Voir la source de Principe de superposition

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{{Voir homonymes|superposition}}
{{Confusion|Principe de superposition (géologie)}}
Le '''principe de superposition''' correspond à la propriété permettant de construire la solution d'un problème linéaire par la superposition d'autres solutions. Le mot superposition est à comprendre comme synonyme de [[combinaison linéaire]]. Le principe découle de relations formelles pour les [[Système_linéaire|systèmes linéaires]] et il n'est posé comme réellement fondamental que dans le cadre de la [[Principe_de_superposition_quantique|superposition quantique]]<ref name="Taillet2013">{{ouvrage |auteur1=Richard Taillet |auteur2=Loïc Villain |auteur3=Pascal Febvre |titre=Dictionnaire de physique |éditeur=De Boeck |numéro édition=3 |année=2013 | isbn= 978-2-8041-7554-2 |passage=648-649}}</ref>.
== Historique ==
Le principe de superposition est formulé en 1753 par [[Daniel Bernoulli]] dans le cadre de la [[Mécanique_(science)|mécanique]] comme hypothèse selon laquelle la forme générale du mouvement d’un système vibrant peut s'exprimer comme une superposition de ses [[Mode_normal|modes propres]]. L'idée fut d'abord rejetée notamment par [[Leonhard Euler]] et [[Joseph Lagrange]] avant que les travaux de [[Joseph Fourier]] sur la décomposition des [[Fonction périodique|fonctions périodiques]] en somme de sinus et de cosinus ne le fasse accepter<ref name="Taillet2013"/>{{,}}<ref>{{ouvrage |auteur=[[Léon Brillouin]] |année=1953 |titre=Wave propagation in Periodic Structures |sous-titre=Electric Filters and Crystal Lattices |éditeur=Dover Publications |numéro édition=2 |passage=2-3 |lire en ligne=https://archive.org/details/wavepropagationi0000bril/page/n295/mode/2up |accès url=inscription}}</ref>.

== Point de vue formel ==
Dans le cadre des [[Application_linéaire|applications linéaires]], la superposition peut être renvoyée à deux propriétés simples : {{Lien|langue=en|trad=Additive map|fr=Application additive|texte=additivité}}  
<math display="block">F(x_1+x_2)=F(x_1)+F(x_2) \,</math>
et [[Fonction_homogène|homogénéité]]
<math display="block">F(a x)=a F(x) \,</math>
avec {{mvar|a}} [[Scalaire_(mathématiques)|scalaire]].

Il en découle qu'une fonction qui pour <math>x_1</math> et  <math>x_2</math> donne respectivement des solutions de forme  <math>a_1 F(x_1)</math> et  <math>a_2 F(x_1)</math>, donnera pour <math>x = x_1+x_2</math> <math>F(x) = a_1 F(x_1)+a_2 F(x_2)</math>, solution conservant les propriétés de linéarité.

Ces principes formels sont notamment à la base de l’[[analyse de Fourier]] dans laquelle une solution correspond à la superposition d'un ensemble de sinusoïdales simples ou à celle d'une [[fonction de Green]] où les solutions sont des [[Réponse_impulsionnelle|réponses impulsionnelles]] composées de [[Distribution de Dirac|distributions de Dirac]].
{{références|groupe=superposition}}
== Approche systémique ==
[[Fichier:Rolling animation.gif|right|thumb| Le mouvement d'une roue qui roule peut être décrit par la combinaison linéaire de deux mouvements, une [[translation]] et une [[Mouvement_de_rotation|rotation]].]]
On dit qu'un système de type entrée-sortie est '''linéaire''' ou relève du '''principe de superposition''' si :

* à la somme de deux entrées quelconques correspond la somme des deux sorties correspondantes,

* à un multiple d'une entrée quelconque correspond le même multiple de la sortie correspondante.

Ces conditions correspondent aux relations formelles indiquées plus haut.

Dans le domaine des systèmes physiques et mécaniques, on appelle souvent l'entrée ''excitation'' et la sortie ''réponse'', et par exemple, dans le cas d'une force ''ƒ'' comme excitation avec pour réponse le déplacement ''x'' d'un corps :
* lorsque l'on sollicite le système par l'entrée ƒ<sub>1</sub>, la réponse (déplacement) est ''x''<sub>1</sub> ;
* lorsque l'on sollicite le système par une entrée (excitation) ƒ<sub>2</sub>, la réponse (déplacement) est ''x''<sub>2</sub> ;
et le système est dit linéaire si et seulement si
: pour λ<sub>1</sub> et λ<sub>2</sub> deux nombres quelconques, la réponse à l'excitation λ<sub>1</sub>ƒ<sub>1</sub> + λ<sub>2</sub>ƒ<sub>2</sub> est λ<sub>1</sub>''x''<sub>1</sub> + λ<sub>2</sub>''x''<sub>2</sub>.

Ce résultat se généralise alors à un nombre quelconque d'excitations. En d'autres termes, si on sait décomposer une excitation en une somme de fonctions simples, il sera éventuellement possible de calculer la réponse correspondante en additionnant des réponses individuelles calculables explicitement.

D'un point de vue [[épistémologie|épistémologique]], le principe de superposition permet l'usage d'une démarche de type [[Analyse (philosophie)|analyse et synthèse]] :
* analyse : on découpe un problème en sous-problèmes : principe de la « fracture » (''[[al-jabr]]'' d'[[Al-Khawarizmi]], [[833]]), ou encore « diviser chacune des difficultés que j'examinerais, en autant de parcelles qu'il se pourrait, et qu'il serait requis pour les mieux résoudre » ([[René Descartes]], ''[[s:Discours de la méthode/Deuxième partie|Discours de la méthode]]'', [[1637]]) ;
* on étudie chaque sous-problème (sollicitations simples ƒ<sub>1</sub>, ƒ<sub>2</sub>, …) ;
* synthèse : le problème complexe est la somme des sous-problèmes.

En fait, les systèmes concrets possédant cette propriété sont rarissimes, pour ne pas dire inexistants. Bon nombre de systèmes peuvent être raisonnablement linéarisés, c'est-à-dire qu'on peut les considérer, en première approximation, comme linéaires
* soit en ignorant les petites non-linéarités par l'hypothèse des petites variations, voir ''[[systèmes oscillants à un degré de liberté]]'' et de manière générale grâce à la notion mathématique d'[[approximation linéaire]],
* soit en procédant à une [[linéarisation équivalente|linéarisation optimisée]] dans le cas contraire.

En pratique, bien que peu de systèmes soient strictement linéaires, bon nombre de théories relevant de la physique et de la mécanique sont construites en considérant les systèmes linéaires. Les systèmes non linéaires sont étudiés par un grand nombre de chercheurs, mais la difficulté de leur étude fait qu'ils sont plus difficilement accessibles à un public plus large (ingénieurs, techniciens...)

== Application aux circuits électriques ==

Dans le cas des [[Circuit électrique|circuits électriques]] composés exclusivement d'éléments linéaires (résistances, capacités, inductances, générateurs de tension ou de courant indépendants ou dépendants linéairement d'un courant, d'une tension, etc.), la réponse dans une branche est égale à la somme des réponses pour chaque générateur indépendant pris isolément, en désactivant tous les autres générateurs indépendants (générateurs de tension remplacés par des courts-circuits et générateurs de courant par des circuits ouverts).

; Exemple

[[Fichier:Superposition et circuit électrique.svg|vignette|250px|Illustration du principe de superposition.]]

* En (a): La tension en P par rapport à la masse commune est de {{unité|6.11|volts}}. Cette valeur a été calculée en appliquant le principe de la superposition. Les étapes suivantes en font la démonstration.
* En (b): Court-circuit de V1 pour trouver l'influence de V2. La tension entre P et la masse devient égale à la tension aux bornes de R1. On calcule cette tension avec la formule du [[diviseur de tension]];
: <math>V_\mathrm{R1} = {R_\mathrm{1} \over R_\mathrm{1}\ + R_\mathrm{2}} \cdot (-V_\mathrm{2}) = - 2,77 \mathrm{V}</math>
* En (c): Court-circuit de V2 pour trouver l'influence de V1. La formule du diviseur de tension est de nouveau employée;
: <math>V_\mathrm{R2} = {R_\mathrm{2} \over R_\mathrm{2}\ + R_\mathrm{1}} \cdot V_\mathrm{1} = 8,88 \mathrm{V}</math>

L'addition (superposition) des valeurs obtenues, nous donne bien la tension au point P de notre circuit;
:-<math>2,77 \mathrm{V}\ + 8,88 \mathrm{V} = 6,11 \mathrm{V}</math>

On peut appliquer le même principe à des circuits utilisant plus de deux sources. Aussi, chaque diviseur de tension peut comprendre un nombre quelconque de résistances en série.


'''Restrictions :''' 

Lorsque toutes les sources du circuit sont désactivées sauf une, deux cas spécifiques doivent être vérifiés pour une correcte application du principe superposition :

- le circuit ne doit pas contenir de nœud auquel la tension est indéterminée (cas de sources de courant de même courant électromoteur connectées en série )

- le circuit ne doit pas contenir de branche dans laquelle le courant est indéterminé (cas de sources de tension de même [[force électromotrice]] en parallèle )

'''Cas spécifique des sources commandées :''' 

Le principe de superposition est généralement appliqué à des circuits linéaires contenant des sources indépendantes (courant ou tension). Il peut tout à fait être étendu au cas plus spécifique des sources commandées. Deux analyses peuvent être menées de façon équivalente :

- Toutes les sources indépendantes sont éteintes sauf une (cas d'usage classique), ainsi les sources dépendantes peuvent ou non être éteintes (selon les lois de Kirchhoff) selon la valeur de la commande dans le réseau lors du calcul de l'état électrique considéré.

- Toutes les sources dépendantes et indépendantes sont éteintes sauf une (comme dans le cas d'usage classique); mais lors de l’extinction d'une source dépendante, sa commande est considérée indépendante (elle peut être allumée ou éteinte, selon l'état électrique calculé dans le réseau). L'état électrique ainsi formé correspond à un état lié.

== Résistance des matériaux et mécanique des milieux continus ==

En [[résistance des matériaux]], on étudie des sollicitations élémentaires : [[Tension mécanique|traction]] et [[Compression (physique)|compression]], [[Contrainte de cisaillement|cisaillement]], [[torsion]], [[flexion (matériau)|flexion]]. Les matériaux sont d'ailleurs caractérisés par des [[essai mécanique|essais mécaniques]] reproduisant ces sollicitations simples : [[essai de traction]], essai de torsion, essai de flexion. À partir des charges auxquelles est soumise la pièce, on détermine les [[tenseur des contraintes|contraintes]] en chaque point de la pièce. Ces contraintes sont de deux types : contrainte normale, notée σ, et contrainte de cisaillement, notée τ :
* σ : traction, compression, flexion ;
* τ : cisaillement, torsion ;
la contrainte de cisaillement en flexion est en général ignorée.

Une pièce réelle est en général soumise à plusieurs sollicitations. En résistance des matériaux, on cherche à rester dans le domaine élastique, donc en petites déformations. De ce fait, on peut considérer que le système est linéaire et appliquer le principe de superposition :
* les contraintes normales s'ajoutent entre elles ;
* les contraintes de cisaillement s'ajoutent entre elles.
En particulier,
* en flexion, on établit des formulaires pour les cas simples ; pour un problème complexe, on ajoute simplement les diagrammes des efforts tranchants entre eux, les diagrammes des moments fléchissants entre eux, et les déformées entre elles ; cela revient à ajouter les contraintes ;
* dans le cas de la [[flexion déviée]] et de la flexion + traction ou compression, on ajoute les contraintes normales.

La coexistence de contraintes normale et de cisaillement (par exemple flexion + torsion) nécessite de recourir à d'autres méthodes telles que le [[cercle de Mohr]] ou la notion de [[contrainte équivalente]].

== Références ==
{{références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
| wikibooks = Résistance des matériaux/Formulaire des poutres simples
| wikibooks titre = Formulaire des poutres simples
}}
* [[Électricité]]
** [[Loi d'Ohm]]
** [[Lois de Kirchhoff]]
** [[Théorème de Thévenin]]
** [[Théorème de Norton]]
** [[Théorème de Millman]]
** [[Théorème de réciprocité]]
** [[Système mécanique linéaire]]
* {{Lien|langue=de|trad=Superposition (Mathematik)|fr=Superposition (mathématiques)}}
* [[Principe de superposition quantique]]

{{Portail|physique|électricité et électronique}}

[[Catégorie:Théorie électrique]]
[[Catégorie:Onde]]