Voir la source de Potentiel d'un champ vectoriel

{{homonyme|potentiel}}

Concept fondamental en [[analyse vectorielle]] et pour ses implications en physique, le '''potentiel d'un [[Champ de vecteurs|champ vectoriel]]''' est une [[fonction (mathématiques)|fonction]] [[Scalaire (mathématiques)|scalaire]] ou [[Fonction de plusieurs variables|vectorielle]] qui, sous certaines conditions relatives au [[Ensemble de définition|domaine de définition]] et à la [[Classe de régularité|régularité]], permet des représentations alternatives de champs aux propriétés particulières. Ainsi, pour tout champ vectoriel <math>\vec{V}</math> qui satisfait ces conditions, [[Théorème de Helmholtz-Hodge|le théorème de Helmholtz-Hodge]] assure qu'il existe un potentiel vecteur <math>\vec{A}</math> (défini à un gradient près) et un potentiel scalaire <math>\phi</math> (défini à une constante près) tels que <math>\vec{V}</math> est égal à la différence entre le rotationnel de <math>\vec{A}</math> et le gradient de <math>\phi</math>. On écrit :
{{Retrait|<math>\vec{V} = \vec{\rm rot} \  \vec{A} - \vec{\rm grad} \  \phi = \vec{\nabla} \wedge \vec{A} - \vec{\nabla} \phi </math>}}

Notons que, sur tout ouvert étoilé (ouvert tel qu'il existe un point pour lequel tous les segments entre ce point et n'importe quel autre point de l'ouvert est dans l'ouvert),  par application du [[Lemme de Poincaré|théorème de Poincaré]]<ref>{{Lien web |titre=Institut de Mathématiques de Toulouse |url=https://www.math.univ-toulouse.fr/ |site=www.math.univ-toulouse.fr |consulté le=2021-05-11}}</ref> :
* Un champ vectoriel [[Champ irrotationnel|irrotationnel]] (de [[rotationnel]] nul) peut être identifié au gradient d’un '''potentiel scalaire'''. La réciproque est toujours vraie, y compris en dehors du cas d'un ouvert étoilé.
* Un champ vectoriel [[Champ solénoïdal|solénoïdal]] (de [[Divergence (analyse vectorielle)|divergence]] nulle) peut être identifié au rotationnel d’un '''potentiel vecteur'''. La réciproque est toujours vraie, y compris en dehors du cas d'un ouvert étoilé.

Dans les deux cas, le champ d’origine ''dérive d’un potentiel'' (allusion entre une fonction et sa [[primitive]]). Ces résultats s’inscrivent comme des cas particuliers du [[Théorème de Helmholtz-Hodge|théorème fondamental du calcul vectoriel]].

Remarque. En physique, les potentiels sont souvent définis sur des ouverts non étoilés et les propriétés précédentes ne fonctionnent plus (seule leur réciproque est toujours vraie) car, par exemple, pour annuler sa divergence, il faut et il suffit que le potentiel scalaire d'un champ satisfasse l'équation de Poisson <math>\Delta \phi = 0</math>. Un exemple courant est le potentiel électrostatique <math>\phi(r) = \frac{1}{r}</math> en [[coordonnées sphériques]] (ici, <math>\phi</math> est défini sur <math>\mathbb{R}^3\backslash \{ \vec{0} \}</math> qui est un ouvert non étoilé). 

Ces potentiels permettent non seulement d’appréhender certains champs vectoriels sous un angle complémentaire (pour un traitement parfois plus aisé), mais ils légitiment des abstractions essentielles comme, en physique, l’[[énergie potentielle]] associée à un champ de [[forces conservatives]].

== Potentiel scalaire ==

Sur un domaine [[Connexité par arcs|connexe par arcs]] et [[Connexité simple|simplement connexe]] (sans « trous »), un champ <math>\vec f</math> continu et irrotationnel dérive d’un potentiel scalaire <math> U</math> (l’adjectif est souvent omis) conformément à la relation
{{retrait|1= <math>\vec f = -\, \vec{\mathrm{grad}}\ U</math>. }}

Le même résultat se vérifie dans l’espace entier à condition que, vers l’infini, le champ décroisse « assez » rapidement.

L'existence du potentiel est une conséquence du [[théorème de Green]] (ou d’une forme du [[théorème du rotationnel]] qui en découle) : il est possible de formuler une [[Théorème de Helmholtz-Hodge#Potentiel scalaire|relation caractérisant explicitement]] <math> U</math> en fonction de <math>\vec f </math>.

Ce potentiel est défini à une constante additive près qui peut être choisie arbitrairement. Par ailleurs, selon le contexte, par convention ou commodité, le signe « - » de la relation est parfois omis.

En physique, les potentiels scalaires interviennent dans différents domaines :
* En [[Mécanique (science)|mécanique]], le [[Gravitation|champ gravitationnel]] dérive du [[potentiel gravitationnel]].
* En [[électromagnétisme]], le [[champ électrique]] dérive du [[potentiel électrique]].
* En [[mécanique des fluides]], le champ des vitesses d'un écoulement irrotationnel (sans [[Tourbillon (physique)|tourbillon]]) dérive d'un potentiel : on parle d'[[Écoulement potentiel|écoulement à potentiel des vitesses]].

Les deux premiers cas correspondent à la situation importante des [[Force conservative|'''forces conservatives''']]. La constante arbitraire est souvent définie en fonction des conditions aux limites du problème, et le signe « - » est retenu de sorte qu'une position d'équilibre stable corresponde à un minimum de l'énergie potentielle associée.

Dans ce contexte, il y a parfois confusion entre '''potentiel''' et '''énergie potentielle''', c’est-à-dire entre une ''cause'' et son ''effet''. En prenant par exemple le cas du [[potentiel électrique]], cette confusion vient du fait qu’une relation semblable relie le [[champ électrique]] <math>\vec E</math> et le potentiel électrique <math> V</math> d'une part, la [[Loi de Coulomb (électrostatique)|force électrique]] <math>\vec F</math> et l'[[Énergie potentielle électrostatique|énergie potentielle]] <math> E_p</math> d'autre part :
{{retrait|1= <math>
\begin{matrix}
\vec E = -\,\vec{\mathrm{grad}}\ V \\
\vec F = -\,\vec{\mathrm{grad}}\ E_p \\
\end{matrix}
</math> }}

Entre la seconde relation et la première, il existe un multiple correspondant à la [[charge électrique]] placée dans le champ, sans laquelle la seconde relation n’a pas de sens : <math>\vec F = q \vec E</math>.

La situation est analogue pour le [[potentiel gravitationnel]].

On peut donc dire que la force dérive de l'énergie potentielle et que le champ dérive du potentiel.

== Potentiel vecteur ==

Sur un domaine [[Ouvert (topologie)|ouvert]] et [[Partie étoilée|étoilé]], un champ <math>\vec B</math> régulier et de divergence nulle dérive d’un potentiel vectoriel <math>\vec A</math> conformément à la relation
{{retrait|1= <math>\vec B =  \vec{\mathrm{rot}}\ \vec A</math>. }}

Le même résultat se vérifie dans l’espace entier à condition que, vers l’infini, le champ décroisse « assez » rapidement.

Après l’avoir formulée adéquatement en termes de [[forme différentielle|formes différentielles]], cette propriété est une [[Champ solénoïdal#Décomposition d'un champ solénoïdal|application directe]] du [[lemme de Poincaré]].

Comme le potentiel scalaire, le potentiel vecteur n'est pas unique : le rotationnel d'un gradient étant toujours nul, le potentiel vecteur est déterminé à un gradient près. En d'autres termes, deux potentiels vecteurs reliés par une relation du type
{{retrait|1= <math>\vec A' = \vec A  + \vec{\mathrm{grad}}\,f</math> }}
représentent le même champ vectoriel.

En physique, les potentiels vecteur interviennent dans différents domaines :
* En [[Équations de Maxwell|électrodynamique classique]], l’[[Équations de Maxwell#Invariance de jauge de la théorie|invariance de jauge]] est fondée sur le potentiel scalaire du [[champ électrique]] et le potentiel vecteur de l’[[induction magnétique]].
* En [[mécanique des fluides]] dans le cas des écoulements de [[Fluide incompressible|fluides incompressibles]] dont la vitesse est à divergence nulle par [[conservation des masses]].

== Notes et références ==
{{références}}

== Voir aussi ==
* [[Potentiel de gravitation]]
* [[Potentiel électrique]]
* [[Potentiel vecteur du champ magnétique]]

{{Palette| Analyse vectorielle}}

{{Portail| physique| analyse}}

[[Catégorie:Analyse vectorielle]]
[[Catégorie:Méthode mathématique de la physique]]