Voir la source de Potentiel chimique

{{Infobox Grandeur physique
| nom            = Potentiel chimique
| image          = 
| légende        = 
| unités         = [[joule]] par [[mole (unité)|mole]] (J/mol)
| autres unités  = 
| symbole        = <math>\mu_i</math>
| unités de base =
| dimension      =  {{dimension|kg=1|m=2|s=-2|A=|K=|mol=-1|cd=}}
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| intensive      = oui
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| nature         = scalaire
| expressions    = <math>\mu_i = \left( \frac{\partial G}{\partial n_i} \right)_{P,T,n_{j\neq i}}</math>
}}

En [[thermodynamique chimique]], le '''potentiel chimique''' d'une [[espèce chimique]] est la variation d'[[énergie]] d'un [[système thermodynamique]] due à la variation de la [[quantité de matière|quantité]] (nombre de [[Mole (unité)|moles]]) de cette espèce dans ce système. Étroitement lié au [[deuxième principe de la thermodynamique]], le potentiel chimique permet d'étudier la stabilité des espèces chimiques et leur tendance à changer d'[[État de la matière|état]], à [[réaction chimique|réagir chimiquement]] ou à migrer par [[diffusion de la matière|diffusion]].

La [[fugacité]] et l'[[activité chimique]], définies à partir du potentiel chimique, sont plus faciles à manipuler que celui-ci.

== Historique ==

Le potentiel chimique est une notion introduite entre 1875 et 1878 par [[Willard Gibbs]] et [[Pierre Duhem]]. Il se révéla toutefois difficile à manipuler, car un potentiel chimique ne peut être calculé qu'à une constante additive près et non de façon absolue ; de plus le potentiel chimique de toute espèce tend vers l'infini négatif à dilution infinie. En 1900<ref name="Lewis1900">{{article|langue=en| volume = 36 | numéro = 9 | pages = 145-168 | nom = Lewis | prénom = Gilbert Newton | titre = A New Conception of Thermal Pressure and a Theory of Solutions | journal = Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences | date = octobre 1900 | doi = 10.2307/20020988}}.</ref> et 1901<ref name="Lewis1901">{{article|langue=en| volume = 37 | numéro = 3 | pages = 49–69 | nom = Lewis | prénom = Gilbert Newton | titre = The Law of Physico-Chemical Change | journal = Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences | date = juin 1901 | doi = 10.2307/20021635}}.</ref> [[Gilbert Lewis]] introduit la [[fugacité]], efficace dans son application pour les gaz, puis en 1923<ref name="Lewis1923">Gilbert Newton Lewis et Merle Randall, « Thermodynamics and the free energy of chemical substances », McGraw-Hill Book Company Inc. (1923).</ref> l'[[activité chimique]], plus spécialement employée pour les phases condensées (liquide ou solide).

== Définition ==
{{Palette Potentiel thermodynamique}}

Soit un mélange de <math>N</math> constituants. Le potentiel chimique <math>\mu_i</math> de tout constituant <math>i</math> est défini pour chacun des quatre [[Potentiel thermodynamique|potentiels thermodynamiques]] :

* [[énergie interne]] (c'est par cette relation que Gibbs introduisit le potentiel chimique) :

:<math>\mathrm{d} U = -P \, \mathrm{d} V + T \, \mathrm{d} S + \sum_{i=1}^N \mu_i \, \mathrm{d} n_i</math>

* [[énergie libre]] : <math>F = U - TS</math>

:<math>\mathrm{d} F = -P \, \mathrm{d} V - S \, \mathrm{d} T + \sum_{i=1}^N \mu_i \, \mathrm{d} n_i</math>

* [[enthalpie]] : <math>H = U + PV</math>

:<math>\mathrm{d} H = V \, \mathrm{d} P + T \, \mathrm{d} S + \sum_{i=1}^N \mu_i \, \mathrm{d} n_i</math>

* [[enthalpie libre]] : <math>G = H - TS</math>

:<math>\mathrm{d} G = V \, \mathrm{d} P - S \, \mathrm{d} T + \sum_{i=1}^N \mu_i \, \mathrm{d} n_i</math>

avec :
* <math>P</math> la [[pression]] ;
* <math>T</math> la [[température]] ;
* <math>V</math> le [[volume]] ;
* <math>S</math> l'[[Entropie (thermodynamique)|entropie]] ;
* <math>n_i</math> la [[quantité de matière|quantité]] (nombre de [[mole (unité)|moles]]) du corps <math>i</math>.

Le potentiel chimique, en tant que [[dérivée partielle]] d'un [[potentiel thermodynamique]], peut donc être défini de diverses façons, toutes équivalentes<ref name="Vidal-155"/> :

{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center"
|'''Potentiel chimique : ''' <math>\mu_i = \left( \frac{\partial U}{\partial n_i} \right)_{V,S,n_{j\neq i}}
= \left( \frac{\partial F}{\partial n_i} \right)_{V,T,n_{j\neq i}} 
= \left( \frac{\partial H}{\partial n_i} \right)_{P,S,n_{j\neq i}}
= \left( \frac{\partial G}{\partial n_i} \right)_{P,T,n_{j\neq i}}
</math>
|}

Le potentiel chimique a la [[dimension (physique)|dimension]] d'une [[énergie]] [[grandeur molaire|molaire]] et s'exprime en [[joule]]s par [[Mole (unité)|mole]], {{unité|J/mol}}, dans le [[Système international d'unités|système international d'unités (SI)]].

La relation liant le potentiel chimique à l'énergie libre <math>F</math> est particulièrement importante en [[calorimétrie]], où les réactions chimiques sont étudiées à volume et température constants. Elle tient également une place centrale en [[physique statistique]].

C'est toutefois la dernière de ces définitions, celle qui lie le potentiel chimique à l'enthalpie libre <math>G</math>, qui est la plus importante, car les réactions chimiques sont généralement étudiées à pression et température constantes (voir l'article ''[[Équilibre chimique]]'').

Comme les potentiels thermodynamiques, le potentiel chimique ne peut pas être calculé de façon absolue, il est toujours établi à une constante additive près. Cette indétermination et sa limite dans le cas de la dilution infinie rendent son usage difficile. D'autres grandeurs définies à partir du potentiel chimique permettent de pallier cette difficulté : la [[fugacité]] et l'[[activité chimique]] peuvent être calculées de façon absolue et ne présentent pas de limite problématique.

== Relation avec l'enthalpie libre ==
=== Enthalpie libre molaire partielle ===

Le potentiel chimique est lié de façon particulière à l'[[enthalpie libre]] <math>G</math>, car il s'agit du seul [[potentiel thermodynamique]] dont le potentiel chimique est la [[grandeur molaire partielle]] :

{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center"
|'''Enthalpie libre molaire partielle : ''' <math>\mu_i = \bar G_i = \left( \frac{\partial G}{\partial n_i} \right)_{P,T,n_{j\neq i}}</math>
|}

=== Identité d'Euler ===

Selon le [[Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables)|théorème d'Euler sur les fonctions homogènes du premier ordre]] on peut écrire, pour toute [[Extensivité et intensivité (physique)|grandeur extensive]] <math>X</math>, la relation entre cette grandeur et les [[grandeur molaire partielle|grandeurs molaires partielles]] <math>\bar X_i</math> :

:<math>X = \sum_{i=1}^{N} n_i \bar X_i</math>

Dans le cas particulier de l'enthalpie libre cela implique, étant donné l'identité des potentiels chimiques et des enthalpies libres molaires partielles :

:<math>G = \sum_{i=1}^{N} n_i \bar G_i</math>
:<math>\mu_i = \bar G_i</math>

{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center"
| '''Identité d'Euler pour l'enthalpie libre : '''<math>G = \sum_{i=1}^N n_i \mu_i</math>
|}

En divisant par <math>n = \sum_{i=1}^{N} n_i</math> la quantité totale de matière dans le mélange, on a également la relation :

{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center"
|'''Enthalpie libre molaire du mélange : '''<math>\bar G = \sum_i^N x_i \mu_i</math>
|}

avec :
* <math>\bar G  = {G \over n}</math>, l'enthalpie libre [[grandeur molaire|molaire]] du mélange ;
* <math>x_i = {n_i \over n}</math>, la fraction molaire du corps <math>i</math> dans le mélange.

=== Relation de Gibbs-Duhem ===
{{article détaillé|Relation de Gibbs-Duhem}}

En différentiant l'identité d'Euler pour l'enthalpie libre, on obtient :

:{{equarefa|1}} <math>\mathrm{d} G = \sum_{i=1}^N n_i \, \mathrm{d} \mu_i + \sum_{i=1}^N \mu_i \, \mathrm{d} n_i</math>

La différentielle de l'enthalpie libre s'écrit, dans ses variables naturelles :

:{{equarefa|2}} <math>\mathrm{d} G = V \, \mathrm{d} P - S \, \mathrm{d} T + \sum_{i=1}^N \mu_i \, \mathrm{d} n_i</math>

On peut identifier les différents termes des équations {{equarefl|1}} et {{equarefl|2}}, on obtient la '''relation de Gibbs-Duhem :

{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center"
| '''Relation de Gibbs-Duhem : ''' <math>V \, \mathrm{d} P - S \, \mathrm{d} T = \sum_{i=1}^N n_i \, \mathrm{d} \mu_i</math>
|}

Cette relation n'est valable que pour des transformations réversibles dans lesquelles le travail n'est dû qu'à des forces de pression.

=== Autres relations avec l'enthalpie libre molaire ===

Puisque <math>\mu_i = \left( {\partial G \over \partial n_i} \right)_{P,T,n_{j \neq i}}</math> et <math>G = n \bar G</math> on peut écrire :

<center><math>\mu_i = \bar G  + n \left( {\partial \bar G \over \partial n_i} \right)_{P,T,n_{j \neq i}}</math></center>

et, puisque <math>\bar G</math> est une fonction des fractions molaires <math>x</math>, en employant le [[théorème de dérivation des fonctions composées]] :

<center><math>\mu_i = \bar G  + \left( {\partial \bar G \over \partial x_i} \right)_{P,T,x_{k \neq i}} - \sum_{j=1}^N x_j \left( {\partial \bar G \over \partial x_j} \right)_{P,T,x_{k \neq j}}</math></center>

avec :
* <math>\bar G</math> l'enthalpie libre [[grandeur molaire|molaire]] ;
* <math>n = \sum_{i=1}^N n_j</math> la [[quantité de matière]] totale dans le mélange ;
* <math>n_i</math> la quantité du corps <math>i</math> ;
* <math>x_i</math> la [[fraction molaire]] du corps <math>i</math>, <math>x_i = n_i/n</math>.

== Autres relations ==
=== Relations avec d'autres grandeurs molaires partielles ===

En appliquant le [[théorème de Schwarz]], le potentiel chimique est lié à d'autres grandeurs molaires partielles : 

* <math>\bar V_i = \left( \frac{\partial V}{\partial n_i} \right)_{P,T,n_{j\neq i}}</math> le volume molaire partiel, d'après l'[[Relations_de_Maxwell#Équations_d'état|équation d'état]] <math>V = \left( \frac{\partial G}{\partial P} \right)_{T,n}</math><ref name="Vidal-154">Vidal 1997, {{p.}}154.</ref> :

<center><math>\bar V_i = \left( \frac{\partial \mu_i}{\partial P} \right)_{T,n}</math></center>

* <math>\bar S_i = \left( \frac{\partial S}{\partial n_i} \right)_{P,T,n_{j\neq i}}</math> l'entropie molaire partielle, d'après l'[[Relations_de_Maxwell#Équations_d'état|équation d'état]] <math>S = - \left( \frac{\partial G}{\partial T} \right)_{P,n}</math><ref name="Vidal-154"/> :

<center><math>\bar S_i = - \left( \frac{\partial \mu_i}{\partial T} \right)_{P,n}</math></center>

* <math>\bar H_i = \left( \frac{\partial H}{\partial n_i} \right)_{P,T,n_{j\neq i}}</math> l'enthalpie molaire partielle, d'après la [[relation de Gibbs-Helmholtz]] <math>H = \left( \frac{\partial \frac{G}{T}}{\partial \frac{1}{T}} \right)_{P,n}</math><ref name="Vidal-154"/> :

<center><math>\bar H_i = \left( \frac{\partial \frac{\mu_i}{T}}{\partial \frac{1}{T}} \right)_{P,n}</math></center>

* <math>\bar F_i = \left( \frac{\partial F}{\partial n_i} \right)_{P,T,n_{j\neq i}}</math> l'énergie libre molaire partielle, d'après <math>\bar F_i = \bar G_i - P \bar V_i</math> :

<center><math>\bar F_i = \mu_i - P \left( \frac{\partial \mu_i}{\partial P} \right)_{T,n}</math></center>

* <math>\bar U_i = \left( \frac{\partial U}{\partial n_i} \right)_{P,T,n_{j\neq i}}</math> l'énergie interne molaire partielle, d'après <math>\bar U_i = \bar H_i - P \bar V_i</math> :

<center><math>\bar U_i = \left( \frac{\partial \frac{\mu_i}{T}}{\partial \frac{1}{T}} \right)_{P,n} - P \left( \frac{\partial \mu_i}{\partial P} \right)_{T,n}</math></center>

Enfin, par définition de l'enthalpie libre, <math>G = H - TS = U + PV - TS = F + PV</math>, en dérivant selon <math>n_i</math> à pression, température et [[quantité de matière|quantités]] des autres composants constantes :

<center><math>\mu_i = \bar G_i = \bar H_i - T \bar S_i = \bar U_i + P \bar V_i - T \bar S_i = \bar F_i + P \bar V_i</math></center>

=== Variation isotherme du potentiel chimique ===

Les [[Relations_de_Maxwell#Équations_d'état|équations d'état]] et le [[théorème de Schwarz]] permettent d'établir la variation du potentiel chimique en fonction de la pression <math>P</math>, la température <math>T</math> ou l'entropie <math>S</math>. Les deux relations les plus importantes sont les suivantes :

* avec <math>\mu_i = \left( \frac{\partial F}{\partial n_i} \right)_{V,T,n_{j\neq i}}</math> et <math>\left( \frac{\partial F}{\partial V} \right)_{T,n} = -P</math>, on obtient :

{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center"
| <math>\left( \frac{\partial \mu_i}{\partial V} \right)_{T,n} = -\left( \frac{\partial P}{\partial n_i} \right)_{V,T,n_{j\neq i}}</math>
|}

* avec <math>\mu_i = \left( \frac{\partial G}{\partial n_i} \right)_{P,T,n_{j\neq i}}</math> et <math>\left( \frac{\partial G}{\partial P} \right)_{T,n} = V</math>, on obtient :

{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center"
| <math>\left( \frac{\partial \mu_i}{\partial P} \right)_{T,n} = \left( \frac{\partial V}{\partial n_i} \right)_{P,T,n_{j\neq i}}</math>
|}

cette dernière expression étant le [[grandeur molaire|volume molaire]] du corps <math>i</math> pur ou le [[grandeur molaire partielle|volume molaire partiel]] du corps <math>i</math> dans le mélange, noté <math>\bar V_i</math> :

<center><math>\left( \frac{\partial \mu_i}{\partial P} \right)_{T,n} = \bar V_i</math></center>

On a par conséquent, avec <math>f_i</math> la [[#Fugacité et coefficient de fugacité|fugacité]] du corps <math>i</math> :

<center>'''À température et composition constantes :''' <math>\mathrm{d} \mu_i = RT \, \mathrm{d} \ln f_i = -\left( \frac{\partial P}{\partial n_i} \right)_{V,T,n_{j\neq i}} \, \mathrm{d} V = \bar V_i \, \mathrm{d} P</math></center>

=== Dépendance à la composition ===

Le potentiel chimique de tout corps <math>i</math> à pression et température constantes, dans un mélange quelconque dans lequel il est représenté par la fraction molaire <math>x_i</math>, admet deux limites :
* pour le corps <math>i</math> pur :
::<math>\lim_{x_i \to 1} \mu_i = \mu_i^*</math>
:: Cette valeur finie ne dépend que de la pression <math>P</math>, de la température <math>T</math> et de la nature de <math>i</math> ; par définition <math>\mu_i^* = \bar G_i^*</math> l'[[grandeur molaire|enthalpie libre molaire]] du corps <math>i</math> pur à <math>P</math> et <math>T</math> ;
* pour le corps <math>i</math> ([[soluté]]) infiniment [[Dilution|dilué]] dans un [[solvant]] <math>s</math><ref name="Vidal-155">Vidal 1997, {{p.}}155.</ref>{{,}}<ref name="Hertz">{{Ouvrage |langue=fr |auteur=Jean Hertz |titre=Diagrammes d'équilibre |sous-titre=alliages binaires |éditeur=[[Éditions techniques de l'ingénieur|Techniques de l'Ingénieur]] |collection= |lieu= |année= |numéro d'édition= |volume=M 70 |tome= |pages totales= |passage=9 |isbn= |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=czsYMwNiqMoC&pg=PT8 |id=Hertz }}.</ref> :
::<math>\lim_{x_i \to 0 \atop x_s \to 1} \mu_i = -\infty</math>
::À dilution infinie d'une espèce <math>i</math> dans une espèce <math>s</math>, que la [[solution (chimie)|solution]] soit gazeuse, liquide ou solide, l'espèce <math>s</math> exerce une attraction infiniment forte sur l'espèce <math>i</math>. Il est par conséquent impossible d'obtenir l'espèce <math>s</math> infiniment [[corps pur|pure]]. Une espèce purifiée a naturellement tendance à se polluer par attraction d'autres espèces présentes dans son environnement (par exemple, dans le matériau de son contenant)<ref name="Hertz"/>.

Les potentiels chimiques peuvent être écrits en fonction de la pression, de la température et de la composition :

:<math>\mu_i = \mu_i \! \left( P,T,n \right)</math>
:<math>\mathrm{d} \mu_i = \left( \frac{\partial \mu_i}{\partial P} \right)_{T,n} \, \mathrm{d} P
+ \left( \frac{\partial \mu_i}{\partial T} \right)_{P,n} \, \mathrm{d} T
+ \sum_{j=1}^N \left( \frac{\partial \mu_i}{\partial n_j} \right)_{P,T,n_{k\neq j}} \, \mathrm{d} n_j</math>

On a ainsi, par les relations avec le volume molaire partiel <math>\bar V_i</math> et l'entropie molaire partielle <math>\bar S_i</math> vues plus haut :

<center><math>\mathrm{d} \mu_i = \bar V_i \, \mathrm{d} P - \bar S_i \, \mathrm{d} T
+ \sum_{j=1}^N \left( \frac{\partial \mu_i}{\partial n_j} \right)_{P,T,n_{k\neq j}} \, \mathrm{d} n_j</math></center>

Pour un [[corps pur]] <math>i</math> à pression <math>P</math> et température <math>T</math> constantes, la relation précédente donne : <math>\mathrm{d} \mu_i^* = \left( {\partial \mu_i^* \over \partial n_i} \right)_{P,T} \, \mathrm{d} n_i</math>. Or dans ces conditions la [[relation de Gibbs-Duhem]] donne : <math>n_i \, \mathrm{d} \mu_i^* = 0</math>. On en déduit que :

<center><math>\left( {\partial \mu_i^* \over \partial n_i} \right)_{P,T} = 0</math></center>

À pression et température constantes, le potentiel chimique <math>\mu_i^*</math> d'un corps pur ne dépend pas de la [[quantité de matière|quantité]] <math>n_i</math> de ce constituant.

Pour un mélange, les conditions de stabilité d'un [[équilibre thermodynamique]] imposent que<ref name="Desré-47-48">{{Ouvrage |langue=fr |auteur1=Pierre Desré |auteur2=Fiqiri Hodaj |titre=Thermodynamique des matériaux |éditeur=EDP Sciences |collection=Sciences des matériaux |année=2010 |pages totales=408 |passage=47-48 |isbn=9782759809288 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=UkKQ98I2g80C&pg=PA47 |id=Desré}}.</ref> :

<center><math>\left( {\partial \mu_i \over \partial n_i} \right)_{V,S,n_{k \neq i}} \geq 0</math> ; <math>\left( {\partial \mu_i \over \partial n_i} \right)_{V,T,n_{k \neq i}} \geq 0</math> ; <math>\left( {\partial \mu_i \over \partial n_i} \right)_{P,S,n_{k \neq i}} \geq 0</math> ; <math>\left( {\partial \mu_i \over \partial n_i} \right)_{P,T,n_{k \neq i}} \geq 0</math></center>

Le potentiel chimique <math>\mu_i</math> d'une [[espèce chimique]] <math>i</math> quelconque dans un mélange augmente lorsque l'on augmente la quantité <math>n_i</math> de cette espèce, les quantités des autres constituants restant constantes (en l'absence de [[réaction chimique]]), et ce quelles que soient les autres conditions opératoires également maintenues constantes.

En appliquant le [[théorème de Schwarz]] aux relations définissant le potentiel chimique par rapport aux potentiels thermodynamiques, on obtient, pour toutes espèces chimiques <math>i</math> et <math>j</math> d'un mélange :

<center><math>\left( \frac{\partial \mu_i}{\partial n_j} \right)_{V,S,n_{k\neq j}} 
= \left( \frac{\partial \mu_j}{\partial n_i} \right)_{V,S,n_{k\neq i}}</math></center>
<center><math>\left( \frac{\partial \mu_i}{\partial n_j} \right)_{V,T,n_{k\neq j}} 
= \left( \frac{\partial \mu_j}{\partial n_i} \right)_{V,T,n_{k\neq i}}</math></center>
<center><math>\left( \frac{\partial \mu_i}{\partial n_j} \right)_{P,S,n_{k\neq j}} 
= \left( \frac{\partial \mu_j}{\partial n_i} \right)_{P,S,n_{k\neq i}}</math></center>
<center><math>\left( \frac{\partial \mu_i}{\partial n_j} \right)_{P,T,n_{k\neq j}} 
= \left( \frac{\partial \mu_j}{\partial n_i} \right)_{P,T,n_{k\neq i}}</math></center>

À pression et températures constantes, la [[relation de Gibbs-Duhem]] donne : <math>\sum_{i=1}^N n_i \, \mathrm{d} \mu_i = 0</math>. On en déduit que, pour toute espèce chimique <math>j</math> du mélange :

<center><math>\sum_{i=1}^N n_i \left( \frac{\partial \mu_i}{\partial n_j} \right)_{P,T,n_{k\neq j}} = 0</math></center>

En substituant la dernière relation obtenue plus haut par le théorème de Schwarz, on obtient :

<center><math>\sum_{i=1}^N n_i \left( \frac{\partial \mu_j}{\partial n_i} \right)_{P,T,n_{k\neq i}} = 0</math></center>

== Équilibres ==
=== Équilibre de phases ===
{{article détaillé|Équilibre de phases}}

Soit un [[système isolé]] de volume <math>V</math>, contenant <math>N</math> espèces chimiques : par définition il n'échange ni [[Travail d'une force|travail]], ni [[Transfert thermique|chaleur]], ni matière avec l'extérieur. On considère également que ce système n'est le siège d'aucune [[réaction chimique]], aussi peut-on écrire :
* le système n'échange pas de travail avec l'extérieur, ses parois sont indéformables : <math>\mathrm{d} V = 0</math> ;
* le système n'échange pas de chaleur avec l'extérieur, il est isentropique : <math>\mathrm{d} S = 0</math> ;
* le système n'échange pas de matière avec l'extérieur, en l'absence de réaction chimique on peut écrire pour chaque corps <math>i</math> : <math>\mathrm{d} n_i = 0</math>.

On a donc, selon le [[premier principe de la thermodynamique]], conservation de l'énergie interne <math>U</math> pour l'ensemble du système :

:<math>\mathrm{d} U = -P \, \mathrm{d} V + T \, \mathrm{d} S + \sum_{i=1}^N \mu_i \, \mathrm{d} n_i = 0</math>

Si le système isolé contient deux [[Phase (thermodynamique)|phases]], appelées <math>\alpha</math> et <math>\beta</math>, à l'[[équilibre thermodynamique]], on écrit pour chacune des deux phases la variation d'énergie interne :

:<math>\mathrm{d} U^\alpha = -P^\alpha \, \mathrm{d} V^\alpha + T^\alpha \, \mathrm{d} S^\alpha + \sum_{i=1}^N \mu_i^\alpha \, \mathrm{d} n_i^\alpha</math>
:<math>\mathrm{d} U^\beta = -P^\beta \, \mathrm{d} V^\beta + T^\beta \, \mathrm{d} S^\beta + \sum_{i=1}^N \mu_i^\beta \, \mathrm{d} n_i^\beta</math>

avec :

* <math>U^\alpha</math> et <math>U^\beta</math> les énergies internes respectives des deux phases ;
* <math>P^\alpha</math> et <math>P^\beta</math> les pressions respectives des deux phases ;
* <math>V^\alpha</math> et <math>V^\beta</math> les volumes respectifs des deux phases ;
* <math>T^\alpha</math> et <math>T^\beta</math> les températures respectives des deux phases ;
* <math>S^\alpha</math> et <math>S^\beta</math> les entropies respectives des deux phases ;
* <math>\mu_i^\alpha</math> et <math>\mu_i^\beta</math> les potentiels chimiques respectifs du corps <math>i</math> dans chacune des deux phases ;
* <math>n_i^\alpha</math> et <math>n_i^\beta</math> les quantités respectives du corps <math>i</math> dans chacune des deux phases.

Avec les relations sur le système global isolé, en l'absence de réaction chimique :
* énergie interne totale <math>U = U^\alpha + U^\beta</math> constante : <math>\mathrm{d} U = \mathrm{d} U^\alpha + \mathrm{d} U^\beta = 0</math>, selon le premier principe de la thermodynamique de conservation de l'énergie ;
* volume total <math>V = V^\alpha + V^\beta</math> constant : <math>\mathrm{d} V = \mathrm{d} V^\alpha + \mathrm{d} V^\beta = 0</math> ;
* quantités de matière totales <math>n_i = n_i^\alpha + n_i^\beta</math> constantes : <math>\mathrm{d} n_i = \mathrm{d} n_i^\alpha + \mathrm{d} n_i^\beta = 0</math> pour tout <math>i \in [1,\cdots,N]</math>.

'''Attention''' : ce sont les grandeurs totales du système global isolé (de l'ensemble constitué par les deux phases) qui sont constantes, pas les grandeurs propres à chacune des deux phases qui, elles, peuvent varier au cours de la transformation, leurs variations étant opposées : par ex., les volumes des phases <math>V^\alpha</math> et <math>V^\beta</math> peuvent varier, mais le volume total des deux phases <math>V = V^\alpha + V^\beta</math> est constant et <math>\mathrm{d} V^\beta = - \mathrm{d} V^\alpha</math>.

On obtient la relation globale pour l'ensemble des deux phases, selon le [[premier principe de la thermodynamique]] :

:<math>\mathrm{d} U = -\left( P^\alpha - P^\beta \right) \, \mathrm{d} V^\alpha + T^\alpha \, \mathrm{d} S^\alpha + T^\beta \, \mathrm{d} S^\beta + \sum_{i=1}^N \left( \mu_i^\alpha - \mu_i^\beta \right) \, \mathrm{d} n_i^\alpha = 0</math>

Selon le [[deuxième principe de la thermodynamique]], l'entropie totale <math>S = S^\alpha + S^\beta</math> du système isolé ne peut qu'augmenter. L'équilibre est atteint lorsque l'entropie totale du système a atteint un maximum : les variations d'entropie des deux phases sont alors liées par : <math>\mathrm{d} S = \mathrm{d} S^\alpha + \mathrm{d} S^\beta = 0</math>. On peut donc écrire pour le système global à l'équilibre<ref>Numéliphy - Fonctions thermodynamiques et potentiels chimiques - [http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_M10_G03/co/grain_12.html Équilibre entre phases et potentiel chimique].</ref> :

<center>'''À l'équilibre :''' <math>\mathrm{d} U = -\left( P^\alpha - P^\beta \right) \, \mathrm{d} V^\alpha + \left( T^\alpha - T^\beta \right) \, \mathrm{d} S^\alpha + \sum_{i=1}^N \left( \mu_i^\alpha - \mu_i^\beta \right) \, \mathrm{d} n_i^\alpha = 0</math></center>

Quand les deux phases sont à l'équilibre, cela ne signifie pas qu'il n'y a pas d'échanges entre elles. Les deux phases continuent à échanger de la matière et de l'énergie, mais globalement les échanges se font dans les deux sens et se compensent : l'état d'équilibre obtenu dans ce cas peut être qualifié de '''dynamique''' ou '''stationnaire'''. Les variations <math>\mathrm{d} V^\alpha</math>, <math>\mathrm{d} S^\alpha</math> et <math>\mathrm{d} n_i^\alpha</math> pour tout <math>i \in [1,\cdots,N]</math> sont donc non nulles à l'équilibre. La relation précédente implique par conséquent l'homogénéité des potentiels mécanique (pression), thermique (température) et chimiques (potentiels chimiques) entre les deux phases à l'équilibre :

* <math>P^\alpha = P^\beta</math> ;
* <math>T^\alpha = T^\beta</math> ;
* <math>\mu_i^\alpha = \mu_i^\beta</math> pour tout <math>i \in [1,\cdots,N]</math>.

Une autre façon d'obtenir ce résultat est de considérer que lorsque l'équilibre est atteint, c'est-à-dire lorsque l'entropie du système isolé est maximale, alors l'énergie totale du système (constante) correspond à un minimum par rapport aux diverses variables du système, ce qui implique que :

* <math>\left( { \partial U \over \partial V^\alpha } \right)_{ S^\alpha \! , \, n^\alpha } = -\left( P^\alpha - P^\beta \right) = 0</math> ;
* <math>\left( { \partial U \over \partial S^\alpha } \right)_{ V^\alpha \! , \, n^\alpha } = T^\alpha - T^\beta = 0</math> ;
* <math>\left( { \partial U \over \partial n_i^\alpha } \right)_{ V^\alpha \! , \, S^\alpha \! , \, n_{j \neq i}^\alpha } = \mu_i^\alpha - \mu_i^\beta = 0</math> pour tout <math>i \in [1,\cdots,N]</math>.

Les '''conditions d'équilibre''' sont donc données par :

{| class="wikitable centre"
|+ Conditions d'équilibre de deux phases <math>\alpha</math> et <math>\beta</math>
|-
!style="text-align:left;"|Équilibre mécanique
|homogénéité de la pression <math>P</math>
|-
!style="text-align:left;"|Équilibre thermique
|homogénéité de la température <math>T</math>
|-
!style="text-align:left;"|Équilibre chimique
|homogénéité des potentiels chimiques pour tout corps <math>i</math> : <math>\mu_i^\alpha = \mu_i^\beta</math>
|}

Ces conditions sont généralisables à plus de deux phases en équilibre (gaz-liquide-liquide ou gaz-liquide-solide par exemple).

'''Note sur l'homogénéité des potentiels chimiques'''

:L'homogénéité des potentiels chimiques signifie que pour le corps 1 <math>\mu_1^\alpha = \mu_1^\beta</math>, pour le corps 2 <math>\mu_2^\alpha = \mu_2^\beta</math>, … , pour le corps <math>N</math> <math>\mu_N^\alpha = \mu_N^\beta</math>, mais pas que ces potentiels sont égaux entre corps différents : <math>\mu_1^\alpha \neq \mu_2^\alpha \neq \cdots \neq \mu_N^\alpha</math>.

=== Équilibre chimique ===
{{article détaillé|Affinité chimique|Équilibre chimique}}

Soit une [[réaction chimique]] quelconque notée sous la forme :

<center><math>\nu_1\,{\rm C}_1 + \nu_2\,{\rm C}_2 + \cdots +\nu_N\,{\rm C}_N = 0</math></center>

en attribuant selon la [[Stœchiométrie#Nombres stœchiométriques négatifs|convention stœchiométrique]] une valeur négative aux coefficients stœchiométriques des réactifs, et positive à ceux des produits :

* <math>\nu_i < 0</math> pour un [[Réactif (chimie)|réactif]] ;
* <math>\nu_i > 0</math> pour un [[Produit de réaction|produit]] ;
* <math>\nu_i = 0</math> pour un [[inerte (chimie)|inerte]].

L''''affinité chimique''' <math>\mathcal{A}</math> est formellement définie par :

{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center"
| '''Affinité chimique : ''' <math>\mathcal{A} = - \sum_{i=1}^{N} \nu_i \mu_i</math>
|}

On note <math>\xi</math> l''''[[avancement de réaction]]''' et <math>n_i</math> la quantité du composant <math>i</math>. On a <math>\mathrm{d} \xi = \frac {\mathrm{d} n_i}{\nu_i}</math> pour tout <math>i \in [1,\cdots,N]</math>. Le [[deuxième principe de la thermodynamique]] implique la '''condition d'évolution spontanée''' de toute réaction chimique :

{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center"
|'''Condition d'évolution spontanée : ''' <math>\mathcal{A} \, \mathrm{d} \xi = - \sum_{i=1}^N \mu_i \, \mathrm{d} n_i > 0</math>
|}

<math>\mathcal{A}</math> et <math>\mathrm{d} \xi</math> ne peuvent donc être que de même signe :
*<math>\mathcal{A} > 0</math> et <math>\mathrm{d} \xi > 0</math>, '''la réaction progresse''' : des réactifs sont consommés et des produits apparaissent,
*<math>\mathcal{A} < 0</math> et <math>\mathrm{d} \xi < 0</math>, '''la réaction régresse''' : des produits sont consommés et des réactifs apparaissent.

En termes de [[potentiel thermodynamique]], selon les conditions de la réaction, ceci va se traduire :
* par une décroissance de l'[[énergie libre]] <math>F</math> pour une évolution à volume <math>V</math> et température <math>T</math> constants : <math>\mathrm{d} F = \sum_{i=1}^N \mu_i \, \mathrm{d} n_i < 0</math> ;
* par une décroissance de l'[[enthalpie libre]] <math>G</math> pour une évolution à pression <math>P</math> et température <math>T</math> constantes : <math>\mathrm{d} G = \sum_{i=1}^N \mu_i \, \mathrm{d} n_i < 0</math>.

Dans les deux cas, le potentiel thermodynamique décroît. Lorsqu'il atteint un minimum, ce qui correspond à un maximum d'entropie, le système atteint un équilibre.

À l'équilibre, l'entropie atteint un maximum et ne varie plus, alors <math>\mathcal{A} \, \mathrm{d} \xi = 0</math>. Lorsqu'une réaction est équilibrée, cela ne signifie pas qu'il n'y a plus de transformation chimique dans le milieu : des réactifs continuent à se transformer en produits (réaction directe), et des produits à se transformer en réactifs (réaction inverse). L'état d'équilibre obtenu dans ce cas peut être qualifié de '''dynamique''' ou '''stationnaire''' : les réactions ont toujours lieu, mais globalement leurs effets s'annulent ; par exemple l'une absorbe totalement la chaleur dégagée par l'autre, d'où un bilan énergétique globalement nul. En conséquence, à l'équilibre <math>\mathrm{d} \xi \ne 0</math>, d'où :

{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center"
| '''À l'équilibre : ''' <math>\mathcal{A} = 0</math>
|}

=== Migration ===

Lorsqu'un milieu est [[Homogénéité (matériau)|hétérogène]], le potentiel chimique de chaque espèce n'est pas identique en tout point du milieu. Spontanément, chaque espèce [[migration (matière)|migre]] vers les lieux où son potentiel chimique est le plus bas : l'[[Entropie (thermodynamique)|entropie]] du système est ainsi maximisée, conformément au [[deuxième principe de la thermodynamique]]. Ce phénomène est appelé [[diffusion de la matière]].

On considère un [[système thermodynamique]] isolé : il n'échange ni travail, ni chaleur, ni matière avec l'extérieur. Ceci induit notamment que le volume <math>V</math> du système est constant. On suppose que ce système est composé de deux compartiments, <math>\alpha</math> et <math>\beta</math>, séparés par une paroi perméable à la seule espèce chimique <math>i</math>. Ces deux compartiments sont supposés être en permanence à l'équilibre mécanique (même pression <math>P</math>) et à l'équilibre thermique (même température <math>T</math>). Enfin, ce système n'est le siège d'aucune réaction chimique.

Il n'est fait aucune hypothèse quant aux autres espèces chimiques du système (qui peuvent donc être différentes d'un compartiment à l'autre, ou à des concentrations différentes de part et d'autre de la paroi). Les deux compartiments peuvent être dans des [[Phase (thermodynamique)|phases]] différentes. La pression <math>P</math> et la température <math>T</math> peuvent varier. Les volumes des deux compartiments peuvent également varier du moment que le volume global <math>V</math> du système reste constant (la paroi séparant les deux compartiments peut être mobile).

La variation d'énergie de chacun des compartiments vaut, en considérant que seule la quantité de l'espèce <math>i</math> varie dans les compartiments :

:<math>\mathrm{d} U^\alpha = -P \, \mathrm{d} V^\alpha + T \, \mathrm{d} S^\alpha + \mu_i^\alpha \, \mathrm{d} n_i^\alpha</math>
:<math>\mathrm{d} U^\beta = -P \, \mathrm{d} V^\beta + T \, \mathrm{d} S^\beta + \mu_i^\beta \, \mathrm{d} n_i^\beta</math>

avec :
* <math>n_i^\alpha</math> et <math>n_i^\beta</math> les quantités respectives de l'espèce <math>i </math> dans les deux compartiments ;
* <math>S^\alpha</math> et <math>S^\beta</math> les entropies respectives des deux compartiments ;
* <math>U^\alpha</math> et <math>U^\beta</math> les énergies internes respectives des deux compartiments ;
* <math>V^\alpha</math> et <math>V^\beta</math> les volumes respectifs des deux compartiments ;
* <math>\mu_i^\alpha</math> et <math>\mu_i^\beta</math> les potentiels chimiques respectifs de l'espèce <math>i </math> dans les deux compartiments.

Le système étant isolé, on a, étant donné le [[premier principe de la thermodynamique]], conservation de son [[énergie interne]] totale <math>U = U^\alpha + U^\beta</math> :

:<math>\mathrm{d} U = \mathrm{d} U^\alpha + \mathrm{d} U^\beta
 = -P \, \left( \mathrm{d} V^\alpha + \mathrm{d} V^\beta \right) + T \, \left( \mathrm{d} S^\alpha + \mathrm{d} S^\beta \right) + \mu_i^\alpha \, \mathrm{d} n_i^\alpha + \mu_i^\beta \, \mathrm{d} n_i^\beta = 0</math>

Le volume total <math>V = V^\alpha + V^\beta</math> étant constant, on a :

:<math>\mathrm{d} V = \mathrm{d} V^\alpha + \mathrm{d} V^\beta  = 0</math>

On pose <math>S = S^\alpha + S^\beta</math> l'entropie totale du système, on a :

:<math>\mathrm{d} S = \mathrm{d} S^\alpha + \mathrm{d} S^\beta</math>

En l'absence d'échange de matière avec l'extérieur et de réaction chimique, on a conservation de la quantité totale <math>n_i = n_i^\alpha + n_i^\beta</math> de <math>i</math> :

:<math>\mathrm{d} n_i = \mathrm{d} n_i^\alpha + \mathrm{d} n_i^\beta = 0</math>
:<math>\mathrm{d} n_i^\beta = -\mathrm{d} n_i^\alpha</math>

On obtient finalement<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=Mark W. Zemansky |auteur2=Richard H. Dittman |titre=Heat and Thermodynamics |sous-titre=An Intermediate Textbook |éditeur=McGraw-Hill |année=1997 |pages totales=487 |format=pdf |passage=295-297 |isbn=0-07-017059-2 |lire en ligne=https://iiserbbookstore.files.wordpress.com/2016/01/heat-and-themodynamics-by-mark-waldo-zemanskyrichard-dittman.pdf |id=Zemansky |numéro d'édition=7}}.</ref> :

<center><math>T \, \mathrm{d} S = - \left( \mu_i^\alpha - \mu_i^\beta \right) \mathrm{d} n_i^\alpha</math></center>

On suppose que le potentiel chimique de l'espèce <math>i</math> est plus important dans le compartiment <math>\alpha</math> que dans le compartiment <math>\beta</math>, soit <math>\mu_i^\alpha > \mu_i^\beta</math>. La température absolue <math>T</math> étant toujours positive et, selon le [[deuxième principe de la thermodynamique]], l'entropie du système ne pouvant qu'augmenter, soit <math>\mathrm{d} S > 0</math>, alors <math>\mathrm{d} n_i^\alpha < 0</math>, d'où <math>\mathrm{d} n_i^\beta > 0</math>. En conséquence, le corps <math>i</math> migre du compartiment <math>\alpha</math>, dans lequel son potentiel est le plus important, vers le compartiment <math>\beta</math>, de moindre potentiel.

La migration cesse lorsque les potentiels des deux compartiments sont égaux, soit <math>\mu_i^\alpha = \mu_i^\beta</math> : l'entropie a alors atteint un maximum, soit <math>\mathrm{d} S = 0</math>.

== Définitions basées sur le potentiel chimique ==
=== Solution idéale ===
{{article détaillé|Solution idéale}}

Une '''[[solution idéale]]''' est définie par la relation :

{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center"
|'''Solution idéale : '''<math>\mu_{i}^{\varphi,\text{id}} \! \left( P,T,x \right) = \mu_{i}^{\varphi,*} \! \left( P,T \right) + RT \ln x_i</math>
|}

avec :
* <math>x_i</math> la [[fraction molaire]] du constituant <math>i</math> dans la solution ;
* <math>\mu_{i}^{\varphi,\text{id}}</math> le potentiel chimique du composant <math>i</math> dans la solution idéale dans la phase <math>\varphi</math> ;
* <math>\mu_{i}^{\varphi,*}</math> le potentiel chimique du composant <math>i</math> pur, aux mêmes <math>P</math>, <math>T</math> et phase <math>\varphi</math> que la solution idéale ;
* <math>R</math> la [[constante universelle des gaz parfaits]].

Le concept de solution idéale lie les propriétés des corps purs à celles d'un mélange dans lequel les molécules des diverses espèces interagissent avec les molécules des autres espèces de la même façon que ces mêmes molécules interagissent avec les molécules de même espèce à l'état de corps purs. Un [[mélange de gaz parfaits]] est un exemple de solution idéale, selon le [[théorème de Gibbs]].

Cette relation permet également de montrer que :
* pour le corps <math>i</math> pur : <math>\lim_{x_i \to 1} \mu_i = \mu_i^*</math> ;
* pour le corps <math>i</math> infiniment dilué dans un solvant <math>s</math> : <math>\lim_{x_i \to 0} \mu_i = -\infty</math>.

=== Fugacité et coefficient de fugacité ===
{{Article détaillé|Fugacité}}

En 1900<ref name="Lewis1900"/> et 1901<ref name="Lewis1901"/>, [[Gilbert Lewis]] introduisit la notion de '''[[fugacité]]''' d'un corps <math>i</math>, notée <math>f_i</math>, qu'il définit ainsi en 1923<ref name="Lewis1923"/>{{,}}<ref name="Vidal-155"/> :

{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center"
|'''Variation isotherme du potentiel chimique : '''<math>\mathrm{d} \mu _i= RT \, \mathrm{d} \ln f_i</math>
|}

La fugacité a la [[Dimension (physique)|dimension]] d'une pression.

En intégrant entre l'état de gaz parfait pur et l'état réel, les deux états étant aux mêmes pression et température :

:<math>\mu_i - \mu_i^{\bullet,*} = RT \int_{\ln f_i^{\bullet,*}}^{\ln f_i} \mathrm{d} \ln f_i = RT \ln \! \left( \frac{f_i}{f_i^{\bullet,*}} \right)</math>

La pression étant la fugacité du gaz parfait pur : <math>f_i^{\bullet,*} = P</math>, la fugacité exprime l'écart entre le potentiel chimique <math>\mu_i</math> d'un corps <math>i</math> dans un mélange réel et le potentiel chimique <math>\mu_i^{\bullet,*}</math> du même corps à l'état de [[gaz parfait]] pur aux mêmes pression et température que le mélange réel :

{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center"
|'''Fugacité :''' <math>\mu_i - \mu_i^{\bullet,*} = RT \ln \! \left( \frac{f_i}{P} \right)</math>
|}

Un mélange de gaz parfaits étant une [[solution idéale]] selon le [[théorème de Gibbs]], on a la relation :

:<math>\mu_i^\bullet = \mu_i^{\bullet,*} + RT \, \ln x_i</math>

en introduisant le potentiel chimique <math>\mu_i^\bullet</math> du même corps <math>i</math> dans un [[mélange de gaz parfaits]] aux mêmes pression, température et composition (fractions molaires <math>x_i</math>) que le mélange réel. On a donc, en substituant <math>\mu_i^\bullet</math> à <math>\mu_i^{\bullet,*}</math> dans la relation obtenue précédemment pour <math>\mu_i</math>:

:<math>\mu_i - \mu_i^\bullet = RT \int_{\ln f_i^\bullet}^{\ln f_i} \mathrm{d} \ln f_i = RT \ln \! \left( \frac{f_i}{f_i^\bullet} \right) = RT \ln \! \left( \frac{f_i}{x_i P} \right) = RT \ln \phi_i</math>

Le rapport entre la fugacité <math>f_i</math> réelle et la fugacité <math>f_i^\bullet = x_i P</math> du gaz parfait en mélange (qui est égale à sa [[pression partielle]]) est appelé '''coefficient de fugacité''', il est noté <math>\phi_i</math> :

{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center"
|<center>'''Coefficient de fugacité'''<br>
<math>\mu_i - \mu_i^\bullet = RT \ln \phi_i</math><br>
<math>\phi_i = \frac{f_i}{f_i^\bullet} = \frac{f_i}{x_i P}</math></center>
|}

Le coefficient de fugacité est [[Grandeur sans dimension|adimensionnel]].

Le coefficient de fugacité peut être établi pour n'importe quelle phase (gaz, liquide, solide), pourvu que l'on dispose d'une [[équation d'état]] permettant de décrire les propriétés de cette phase. Dans la pratique, le coefficient de fugacité est surtout utilisé pour représenter des phases gazeuses.

=== Activité chimique et coefficient d'activité ===
{{Article détaillé|Activité chimique}}

L'[[activité chimique]] est une notion introduite par Lewis en 1923<ref name="Lewis1923"/>. Elle est définie en intégrant la relation qui lie la variation isotherme du potentiel chimique et celle de la fugacité entre un état standard et l'état réel d'un corps <math>i</math> dans un mélange, les états réel et standard étant à la même température :

:<math>\mu_i - \mu_i^\circ = RT \int_{\ln f_i^\circ}^{\ln f_i} \mathrm{d} \ln f_i = RT \ln \! \left( \frac{f_i}{f_i^\circ} \right) = RT \ln a_i</math>

avec :
* <math>\mu_i</math> le potentiel chimique du corps <math>i</math> dans la solution réelle ;
* <math>\mu_i^\circ</math> le potentiel chimique du corps <math>i</math> dans l'[[état standard]] à la même température que l'état réel ;
* <math>f_i</math> la [[fugacité]] du corps <math>i</math> dans le mélange réel ;
* <math>f_i^\circ</math> la fugacité du corps <math>i</math> dans l'état standard à la même température que l'état réel ;
* <math>a_i</math> l'[[activité chimique]] du corps <math>i</math> entre le mélange réel et l'état standard à la même température que l'état réel.

L''''activité chimique''' est définie par le rapport des fugacités réelle et dans l'état standard<ref name="Vidal-158">Vidal 1997, {{p.}}158.</ref> :

{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center"
|<center>'''Activité'''<br>
<math>\mu_i - \mu_i^\circ = RT \ln a_i</math><br>
<math>a_i = \frac{f_i}{f_i^\circ}</math></center>
|}

L'activité est [[Grandeur sans dimension|adimensionnelle]].

La notion d'activité est surtout employée pour exprimer l'écart entre le potentiel chimique <math>\mu_i</math> d'un corps <math>i</math> dans un mélange réel et le potentiel chimique <math>\mu_{i}^\text{id}</math> du même corps dans une [[solution idéale]] aux mêmes pression, température et composition (fractions molaires <math>x_i</math>), et dans la même phase que le mélange réel :

:<math>\mu_{i} - \mu_{i}^\text{id} = RT \int_{\ln f_i^\text{id}}^{\ln f_i} \mathrm{d} \ln f_i = RT \ln \! \left( \frac{f_i}{f_i^\text{id}} \right) = RT \ln \! \left( \frac{a_i}{x_i} \right) = RT \ln \gamma_i</math>

avec <math>f_{i}^\text{id} = x_i \cdot f_i^*</math> la fugacité en solution idéale. L'état standard est le corps <math>i</math> pur aux mêmes pression et température, dans la même phase que la solution réelle, dont la fugacité est <math>f_i^*</math>. Le rapport entre la fugacité réelle et la fugacité en solution idéale est appelé '''coefficient d'activité''', il est noté <math>\gamma_i</math> :

{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center"
|<center>'''Coefficient d'activité'''<br>
<math>\mu_{i} - \mu_{i}^\text{id} = RT \ln \gamma_i</math><br>
<math>\gamma_i = \frac{f_i}{f_i^\text{id}} = \frac{f_i}{x_i \cdot f_i^*} = \frac{a_i}{x_i}</math>
|}

Le coefficient d'activité est adimensionnel.

Le coefficient d'activité peut être établi pour n'importe quelle phase (gaz, liquide, solide), pourvu que l'on dispose d'un modèle permettant de décrire les propriétés de cette phase. Dans la pratique, le coefficient d'activité est surtout utilisé pour représenter les phases condensées (liquide et solide), avec comme état de référence le corps <math>i</math> pur aux mêmes pression et température, et dans la même phase que le mélange réel.

== Notes et références ==
=== Notes ===
<references />

=== Bibliographie ===

* J. Willard Gibbs, traduit par Henry Le Chatelier, « Équilibre des systèmes chimiques », {{éd.}} G. Carré et C. Naud (Paris), 1899, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k918008 Accessible sur Gallica].
* {{Ouvrage |langue= fr |auteur1= Jean-Pierre Corriou |titre= Thermodynamique chimique |sous-titre= Définitions et relations fondamentales |éditeur= [[Éditions techniques de l'ingénieur |Techniques de l'ingénieur]] |collection= base documentaire : ''Thermodynamique et cinétique chimique'', pack ''Opérations unitaires. Génie de la réaction chimique'', univers ''Procédés chimie - bio - agro'' |lieu= |année= 1984 |volume= J 1025 |tome= |pages totales= |passage= 1-19 |isbn= |lire en ligne= https://books.google.fr/books?id=SIQEilUn97sC&pg=PP1 |id=Corriou1984}}.
* {{Ouvrage |langue=fr |auteur = Jean-Pierre Corriou |titre= Thermodynamique chimique |sous-titre= Équilibres thermodynamiques |éditeur = [[Éditions techniques de l'ingénieur |Techniques de l'ingénieur]] |collection = base documentaire ''Thermodynamique et cinétique chimique'', pack ''Opérations unitaires. Génie de la réaction chimique'', univers ''Procédés chimie - bio - agro'' |volume= J 1028 |passage = 1-31 |année = 1985 |lire en ligne=https://books.google.be/books?id=OXYfQZ8Vc84C&pg=PA1 |id = Corriou}}.
* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Jean |nom1=Vidal |titre=Thermodynamique : application au génie chimique et à l'industrie pétrolière |lieu=Paris |éditeur=[[Technip |Éditions Technip]] |collection=Publications de l'[[IFP Énergies nouvelles |Institut français du pétrole]]. |année=1997 |passage=chapitre 5 |pages totales=500 |isbn=978-2-7108-0715-5 |oclc=300489419 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=1zqZCgAAQBAJ&pg=pa152}}.
* {{Ouvrage |langue=en |auteur1=Robert C. Reid |auteur2=John M. Prausnitz |auteur3=Bruce E. Poling |titre=The properties of gases and liquids |lieu=New York |éditeur=McGraw-Hill |année=1987 |numéro d'édition=4 |pages totales=741 |isbn=978-0-07-051799-8}}.

== Articles connexes ==

* [[Activité chimique]]
* [[Affinité chimique]]
* [[Enthalpie libre]]
* [[Équilibre chimique]]
* [[Équilibre de phases]]
* [[Équilibre thermodynamique]]
* [[Fugacité]]
* [[Potentiel thermodynamique]]
* [[Solution idéale]]

{{Portail|physique|chimie}}

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