Voir la source de Principe d'explosion

{{ébauche|logique|mathématiques}}
En [[logique mathématique]], le '''principe d'explosion''',  souvent nommé, d'après le [[latin]], '''{{latin|ex falso quodlibet}}''' ou {{latin|ex contradictione sequitur quodlibet}}, {{Citation|d'une contradiction, on peut déduire ce qu'on veut}} ou encore '''principe de Pseudo-Scotus'''{{Référence nécessaire|date=25 juillet 2023}}, est une loi de [[logique classique]], de [[logique intuitionniste]] et d'autres logiques, selon laquelle n'importe quel énoncé peut être déduit à partir d'une contradiction<ref>{{Article|auteur=Carnielli, W. and Marcos, J.|année=2001|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.107.70|titre="Ex contradictione non sequitur quodlibet"|éditeur=Bucharest|mois=juillet|langue = en|périodique = Proc. 2nd Conf. on Reasoning and Logic}}</ref>. La [[logique minimale]] est essentiellement la logique intuitionniste sans la règle explicite d'{{latin|ex falso quodlibet}}.

Certaines autres logiques comme les [[Logique non monotone|logiques non-monotones]], ou les [[logique paracohérente|logiques paracohérentes]] ne possèdent pas de principes d'explosion et tentent de gérer les contradictions différemment. 

== Représentation symbolique ==
Le principe d'explosion, de manière un peu plus formelle, peut s'énoncer ("<math>\vdash</math>" représente la relation de [[déduction logique]]) :

(1) : <math>\{ \phi , \lnot \phi \} \vdash \psi</math>
: ''ou''
(2) : <math>\bot \vdash P</math>.

:(1) se lit "''si on énonce qu'une affirmation est vraie (<math>\phi\,</math>) et que sa négation (<math>\lnot \phi</math>) l'est aussi, on peut dériver '''n'importe quelle''' conclusion (<math>\psi</math>).''"
:(2) se lit "''si on a une contradiction (<math>\bot\,</math>) alors on peut en déduire '''n'importe quelle''' propriété.''"

== Argument sémantique en logique classique ==
L'argument [[sémantique]] est tiré de la [[théorie des modèles]]. En théorie des modèles, on dit qu'une [[Structure (logique mathématique)|structure d'interprétation]] est modèle d'une théorie si la théorie est vraie dans l'ensemble de base de cette structure. Une proposition <math>\psi</math> est dans ce cadre une conséquence sémantique d'un ensemble d'autres propositions <math>\Gamma</math> seulement si chacun des modèles de <math>\Gamma</math> est modèle de <math>\psi</math>. Pour parler du principe d'explosion, on remarquera qu'il n'existe pas de modèle de l'ensemble contradictoire <math>\{\phi , \lnot \phi \}</math>  — c'est-à-dire de structure le validant —, et a fortiori, de modèle de <math>\{\phi , \lnot \phi \}</math> qui soit modèle de <math>\psi</math>. Par conséquent, chaque modèle de <math>\{\phi , \lnot \phi \}</math> est un modèle de <math>\psi</math> (puisqu'il n'en existe pas). Ainsi <math>\psi</math> est une conséquence sémantique de <math>\{\phi , \lnot \phi \}</math>.

== Logiques sans le principe d'explosion ==
{{section à sourcer|date=juillet 2024}}
Les [[Logique paracohérente|logiques paracohérentes]] ont été créées pour permettre certaines formes de négations faibles<ref>{{Chapitre|prénom1=Graham|nom1=Priest|prénom2=Koji|nom2=Tanaka|prénom3=Zach|nom3=Weber|titre chapitre=Paraconsistent Logic|titre ouvrage=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|éditeur=Metaphysics Research Lab, Stanford University|date=2022|lire en ligne=https://plato.stanford.edu/archives/spr2022/entries/logic-paraconsistent/|consulté le=2024-07-23}}</ref>. Les logiciens envisageant la logique sous l'angle de la [[sémantique formelle]] pensent, pour la majorité d'entre eux, qu'il existe des modèles pour l'ensemble de formule contradictoire <math>\{\phi , \lnot \phi \}</math> et discutent de sémantiques permettant leur existence. D'une autre manière ils peuvent aussi rejeter l'idée que les propositions puissent être classées entre propositions vraies et propositions fausses, en utilisant des [[Logique polyvalente|logiques polyvalantes]]. La sémantique des preuves en logique paracohérente nie typiquement la [[validité]] du principe, en empêchant l'une des étapes nécessaires à son obtention, typiquement le syllogisme disjonctif ou le principe d'adjonction.

Dans le cas du [[Web sémantique]], à l’intérieur duquel il est presque impossible qu'il n’existe pas différentes sources contradictoires d'informations tant les fournisseurs sont nombreux et pas forcément d'accord entre eux, il a été proposé des logiques dans lesquelles coexistent deux types de négations, et dans lesquelles la non-contradiction n’est requise qu'explicitement<ref>{{Article|lang=en|titre=Negation and Negative Information in the W3C
Resource Description Framework|auteurs= Anastasia Analyti, Grigoris Antoniou, Carlos Viegas Dam ́asio, Gerd Wagner
|url=http://www.ics.forth.gr/_publications/ERDF_2004.pdf|année=2004|périodique=Annals of Mathematics, Computing & Teleinformatics (AMCT)}}</ref>.

== Applications ==
L'importance [[Logique mathématique|métamathématique]] du principe d'explosion est telle que, dans n'importe quelle logique dans laquelle il est vérifié, une démonstration de [[contradiction|<math>\bot</math>]] (soit le [[Algèbre de Boole (logique)|faux]], ou une forme équivalente, comme <math>\phi \land \lnot \phi</math>) ferait de ''toutes'' ses [[formule logique|formules]] des [[théorème]]s, rendant le système inutile. Le principe d'explosion est une des raisons de l'existence du [[principe de non-contradiction]] en [[logique classique]], ne pas l'incorporer rendrait insensée toute affirmation vraie.

== Articles connexes ==
* [[Consequentia mirabilis]] : Loi de Clavius
* [[Dialethéisme]] : croyance en l’existence de réelles contradictions
* [[Principe du tiers exclu]] : chaque proposition est soit vraie, soit fausse
* [[Principe de non-contradiction]] : aucune proposition ne peut être vraie et fausse à la fois
* [[Logique paracohérente]] : une [[logique modale]] utilisée pour gérer les contradictions
* {{Lien|langue=en|trad=Paradox of entailment|fr=Paradoxe de la conséquence}} : un paradoxe apparent dérivé du principe d'explosion
* [[Raisonnement par l'absurde]] : démontrer qu'une proposition est fausse parce que l'affirmer conduit à une contradiction
* [[Trivialisme]] 
* [[2 + 2 = 5]] : à partir de cette [[prémisse fausse]], le logicien [[Bertrand Russell]] aurait fait une démonstration rhétorique du principe d'explosion.

== Références ==
{{Traduction/référence|en|Explosion principle|583898575|type=note}}
{{références}}

{{Portail|logique}}

[[Catégorie:Théorème de logique propositionnelle]]
[[Catégorie:Logique mathématique]]
[[Catégorie:Principe logique|Explosion]]