôme de Legendre {{mvar|P{{ind|n}}}} (pour tout entier naturel {{mvar|n}}) comme l'unique solution définie en {{math|1}} et {{math|–1}} du [[problème de Cauchy]]<ref>{{Lien web|titre=Equation de Legendre|url=https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./l/legendreeq.html|site=bibmath.net|consulté le=2022-08-15}}.</ref> :
:<math>\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left[(1-x^2)\frac{\textrm{d}P_n(x)}{\textrm{d}x}\right]+n(n+1)\,P_n(x)=0,\qquad P_n(1)=1.</math>

=== Définition en tant que fonctions propres d'un endomorphisme ===
De façon plus abstraite, il est possible de définir les polynômes de Legendre {{mvar|P{{ind|n}}}} comme les [[fonction propre|fonctions propres]] pour les [[valeur propre (synthèse)|valeurs propres]] {{math|–''n''(''n''+ 1)}}, avec {{mvar|n}} entier, de l'[[endomorphisme]] défini sur <math>\R[X]</math>:

:<math>P \in \R[X] \mapsto u(P)= \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left[(1-x^{2})\frac{\textrm{d}P}{\textrm{d}x}\right]</math>.

Cette définition plus abstraite est intéressante notamment pour démontrer les propriétés d'orthogonalité des polynômes de Legendre {{infra|Orthogonalité}}.

=== Fonction génératrice ===

On peut aussi définir cette suite de polynômes par sa [[série génératrice]] :
:<math>\frac{1}\sqrt{1-2xz+z^2}=\sum_{n=0}^\infty P_n(x)\,z^n</math>.
Cette expression intervient notamment en physique, par exemple dans le développement à grande distance du potentiel électrostatique ou gravitationnel ([[développement multipolaire]]).

Si l'on considère qu'en général {{mvar|z}} est complexe, le calcul des coefficients de la [[série de Laurent]] donne alors :
:<math>P_{n}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint(1-2xz+z^2)^{-1/2}\,z^{-n-1}\,\mathrm dz</math>
où le contour entoure l'origine et est pris dans le sens trigonométrique.

Il est possible de définir les polynômes de Legendre par cette fonction génératrice, comme les coefficients de l'expansion.

== Autres définitions ==
=== Formule de récurrence de [[Pierre-Ossian Bonnet|Bonnet]] ===
Cette formule permet rapidement d'obtenir l'expression du polynôme de Legendre d'ordre {{math|(''n'' + 1)}} à partir de ceux d'ordres {{mvar|n}} et {{math|(''n'' – 1)}}.  

Pour tout entier {{math|''n'' ≥ 1}} :

:<math>(n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)\,x\,P_n(x)-n\,P_{n-1}(x)</math>
avec {{math|''P''{{ind|0}}(''x'') {{=}} 1}} et {{math|''P''{{ind|1}}(''x'') {{=}} ''x''}}. Elle se démontre facilement à partir de la fonction génératrice.
{{Démonstration|En dérivant par rapport à la variable {{mvar|t}} la définition des polynômes de Legendre à partir de la fonction génératrice, il vient après réarrangement :
:<math>\frac{x-t}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = (1-2xt+t^2) \sum_{n=1}^\infty n P_n(x) t^{n-1}.</math>.
En utilisant à nouveau <math>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n</math>, il vient
:<math>\sum_{n=0}^\infty xP_n(x) t^n-\sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^{n+1}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)P_{n+1}(x) t^n-2\sum_{n=0}^\infty (n+1)x P_{n+1}(x) t^{n+1}+\sum_{n=0}^\infty (n+1)P_{n+1}(x) t^{n+2}.</math>

En identifiant alors les coefficients des termes de même puissance de {{mvar|t}}, il vient alors :
* pour {{math|''n'' {{=}} 0}},  <math>xP_0(x)=P_1(x)</math>, soit en prenant pour condition de normalisation <math>P_0(x) = 1, \forall x \in [-1,1]</math>, il vient {{math|''P''{{ind|1}}(''x'') {{=}} ''x''}} ;
* pour {{math|''n'' {{=}} 1}},  <math>3xP_1(x)-P_0(x)=2P_2(x)</math>, soit avec la même condition de normalisation que précédemment <math>P_2(x)=\frac{3x^2-1}{2}</math>;
* de façon générale pour {{math|''n'' ≥ 1}},   <math> (2n+1)xP_n(x)=(n+1)P_{n+1}(x)+nP_{n-1}(x)</math>, ce qui redonne bien la formule de récurrence précédente.}}

=== Une autre formule de récurrence ===
Cette formule permet d'obtenir l'expression du polynôme de Legendre d'ordre {{math|''(n+1)'' }}
à partir de celui  d'ordre {{mvar|n}}.

Pour tout entier {{math|''n''}} , on a :

<math> P_{n+1}(x)= (x^2-1)\frac{P'_n(x)}{n+1}+xP_n(x) </math>

{{Démonstration|
Les deux membres possédant le même coefficient dominant, leur différence
est de degré n et par conséquent

<math> P_{n+1}(x)= (x^2-1)\frac{P'_n(x)}{n+1}+xP_n(x)
+\sum_0^n\alpha_kP_k(x)</math>

En utilisant l'orthogonalité et en faisant le produit scalaire par <math>
P_k</math> pour <math>k\leq n</math> on obtient

<math> 0=\frac1{n+1}\langle(x^2-1)P'_n|P_k\rangle + \langle
xP_n|P_k\rangle +\alpha_k\|P_k\|^2</math>

\`A l'aide d'une intégration par partie, on trouve

<math>  \langle(x^2-1)P'_n|P_k\rangle=
\int_{-1}^{1}(x^2-1)P'_n(x)P_k(x)\,dx=-2\langle xP_k|P_n\rangle
-\langle(x^2-1)P'_k|P_n\rangle </math>

et par conséquent compte tenu de l'orthogonalité pour <math>k\leq n-2
</math> on obtient <math>\alpha_k=0 </math>.

<math> P_{n+1}(x)= (x^2-1)\frac{P'_n(x)}{n+1}+xP_n(x)
+\alpha_nP_n(x)+\alpha _{n-1}P_{n-1}(x).</math>

Sur ces 5 termes, seul <math> \alpha_nP_n(x) </math> est de la parité de
n, tous les autres termes sont de même parité opposée. De là <math>
\alpha_n=0</math>.  Prenant la valeur en 1 et utilisant <math>
P_n(1)=1</math> pour tout  {{math|''n''}} , on trouve <math>\alpha_n=0</math> ce qui prouve la
relation.
}}     

=== Orthogonalité ===
Les polynômes de Legendre sont aussi caractérisés — à normalisation près par la condition {{math|''P{{ind|n}}''(1) {{=}} 1}} — par le fait que {{mvar|P{{ind|n}}}} est de degré {{mvar|n}} et pour tous entiers distincts {{math|''m'', ''n''}},
:<math>\int_{-1}^1P_m(x) P_n(x)\,\mathrm dx =0</math>.

Autrement dit, les polynômes de Legendre sont deux à deux [[orthogonalité|orthogonaux]] par rapport au [[produit scalaire]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle</math> défini sur <math>\R[X]</math> par la relation :
:<math>\langle f,g\rangle= \int_{-1}^1f(x)g(x)\,\mathrm dx</math>.
{{Démonstration|contenu=
La définition même de {{mvar|P{{ind|n}}}} montre qu'il s'agit d'un [[vecteur propre]] pour la [[valeur propre (synthèse)|valeur propre]] {{math|–''n''(''n'' + 1)}} de l'endomorphisme :
:<math>P \in \R[X]\mapsto u(P)= \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left[(1-x^{2})\frac{\textrm{d}P}{\textrm{d}x}\right]</math>, 
Or cet endomorphisme est [[endomorphisme symétrique|symétrique]] pour le produit scalaire précédent, puisqu'une [[intégration par parties]] montre que
:<math>\forall P, Q \in \R[X]\quad \langle u(P),Q\rangle= \int_{-1}^{+1} u(P)(x) Q(x)\, \mathrm{d}x = -  \int_{-1}^{+1} (1-x^2) P'(x) Q'(x)\, \mathrm{d}x</math> et donc <math>\langle u(P),Q\rangle=\langle P,u(Q)\rangle</math>.
Comme il s'agit de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, la famille des polynômes de Legendre est orthogonale.
}}

=== Formule de Rodrigues===
{{Voir|Formule de Rodrigues}}
Le polynôme {{math|''P{{ind|n}}''(''x'')}} peut également être défini par la formule de [[Olinde Rodrigues|Rodrigues]] :
:<math>P_n(x)=\left(\frac1{2^nn!}\right)\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\!\left[(x^2-1)^n\right]</math>.
On déduit cette égalité de la caractérisation précédente<ref>Voir par exemple {{Ouvrage|titre=Discrétisations variationnelles de problèmes aux limites elliptiques
|auteur=C. Bernardi|auteur2=Y. Maday|auteur3=F. Rapetti|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|date=2004|url={{Google Livres|BLFYqcgkCocC|page=35}}|page=35}}.</ref>, en vérifiant d'une part (par [[Intégration par parties|intégrations par parties]] répétées) que <math>\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\!\left[(x^2-1)^n\right]</math> est orthogonal à <math>\R_{n-1}[X]</math>, et d'autre part (par la [[Règle du produit#Dérivées d'ordre supérieur (règle de Leibniz)|règle de Leibniz]]) que la valeur en <math>x=1</math> de <math>\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\!\left[(x-1)^n(x+1)^n\right]</math> est <math>2^nn!\,</math>.

=== Définitions sous forme de somme ===
On définit ce polynôme de deux façons sous forme de somme :

:<math>P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{E(n/2)} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n-2k}{n}x^{n-2k}  </math>
(on en déduit <math>P_{2n}(0)=\frac{1}{2^{2n}}(-1)^n\binom{2n}{n}  \,</math>)
:<math>P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^k</math>

où on a utilisé :
:<math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}</math>

== Quelques polynômes ==
Les onze premiers polynômes sont : [[Fichier:PolyLegendre20.svg|thumb|upright=1.5|right|Les 20 premiers polynômes de Legendre]]
* <math>P_{0}(x)=1 \,</math>
* <math>P_{1}(x)=x\,</math>
* <math>P_{2}(x)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1)\,</math>
* <math>P_{3}(x)=\frac{1}{2}(5x^{3}-3x)\,</math>
* <math>P_{4}(x)=\frac{1}{8}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,</math>
* <math>P_{5}(x)=\frac{1}{8}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,</math>
* <math>P_{6}(x)=\frac{1}{16}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,</math>
* <math>P_{7}(x)=\frac{1}{16}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,</math>
* <math>P_{8}(x)=\frac{1}{128}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,</math>
* <math>P_{9}(x)=\frac{1}{128}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,</math>
* <math>P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,</math>

== Propriétés ==
=== Degré ===
Le polynôme {{mvar|P{{ind|n}}}} est de degré {{mvar|n}}.
=== Coefficient dominant ===
Le coefficient dominant de {{mvar|P{{ind|n}}}} est <math>\frac{(2n)!}{2^n (n!)^2}</math>.

=== Base ===
Pour tout entier naturel {{mvar|N}}, la famille <math>(P_n)_{0\leq n\leq N}</math> étant une famille de polynômes à degrés étagés, elle est une [[base (algèbre linéaire)|base]] de l'[[espace vectoriel]] <math>\R_N[X]</math>.

=== Parité ===
Le polynôme {{mvar|P{{ind|n}}}} a même {{Page h'|Parité (mathématiques)|parité}} que l'entier {{mvar|n}}. On peut exprimer cette propriété par :
:<math>P_n(-X)=(-1)^nP_n(X)</math>
(en particulier, <math>P_n(-1)=(-1)^n</math> et <math>P_{2n+1}(0)=0</math>).

=== Norme ===
Le carré de la norme, dans [[Espace L2|L<sup>2</sup>]]([–1, 1]), est<ref>Démontré par exemple dans la question II.2.c du [[#Liens externes|sujet de CAPES 1989]] et dans {{Harvsp|Bernardi|Maday|Rapetti|2004|p=36}} (corollaire 2.7).</ref>
:<math>\|P_n\|^2=\frac2{2n+1}.</math>
{{Démonstration|titre=Démonstration|
Pour tout {{math|''n'' ≥ 0}}, on définit les intégrales :
:<math>\|P_n\|^2 = \int_{-1}^1 P_n(x)^2\,\mathrm{d}x = \left[ x P_n(x)^2\right]_{-1}^1 - \int_{-1}^1 2xP_n(x)P_n'(x)\,\mathrm{d}x.</math>
Or, de la formule de Rodrigues, on déduit :
:<math>xP_n'(x) = P_{n-1}'(x) + n P_n(x).</math>
Ainsi :
:<math>\|P_n\|^2 = P_n(1)^2 + P_n(-1)^2 - 2\int_{-1}^1 P_n(x)\left[P_{n-1}'(x) + n P_n(x)\right]\,\mathrm{d}x.</math>
:<math>\|P_n\|^2 = 2 - 2\int_{-1}^1 P_n(x)P_{n-1}'(x)\,\mathrm{d}x -2n\int_{-1}^1 P_n(x)^2\,\mathrm{d}x=2 - 0 -2n\|P_n\|^2.</math>
L'intégrale <math display=inline>\int_{-1}^1 P_n(x)P_{n-1}'(x)\,\mathrm{d}x</math> est en effet nulle, car par construction, {{mvar|P{{ind|n}}}} est orthogonal à tout polynôme de Legendre de degré inférieur, or <math>\operatorname{deg}(P'_{n-1})=n-2<n</math>, ce qui permet de conclure.

Une autre démonstration<ref>{{Ouvrage
|langue=en
|auteur1=E. T. Whittaker
|auteur2=G. N. Watson
|titre= A Course of Modern Analysis
|sous-titre=
|éditeur= Cambridge University Press and the MacMillan Company
|collection=
|lieu=Cambridge et New York
|année=1943
|volume=
|tome=
|pages totales=
|passage=305-306
|isbn=
|lire en ligne=
|consulté le=22 mars 2024
}}.</ref>  part directement de la [[formule de Rodrigues]]
:<math>P_n(x)=\left(\frac1{2^nn!}\right)\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\!\left[(x^2-1)^n\right]</math>.
En [[intégration par parties|intégrant par parties]] à plusieurs reprises l'intégrale
:<math>\int_{-1}^1 (\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\!\left[(x^2-1)^n\right])^2 dx</math>,
on trouve qu'elle est égale à
:<math>(2n)!\int_{-1}^1 (1-x^2)^n \mathrm{d}x = 2(2n)!\int_0^1(1-x^2)^n \mathrm{d}x</math>.
En faisant le changement de variable <math>x= \cos \theta</math>, cette intégrale devient <math>2(2n)! \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin\theta)^{2n+1} \mathrm{d}\theta,</math>
qui est une [[intégrale de Wallis]].

On en déduit <math>\|P_n\|^2=\left(\frac1{2^nn!}\right)^2 \times 2(2n)! \times \frac1{2n+1}\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!} =\frac2{2n+1}.</math>
}}

=== Scindé à racines simples ===
Pour tout entier {{math|''n'' ≥ 1}}, le polynôme {{mvar|P{{ind|n}}}} est [[Racine d'un polynôme#Définitions connexes|scindé à racines simples]], toutes ses racines appartenant à l'intervalle {{math|]–1, 1[}} (c'est une [[Suite de polynômes orthogonaux#Existence de racines réelles|propriété générale des suites de polynômes orthogonaux]], qui se déduit classiquement de la définition ci-dessus par [[#Orthogonalité|orthogonalité et degré]]).

=== Théorème d'addition ===
Si {{math|0 ≤ ''ψ''{{ind|1}} < π}}, {{math|0 ≤ ''ψ''{{ind|2}} < π}}, {{math|''ψ''{{ind|1}} + ''ψ''{{ind|1}} < π}} et {{mvar|ϕ}} un réel quelconque, alors
: <math>P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi,</math>
ce qui est équivalent à
: <math>P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty \frac{\Gamma(k-m+1)}{\Gamma(k+m+1)} P_k^m(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi.</math>
On a aussi
: <math>Q_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)Q_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)Q_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi</math>
sous l'hypothèse que {{math|0 ≤ ''ψ''{{ind|1}} < ''ψ''{{ind|2}}}}.

===Lien avec l'équation de Laplace===
L'équation différentielle qui définit les polynômes de Legendre est naturellement liée à l'[[équation de Laplace]] {{math|Δ''f'' {{=}} 0}}, écrite en [[coordonnées sphériques]], qui intervient notamment en [[électrostatique]]. En effet, lors de la recherche d'une solution ne dépendant pas de l'angle d’azimut {{mvar|φ}} sous la forme d'un produit {{math|''f''(''r'',''θ'') {{=}} ''A''(''r'')''B''(''θ'')}} de deux fonctions d'une seule variable, l'équation vérifiée par {{mvar|B}} ainsi obtenue est de la forme :
:<math>\left(\frac{1}{\sin\theta}\right)\frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta}\left(\sin\theta\,\frac{\mathrm dB}{\mathrm d\theta}\right)+n(n+1)\,B=0</math>,
où {{math|''n''(''n'' + 1)}} est la constante de séparation. Le changement de variable {{math|''x'' {{=}} cos ''θ''}} permet de vérifier que {{mvar|B}} suit l'équation de Legendre<ref>{{Ouvrage|auteur1={{Lien|Murray R. Spiegel}}|titre=Analyse de Fourier et application aux problèmes de valeurs aux limites|sous-titre=205 exercices résolus|éditeur=[[McGraw-Hill Education|Série Schaum]]|année=1987|pages totales=200|passage=138-142|isbn=978-2-7042-1019-0|numéro chapitre=7|titre chapitre=Les fonctions de Legendre et leurs applications}}.</ref>. Les seules solutions physiquement acceptables, c'est-à-dire qui ne divergent pas pour {{math|''x'' → ±1}} sont alors celles pour lesquelles {{mvar|n}} est entier, donc les polynômes de Legendre<ref group=note>Le cas plus général où l'on cherche, par séparation des variables, les solutions de la partie angulaire de l'équation de Laplace dépendant à la fois de {{mvar|θ}} et {{mvar|ϕ}}, permet d'introduire les ''[[Polynôme associé de Legendre|polynômes associés de Legendre]]'', étroitement liés aux ''[[harmoniques sphériques]]''.</ref>.
{{démonstration|
En effet, en coordonnées sphériques {{math|(''r'', ''θ'', ''φ'')}} l'équation de Laplace s'écrit:
:<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} = 0</math>.

Dans le cas où le problème est tel que la solution ne dépend pas de l'angle d'azimut {{mvar|φ}}, et en recherchant donc une solution par la méthode de séparation des variables, soit de la forme
{{math|''f''(''r'', ''θ'') {{=}} ''A''(''r'')''B''(''θ'')}} il vient par substitution :
:<math>\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d A}{dr}\right) B(\theta) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{d}{d\theta}\left(\sin \theta \frac{d B}{d\theta}\right) A(r) = 0</math>,
soit en divisant membre à membre par le produit {{math|''A''(''r'')''B''(''θ'')}} :
:<math>\frac{1}{A(r) r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d A}{dr}\right) = - \frac{1}{B(\theta)r^2 \sin \theta} \frac{d}{d\theta}\left(\sin \theta \frac{d B}{d\theta}\right) </math>.

Comme on doit avoir égalité entre chacun des deux membres, dépendant de deux variables différentes, pour toutes les valeurs possible de ces dernières, chacun d'eux doit être égal à une constante, dite de séparation, qu'il est possible d'écrire sans perte de généralité sous la forme {{math|''α''(''α'' + 1)}} avec {{mvar|α}} réel. Le changement de variable {{math|''x'' {{=}} cos ''θ''}} permet de mettre l'équation issue du second membre sous la forme d'une équation de Legendre. Toutefois en physique on cherche des solutions définies pour toutes les valeurs possibles de l'angle {{mvar|θ}}, soit en fait régulières en {{math|''x'' {{=}} ±1}}, donc avec {{mvar|α {{=}} n}}, ''n'' entier, la partie angulaire de l'équation de Laplace se met donc bien sous la forme indiquée.
}}

== Décomposition en série de polynômes de Legendre ==
=== Décomposition d'une fonction holomorphe ===
Toute fonction {{mvar|f}}, [[fonction holomorphe|holomorphe]] à l'intérieur d'une [[Ellipse (mathématiques)|ellipse]] de foyers -1 et +1, peut s'écrire sous la forme d'une série qui [[Convergence uniforme|converge uniformément]] sur tout compact à l'intérieur de l'ellipse :
<center><math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty \lambda_n P_n(z)</math></center>
avec <math>\forall n \in \mathbb{N}, \lambda_n \in \mathbb{C}.</math>

=== Décomposition d'une fonction lipschitzienne ===
On note <math>\tilde{P_n}</math> le quotient du polynôme {{mvar|P{{ind|n}}}} par sa norme.

Soit {{mvar|f}} une application continue sur {{math|[–1, 1]}}. Pour tout entier naturel {{mvar|n}}, on pose
: <math>c_n(f)=\int_{-1}^1 f(x)\tilde P_n(x)\,\mathrm{d}x,</math>
Alors la suite {{math|(''c{{ind|n}}''(''f''))}} est de [[carré sommable]], et permet d'expliciter le [[Projection orthogonale#Un cas d'existence important|projeté orthogonal]] de {{mvar|f}} sur <math>\R_n[X]</math> :
:<math>S_nf=\sum_{k=0}^n c_k(f)\tilde P_k.</math>
On a de plus :
# <math>\forall x\in[-1,1],\;S_nf(x)=\int_{-1}^1 K_n(x,\;y)f(y)\,\mathrm{d}y</math>, avec le noyau <math>K_n(x,\;y)=\frac{n+1}{2}\frac{\tilde P_{n+1}(x)\tilde P_n(y)-\tilde P_{n+1}(y)\tilde P_n(x)}{x-y}\ ;</math>
# <math>S_nf(x)-f(x)=\int_{-1}^1 K_n(x,\;y)(f(y)-f(x))\,\mathrm{d}y.</math>

{{refsou|Supposons de plus que {{mvar|f}} est une [[fonction lipschitzienne]]. On a alors la propriété supplémentaire :}}
:<math>\forall x\in]-1,1[,\;\lim_{n\to\infty}S_nf(x)=f(x).</math>
Autrement dit, l'égalité
<center><math>f=\sum_{n=0}^\infty c_n(f)\tilde P_n</math></center>
est vraie non seulement au sens [[espace L2|L<sup>2</sup>]] mais au sens de la [[convergence simple]] sur {{math|]–1, 1[}}.

=== Intégration numérique d'une fonction ===
Afin de calculer numériquement l'intégrale d'une fonction sur l'intervalle {{math|[–1, 1]}}, l'une des méthodes les plus populaires est la [[Méthodes de quadrature de Gauss#Méthode de Gauss-Legendre|méthode de quadrature de Gauss-Legendre]] fondée sur les propriétés des polynômes de Legendre. Elle prend la forme :
:<math>\int_{-1}^1 f(x) \, \mathrm{d}x \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)</math>
avec :
* <math> (x_i)_{i \leq n} </math> l'ensemble des zéros du polynôme de Legendre {{mvar|P{{ind|n}}}} ;
* <math> (w_i)_{i \leq n} </math> les poids respectifs : <math> w_i = \frac{-2}{(n+1) P'_{n}(x_i) P_{n+1}(x_i)} 
=\frac{2}{(1-x_i^2)P'_n(x_i)^2}</math>.

En particulier, la formule<ref>On trouvera une table pour les cinq premières formules dans {{MathWorld|nom_url=Legendre-GaussQuadrature|titre=Legendre-Gauss quadrature}}.</ref> à l'ordre {{mvar|n}} est exacte pour toute [[fonction polynomiale]] de degré {{math|2''n'' – 1}}.

== Applications en physique ==

Les polynômes de Legendre, tout comme [[Polynômes d'Hermite|ceux d'Hermite]] ou [[Polynômes de Laguerre|de Laguerre]], apparaissent dans diverses branches de la [[physique]] ou du [[calcul numérique]] car ils permettent le calcul d'[[Intégrale définie|intégrales définies]] sans qu'il soit nécessaire de les évaluer analytiquement, à condition toutefois que par un changement de variable adéquat, on se place dans l'intervalle d'intégration [−1, 1].

Les polynômes de Legendre permettent de développer en série les fonctions du type (cette formule se déduit directement de la fonction génératrice) :
:<math>
\frac{1}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+r^{\prime 2}-2rr'\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{r^{\prime \ell}}{r^{\ell+1}} P_{\ell}(\cos \gamma), \text{ avec } r>r'</math>

où <math>r</math> et <math>r'</math> sont les normes des vecteurs <math>\mathbf{r}</math> et <math>\mathbf{r}^\prime</math>, respectivement, et <math>\gamma</math> est l'angle entre ceux-ci. Un tel développement est utilisé par exemple dans l'étude du [[dipôle électrique]] ou de façon plus générale dans l'expression du [[champ électrique]] ou [[Champ gravitationnel|gravitationnel]] à grande distance d'une distribution continue de charge ou de masse (développement multipolaire).

Les polynômes de Legendre apparaissent également dans la résolution de l'[[équation de Laplace]] en électrostatique,<math>\Delta \Phi(\mathbf{r})=0</math>, pour le [[potentiel électrique]] <math>\Phi</math> dans une région de l'espace vide de charges (en [[coordonnées sphériques]]) dans le cas d'un problème présentant une [[Rotation dans l'espace|symétrie axiale]] (le potentiel <math>\Phi</math> est alors indépendant de l'angle azimutal <math>\varphi</math>), procédant par la méthode de [[séparation des variables]]. La solution de l'équation de Laplace se met alors sous la forme :
:<math>
\Phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \left[ A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right] P_\ell(\cos\theta).
</math>

== Notes et références ==
===Notes===
{{Références|groupe=note}}
===Références===
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Suite de polynômes orthogonaux]]
* [[Mesures secondaires]]
* [[Fonction de Legendre]]
*[[Polynôme de Jacobi|Polynômes de Jacobi]] {{math|''P''{{indexp|''n''|(''α'',''β'')}}}}, dont les polynômes de Legendre constituent le cas particulier {{math|1=''α = β'' = 0}}
*[[Polynôme de Gegenbauer|Polynômes de Gegenbauer]] {{math|''C''{{indexp|''n''|(''α'')}}}}, dont les polynômes de Legendre constituent le cas particulier {{math|1=''α'' = 1/2}}

=== Bibliographie ===
*{{en}} I. S. Gradshteyn et I. M. Ryzhik, ''[[Gradshteyn-Ryzhik|Table of Integrals, Series, and Products]]'', Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (éd.), [[Academic Press]], {{7e}} éd., 2007 {{ISBN|978-0-08047111-2}} {{Lire en ligne|url=https://books.google.fr/books?id=aBgFYxKHUjsC}} et [http://www.mathtable.com/gr/ errata]
*Georgette de Nockere, ''Tables numériques des polynômes de Legendre'', [[Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique|ARB]], {{8e}} éd., 1949
*[[Joseph Kampé de Fériet]], ''Fonctions de la physique mathématique'', [[CNRS]], 1957
===Liens externes===
* {{Mathworld|nom_url=LegendrePolynomial|titre=Legendre Polynomial}}
* [http://capes-math.univ-rennes1.fr/capes-pdf/Annales/1989-1.pdf Sujet] de [[CAPES]] 1989 et [http://math.univ-lyon1.fr/capes/IMG/pdf/epreuve1-cor-1989.pdf corrigé]<!--ou https://megamaths.fr/annales/capesexterne1989comp1s-Delcroix.pdf, ou refs de https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/487953#Comment_487953-->

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Espace de Hilbert]]
[[Catégorie:Fonction hypergéométrique|Legendre]]
[[Catégorie:Méthode mathématique de la physique]]
[[Catégorie:Polynôme remarquable|Legendre]]
[[Catégorie:Fonction spéciale|Polynome de Legendre]]
[[Catégorie:Polynômes orthogonaux]]
[[Catégorie:Combinatoire]]