Voir la source de Polytope

{{ébauche|géométrie}}
[[Image:Deltoidalicositetrahedron.jpg|vignette|Un polytope en {{Nobr|dimension 3}}.]]

Un '''polytope''' est un objet mathématique géométrique généralisant à une [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] quelconque {{mvar|n}} les [[polygone]]s ([[deux dimensions]]) et les [[polyèdre]]s ([[trois dimensions]]).

== Étymologie ==
Le terme de ''polytope'', introduit par la mathématicienne britannique [[Alicia Boole Stott]], est la [[transcription et translittération|transcription]] de l'allemand ''polytop'', inventé par le mathématicien [[Reinhold Hoppe]]<ref>{{Ouvrage|prénom1=H. S. M.|nom1=Coxeter|lien auteur1=Harold Scott MacDonald Coxeter|titre=[[Regular polytopes]]|éditeur=[[Dover Publications]]|date=1973|pages totales=321|isbn=978-0-486-61480-9|lire en ligne=https://books.google.fr/books/about/Regular_Polytopes.html?id=iWvXsVInpgMC&redir_esc=y|consulté le=2024-05-24}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien vidéo|titre=Voyages au pays des maths - Alicia Boole au pays des polytopes - Regarder le documentaire complet {{!}} ARTE|url=https://www.arte.tv/fr/videos/107398-006-A/voyages-au-pays-des-maths/|langue=fr|consulté le=2024-05-24}}.</ref>.

== Plusieurs définitions ==

Le terme ''polytope'' admet plusieurs définitions au sein des [[mathématiques]]. Principalement car les usages diffèrent en quelques points selon les pays, mais l'usage américain ayant tendance à s'imposer, on se retrouve confronté avec des usages contradictoires au sein d'un même pays. On retrouve ce genre de problème pour les définitions des faces et des facettes d'un polyèdre (pour un polyèdre de dimension ''n'', [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] définit les facettes comme les faces de dimension < ''n ''– 1, le suffixe faisant penser à la petitesse, alors que les américains définissent une facette comme une face de dimension ''n ''– 1, comme on dit en français d'ailleurs pour les facettes d'un [[diamant]]).

{{douteux|Le point sûr est qu'un [[polyèdre]] est une sorte de polytope}}.

L'usage le plus répandu veut que, dans l'[[espace euclidien]] ℝ{{exp|''n''}}, on distingue le ''polyèdre'' du ''polytope'' de la manière suivante. Le '''polyèdre''' <math> P </math> est une intersection d'un nombre fini de [[demi-espace]]s délimités par des [[Hyperplan#Hyperplans affines|hyperplans affines]], {{c.-à-d.}}{{Retrait|<math> P=\{x\in\R^n\mid Ax\le b\} </math>}}

où <math>A\in\R^{m\times n}</math> et <math>b\in\R^m</math>,

tandis que le '''polytope''' <math> \bar P </math> est une [[enveloppe convexe]], {{c.-à-d.}}{{Retrait|<math> \bar P=\left\{x\in\R^n~\left|~x=\sum_i \lambda_i x_i,\, \sum_i \lambda_i=1,\, \lambda_i \ge 0\right.\right\}</math>}}

où <math> x_i \in\R^n</math> pour un certain nombre fini d'indices <math> i </math>.

Un résultat fondamental établit que :{{énoncé|Tout polytope est un polyèdre borné<ref>{{de}} [[Hermann Minkowski]], ''Geometrie der Zahlen (erste Lieferung)'', Teubner, Leipzig, 1896.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=de|auteur=[[Ernst Steinitz]]|titre=Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme (Schluss)|revue=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. reine angew. Math.]]|vol=146|année=1916|p.=1-52|url=https://eudml.org/doc/149403}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=de|auteur=[[Hermann Weyl]]|titre=Elementare Theorie der konvexen Polyeder|revue=[[Commentarii Mathematici Helvetici|Comment. Math. Helv.]]|vol=7|année=1935|p.=290-306|url=https://eudml.org/doc/138641}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Branko Grünbaum]]|titre=Convex Polytopes|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2013|url={{Google Livres|9RDVBwAAQBAJ|page=31}}|page=31}}.</ref>.}}

Ce résultat est essentiel pour l'[[approche polyédrique]] en [[optimisation combinatoire]].

Toutefois on trouvera aussi la distinction suivante entre polytope et polyèdre. On entend parfois en [[géométrie]], '''polytope''' comme la généralisation à toutes dimensions de la notion de [[polygone]] pour deux dimensions et de [[polyèdre]] pour trois dimensions. Quoi qu'il en soit, {{Douteux|date=27/8/15|en général on suppose qu'un polytope est un [[:en:Convex polytope|polytope convexe]]}} et [[Partie bornée|borné]]. Le plus simple que l'on puisse construire est le [[simplexe]] constitué de {{nobr|''n ''+ 1}} sommets dans un espace de dimension ''n''. Pour toute enveloppe convexe dans un espace de dimension ''n'', on peut prendre des sous-ensembles de sommets [[Indépendance linéaire|linéairement indépendants]] et définir des ''n''-[[simplexe]]s à partir de ces sommets. Il est toujours possible de décomposer un [[polytope convexe]] en simplexes de sorte que leur union soit le polytope original, et que leurs intersections deux à deux soient l'ensemble vide ou un ''s''-simplexe (avec ''s ''< ''n''). Par exemple : dans le plan, un carré (l'enveloppe convexe de ses sommets) est l'union de deux triangles (2-simplexes) dont l'intersection est la diagonale du carré (1-simplexe).

== Polyèdres réguliers ==
{{Pertinence section|date=21 mars 2022}}
Les [[Polyèdre régulier|polyèdres réguliers]] étaient un sujet d'étude majeur chez les anciens mathématiciens grecs (principalement [[Euclide (mathématicien)|Euclide]]), probablement à cause de leurs qualités esthétiques. De nos jours, on retrouve les polytopes dans de nombreuses applications d'[[optimisation linéaire]] ou en [[infographie]] notamment.

== Exemple de polytope ==
Parmi les polytopes, on peut citer le polytope de [[Thorold Gosset|Gosset]], qui illustre une des propriétés du [[groupe de Lie]] [[E8 (mathématiques)|E8]].

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===

* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=H. S. M.|nom1=Coxeter|lien auteur1=Harold Scott MacDonald Coxeter|titre=[[Regular polytopes]]|lieu=New York|éditeur=[[Dover Publications]]|année=1973|numéro d'édition=3|pages totales=321|isbn=978-0-486-61480-9|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=iWvXsVInpgMC&printsec=frontcover}}

=== Articles connexes ===
{{Catégorie principale}}
* [[4-polytope régulier convexe]]
* [[4-polytope uniforme]]
=== Liens externes ===
{{Autres projets
| commons = Category:Polytopes
}}

* {{lien web|url=https://www.math.ens.fr/~debarre/Aussois.pdf|site=math.[[École normale supérieure (Paris)|ens.fr]]|auteur=[[Olivier Debarre]]|titre=Polytopes et points entiers|format=pdf}}

{{Palette|Convexité}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Polytope| ]]
[[Catégorie:Optimisation combinatoire]]