Voir la source de Principe fondamental de la dynamique

[[Fichier:Newtons laws in latin.jpg|vignette|Lois de Newton rédigées en latin. ]]
Le '''principe fondamental de la dynamique''' (en abréviation, '''PFD''') désigne une [[loi de physique]] mettant en relation la masse d'un objet, et l'accélération qu'il reçoit si des forces lui sont appliquées. On l'appelle aussi '''[[Lois du mouvement de Newton#Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique|deuxième loi de Newton]]''', ou '''relation fondamentale de la dynamique''', ou encore '''RFD'''.

On peut également le voir comme découlant du [[principe des puissances virtuelles]] qui en est une formulation [[Dualité (mathématiques)|duale]].

== Principe fondamental de la dynamique en translation ==
Il s'agit de la deuxième loi de Newton. Elle s'énonce ainsi :
{{énoncé|deuxième loi de Newton|Dans un [[référentiel galiléen]], l'[[accélération]] du [[centre d'inertie]] d'un [[système physique|système]] de masse {{mvar|m}} constante est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à {{mvar|m}}.}}

Ceci est souvent récapitulé par l'équation :
:<math> \vec{a} = \frac{1}{m} \sum{\vec{\mathrm{F}}_i} </math>
ou :
:<math>\sum{\vec{\mathrm{F}}_i} = m \vec{a}</math>
où :
* <math>\vec{\mathrm{F}}_i</math> désigne les [[forces intérieures et forces extérieures|forces extérieures]] exercées sur l'objet ;
* <math>m</math> est sa [[masse]] inertielle (qui se révèle égale à la masse gravitationnelle, voir [[principe d'équivalence]]) ;
* <math>\vec{a}</math> est l'[[accélération]] de son [[centre d'inertie]] {{math|G}} ;
* le terme <math>m \vec{a}</math> est parfois appelé [[quantité d'accélération]].

Ainsi, la force nécessaire pour accélérer un objet est égale au produit de sa masse par son accélération : plus la masse d'un objet est grande, plus la force requise pour l'accélérer à une vitesse déterminée (en un laps de temps fixé) est grande. Quelle que soit la masse d'un objet, toute force nette non nulle qui lui est appliquée produit une accélération.

=== Théorème de la quantité de mouvement ===
Si la masse ne varie pas au cours du temps<ref name=Halliday>{{Ouvrage|langue=en|nom1=Halliday|auteur2=Resnick|titre=Physics|volume=1|éditeur=|année=|passage=199|isbn=978-0-471-03710-1}}{{Début citation}}It is important to note that we ''cannot'' derive a general expression for Newton's second law for variable mass systems by treating the mass in '''F''' = ''d'''''P'''/''dt'' = ''d''(''M'''''v''') as a ''variable''. [...] We ''can'' use '''F''' = ''d'''''P'''/''dt'' to analyze variable mass systems ''only'' if we apply it to an ''entire system of constant mass'' having parts among which there is an interchange of mass.{{Fin citation}}</ref>, on peut reformuler le PFD de la façon suivante : La dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement d'un corps est égale à la force qui lui est appliquée.

:<math>\sum{\vec{\mathrm{F}}_i} = \frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt}</math>
où :
* <math>\vec{\mathrm{F}}_i</math> désigne les forces exercées sur l'objet ;
* <math>\vec{p} = m \vec{v}</math> est la [[quantité de mouvement]], égale au produit de sa [[masse]] <math>m</math> par sa [[vitesse]] <math>\vec{v}</math>.

Le théorème est applicable à tout système de masse constante, y compris formé de différents morceaux (sous-systèmes). Alors la quantité de mouvement <math>\vec{p}</math> est la somme des quantités de mouvement des différents sous-systèmes :
:<math>\vec p=\sum_j\vec p_j</math>.

=== Principe de d'Alembert ===
On peut aussi écrire le PFD sous la forme :
: <math>\sum{\vec{\mathrm{F}}_i} - m \vec{a} = \vec{0}</math>.
Cela permet une traduction graphique du PFD (voir l'article ''[[Statique graphique]]'') : si l'on met les vecteurs forces bout à bout, on obtient un polygone ouvert (puisque la somme des forces est non nulle) ; le vecteur <math>- m \vec{a}</math> est le vecteur qui ferme le polygone.

On retrouve cette forme en se plaçant dans le référentiel de l'objet étudié : si l'accélération est non nulle, le référentiel n'est plus galiléen (voir [[#Référentiels non galiléens|ci-après]]), on introduit donc la force d'inertie
: <math>\vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{I}} = - m \vec{a} = - \frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt}</math>
et l'on retrouve le [[principe fondamental de la statique]] (le solide étant immobile dans son propre référentiel)
: <math>\sum{\vec{\mathrm{F}}_i} + \vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{I}} = \vec{0}</math>.
L'écriture du PFD sous cette forme facilite la résolution de certains problèmes.

Ceci constitue un cas particulier du [[principe de d'Alembert]] : puisque
: <math>\vec{\mathrm{F}}(x) - \frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt} = \vec{0}</math>,
''a fortiori''
: <math>\int_{\mathrm{C}} \left ( \vec{\mathrm{F}}(x) - \frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt} \right ) \cdot \delta \vec{r}(x)\,\mathrm dx = \vec{0}</math>.

== Principe fondamental de la dynamique en rotation ==
En [[mécanique du solide]], on considère également la rotation d'un solide. Le principe fondamental de la dynamique comporte alors un « volet » sur la rotation.

=== Point matériel en mouvement circulaire ===
Considérons un point matériel A de masse <math>m</math> en mouvement plan circulaire. Sa trajectoire décrit un cercle de centre <math>O</math> et de rayon <math>r</math> constant.

Si l'on [[Projection orthogonale|projette]] le PFD sur l'axe tangentiel du [[repère de Frenet]], on obtient :
:<math>F_t = m a_t</math>
où <math>F_t</math> est la composante tangentielle de la résultante des forces. On en déduit
:<math>C = J_O \alpha</math>
où
* <math>C</math> est le [[moment d'une force|moment de la force]] par rapport à <math>O</math> (en {{nb|N m}}) : <math>C = M_O(F_t) = F_t \, r</math>;
* <math>J_O</math> est le [[moment d'inertie]] du point matériel par rapport à <math>O</math> (en {{nb|kg m2}}) : <math>J_O = m r^2</math> ;
* <math>\alpha</math> est l'[[accélération angulaire]] du point matériel (en {{nb|rad s-2}}).

{{démonstration|1= Par définition, <math>C = r\,F_t</math>. En multipliant par le rayon <math>r</math> chaque membre du PFD, on obtient alors :
:<math>C = r\,F_t = m\,r\,a_t,</math>
puis, si <math>r</math> est non nul :
:<math>C = mr^2 \times (a_t / r) = J_O \alpha.</math>
}}

On obtient ainsi une forme similaire au PFD en translation.

{| class = "wikitable"
|+ Comparaison entre le PFD en translation et en rotation pour le point matériel
|-
! scope = "col" | Grandeur
! scope = "col" | Translation
! scope = "col" | Rotation
|-
| Effort || Force <math>F</math> (N) || Moment <math>C</math> ({{nb|N m}})
|-
| Inertie || masse <math>m</math> (kg) || Moment d'inertie <math>J</math> ({{nb|kg m2}})
|-
| Variation du mouvement || Accélération <math>a</math> ({{nb|m s-2}}) || Accélération angulaire <math>\alpha</math> ({{nb|rad s-2}})
|}

=== Solide en rotation autour d'un axe fixe ===
Considérons un solide <math>S</math> en mouvement de rotation autour d'un axe (Δ), fixe par rapport au référentiel. On peut appliquer la [[Simplification des problèmes plans|simplification des mouvements plans]] en considérant un plan orthogonal à <math>(\Delta)</math>, et donc utiliser des valeurs scalaires. Le solide est défini par sa fonction de [[masse volumique]] <math>\rho</math>. On peut intégrer la formule précédente pour tous les points du solide, ce qui donne
:<math>C_{\text{ext}} = J_\Delta \alpha</math>
où
* <math>C_{\text{ext}}</math> est le moment des [[Action mécanique|actions mécaniques]] extérieures s'exerçant sur <math>S</math>;
* <math>J_\Delta</math> est le moment d'inertie du solide, <br /><math>\mathrm{J}_{\Delta} = \iiint_\mathrm{S} d(\Delta, \mathrm{M})^2 \cdot \rho(\mathrm{M}) \cdot \mathrm{dV}</math><br /> où <math>d(\Delta, M)</math> est la distance du point <math>M</math> à la droite <math>(\Delta)</math> ;
* <math>\alpha</math> est l'accélération angulaire du solide.

On peut formuler ce principe sans se placer dans le plan du mouvement et en utilisant des valeurs vectorielles :

{{énoncé|PFD en rotation|Soit un corps de [[moment d'inertie]] constant <math>J_\Delta</math> par rapport à l'axe de rotation fixe <math>(\Delta)</math>, l'[[accélération angulaire]] subie par ce corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la somme des [[moment d'une force|moments des forces]] qu'il subit exprimés au point <math>A</math>, en projection sur <math>(\Delta)</math>, et inversement proportionnelle à son moment d'inertie.}}

Ceci est souvent récapitulé dans l'équation, pour un [[axe de rotation]] (Δ) passant par A :
:<math> \vec{\alpha} = \frac{1}{\mathrm{J}_\Delta} \sum{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}} (\vec{\mathrm{F}}_i) }</math>,
: — ou —
:<math>\sum{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}} (\vec{\mathrm{F}}_i}) = \mathrm{J}_\Delta \vec{\alpha}</math>,
: — ou encore —
:<math>\sum{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}} (\vec{\mathrm{F}}_i}) - \mathrm{J}_\Delta \vec{\alpha} = \vec{0}</math>.

=== Formulation générale ===
La formulation la plus générale en est :
{{énoncé|PFD en rotation|Le [[moment dynamique]] par rapport à un point A donné d'un corps dans un référentiel galiléen est proportionnel à la somme des [[moment d'une force|moments respectifs des forces]] qu'il subit exprimés au point A.}}
Ceci s'écrit :
: <math>\vec{\delta}_\mathrm{A} = \sum_i{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}} (\vec{\mathrm{F}}_i})</math>
où <math>\vec{\delta}_\mathrm{A}</math> désigne le moment dynamique (exprimé en {{unité|N m}} ou {{unité|kg m2 s-2}}).

L'expression se simplifie si l'on considère le moment d'inertie par rapport au [[centre d'inertie]] G, ou bien par rapport à un point géométrique A fixe dans le référentiel — donc on calcule les moments dynamiques toujours autour du même [[point fixe]], cela ne signifie pas qu'il existe un point du solide de vitesse nulle. Dans ce qui suit, le point P désigne soit un point fixe A, soit le centre d'inertie G.

Dans ces cas-là, le moment dynamique est simplement la dérivée du [[moment cinétique]] <math>\vec{\sigma}_\mathrm{P}</math>. Si par ailleurs le solide est indéformable, on peut exprimer le moment cinétique en fonction de la [[matrice d'inertie]] <math>[\mathrm{I_P}]</math> (constante dans le repère lié au solide, mais variable dans le cas général) et l'on a :
: <math>\vec{\delta}_\mathrm{P} = [\mathrm{I_P}] \cdot \vec{\alpha} + \vec{\Omega} \wedge \vec{\sigma}_\mathrm{P}</math>
où <math>\vec{\Omega}</math> est la vitesse de rotation et <math>\vec{\alpha}</math> est le vecteur accélération angulaire
: <math>\vec{\alpha} = \frac{\mathrm{d}\vec{\Omega}}{\mathrm{d}t}.</math><!-- dérivation toujours dans le référentiel galiléen ? -->
Le PFD devient ainsi
{{énoncé|1=Dans un référentiel galiléen, si P est un point fixe dans le référentiel <math>(\vec{\mathrm{V}}_\mathrm{P} = \vec{0})</math> ou bien le centre d'inertie <math>(P = G)</math>, alors
: <math>[\mathrm{I_P}] \cdot \vec{\alpha} + \vec{\Omega} \wedge \vec{\sigma}_\mathrm{P} = \sum_i{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{P}} (\vec{\mathrm{F}}_i})</math>
}}

Si le solide est en mouvement de rotation autour d'un axe fixe <math>(\Delta)</math>, alors pour tout point A de cet axe (qui est également un point fixe dans le référentiel), <math>\vec{\sigma}_\mathrm{A}</math> est colinéaire à <math>\vec{\Omega}</math> et l'on a donc
: <math>\vec{\delta}_\mathrm{A} = [\mathrm{I_A}] \cdot \vec{\alpha}</math>
ce qui nous redonne l'expression du PFD de la section précédente :
: <math>[\mathrm{I_A}] \cdot \vec{\alpha} = \sum_i{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}} (\vec{\mathrm{F}}_i})</math>

== Dynamique avec les torseurs ==
On peut résumer le PFD en translation et en rotation avec les [[torseur d'action|torseurs d'action]] et [[torseur dynamique|dynamique]]<ref>{{harvsp|CDB|2004|p = 124}}.</ref> :
: <math>\sum \{ \mathcal{T}_{\mathrm{ext}} \} = \{ \mathcal{D}\}</math>.
On note ℰ l'espace réel. On voit en fait que l'équation du moment dynamique
: <math>\forall \mathrm{A} \in \mathcal{E}, \sum \vec{\delta}_{\mathrm{ext}}(\mathrm{A}) = \sum \vec{\mathcal{M}}_\mathrm{ext}(\mathrm{A})</math>
suffit seule à établir l'équilibre. En effet, les torseurs sont des [[Champ de vecteurs|champs de vecteurs]], ici les champs de moments dynamiques et de moments de forces, donc la somme de torseurs est en fait la somme des moments. La résultante d'un torseur n'est qu'une propriété de ce champ ; l'équation de la résultante
: <math>\sum \vec{\mathcal{A}}_\mathrm{ext} = \sum \vec{\mathcal{R}}_\mathrm{ext}</math>
dérive de l'équation des moments par les [[Torseur#Opérations sur les torseurs|propriétés d'addition des torseurs]].

Dans la pratique, il est plus aisé de vérifier l'équation de la résultante d'une part, et l'équation des moments ''en un point donné'' d'autre part, plutôt que de vérifier l'équation des moments en tout point.

Pour simplifier les calculs, on transporte tous les torseurs au point d'application d'une action inconnue (point où la réduction du torseur de cette action est un glisseur), et lorsque plusieurs actions sont inconnues, on prend le point d'application de l'action « la moins connue » (celle ayant le plus de composantes inconnues). En effet, plus les termes du [[produit vectoriel]] comportent d'inconnues, plus le calcul est malaisé.

== Référentiels non galiléens ==
{{Article détaillé|Force d'inertie}}

Notons enfin qu'il est possible de reformuler de manière plus large la deuxième loi de Newton dans un référentiel non galiléen en ajoutant des termes dans l'équation qui sont homogènes à des forces, et qu'on appelle souvent « [[Force d'inertie|forces d'inertie]] ». Ces termes ne sont pas des [[force (physique)|force]]s au sens usuel « d'interactions », mais des termes correctifs d'origine géométrique et cinématique.

== Démonstration en mécanique quantique ==
Les [[postulats de la mécanique quantique]] permettent de retrouver la deuxième loi de Newton. En partant du [[théorème d'Ehrenfest]], qui affirme que l'évolution temporelle de la valeur moyenne <math> \langle a \rangle = \langle \psi | \mathrm{A} | \psi \rangle </math> d'une [[observable]] A est donné par l'équation :

:<math> \frac{\mathrm d \langle a \rangle}{\mathrm dt} = \frac{1}{i \hbar} \langle \psi |[ \mathrm{A}, \mathrm{H}] | \psi \rangle + \left \langle \psi \left | \frac{\partial \mathrm{A}}{\partial t} \right | \psi \right \rangle </math>

On applique ce théorème aux observables position et impulsion, dans le cas d'un hamiltonien <math> \mathrm{H} = \frac{\mathrm{P}^2}{2m} + \mathrm{V}(\mathrm{R}, t)</math>

:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle r\rangle = \frac{1}{m} \langle p \rangle</math>
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle p\rangle = \langle -\nabla \mathrm{V}\rangle </math>

(ces relations sont démontrées en détail dans l'article [[théorème d'Ehrenfest]]).

En combinant les deux équations obtenues, on a

:<math> m \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}\langle r\rangle = \langle -\nabla \mathrm{V} \rangle </math>

Cette relation correspond bien à l'équation de Newton si <math> \langle -\nabla \mathrm{V}\rangle </math> représente la force prise au centre du [[paquet d'onde]] de la particule étudiée, c'est-à-dire si <math> \langle \nabla \mathrm{V}\rangle = [\nabla \mathrm{V}]_{\mathbf r = \langle r\rangle } </math>

Or,

:<math> \begin{align} \langle \nabla \mathrm{V}\rangle & = \langle \psi | \nabla \mathrm{V} | \psi \rangle \\
 \ & = \int \mathrm d^3 \mathbf r \;\psi^* \;\nabla \mathrm{V} \;\psi \\
 \ & = \int \mathrm d^3 \mathbf r \; |\psi|^2 \;\nabla \mathrm{V} \\
 \ & \simeq [\nabla \mathrm{V}]_{\mathbf r = \langle r\rangle } \;\int \mathrm d^3 \mathbf r \; |\psi|^2 \\
 \ & = [\nabla \mathrm{V}]_{\mathbf r = \langle r\rangle } \end{align} </math>

si le paquet d'onde est suffisamment localisé, ce qui est le cas à l'échelle macroscopique.

On a donc bien démontré la deuxième loi de Newton à partir des postulats de la mécanique quantique, et en particulier à partir de l'équation de Schrödinger (à travers le théorème d'Ehrenfest).

== Principe fondamental de la dynamique en mécanique relativiste ==
Dans le cadre de la [[relativité restreinte]] formulée par [[Albert Einstein]], le principe fondamental de la dynamique demeure valide après modification de la définition de la [[quantité de mouvement]] :

:<math> \vec p = \gamma m \vec v</math>

où <math> \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math> est le [[facteur de Lorentz]] avec {{math|''c''}} la [[vitesse de la lumière]]<ref>La quantité <math> \gamma m </math> peut être définie comme la ''masse relative'' du corps, ce qui amène parfois à dire de manière vulgarisée que la masse d'un corps « augmente » avec sa vitesse. Cependant, tout comme en mécanique classique, la [[masse au repos]] ou ''masse propre'' de l'objet demeure une grandeur [[Invariance de Lorentz|invariante]].</ref>.

La quantité de mouvement d'un objet matériel tend ainsi vers l'infini lorsque sa vitesse se rapproche de {{math|''c''}}, ce qui traduit l'impossibilité théorique pour un tel objet de dépasser la vitesse de la lumière. On retrouve par ailleurs la définition classique de la quantité de mouvement <math> \vec p \approx m \vec v</math> aux faibles vitesses.

Dans un [[référentiel galiléen]] (ou ''inertiel'') donné, le principe fondamental de la dynamique conserve alors sa forme habituelle :<dl><dd><math>\sum_i{\vec{\mathrm{F}}_i} = \frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt}</math></dd></dl>Dans le cadre de la [[relativité générale]], cependant, la [[gravitation]] n'est plus considérée comme une force à part entière mais comme une conséquence géométrique de la déformation de l'[[espace-temps]] par la matière, c'est-à-dire une extension du [[Inertie|principe d'inertie]]. Le mouvement inertiel ne se fait donc plus « en ligne droite », mais suit des [[Géodésique|géodésiques]] de l'espace-temps<ref>La géodésique suivie (du genre temps) dépend de la vitesse de l'objet considéré.</ref>.

=== Formulation en termes de quadrivecteurs ===
Pour faciliter les changements de coordonnées entre référentiels inertiels ([[transformations de Lorentz]]), une forme plus générale du principe fondamental de la dynamique peut-être établie en utilisant le formalisme des [[Quadrivecteur|quadrivecteurs]] dans l'[[Espace de Minkowski|espace-temps de Minkowski]]. La quantité de mouvement est ainsi remplacée par le [[Quadri-moment|quadrivecteur énergie-impulsion]] <math> p^\alpha </math>et les forces extérieures par les [[Calculs relativistes#Le quadrivecteur force et la transformation des forces|quadri-forces]] <math> F^\alpha </math>: <dl><dd><math>p^\alpha = (E / c ; \vec p) </math>, où <math>E </math> est l'[[Relativité restreinte#Expression relativiste de l'énergie|énergie totale]] de la particule et <math>\vec{p}</math> est la quantité de mouvement relativiste précédemment définie ;</dd><dd><math>F^\alpha = ( \gamma {\vec F \cdot \vec v} / {c} ; \gamma \vec F ) </math></dd></dl>Par ailleurs, l'écoulement du temps étant relatif à un référentiel donné, il est nécessaire d'introduire la notion de [[temps propre]] <math> \tau </math>, correspondant au temps mesuré dans le référentiel où le système est immobile (temps que mesurerait une horloge « attachée » au système). Cette grandeur [[Invariance de Lorentz|invariante]], peut être définie dans le référentiel inertiel d'observation par :

:<math>{dt} = {\gamma} \cdot d\tau </math>

Le principe fondamental de la dynamique relativiste prend alors la forme plus générale :

:<math>\sum{\mathrm{F}^\alpha} = {dp^\alpha \over d\tau}
</math>

On retrouve ainsi l'expression précédente pour la quantité de mouvement, tandis que le premier terme des quadrivecteurs donne une variante relativiste du [[théorème de l'énergie cinétique]].

== Notes et références ==
{{références}}

== Voir aussi ==
* [[Galilée (savant)|Galilée]]

=== Articles connexes ===
* [[Lois du mouvement de Newton]]
* [[Principe fondamental de la statique]]
* [[Principe des puissances virtuelles]]

=== Bibliographie ===
* {{cohen}}
* {{Ouvrage
 | prénom1=Michel
 | nom1=Combarnous
 | prénom2=Didier
 | nom2=Desjardins
 | prénom3=Christophe
 | nom3=Bacon
 | titre=Mécanique des solides et des systèmes de solides
 | sous-titre=cours et exercices corrigés
 | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]]
 | collection=Sciences sup : cours et exercices corrigés
 | année=2004
 | numéro d'édition=3
 | passage=118-127
 | isbn=978-2-10-048501-7
 | id=CDB2004
}}
*{{Ouvrage
 | langue=fr
 | prénom1=Richard
 | nom1=Taillet
 | prénom2=Loïc
 | nom2=Villain
 | prénom3=Pascal
 | nom3=Febvre
 | titre=Dictionnaire de physique
 | sous-titre=+ de 6500 termes, nombreuses références historiques, des milliers de références bibliographiques
 | lieu=Louvain-la-Neuve
 | éditeur=De Boeck Supérieur
 | date=23 janvier 2018
 | numéro d'édition=4
 | pages totales=956
 | passage=639
 | isbn=978-2-8073-0744-5
 | lire en ligne=https://books.google.com/books?id=pjlFDwAAQBAJ&printsec=frontcover
 | id=CDB2004
}}

{{Portail|Physique}}

[[Catégorie:Dynamique]]