Voir la source de Primitive

{{ébauche|analyse}}
{{Voir homonymes|Primitif}}
{{Confusion|texte = Ne pas confondre avec la notion de [[fonction primitive]] en informatique.}}

En [[mathématiques]], une '''primitive''' d’une [[fonction réelle d'une variable réelle|fonction réelle]] (ou [[fonction holomorphe|holomorphe]]) {{mvar|f}} est une fonction {{mvar|F}} dérivable dont {{mvar|f}} est la [[dérivée]] :
<math>F'=f</math>.
Il s’agit donc d’un [[antécédent (mathématiques)|antécédent]] pour l’opération de dérivation.

La détermination d’une primitive sert d’abord au calcul des [[Intégration (mathématiques)|intégrales]] de fonctions continues sur un segment, en application du [[théorème fondamental de l'analyse]].
<center><math>\int^b_a f(x)\;\mathrm dx = F(b)-F(a)</math></center>

De nombreuses méthodes de calcul permettent d’exprimer des primitives pour certaines combinaisons de fonctions usuelles, mais le traitement général du problème diffère du calcul de la dérivée pour deux raisons essentielles :
* il n’y a pas [[unicité (mathématiques)|unicité]] de la primitive pour une fonction donnée, ce qui explique également l’absence d’[[opérateur (mathématiques)|opérateur]] de primitive analogue au [[prime (typographie)|prime]] pour la dérivée (même si pour une fonction notée avec une lettre minuscule, une primitive est souvent notée avec la majuscule associée) ;
* quel que soit l’[[ensemble fini]] de fonctions usuelles que l’on se donne, certaines combinaisons de ces fonctions n’admettent aucune primitive qui puisse s’exprimer comme combinaison de fonctions usuelles. Les conditions précises d’existence de l’expression d’une primitive sont explicitées par le [[théorème de Liouville (algèbre différentielle)|théorème de Liouville]].

Toute fonction réelle [[Continuité (mathématiques)|continue]] sur un intervalle, voire [[régularité par morceaux|continue par morceaux]], admet une primitive. En revanche, une [[fonction holomorphe]] sur un ouvert de <math>\Complex</math> n’admet une primitive que si son [[intégrale curviligne]] sur tout [[lacet (mathématiques)|lacet]] est nulle (par exemple si l’[[ouvert (topologie)|ouvert]] de définition est [[Connexité simple|simplement connexe]], d’après le [[théorème intégral de Cauchy]]).

== Méthodes de calcul ==
=== Formulaire ===
Chacune des primitives indiquées ici permet de déterminer toutes les autres primitives en ajoutant des constantes (éventuellement différentes d’une [[Connexité (mathématiques)#Composantes connexes|composante connexe]] à l’autre du domaine).
{| class="wikitable" style="background:white; text-align:center"
|+ Primitives élémentaires
! <math>f(x)</math>
! <math>D_f</math>
! <math>F(x)</math>
|-----
| <math>a</math> 
| <math>\R</math>
| <math>a x</math>
|-----
| <math>1/x</math> 
| <math>\R^*</math>
| <math>\ln|x|</math>
|-----
| <math>x^a</math>  (avec <math>a \ne -1</math>)
| <math>\R\text{ si }a\in\N</math>,<br> <math>\R^*\text{ si }a\in\Z\setminus\N</math>,<br> <math>\R^*_+\text{ sinon}</math>
| <math>\frac {x^{a+1}}{a+1}</math>
|-----
| <math>a^x</math>  (avec <math>a > 0</math>, <math>a \ne 1</math>)
| <math>\R</math>
| <math>\frac{a^x}{\ln a}</math>
|-----
| <math>\ln(x)</math>
| <math>\R^*_+</math>
| <math>x(\ln(x)-1)</math>
|}
En particulier, la [[fonction exponentielle]] est une primitive d’elle-même. Ce tableau inclut les primitives des inverses de fonctions puissances avec la règle <math>\frac 1{x^n} = x^{-n}</math>, la [[racine carrée]] par <math>\sqrt{x} = x^{1/2}</math>, et plus généralement les racines d’ordre supérieur par <math>\sqrt[n]{x} = x^{1/n}</math>.
{| class="wikitable" style="background:white; text-align:center"
|+ Primitives avec [[Fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]]
! <math>f(x)</math>
! <math>D_f</math>
! <math>F(x)</math>
|-----
| <math>\cos(x)</math>
| <math>\R</math>
| <math>\sin(x)</math>
|-----
| <math>\sin(x)</math>
| <math>\R</math>
| <math>-\cos(x)</math>
|-----
| <math>\frac1{\cos^2x}</math> 
| <math>\R\backslash \left\{\tfrac{\pi}2+k\pi\mid k\in\Z\right\}</math>
| <math>\tan x</math>
|-----
| <math>-\frac1{\sin^2x}</math> 
| <math>\R\backslash\left\{k\pi\mid k\in\Z\right\}</math>
| <math>\cot x</math>
|-----
| <math>\tan x</math> 
| <math>\R\backslash\left\{\tfrac{\pi}2+k\pi\mid k\in\Z\right\}</math>
| <math>-\ln|\cos x|</math>
|-----
| <math>\cot x</math> 
| <math>\R\backslash \left\{k\pi\mid k\in\Z\right\}</math>
| <math>\ln|\sin x|</math>
|-----
| <math>\frac1{\sqrt{1-x^2}}</math>
| <math>\left]-1,1\right[</math>
| <math>\arcsin x</math>
|-----
| <math>\frac1{1+x^2}</math>
| <math>\R</math>
| <math>\arctan x</math>
|}
{| class="wikitable" style="background:white; text-align:center"
|+ Primitives avec [[Fonction hyperbolique|fonctions hyperboliques]]
! <math>f(x)</math>
! <math>D_f</math>
! <math>F(x)</math>
|-----
| <math>\operatorname{ch}x</math>
| <math>\R</math>
| <math>\operatorname{sh}x</math>
|-----
| <math>\operatorname{sh}x</math>
| <math>\R</math>
| <math>\operatorname{ch}x</math>
|-----
| <math>\frac1{\operatorname{ch}^2x}</math> 
| <math>\R</math>
| <math>\operatorname{th}x</math>
|-----
| <math>\frac1{\operatorname{sh}^2x}</math> 
| <math>\R^*</math>
| <math>-\operatorname{coth}x</math>
|-----
| <math>\frac1{\sqrt{x^2+1}}</math>
| <math>\R</math>
|[[Sinus hyperbolique réciproque|arsinh {{mvar|x}}]]<math>=\operatorname{ln}\left(x+\sqrt{x^2+1} \right)</math>
|-----
| <math>\frac1{\sqrt{x^2-1}}</math>
|<math> \left]1;+\infty \right[</math> pour arcosh <br/> prolongeable à <math>\mathbb{R}\setminus\left[-1,1\right]</math> <br/>en utilisant l'expression logarithmique 
|[[Cosinus hyperbolique réciproque|arcosh {{mvar|x}}]]<math>=\operatorname{ln}\left\vert x+\sqrt{x^2-1} \right\vert</math>
|-----
| <math>\frac1{1-x^2}</math>
|<math>\left]-1,1\right[</math>
|[[Tangente hyperbolique réciproque|artanh {{mvar|x}}]]<math>=\frac12 \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)</math>
|-----
| <math>\frac1{1-x^2}</math>
|<math>\mathbb{R}\setminus\left[-1,1\right]</math>
|[[Cotangente hyperbolique réciproque|arcoth {{mvar|x}}]]<math>=\frac12 \ln\left(\frac{1+x}{x-1}\right)</math>
|}

=== Combinaisons ===
Le formulaire de dérivation permet d’obtenir l’expression de primitives pour toutes les [[combinaison linéaire|combinaisons linéaires]] des dérivées de fonctions usuelles, en particulier pour un [[polynôme]] à partir de sa forme développée. Par exemple, une primitive du polynôme <math>:x\mapsto 3x + x^2</math> est <math>x\mapsto \frac 32x^2+\frac 13x^3</math>.

Pour une [[fraction rationnelle]], il est possible d’obtenir une primitive à l’aide de sa [[décomposition en éléments simples]], mais celle-ci repose sur une [[factorisation]] du dénominateur, ce qui ne s’explicite pas en général.

La [[composition de fonctions|composition à droite]] par une [[fonction affine]] permet d’étendre ce formulaire : si {{mvar|F}} est une primitive de {{mvar|f}}, et si {{mvar|a}} et {{mvar|b}} sont deux réels avec {{math|{{mvar|a}} ≠ 0}}, alors la fonction <math>x\mapsto f(ax+b)</math> admet pour primitive <math>x\mapsto \frac 1a F(ax+b)</math>.
En particulier, on obtient des primitives de [[signal périodique|signaux périodiques]] apparaissant par exemple dans le [[circuit RLC]] :
{| class="wikitable centre" style="background:white; text-align:center"
|+ Primitives de signaux sinusoïdaux
! <math>f(x)</math>
! <math>D_f</math>
! <math>F(x)</math>
|-----
| <math>\cos(\omega x+\varphi)</math>
| <math>\R</math>
| <math>\frac1{\omega}\sin(\omega x+\varphi)+C</math>
|-----
| <math>\sin(\omega x+\varphi)</math>
| <math>\R</math>
| <math>-\frac1{\omega}\cos(\omega x+\varphi)+C</math>
|}
Plus généralement, si {{math|''u''}} est une fonction dérivable, toutes ses composées à gauche par les primitives dans les tableaux ci-dessus fournissent des formes standard dans la recherche de primitive, comme dans le tableau ci-dessous.

{| class="wikitable centre" style="background:white; text-align:center"
|+ Primitives pour formes de référence
! <math>f(x)</math>
! <math>F(x)</math>
|-----
| <math>(u^a)\times u^\prime</math>
| <math>\frac{u^{a+1}}{a+1}</math>
|-----
| <math>\frac{u^\prime}u</math> 
| <math>\ln{|u|}</math>
|-----
| <math>{\rm e}^u\times u^\prime</math> 
| <math>{\rm e}^u</math>
|-----
| <math>(\sin u)\times u^\prime</math> 
| <math>-\cos u</math>
|-----
| <math>(\cos u)\times u^\prime</math> 
| <math>\sin u</math>
|-----
| <math>u^\prime \times \ln{|u|}</math>
| <math>u \times \ln{|u|} - u </math>
|}

=== Intégration ===
Le [[théorème fondamental de l'analyse]] permet le calcul de primitives en utilisant des intégrales. Les méthodes d’intégration permettent d’obtenir des primitives supplémentaires, notamment par [[Intégration par changement de variable|changement de variable]] ou [[intégration par parties]]. C’est ainsi qu’on peut retrouver facilement une primitive des fonctions [[logarithme]] ou [[arc tangente]]<ref name=":0" />.
<center><math>\int_1^x \ln(t) \mathrm dt = \left[t \ln(t)\right]_1^x - \int_1^x \frac tt \mathrm dt = x \ln(x) - (x-1)</math></center>
<center><math>\int_0^x \arctan(t) \mathrm dt = \left[t \arctan(t)\right]_0^x - \int_0^x \frac t{1+t^2} \mathrm dt = x \arctan(x) - \left[\frac 12 \ln(1+t^2)\right]_0^x
= x \arctan(x) - \frac{\ln(1+x^2)}2</math></center>
De même, les [[règles de Bioche]] permettent de déterminer une primitive pour un quotient de [[Polynôme trigonométrique|polynômes trigonométriques]].

== Utilisations ==
Les primitives permettent de calculer des intégrales, en vertu du théorème fondamental de l'analyse : si {{mvar|F}} est une primitive d’une fonction {{mvar|f}} définie et continue sur un intervalle réel <math>[a, b]</math>, alors la fonction {{mvar|f}} est intégrable sur cet intervalle, avec <math>\int_a^b f(x) \mathrm dx = F(b) - F(a)</math>.

Cette égalité assure l’équivalence suivante : une fonction définie et continue sur un intervalle réel est [[fonction intégrable|intégrable]] si et seulement si ses primitives admettent des limites finies aux bornes de l’intervalle.

La résolution de certaines [[équation différentielle|équations différentielles]] repose sur la détermination de primitives. Par exemple, pour une équation du premier ordre sous forme résolue <math>y' = g(y)</math>, en notant {{mvar|F}} une primitive de <math>\frac 1g</math>, on obtient que les fonctions solutions sont de la forme <math>x\mapsto F^{-1}(x+C)</math>, où <math>F^{-1}</math> est une [[Bijection réciproque|réciproque partielle]] de {{mvar|F}}.

Pour une [[variable aléatoire réelle]] [[variable aléatoire à densité|à densité]], la [[fonction de répartition]] est une primitive de la fonction de densité.

== Calcul automatique ==

Des logiciels comme [[Maxima (logiciel)|Maxima]], [[SageMath]], [[Maple]] ou [[Mathematica]] permettent depuis quelques années de calculer interactivement certaines primitives sous forme symbolique. Le premier logiciel permettant d'effectuer de l'intégration assistée par ordinateur sous forme symbolique était le langage [[FORMAC]], utilisé par les physiciens dans les [[années 1970]].

Il n'est cependant pas possible en général d'exprimer les primitives de fonctions élémentaires (comme celles de la fonction <math>x\mapsto 1/\ln x</math>) à l'aide de fonctions élémentaires seules (d'où la nécessité d'introduire des « [[fonction spéciale|fonctions spéciales]] » telles que la fonction [[logarithme intégral]], li) ; des conditions précises pour qu'une primitive « élémentaire » explicite existe sont données par un [[théorème de Liouville (algèbre différentielle)|théorème de Liouville]], et il est même possible d'automatiser complètement la recherche de telles primitives, grâce à l'[[algorithme de Risch]].

==Primitive généralisée==
Une '''primitive généralisée<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Jean-Pierre Ramis]]|auteur2=[[André Warusfel]]|auteur3=[[et al.|al.]]|titre=Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2|éditeur=[[Dunod]]|année=2014|numéro d'édition=2|passage=605|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|FhnpAwAAQBAJ|page=605}}}}, déf. 16.</ref>''' d'une application <math>f: I\to E</math>, où <math>I</math> est un [[intervalle réel]] et <math>E</math> un [[espace vectoriel normé]], est une application continue <math>F: I\to E</math> telle que, sur le [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaire]] d'un [[ensemble dénombrable]], <math>F'=f</math>.

Par exemple, si <math>F</math> est la [[fonction nulle]] et <math>f</math>  la [[Fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonction indicatrice]] d'un ensemble dénombrable <math>D</math> de réels<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Robert G. Bartle]]|titre=A Modern Theory of Integration|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=2001|passage=57|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|6-9royzoBL8C|page=57}}}}, donne cet exemple dans le cas particulier de la [[fonction de Dirichlet]] (la fonction indicatrice des [[Nombre rationnel|rationnels]]).</ref>, alors <math>F</math> est une primitive généralisée de <math>f</math> puisque pour tout réel <math>x\notin D,F'(x)=0=f(x)</math>.

Si une fonction <math>F</math> est une primitive généralisée d'une fonction <math>f</math> alors :
* les autres sont les applications de la forme <math>F+C</math> où <math>C</math> est une constante ([[Vecteur|vectorielle]])<ref>{{harvsp|Ramis|Warusfel|al.|2014|p=605}}, prop. 92.</ref> (d'après l'[[Théorème des accroissements finis#Inégalité des accroissements finis|inégalité des accroissements finis généralisée]]) ;
* dans le cas <math>E=\mathbb R</math>, <math>f</math> est localement [[Intégrale de Kurzweil-Henstock|intégrable au sens de Kurzweil-Henstock]] et satisfait :{{Retrait|<math>\forall u,v\in I\quad\int_u^vf=F(v)-F(u)</math>}}(d'après le [[Théorème fondamental de l'analyse#Second théorème|second théorème fondamental de l'analyse]]).

Le [[Théorème fondamental de l'analyse#Premier théorème|premier théorème fondamental de l'analyse]] fournit une [[Implication réciproque|réciproque]] partielle : si <math>f: I\to \mathbb R</math> est [[Fonction réglée|réglée]]<ref name=":0">Ici, nous avons calculé la primitive de fonction ln qui s'annule en 1 ainsi que celle de la fonction arctan qui s'annule en 0. Nous aurions pu généraliser en calculant la primitive de ces fonctions qui s'annule en ''a''.</ref> (donc [[Fonction localement intégrable|localement]] [[Intégrale de Riemann|Riemann-intégrable]]), l'application {{math|''F''}} définie par
:<math>F(x)=\int_a^x f (t)\,\mathrm dt</math>
(où <math>a</math> est un point arbitraire de <math>I</math>) est une primitive généralisée de <math>f</math>.

==Notes et références==
{{Références}}

==Articles connexes==
* [[Théorème de Liouville (algèbre différentielle)]], donnant des conditions pour qu'on puisse exprimer une primitive sous forme explicite.
* [[Algorithme de Risch]]
* [[Calcul numérique d'une intégrale]]
* [[Intégrale impropre]]
* [[Intégrale indéfinie]]
* [[Intégration (mathématiques)]]
*[[Point de Lebesgue]]
* [[Intégration des fonctions réciproques]]
{{Palette|Primitives de fonctions}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Primitive|*]]
[[Catégorie:Théorie de l'intégration]]
[[Catégorie:Dérivée]]