Voir la source de Preuve de l'irrationalité de π

{{Titre mis en forme|Preuve de l'irrationalité de {{MathPi}}}}

Dans les [[années 1760]], [[Johann Heinrich Lambert]] a été le premier à '''démontrer que le [[pi|nombre {{MathPi}}]] est [[Nombre irrationnel|irrationnel]]''', c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction {{math|''a''/''b''}}, avec {{mvar|a}} et {{mvar|b}} [[Entier relatif|entiers]] non nuls. Au {{s-|XIX}}, [[Charles Hermite]] établit une preuve ne reposant sur aucun prérequis au-delà de l'[[Analyse (mathématiques)|analyse]] élémentaire. Des versions simplifiées de la preuve de Hermite ont été plus tard trouvées par [[Mary Cartwright]] et [[Ivan Niven]]. Une autre preuve, une version simplifiée de celle de Lambert, est trouvée par [[Miklós Laczkovich]]. La plupart sont des [[Démonstration par l'absurde|preuves par l'absurde]] ou par [[contraposition]].

[[Théorème d'Hermite-Lindemann|En 1882, Ferdinand von Lindemann établit que {{MathPi}} est]] non seulement irrationnel, mais [[Nombre transcendant|transcendant]].

== Preuve de Lambert ==
{{Voir|Fraction continue et approximation diophantienne#Irrationalité{{!}}Détails de la démonstration de Lambert}}
[[File:LambertContinuedFraction.JPG|thumb|upright=2.5|Copie de la formule de la page 288 du mémoire de Lambert.]]
En 1761, [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]]<ref>{{Article|prénom=J.-H.|nom=Lambert|titre=Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes [sic] circulaires et logarithmiques|revue=Histoire de l'[[Académie royale des sciences de Prusse|Académie royale des sciences et belles-lettres]]|lieu=Berlin|vol=17|année=1761|p.=265-322}}, {{Lien web|url=http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/lambert-et-l-irrationalite-de-p-1761|titre=en ligne et commenté|site=[[Bibnum]]}} par Alain Juhel.</ref> prouve que {{MathPi}} est irrationnel en établissant dans un premier temps le développement en [[fraction continue généralisée]] suivant de la fonction [[Tangente (trigonométrie)|tangente]] :
:<math>\tan x=\cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - {}\ddots}}}}</math>

en utilisant les développements en [[série entière]] des fonctions [[cosinus]] et [[Sinus (mathématiques)|sinus]].

Ensuite, Lambert montre que si {{mvar|x}} est non nul et rationnel alors {{math|tan ''x''}} est irrationnel. Or, comme {{math|tan(π/4)&nbsp;{{=}}&nbsp;1}}, il en déduit que {{math|π/4}} est irrationnel et donc que {{MathPi}} est irrationnel.

Historiquement, cette démonstration fut le premier pas vers celle de l'impossibilité de la [[quadrature du cercle]].

== Preuve de Hermite ==
Rédigée en 1873<ref name=Hermite2>{{article|auteur=Charles Hermite|année=1873 |titre=Extrait d'une lettre de Mr. Ch. Hermite à Mr. [[Karl Wilhelm Borchardt|Carl Borchardt]]|journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. reine angew. Math.]]|volume=76 |pages=342-344 |url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN00215546X}} ({{p.|342}}).</ref>, cette preuve utilise la caractérisation de {{MathPi}} comme plus petite solution positive de l'équation {{math|cos(''x''/2) {{=}} 0}} et montre en fait que {{MathPi}}<sup>2</sup> lui-même est irrationnel. Comme de nombreuses preuves d'irrationalité, c'est une démonstration par l'absurde.

[[Charles Hermite|Hermite]] [[Suite définie par récurrence|définit par récurrence]]<ref name=Hermite1>{{article|auteur=Charles Hermite|année=1873 |titre=Extrait d'une lettre de Monsieur Ch. Hermite à Monsieur [[Paul Gordan]]|journal=J. reine angew. Math.|volume=76 |pages=303-311 |url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155435}}.</ref> une [[suite de fonctions]] réelles {{mvar|A<sub>n</sub>}} :
: <math>A_0=\sin x,\quad A_{n+1}(x) =\int_0^xyA_n(y)\,\mathrm{d}y</math>.
Des {{Citation|formules élémentaires}}
:<math>\int_0^x f(y)\cos y\,\mathrm dy=\left[\sin y\,F(y)+\cos y\,F'(y)\right]_0^x</math><!--Parenthèses inutiles pour cos et sin, cf. ref p. 304-->
:<math>\int_0^x f(y)\sin y\,\mathrm dy=\left[\sin y\,F'(y)-\cos y\,F(y)\right]_0^x</math>
où {{mvar|f}} est un polynôme et <math>F=f-f''+f^{(4)}-\dots</math><ref name=Hermite1/>, il déduit que
:<math>A_n(x)=U\sin x+V\cos x,</math>
où {{math|1=''U'' = ''W{{ind|n}}''(''x''{{2}})}}, {{mvar|W{{ind|n}}}} étant<ref name=Hermite2/> un [[polynôme]] à coefficients entiers de degré égal à la [[partie entière]] de {{math|''n''/2}}.

Il indique également une seconde méthode (moins directe) fournissant la même expression de {{mvar|A{{ind|n}}}} :
{{Démonstration|titre=Seconde méthode<ref name=Hermite1/> pour cette expression de {{mvar|A{{ind|n}}}}|
Hermite définit une autre suite de fonctions :
: <math>
\mathfrak A_0(x)=\frac{\sin x}x,\quad \mathfrak A_{n+1}(x) =-\frac{\mathfrak A_n'(x)}x</math>
et il {{Citation|reconnait immédiatement qu'on aura
:<math>\mathfrak A_n(x)=\frac{U\sin x+V\cos x}{x^{2n+1}}</math>,
{{mvar|U}} et {{mvar|V}} étant encore des polynômes dont l'un est de degré {{mvar|n}} et l'autre de degré {{math|''n'' – 1}}}}.

Il calcule les développements en série entière :
:<math>\begin{align}
A_n(x) &=\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!!}-\frac{x^{2n+3}}{2\times(2n+3)!!}+\frac{x^{2n+5}}{2\times4\times(2n+5)!!}\mp\cdots \\[4pt]
\mathfrak A_n(x) &=\frac1{(2n+1)!!}-\frac{x^2}{2\times(2n+3)!!}+\frac{x^4}{2\times4\times(2n+5)!!}\mp\cdots
\end{align}</math>
avec {{math|''n''!!}} désignant la [[double factorielle]] d'un entier {{mvar|n}}, dont il tire :
:<math>\mathfrak A_n(x)=\frac{A_n(x)}{x^{2n+1}}</math>,
ce qui lui redonne l'expression de {{mvar|A{{ind|n}}}} déjà trouvée.
}}
Il en déduit au passage que les fonctions <math>\mathfrak A_n(x):=\frac{A_n(x)}{x^{2n+1}}</math> vérifient <math>\mathfrak A_{n+1}(x) =-\frac{\mathfrak A_n'(x)}x</math>.

Il ne prend pas la peine d'expliciter la relation (immédiate d'après son développement en série entière) entre ses suites de fonctions et les [[Fonction de Bessel|fonctions de Bessel de première espèce {{math|''J<sub>α</sub>''(''x'')}}]] :
:<math>\mathfrak A_n(x)=\sqrt\frac\pi2\,J_{n+\frac12}(x)</math>
mais {{infra|Lien avec la preuve de Lambert}} c'est sans doute cette relation<ref name="Zhou"/> qui lui fournit la [[formule explicite]] suivante<ref name=Hermite2/>{{,}}<ref>On peut aussi la vérifier directement, par exemple en [[Démonstration par récurrence|démontrant par récurrence]] que <math>A_n(x)=\frac1{2^nn!}\int_0^x(x^2-y^2)^n\cos y\,\mathrm dy</math>, mais {{harvsp|Zhou|2011|loc=§ 3}} détaille deux autres méthodes.</ref> :
:<math>A_n(x)=\frac{x^{2n+1}}{2^nn!}\int_0^1(1-z^2)^n\cos(xz)\,\mathrm{d}z</math>.

Si {{math|π<sup>2</sup>/4&nbsp;{{=}}&nbsp;''p''/''q''}}, avec {{mvar|p}} et {{mvar|q}} deux entiers alors pour tout entier pair {{mvar|n}}, le nombre {{math|1=''N{{ind|n}}'' := ''q''<sup>''n''/2</sup>''A<sub>n</sub>''(π/2)}} est égal à  l'entier {{math|''q''<sup>''n''/2</sup>''W<sub>n</sub>''(''p''/''q'')}}. Soit :
:<math>\Z\ni N_n=q^{n/2}A_n\left(\frac\pi2\right)=q^{n/2}\frac{\left(\frac pq \right)^{n+\frac 12}}{2^nn!}\int_0^1(1-z^2)^n\cos\frac{\pi z}2\,\mathrm dz=\sqrt\frac pq\frac{\left(\frac p{2\sqrt q}\right)^n}{n!}\int_0^1(1-z^2)^n\cos\frac{\pi z}2\,\mathrm dz.</math>

Cependant, le terme de droite est non nul et tend vers 0 quand {{mvar|n}} tend vers l'infini. Il y a donc contradiction, montrant que {{math|π<sup>2</sup>/4}} ne peut pas être rationnel, donc {{MathPi}} non plus.

=== Lien avec la preuve de Lambert ===
Comme le signale Hermite<ref name=Hermite1/>{{,}}<ref name="Zhou">{{article |langue=en|nom=Zhou |prénom=Li |titre=Irrationality proofs à la Hermite |journal=[[The Mathematical Gazette]] |année=2011 |volume=95 |numéro=534|pages=407-413 |arxiv=0911.1929 |doi=10.1017/S0025557200003491}}.</ref>, sa fonction {{math|''A{{ind|n}}''(''x'') {{=}} ''U'' sin ''x'' + ''V'' cos ''x''}} est le numérateur de la {{mvar|n}}-ième réduite du développement par Lambert de {{math|tan ''x''}}, le dénominateur étant {{math|''U'' cos ''x'' – ''V'' sin ''x''}}, car ces deux fonctions vérifient la [[Approximant de Padé#Fonction tangente|relation de récurrence découverte par Lambert]] :
:<math>A_{n+1}(x)=(2n+1)A_n(x)-x^2A_{n-1}(x)</math>.
Hermite en déduit au passage ce qu'il appelle {{Citation|l'équation différentielle des transcendantes de ''[[Friedrich Wilhelm Bessel|Bessel]]''}} <math>A_n''(x)-\frac{2n}xA_n'(x)+A_n(x)=0</math>, qui équivaut à l'[[équation différentielle de Bessel]] usuelle, ''via'' le lien avec {{math|''J''{{ind|''n''+1/2}}}} signalé ci-dessus.

Hermite ne présente pas sa démonstration comme une fin en soi, mais comme un sous-produit de sa recherche d'une preuve de la transcendance de {{MathPi}}, comme il le fit la même année dans [[Théorème d'Hermite-Lindemann#Transcendance de e et π|sa preuve de la transcendance de {{math|e}}]]. Il utilise surtout les relations de récurrence pour motiver et obtenir une représentation intégrale convenable.

== Preuve de Cartwright ==
[[Mary Cartwright|Cartwright]] a extrait de la preuve de Hermite un exemple pour un examen de l'[[université de Cambridge]] en 1945<ref>{{ouvrage|langue=en|auteur=[[Harold Jeffreys]]|titre = Scientific Inference|éditeur =[[Cambridge University Press]]|année = 1973|page =268|numéro d'édition =3|isbn = 0-521-08446-6|url = https://archive.org/details/scientificinfere0000jeff/page/268}}.</ref>.

Elle considère directement les variantes suivantes des intégrales <math>\mathfrak A_n</math> de Hermite :
:<math>I_n(x):=\int_{-1}^1(1 - z^2)^n\cos(xz)\,\mathrm{d}z=2^{n+1}n!\mathfrak A_n(x)</math>.

Par une double [[intégration par parties]], elle obtient la [[relation de récurrence]]
:<math>\forall n \geq 2,\ x^2I_n(x)=2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x)</math>.

En posant
:<math>J_n(x):=x^{2n+1}I_n(x)</math>,
cette relation de récurrence devient celle de Lambert {{supra|Lien avec la preuve de Lambert}}, aux notations près (<math>J_n(x)=2^{n+1}n!A_n(x)</math>) :
:<math>J_n(x)=2n(2n-1)J_{n-1}(x)-4n(n-1)x^2J_{n-2}(x).</math>

De plus, {{math|''J''<sub>0</sub>(''x'')&nbsp;{{=}}&nbsp;2 sin ''x''}} et {{math|''J''<sub>1</sub>(''x'')&nbsp;{{=}}&nbsp;−4 ''x''&nbsp;cos ''x''&nbsp;+&nbsp;4 sin ''x''}}. Donc, pour tout entier {{mvar|n}} positif,
:<math>J_n(x)=n!\left(P_n(x)\sin x+Q_n(x)\cos x\right),</math>

où {{mvar|P<sub>n</sub>}} et {{mvar|Q<sub>n</sub>}} sont des polynômes {{Citation|de degré {{math|≤&nbsp;2''n''}}}} (sic) à coefficients entiers.

Cette analyse des polynômes qui apparaissent est moins fine que celle de Hermite, mais va suffire pour démontrer l'irrationalité de {{MathPi}} (et non celle de {{MathPi}}{{2}}).

On prend maintenant {{math|''x''&nbsp;{{=}}&nbsp;{{MathPi}}/2}}, et l'on suppose donc qu'il existe deux entiers {{mvar|a}} et {{mvar|b}} tels que {{math|{{MathPi}}/2&nbsp;{{=}}&nbsp;''a''/''b''}}. Alors :
: <math> \frac{a^{2n+1}}{n!}\,I_n\left(\frac\pi2\right) = P_n\left(\frac ab\right)b^{2n+1}. </math>

Le terme de droite est entier. Cependant, le terme de gauche est non nul et tend vers 0 quand {{mvar|n}} tend vers l'infini. Il y a donc contradiction.

== Preuve de Niven ==
[[Ivan Niven|Niven]]<ref>{{article|langue=en|auteur=Ivan Niven|année = 1947|titre = A simple proof that {{MathPi}} is irrational|périodique= [[Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc.]]|volume = 53|numéro = 6|page = 509|url = https://www.ams.org/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08821-2/S0002-9904-1947-08821-2.pdf|doi=10.1090/s0002-9904-1947-08821-2|accès doi = libre}}.</ref> suppose que {{MathPi}} est rationnel, donc de la forme {{math|π {{=}} ''a''&thinsp;/''b''}} avec {{mvar|a}} et {{mvar|b}} [[Entier naturel|entiers strictement positifs]]. Pour un entier positif {{mvar|n}} {{Citation|à spécifier plus tard}}, il définit deux polynômes :
:<math> f(x) = \frac{x^n(a - bx)^n}{n!}</math>
et
:<math>F(x) = f(x)-f''(x)+f^{(4)}(x)-\cdots+(-1)^n f^{(2n)}(x).</math>

*Il remarque d'abord que {{math|''F''(0) + ''F''(π)}} est un entier.
*:En effet, le polynôme {{math|''n''!''f''}} est à coefficients entiers, et nuls en degrés {{math|< ''n''}}. Ainsi, {{mvar|f}} et ses dérivées prennent des valeurs entières en {{math|0}}, donc aussi en {{MathPi}} puisque {{math|''f''(π – ''x'') {{=}} ''f''(''x'')}}.
*Il établit ensuite que <math> \int_0^\pi f(x)\sin x\,\mathrm{d}x=F(0)+F(\pi)</math><ref>Pour aboutir au même résultat, {{ouvrage|auteur=[[N. Bourbaki]]|année première édition=1949|titre=[[Éléments de mathématique|Fonctions d'une variable réelle]]|url={{Google Livres|BzzKIwLPJB4C|page=33}}|page=III.33}}, exercice 5, suggère une {{Citation|[[Intégration par parties#Généralisations|formule d'intégration par parties d'ordre {{math|''n'' + 1}}]]}} (sic…)<!--cf. pdd-->.</ref>.
*:En effet, comme l'avait remarqué Hermite {{supra|Preuve de Hermite}}, <math>\int_0^\pi f(x)\sin x\,\mathrm dx=\left[F'(x)\sin x-F(x)\cos x\right]_0^\pi</math>.
*Enfin, pour {{math|0 < ''x'' < π}}, <math>0<f(x)\sin x<\frac{(\pi a)^n}{n!}</math>
*:donc {{math|0 < ''F''(0) + ''F''(π) < 1}} pour {{mvar|n}} suffisamment grand, ce qui est impossible.

=== Lien avec la preuve de Hermite ===
La preuve de Niven est plus proche de celle de Hermite qu'elle ne le semble de prime abord :
*d'une part par sa réutilisation de la « formule élémentaire » de Hermite ;
*d'autre part<ref name="Zhou"/> parce qu'un [[Intégration par changement de variable|changement de variable]] {{math|''z''&nbsp;{{=}}&nbsp;1 – 2''y''/π}} dans la formule explicite {{supra|Preuve de Hermite}} et l'évaluation en {{math|1=''x'' = π/2}} donnent :
*:<math>A_n\left(\frac\pi2\right)=\frac1{2^nn!}\int_0^{\pi/2}y^n(\pi-y)^n\sin y\,\mathrm dy=\frac1{b^n2^{n+1}}\int_0^\pi f(x)\sin x\,\mathrm dx.</math>

== Preuve de Laczkovich ==
La preuve de [[Miklós Laczkovich|Laczkovich]] est à la fois une généralisation et une simplification de celle de Lambert<ref>{{article|langue=en|auteur = Miklós Laczkovich|année = 1997|titre = On Lambert's proof of the irrationality of {{MathPi}}|périodique = [[American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|volume = 104|numéro = 5|pages = 439-443|jstor = 2974737|doi=10.2307/2974737}}.</ref><!--http://static.ima.ucv.cl.s3.amazonaws.com/wp-content/uploads/2018/01/Indiana-Pols-Humble-Pi-Edray-Goins.pdf--> : généralisation<ref>Déjà mentionnée en 1922 par {{Ouvrage|lang=en|auteur=[[George Neville Watson|G. N. Watson]]|titre=A Treatise on the Theory of Bessel Functions|éditeur=[[Cambridge University Press]]|url={{Google Livres|Mlk3FrNoEVoC|page=485}}|page=485}}.</ref> parce qu'elle porte (comme celle d'[[Oskar Perron]]<ref>{{Article|lang=de|auteur=O. Perron|titre=Über die Jacobi-Kettenalgorithmen|revue=Situngsber. math.-phys. Klasse Akad. Wiss. München|vol=37|date=1907|p.=483-504|url=https://www.zobodat.at/pdf/Sitz-Ber-Akad-Muenchen-math-Kl_1907_0001.pdf}}.</ref> 90 ans plus tôt) sur une famille de [[Fraction continue de Gauss#Applications à 0F1|fractions continues de Gauss dont celles de Lambert pour tangente et tangente hyperbolique font partie]], et simplification parce qu'elle évite les [[Problème de convergence|considérations de convergence]].

Laczkovich considère la [[Famille (mathématiques)|famille]] de [[Fraction continue de Gauss#La série 0F1|fonctions hypergéométriques {{math|1=''f<sub>k</sub>''(''x'') :=&nbsp;<sub>0</sub>''F''<sub>1</sub>(''k'';&nbsp;–;''x''<sup>2</sup>)}}]]. Ces [[Fonction entière|fonctions entières]] sont définies pour tout [[nombre complexe]] <math>k\notin-\N</math> [[Série hypergéométrique#Cas particuliers|et l'on a en particulier]]
:<math>f_{\frac12}(x) = \cos(2x),\quad f_{\frac32}(x) = \frac{\sin(2x)}{2x},\quad f_k(0)=1</math>.

Ces fonctions sont [[Fonction de Bessel#Relation avec les séries hypergéométriques|liées aux fonctions de Bessel de première espèce {{mvar|J{{ind|α}}}} par]] :
:<math>\Gamma(k)J_{k-1}(2x) = x^{k-1} f_k(x)</math> (où {{math|Γ}} désigne la [[fonction gamma]]) donc :
*[[Fonction de Bessel#Propriétés des Jn|elles vérifient la relation de récurrence]] :
*:<math>\forall x\in\R\qquad \frac{x^2}{k(k+1)}f_{k+2}(x)=f_{k+1}(x)-f_k(x)</math> ;
*{{math|''f''<sub>''k''</sub>(''x'')}} et {{math|''f''<sub>''k''&nbsp;+&nbsp;1</sub>(''x'')}} [[Fonction de Bessel#Zéros|ne peuvent pas être simultanément nuls]] ;
*pour {{mvar|x}} fixé, [[Fonction de Bessel#Développements asymptotiques|{{math|''f''<sub>''k''</sub>(''x'') → 1}} quand {{math|''k'' → +∞}}]].

Laczkovich redémontre alors que
:pour tout {{mvar|x}} non nul tel que {{math|''x''<sup>2</sup>}} est rationnel, on a
:<math>\forall k\in\Q\setminus \{0,-1,-2,\ldots\}\qquad f_k(x)\neq0 \quad \text{ et } \quad \frac{f_{k+1}(x)}{f_k(x)}\notin\Q.</math>
{{Démonstration|contenu=
Dans le cas contraire, il existerait un nombre {{math|''y''&nbsp;≠&nbsp;0}} et deux entiers {{mvar|a}} et {{mvar|b}} tels que {{math|''f''<sub>''k''</sub>(''x'')&nbsp;{{=}}&nbsp;''ay''}} et {{math|''f''<sub>''k''&nbsp;+&nbsp;1</sub>(''x'')&nbsp;{{=}}&nbsp;''by''}}. On peut le montrer en considérant {{math|''y''&nbsp;{{=}}&nbsp;''f''<sub>''k''&nbsp;+&nbsp;1</sub>(''x'')}}, {{math|''a''&nbsp;{{=}}&nbsp;0}} et {{math|''b''&nbsp;{{=}}&nbsp;1}} si {{math|''f''<sub>''k''</sub>(''x'')&nbsp;{{=}}&nbsp;0}} ; sinon, on choisit deux entiers {{mvar|a}} et {{mvar|b}} tels que {{math|''f''<sub>''k''&nbsp;+&nbsp;1</sub>(''x'')/''f<sub>k</sub>''(''x'')&nbsp;{{=}}&nbsp;''b''/''a''}} et l'on pose {{math|''y''&nbsp;{{=}}&nbsp;''f''<sub>''k''</sub>(''x'')/''a''&nbsp;{{=}}&nbsp;''f''<sub>''k''&nbsp;+&nbsp;1</sub>(''x'')/''b''}}.

On prend maintenant un entier naturel {{mvar|c}} tel que {{math|''bc''/''k''}}, {{math|''ck''/''x''<sup>2</sup>}} et {{math|''c''/''x''<sup>2</sup>}} sont entiers et l'on considère la suite
:<math>g_n=\frac{c^n\Gamma(k)}{\Gamma(k+n)}f_{k+n}(x)</math>.

Alors
:<math>g_0=f_k(x)=ay\in\Z y \quad \text{ et } \quad g_1=\frac ckf_{k+1}(x)=\frac{bc}ky\in\Z y.</math>

La relation de récurrence permet de déduire :

:<math>\begin{align}
g_{n+2}&=\frac{c^{n+2}\Gamma(k)}{\Gamma(k+n+2)}f_{k+n+2}(x)\\
&=\frac{c^{n+2}\Gamma(k)}{\Gamma(k+n+2)}\frac{(k+n)(k+n+1)}{x^2}\left(f_{k+n+1}(x)-f_{k+n}(x)\right)\\
&=\frac{c^{n+2}\Gamma(k)}{x^2\Gamma(k+n)}\left(\frac{\Gamma(k+n+1)}{c^{n+1}\Gamma(k)}g_{n+1}-\frac{\Gamma(k+n)}{c^n\Gamma(k)}g_n\right)\\
&=\frac{c(k+n)}{x^2}g_{n+1}-\frac{c^2}{x^2}g_n,
\end{align}</math>

qui est donc une combinaison linéaire de {{math|''g''<sub>''n''&nbsp;+&nbsp;1</sub>}} et {{mvar|g<sub>n</sub>}} à coefficients entiers. Donc tous les {{mvar|g<sub>n</sub>}} sont des multiples entiers de {{mvar|y}}. Or on sait que {{mvar|g<sub>n</sub>}} est non nul (soit {{math|{{!}}''g<sub>n</sub>''{{!}}&nbsp;≥&nbsp;{{!}}''y''{{!}})}} pour {{mvar|n}} suffisamment grand et que la suite des {{mvar|g<sub>n</sub>}} tend vers 0, ce qui est contradictoire.
}}

En termes des fonctions de Bessel {{mvar|J<sub>k</sub>}}, ce résultat se réécrit :
:pour tout {{mvar|x}} non nul tel que {{math|''x''<sup>2</sup>}} est rationnel, on a
:<math>\forall k\in\Q\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}\qquad J_{k-1}(x)\ne0\quad\text{ et }\quad\frac{x J_k(x)}{J_{k-1}(x)}\notin\Q.</math>

En particulier (pour {{math|1=''k'' = {{sfrac|1|2}}}}) :
:pour tout {{mvar|x}} non nul tel que {{math|''x''<sup>2</sup>}} est rationnel, {{math|cos ''x''}} est non nul et {{math|''x'' tan&nbsp;''x''}} est irrationnel.

Puisque {{math|cos({{MathPi}}/2)&nbsp;{{=}}&nbsp;0}}, ce dernier résultat montre que {{math|{{MathPi}}<sup>2</sup>/4}} est irrationnel et donc que {{MathPi}} est irrationnel.

Une autre conséquence est le [[Fraction continue et approximation diophantienne#Nombres à tangente rationnelle, dont π|résultat de Lambert]] : la tangente de tout rationnel non nul est un irrationnel.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Proof that π is irrational|1078069591|type=n}}
{{Références}}

== Article connexe ==
[[e (nombre)#Irrationalité|Preuve de l'irrationalité de {{math|e}}]]

{{Portail|analyse}}

{{DEFAULTSORT:Preuve de l'irrationalité de pi}}
[[Catégorie:Pi]]
[[Catégorie:Théorème de la théorie des nombres|Irrationalité de Pi]]