Voir la source de Préordre

En [[mathématiques]], un '''préordre<ref>{{Bourbaki-Ensembles}}, Paris, Masson, 1998, ch. III, § 1, {{n°|2}}, {{p.|2 et 5}}, écrit « préordre » et « préordonné ».</ref>''' est une [[relation binaire]] ''[[Relation réflexive|réflexive]]'' et ''[[Transitivité (mathématiques)|transitive]]''.

C'est-à-dire que si {{math|''E''}} est un [[ensemble]], une relation binaire <math>{\mathcal R}</math> sur {{math|''E''}} est un préordre lorsque :
* <math>\forall x \in E\quad x{\mathcal R}x</math> (réflexivité) ;
* <math>\forall (x,y,z) \in E^{3}, (x{\mathcal R}y\land y{\mathcal R}z)\Rightarrow x{\mathcal R}z</math> (transitivité).
Un '''ensemble préordonné''' est un ensemble muni d'un préordre, ou plus formellement un couple <math>(E,\mathcal{R})</math> où <math>E</math> désigne un ensemble et <math>\mathcal{R}</math> un préordre sur <math>E</math>.

== Exemples ==
* Les [[Relation d'ordre|ordres]] sont les préordres [[Relation antisymétrique|antisymétriques]].
* Les [[Relation d'équivalence|relations d'équivalence]] sont les préordres [[Relation symétrique|symétriques]].
* Dans un [[anneau commutatif]], la relation « [[Divisibilité|divise]] » est une relation de préordre. En général, ce n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas antisymétrique (par exemple dans l'ensemble des entiers relatifs, 1 divise –1 et –1 divise 1 alors que 1 et –1 sont différents).
* Sur les sommets d'un [[graphe orienté]], la relation « être accessible depuis » est un préordre (c'est en fait la [[Clôture (mathématiques)|fermeture]] réflexive et transitive du graphe). Si le graphe est [[Graphe orienté acyclique|sans cycle]], cette relation devient un ordre.
* Entre [[Norme (mathématiques)|normes]] sur un même [[espace vectoriel]] réel, la relation « [[Norme équivalente|est plus fine que]] » est un préordre.
* Entre [[Fonction réelle d'une variable réelle|fonctions réelles d'une variable réelle]], la [[Comparaison asymptotique#Domination|domination]] est un préordre.
* Sur l'ensemble des disques du plan, la relation « a une aire au plus égale à celle de »  est un préordre. Ce n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas antisymétrique (deux disques différents peuvent avoir même aire). Cette même relation, sur l'ensemble des disques fermés (ou celui des disques ouverts) de centre fixé, est une relation d'ordre<ref>Paul Ruff, « Relation d'ordre », ''Fiches pédagogiques à destination des professeurs de collège'', {{n°|15}}, 4 janvier 1963.</ref>.
<!--L'exemple des cercles est mentionné 2 fois comme dernier exemple dans la section suivante. En tenir compte en cas de modification de cette section-ci.-->

== Compléments ==
Si {{math|(''E'', ℛ)}} et {{math|(''F'', 𝒮)}} sont deux ensembles préordonnés, une application {{math|''f''}} de {{math|''E''}} dans {{math|''F''}} est dite<ref>{{Harvsp|Bourbaki|texte=Bourbaki 1998}}, ch. III, § 1, {{n°|5}}, {{p.|7}}.</ref> ''croissante'' si {{math|''x''ℛ''y'' ⇒ ''f''(''x'')𝒮''f''(''y'')}}.

Si {{math|''E''}} est un ensemble, {{math|(''F'', 𝒮)}} un ensemble préordonné et {{math|''f''}} une application de {{math|''E''}} dans {{math|''F''}}, la relation {{math|ℛ}} définie par {{math|''x''ℛ''y'' ⇔ ''f''(''x'')𝒮''f''(''y'')}} est un préordre sur {{math|''E''}} (cf. dernier exemple [[#Exemples|ci-dessus]], où {{math|''f''}}, qui à tout cercle associe son aire, est à valeurs dans un ensemble ordonné : les [[Nombre réel|réels]] — ou les réels [[Nombre positif|positifs]]).

Si {{math|(''E'', ℛ)}} est un ensemble préordonné, alors :
* la relation « {{math|''x''ℛ''y'' et  non ''y''ℛ''x''}} » est une [[Relation d'ordre#Relation d'ordre strict|relation d'ordre strict]]<ref>Antoine Rolland, ''[https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00551766/document Procédures d'agrégation ordinale de préférences avec points de référence pour l'aide à la décision]'', thèse de doctorat en informatique, [[université Pierre-et-Marie-Curie]], 2008.</ref> ;
* la relation ~ définie par « {{math|''x''~''y'' si et seulement si (''x''ℛ''y'' et ''y''ℛ''x'')}} » est une relation d'équivalence ;
* pour deux éléments {{math|''X''}} et {{math|''Y''}} de l'[[Relation d'équivalence#Ensemble quotient|ensemble quotient]] de {{math|''E''}} par {{math|~}}, les deux conditions suivantes reviennent alors au même :
** pour tout élément {{math|''x''}} de {{math|''X''}} et tout élément {{math|''y''}} de {{math|''Y''}}, {{math|''x''ℛ''y''}},
** il existe un élément {{math|''x''}} de {{math|''X''}} et un élément {{math|''y''}} de {{math|''Y''}} tels que {{math|''x''ℛ''y''}}.<br />On peut alors définir une relation d'ordre sur cet ensemble quotient {{math|''E''/~}} en posant : {{math|''X'' ≤ ''Y''}}  si l'une des conditions précédentes est réalisée<ref>{{Harvsp|Bourbaki|texte=Bourbaki 1998}}, ch. III, § 1, {{n°|2}}, {{p.|3}}.</ref> ;
** si {{math|''F''}} est une [[Inclusion (mathématiques)|partie]] de {{math|''E''}} contenant [[Axiome du choix|exactement un représentant de chaque classe d'équivalence]], la restriction {{math|𝒮}} de {{math|ℛ}} à {{math|''F''}} est un ordre et {{math|(''F'', 𝒮)}} est [[Isomorphisme d'ordres|isomorphe]] à {{math|(''E''/~, ≤)}} (cf. dernier exemple [[#Exemples|ci-dessus]]).

== Catégorie associée à un ensemble préordonné ==
À tout ensemble préordonné <math>(E,{\cal R})</math>, on peut associer la [[Théorie des catégories|catégorie]] <math>\bar E</math> ainsi définie :

* les [[Théorie des catégories|objets]] de <math>\bar{E}</math> sont les éléments de <math>E</math> ;
* étant donnés deux objets <math>x</math> et <math>y</math> de <math>\bar E</math>, <math>\operatorname{Hom}_{\bar E}(x,y)</math> se compose d'une seule flèche si <math>x{\cal R}y</math> et est vide dans le cas contraire.

En particulier lorsque <math>\cal R</math> est l'[[Égalité (mathématiques)#Propriété de l'égalité|égalité]], <math>\bar E</math> est la [[catégorie discrète]] ayant <math>E</math> comme collection d'objets<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Georges Poitou]]|auteur2=Paul Jaffard|titre=Introduction aux catégories et aux problèmes universels|passage=7|lieu=Paris|éditeur=Ediscience|date=1971}}.</ref>.

== Notes et références ==
<references/>

== Article connexe ==
[[Clôture réflexive transitive]]

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Préordre]]
[[Catégorie:Théorie des catégories]]