Voir la source de Probabilité

{{Voir homonymie|Probabilité (homonymie)}}
{{Confusion|texte=Cet article présente les notions générales concernant les probabilités ; pour une approche  élémentaire du calcul des probabilités voir [[Probabilités (mathématiques élémentaires)]] ; pour la théorie mathématique rigoureuse correspondante, voir [[Théorie des probabilités]] ; pour l'historique de ces notions, voir [[Histoire des probabilités]] ; pour l'analyse des concepts de probabilité et l'interprétation des probabilités, voir [[Interprétations de probabilité]].}}
[[Fichier:6sided dice.jpg|vignette|Quatre dés à six faces de quatre couleurs différentes. Les six faces possibles sont visibles.]]
Le terme '''probabilité''' possède plusieurs sens : venu historiquement du latin ''probabilitas'', il désigne l'opposé du concept de certitude ; il est également une évaluation du caractère '''probable''' d'un [[Événement (probabilités)|événement]], c'est-à-dire qu'une valeur permet de représenter son degré de certitude ; récemment, la probabilité est devenue une science mathématique et est appelée [[théorie des probabilités]] ou plus simplement ''probabilités'' ; enfin une doctrine porte également le nom de [[probabilisme]].

La probabilité d'un événement est un [[nombre réel]] compris entre 0 et 1. Plus ce nombre est grand, plus le ''risque'', ou la ''chance'', que l'événement se produise est grand. L'étude scientifique des probabilités est relativement récente dans l'[[histoire des mathématiques]]. L'étude des probabilités a connu de nombreux développements depuis le {{s-|XVIII|e}} grâce à l'étude de l'aspect aléatoire et en partie imprévisible de certains phénomènes, en particulier les [[jeu de hasard|jeux de hasard]]. Ceux-ci ont conduit les mathématiciens à développer une théorie qui a ensuite eu des implications dans des domaines aussi variés que la [[météorologie]], la [[finance]] ou la [[chimie]].

== Historique ==
{{article détaillé|Histoire des probabilités}}
[[Fichier:Christiaan Huygens-painting.jpeg|vignette|Christian Huygens.]]
À l'origine, dans les traductions d'[[Aristote]], le mot {{Citation|probabilité}} ne désigne pas une quantification du caractère aléatoire d'un fait, mais la perception qu'une idée est communément admise par tous. Ce n'est qu'au cours du [[Moyen Âge]], puis de la [[Renaissance]], autour des commentaires successifs et des imprécisions de traduction de l'œuvre d'[[Aristote]], que ce terme connaîtra un glissement sémantique pour finir par désigner la vraisemblance d'une idée. 

L'apparition de la notion de {{Citation|risque}}, préalable à l'étude des probabilités, n'est apparue qu'au {{s-|XII|e}}, pour l'évaluation de contrats commerciaux avec le Traité des contrats de [[Pierre de Jean Olivi]]<ref>{{lien web|url=http://www.jehps.net/Juin2007/Piron_incertitude.pdf|site=Journ@l Électronique d'Histoire des Probabilités et de la Statistique|titre=Le traitement de l’incertitude commerciale dans la scolastique médiévale|auteur=SYLVAIN PIRON|date=juin 2007}}.</ref>, et s'est développée au {{s-|XVI|e}}, avec la généralisation des contrats d'assurance maritime<ref>{{lien web|url=http://www.jehps.net/Juin2007/Ceccarelli_Risk.pdf|site=Journ@l Électronique d'Histoire des Probabilités et de la Statistique|titre=The Price for Risk-Taking: Marine Insurance and Probability Calculus in the Late Middle Age|langue=en|auteur=GIOVANNI CECCARELLI|date=juin 2007}}.</ref>. À part quelques considérations élémentaires par [[Girolamo Cardano]]<ref>http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node1.html site sur l'histoire des probabilités</ref> au début du {{s-|XVI|e}}, et par Galilée au début du {{s-|XVII|e}}, le véritable début de la théorie des probabilités date de la correspondance entre [[Pierre de Fermat]] et [[Blaise Pascal]], en 1654.

C'est dans la seconde moitié du {{s-|XVII|e}}, à la suite des travaux de Blaise Pascal, Pierre de Fermat et [[Christian Huygens]]<ref group="b">Ces trois auteurs n'ont jamais utilisé le terme {{Citation|probabilité}} dans le sens qu'il prend par la suite avec le {{Citation|calcul des probabilités}}. </ref>{{,}}<ref name="meusnier" group="a">{{article|langue=fr|prénom1=Norbert|nom1=Meusnier|titre=L'émergence d'une mathématique du probable au {{s-|XVII|e}}|périodique=Revue d'histoire des mathématiques|lien périodique=Revue d'histoire des mathématiques|volume=2|année=1996|date=|zbl=0867.01008|url texte=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/RHM/RHM_1996__2_1/RHM_1996__2_1_119_0/RHM_1996__2_1_119_0.pdf|pages=119-147}}.</ref> sur [[le problème des partis]], que le terme {{Citation|probabilité}} prend peu à peu son sens actuel, avec les développements du traitement mathématique du sujet par [[Jakob Bernoulli]]. 

Au {{S-|XVIII|e}}, [[Gabriel Cramer]] donne un cours sur la ''logique probabiliste'' qui deviendra une base à l'article ''probabilité'' de l'[[encyclopédie de Diderot]], écrite à la fin de ce même siècle<ref group="a" name="martin">{{article|langue=fr|prénom1=Thierry|nom1=Martin|titre=La logique probabiliste de Gabriel Cramer|périodique=Mathematics and social sciences|volume=4|numéro=176|année=2006|date=|doi=10.4000/msh.3647|url texte=http://www.ehess.fr/revue-msh/pdf/N176R1259.pdf|pages=43-60}}</ref>. Ce n'est alors qu'au {{s-|XIX|e}} qu'apparaît ce qui peut être considéré comme la théorie moderne des probabilités en mathématiques. 

Le calcul des probabilités prend un nouvel essor au début du {{s-|XX|e}}, avec l'[[Axiomes des probabilités|axiomatique de Kolmogorov]]; commence alors la [[théorie des probabilités]]. Les probabilités deviennent une science et une théorie, comme branche des mathématiques<ref name="aslangul1">{{Harvsp|Aslangul|2004|p=1}}</ref>.

== Terminologies ==
Ainsi, il existe plusieurs notions que nous détaillerons dans les sections suivantes : 
*la ''probabilité d'un fait'' caractérise la possibilité que ce fait se produise, une vraisemblance, une apparence de vérité<ref group="a" name="CNRTL">{{Lien web |langue=fr |url=http://www.cnrtl.fr/lexicographie/probabilit%C3%A9 |titre= Définition de probabilité |site=CNRTL}}</ref>. (définition 2 du Larousse<ref group="a" name="larousse">{{Lien web |langue=fr |url=http://www.larousse.fr/dictionnaires/francais/probabilit%C3%A9s |titre= Définition : probabilité |site=Larousse}}</ref>). Le ''probable'', la ''connaissance probable'' ou la ''logique probabiliste''<ref group="a" name="martin"/> sont des termes utilisés, notamment au {{s-|XVIII|e}}, pour désigner une connaissance intermédiaire entre la certitude de la vérité et la certitude de la fausseté.
{{Retrait|Voir l'article du wiktionnaire : [[wikt:probable|probable]] ;}}
*les ''probabilités d'un fait'' donnent le pourcentage de chance qu'un fait se produise, c'est-à-dire qu'elles donnent une ou plusieurs valeurs (ou pourcentages) de la possibilité qu'il se produise. Cette notion se rapproche de la notion mathématique de [[loi de probabilité]] (définition 1 du Larousse<ref group="a" name="larousse"/>). Plus formellement, c'est le rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles<ref group="a" name="CNRTL"/>.
{{Retrait|Voir l'article : [[probabilités (mathématiques élémentaires)]] ;}}
*les ''probabilités'' ou le ''calcul des probabilités'' ou la ''théorie des probabilités'' sont la théorie mathématique qui étudie le caractère probable des événements (définition 1 du Larousse<ref group="a" name="larousse"/>).
{{Retrait|Voir l'article : [[théorie des probabilités]] ;}}
*la ''doctrine des probabilités'' ou ''probabilisme'' est une doctrine de théologie morale qui enseigne qu'on peut suivre une opinion, pourvu qu'elle soit probable<ref group="a" name="CNRTL"/>.{{Retrait|Voir l'article : [[probabilisme]].}}

=== Probabilité et certitude ===
Le premier usage du mot ''probabilité'' apparaît en 1370 avec la traduction de ''l'[[éthique à Nicomaque]]'' d'[[Aristote]] par [[Oresme]], et désigne alors « le caractère de ce qui est probable »<ref group="a" name="CNRTL"/>. Le concept de probable chez Aristote ({{grec ancien|ἔνδοξον|éndoxοn}}, en grec) est ainsi défini dans les ''[[Topiques (Aristote)|Topiques]]''<ref name="tricot16">{{Harvsp|Tricot|1990|p=16}}</ref> :

{{citation bloc|Sont probables les opinions qui sont reçues par tous les hommes, ou par la plupart d'entre eux, ou par les sages, et parmi ces derniers, soit par tous, soit par la plupart, soit enfin par les plus notables et les plus illustres.}}

Ce qui rend une opinion probable chez [[Aristote]] est son caractère généralement admis<ref name="macé" group="a">{{article|langue=fr |prénom1=Arnaud |nom1=Macé |titre= Aristote - Définir, décrire, classer chez Aristote : des opérations propédeutiques à la connaissance scientifique des choses  |périodique= Phulopsis |année= 2006 |url texte=http://www.philopsis.fr/IMG/pdf_aristote_mace.pdf }}</ref>; ce n'est qu'avec la traduction de [[Cicéron]] des ''Topiques'' d'Aristote, qui traduit par ''probabilis'' ou par ''verisimilis'', que la notion de vraisemblance est associée à celle de « probabilité », ce qui aura un impact au cours du [[Moyen Âge]] puis de la [[Renaissance]], avec les commentaires successifs de l'œuvre d'[[Aristote]]<ref name="spranzi" group="a">{{article|langue=fr|prénom1=Marta|nom1=Spranzi Zuber|titre=Rhétorique, dialectique et probabilité au {{s-|XVI|e}}|périodique=Revue de Synthèse|volume=122|numéro=2-4|année=2001|date=|doi=10.1007/BF02969533|url texte=https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02969533|pages=297-317}}</ref>.

Une phrase, situation ou proposition est vraie ou fausse. Sa probabilité est la {{citation|connaissance évidente de la vérité ou de la fausseté d'une proposition}}<ref group="a" name="martin"/>. La notion d'incertitude est quant à elle le défaut de cette connaissance. Pour une proposition, il existe alors trois cas<ref group="a" name="martin"/> :
*la proposition est reconnue comme vraie avec certitude ;
*la proposition est reconnue comme fausse avec certitude ;
*elle est probable si on ne peut la reconnaître vraie ou fausse. Dans ce cas, il est possible de mesurer une certaine ''vraisemblance'' par la connaissance du nombre de conditions requises pour être reconnue vraie.

Cette représentation développée par Cramer permet de faire apparaître une manière de mesurer la notion d'incertitude ou de probabilité. Il donne alors la définition suivante de la probabilité :

{{Théorème|Définition (Gabriel Cramer)<ref group="a" name="martin"/>|Puisque la certitude entière naît de l'assurance que l'on a de l'existence de toutes les conditions requises pour certaines vérités, et la probabilité de la connaissance qu'on a de l'existence de quelques-unes de ces conditions, on regarde la certitude comme un tout et la probabilité comme une partie. Le juste degré de probabilité d'une proposition sera donc exactement connu quand on pourra dire et prouver que cette probabilité monte à demi certitude ou au trois quarts de la certitude entière, ou seulement au tiers de la certitude, etc.}}

=== Probabilités d'un événement ===
{{article détaillé|probabilités (mathématiques élémentaires)|loi de probabilité}}
Comme précisé précédemment, la notion de probabilité permet de quantifier le hasard. La formalisation du début du {{s-|XX|e}} est aujourd'hui unanimement utilisée. (par exemple, voir l'ouvrage de Jacod et Protter<ref name="jacod7">{{Harvsp|Jacod|Protter|2003|p=7}}</ref> pour cette section)

La probabilité d'un certain [[Évènement (probabilités)|événement]] {{mvar|A}}, notée <math>\mathbb{P}(A)</math>, associe une valeur entre 0 et 1 que l'événement se réalise. Lorsque <math>\mathbb{P}(A)=1</math>, l'événement est dit [[Ensemble négligeable#« Presque sûrement »|presque sûr]] (ou quasi certain), c'est-à-dire qu'il a « toutes les chances » de se réaliser. À l'inverse si <math>\mathbb{P}(A)=0</math>, {{mvar|A}} est dit [[Ensemble négligeable|négligeable]] (ou quasi impossible), c'est-à-dire qu'il a une chance nulle de se réaliser.

La probabilité d'un événement {{mvar|A}} peut s'obtenir de manière fréquentiste, notamment lorsqu'il est possible de faire une expérience plusieurs fois et de compter le nombre de succès de l'expérience. En effet, si on effectue {{mvar|n}} fois une expérience indépendamment et que dans {{mvar|n{{ind|A}}}} fois des cas, l'événement {{mvar|A}} est réalisé, alors, la probabilité de {{mvar|A}} est donnée par : 
{{Retrait|<math>\mathbb P(A)=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n_A}{n}</math>.}}
De manière plus probabiliste, lorsque le nombre de résultats possibles de l'expérience est fini et que ces résultats sont équiprobables, la probabilité de {{mvar|A}} est obtenue par :
{{Retrait|<math>\mathbb P(A)=\frac{\text{nombre de cas o}\mathrm{\grave{u}} \text{ } A \text{ se r}\mathrm{\acute{e}} \text{alise}}{\text{nombre de cas possibles}}</math>.}}

Mathématiquement, l'événement {{mvar|A}} est un sous-ensemble d'un ensemble {{math|Ω}} qui représente toutes les éventualités possibles. Pour obtenir une théorie, des [[Axiomes des probabilités|axiomes]] ont été proposés par [[Kolmogorov]] : la probabilité <math>\mathbb{P}</math> doit vérifier :
#pour tout événement {{mvar|A}}, <math> 0\leq \mathbb P(A)\leq 1</math>,
#<math> \mathbb P(\Omega) = 1</math>,
#<math> \mathbb P(A \cup B)=\mathbb P(A) + \mathbb P(B)</math> pour <math> A\cap B=\emptyset</math>.
Plus rigoureusement, l’ensemble Omega est muni d’une tribu, les événements sont les éléments de cette tribu, et la probabilité P est une application de Omega vers [0,1] vérifiant les propriétés précédentes, la propriété 3 étant demandée pour des unions dénombrables d’événements  disjoints deux à deux. 

Grâce à cette description, plusieurs notions peuvent s'écrire de manière mathématique.

{{article détaillé|Indépendance (probabilités)}}
Deux événements sont dits ''indépendants'' si le fait de connaître la probabilité du premier événement ne nous aide pas pour prévoir la probabilité du second et inversement. Mathématiquement, cela s'écrit : <math> \mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(A)\mathbb P(B)</math>. Par exemple, la probabilité d'obtenir un 1 à un premier jeté de dé (à 6 faces) et d'obtenir un 1 au deuxième jeté de dé est la multiplication des deux probabilités et vaut 1/36.

{{article détaillé|Probabilité conditionnelle}}
Il est possible de considérer la probabilité d'un événement (notons le {{mvar|A}}) ''conditionnellement'' à un autre (noté {{mvar|B}}). Lorsque les deux événements ne sont pas indépendants, le fait de connaître la probabilité de l'un influence la probabilité de l'autre par la formule : <math> \mathbb P(A\mid B)=\mathbb P(A\cap B)/\mathbb P(B)</math>. Par exemple, la probabilité d'obtenir la somme des deux dés égale à 12 lorsque le premier dé a donné 6 vaut 1/6.

{{article détaillé|Formule de Poincaré|Formule des probabilités totales|Théorème de Bayes}}
Des formules existent pour pouvoir calculer beaucoup de types de probabilités. C'est le cas par exemple de la ''formule de Poincaré'', de la ''formule des probabilités totales'' ou du ''théorème de Bayes''.

=== Théorie des probabilités ===
{{article détaillé|théorie des probabilités}}
Encouragé par Pascal, [[Christian Huygens]] publie ''De ratiociniis in ludo aleae'' (raisonnements sur les jeux de dés) en 1657. Ce livre est le premier ouvrage important sur les probabilités. Il y définit la notion d'[[espérance mathématique|espérance]] et y développe plusieurs problèmes de partages de gains lors de jeux ou de tirages dans des urnes<ref>[http://www.math93.com/theoreme/probabilites.html Les probabilités : Approche historique et définition.<!-- Titre généré automatiquement -->]</ref>. Deux ouvrages fondateurs sont également à noter : ''Ars Conjectandi'' de [[Jacques Bernoulli]] (posthume, 1713) qui définit la notion de [[variable aléatoire]] et donne la première version de la [[loi des grands nombres]]<ref>http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node3.html, une histoire de la probabilité jusqu'à Laplace</ref>, et ''Théorie de la probabilité'' d'  [[Abraham de Moivre]] (1718) qui généralise l'usage de la [[combinatoire]]<ref>[[Ian Hacking]] ''L'émergence des probabilités''</ref>.

La théorie de la probabilité classique ne prend réellement son essor qu'avec les notions de [[mesure (mathématiques)|mesure]] et d'ensembles mesurables qu'[[Émile Borel]] introduit en 1897. Cette notion de mesure est complétée par [[Henri Léon Lebesgue]] et sa théorie de l'[[Intégrale (mathématiques)|intégration]]<ref>http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node4.html histoire des probabilités de Borel à la seconde guerre mondiale</ref>. La première version moderne du [[théorème central limite]] est donnée par [[Alexandre Liapounov]] en 1901<ref>[http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/smel/articles/etoiles/cadre_etoiles.html Entre De Moivre et Laplace<!-- Titre généré automatiquement -->]</ref> et la première preuve du théorème moderne est donnée par [[Paul Lévy (mathématicien)|Paul Lévy]] en 1910. En 1902, [[Andrei Markov (mathématicien)|Andrei Markov]] introduit les [[chaînes de Markov]]<ref>[http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./m/markov.html DicoMaths : Chaine de Markov<!-- Titre généré automatiquement -->] {{Lien archive|url=http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=.%2Fm%2Fmarkov.html |horodatage archive=20150614102230 |titre=Copie archivée }}</ref> pour entreprendre une généralisation de la loi des grands nombres pour une suite d'expériences dépendant les unes des autres. Ces [[Chaîne de Markov|chaînes de Markov]] connaîtront de nombreuses applications, entre autres pour modéliser la [[mouvement brownien|diffusion]] ou pour l'indexation de sites internet par Google.

Il faudra attendre 1933 pour que la théorie des probabilités sorte d'un ensemble de méthodes et d'exemples divers et devienne une véritable théorie, axiomatisée par [[Andreï Kolmogorov|Kolmogorov]]<ref>[http://www.probabilityandfinance.com/articles/04.pdf un article sur la mise en place de l'axiomatisation  des probabilités].</ref>.

[[Kiyoshi Itô]] met en place une théorie et un [[lemme d'Itô|lemme]] qui porte son nom dans les années 1940<ref>[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Ito.html Biographie d'Itô sur le site de Mac Tutor]</ref>. Ceux-ci permettent de relier le [[calcul stochastique]] et les [[équations aux dérivées partielles]], faisant ainsi le lien entre [[Analyse (mathématiques)|analyse]] et probabilités. Le mathématicien [[Wolfgang Doeblin]] avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en {{date-|juin 1940}}. Ses travaux furent envoyés à l'Académie des sciences dans un pli cacheté qui ne fut ouvert qu'en 2000<ref>Bernard Bru et Marc Yor (éd.), « Sur l'équation de Kolmogoroff, par W Doeblin », ''C. R. Acad. Sci. Paris'', Série I 331 (2000). Sur la vie de Doeblin, voir Bernard  Bru, « La vie et l'œuvre de W. Doeblin (1915-1940) d'après les archives parisiennes », ''Math. Inform. Sci. Humaines'' 119 (1992), 5-51 et, en anglais, [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Doeblin.html  Biographie de Doeblin sur le site de Mac Tutor]</ref>.

==== Axiomatique ====
{{article détaillé|Axiomes des probabilités|Espace probabilisé}}
Au début du {{s-|XX|e}}, Kolmogorov définit des axiomes mathématiques afin de pouvoir étudier le hasard. Ainsi il construit l'espace des possibles, appelé [[Univers (logique)|univers]], qui contient tous les hasards possibles, il le munit d'un ensemble qui contient des sous-ensembles de l'univers, appelé [[Tribu (mathématiques)|tribu]] et vérifiant certaines hypothèses, et d'une [[mesure de probabilité]] qui permet de calculer les probabilités correspondantes. L'espace <math> (\Omega, \mathcal A, \mathbb P)</math> ainsi construit vérifie les trois axiomes des probabilités<ref name="Sinai6">{{Harvsp|Sinaï|1992|p=6}}</ref> :
#''(Positivité)'' la probabilité d'un événement est une valeur entre 0 et 1 : pour tout <math> A\in \mathcal A</math>, <math> 0\leq \mathbb P(A)\leq 1</math> ;
#''(Masse unitaire)'' la probabilité de l'univers est 1 : <math> \mathbb P(\Omega) = 1</math> ;
#''(Additivité)'' pour toute suite dénombrable d'événements <math> A_1,A_2,\dots \in \mathcal A</math> disjoints deux à deux, c'est-à-dire tels que <math> A_i\cap A_j=\emptyset</math> pour tous <math> i\neq j</math>, alors : <math> \mathbb{P} \left( \bigcup_{i\geq 1}A_i \right) = \sum_{i\geq 1}\mathbb{P} (A_i)</math>.

==== Variables aléatoires, lois et caractérisations ====
{{article détaillé|Variable aléatoire}}
Afin de pouvoir mieux manipuler le hasard, il est commode d'utiliser une [[variable aléatoire]]. Elle peut être [[Variable aléatoire réelle|réelle]], mais peut aussi être [[Vecteur aléatoire|multidimensionnelle]], ou même plus générale. Cette variable aléatoire réelle est, en théorie, une application (mesurable) : <math> X:\Omega \rightarrow \mathbb R</math> <ref name="Le Gall93">{{Harvsp|Le Gall|2006|p=93}}</ref> qui à chaque aléa <math>\omega\in \Omega</math>, associe le résultat de l'expérience : <math> X(\omega)</math>.

{{article détaillé|Loi de probabilité}}
Cette variable possède une répartition de ses valeurs donnée par sa [[loi de probabilité]], qui est une mesure. Cette dernière peut être représentée de nombreuses manières, les plus communes étant par l'utilisation de la [[fonction de répartition]], la [[densité de probabilité]] (si elle existe) ou la [[fonction de masse (probabilités)|fonction de masse]], le cas échéant. De nombreuses propriétés des lois de probabilité, et donc des variables aléatoires, peuvent être étudiées : [[Espérance mathématique|espérance]], [[Moment (mathématiques)|moments]], [[Indépendance (probabilités)|indépendance]] entre plusieurs variables, etc.

==== Convergence et théorèmes limites ====
{{Article détaillé|Convergence de variables aléatoires}}
Il est possible de considérer une infinité de [[variables aléatoires]] : <math> (X_n, n\in \mathbb N)</math>. Dans ce cas, y a-t-il une limite possible? La question de notion de convergence aléatoire se pose alors. Il existe plusieurs types de convergences<ref name="Bertoin34">{{Harvsp|Bertoin|2000|p=34}}</ref> : la ''[[convergence en loi]]'' qui est la convergence de la loi de la variable (en tant que mesure), la ''convergence en probabilité'', la ''convergence presque sûre'' ou encore la ''convergence en moyenne''.

{{Article détaillé|Loi des grands nombres|Théorème central limite}}
De nombreux théorèmes limites existent alors. Les plus connus sont : la [[loi des grands nombres]] qui annonce que la moyenne des {{math|n}} premières variables aléatoires converge vers la moyenne théorique de la loi commune des variables aléatoires<ref name="Le Gall120">{{Harvsp|Le Gall|2006|p=120}}</ref> ; le [[théorème central limite]], qui donne la bonne [[renormalisation]] de la somme des variables aléatoires pour avoir une limite non triviale<ref name="Le Gall138">{{Harvsp|Le Gall|2006|p=138}}</ref>.

==== Calcul stochastique ====
{{Article détaillé|calcul stochastique|Marche aléatoire|Chaîne de Markov|Processus stochastique|Processus de Markov|Martingale (calcul stochastique)}}
Le [[calcul stochastique]] est l'étude des phénomènes qui évoluent au cours du temps de manière aléatoire<ref name="Yor15">{{Harvsp|Revuz|Yor|2004|p=15}}</ref>. Le temps peut être modélisé de manière discrète, c'est-à-dire par les valeurs entières : <math> 0,1,2,\dots </math>, dans ce cas le phénomène est représenté par une suite (infinie) de variables aléatoires : <math> (X_n,n\geq 0)</math>, c'est par exemple le cas d'une [[marche aléatoire]] ou d’une chaîne de Markov. Le temps peut également être modélisé de manière continue, c'est-à-dire par des valeurs réelles <math> t\in \mathbb R_+</math> ou <math> t\in \mathbb R</math>, il s'agit alors d'un [[processus stochastique]] <math> (X_t,t\geq 0)</math>.

Plusieurs propriétés sont alors liées au calcul stochastique : la [[propriété de Markov]] annonce que le mouvement futur du phénomène ne dépend que de l'état présent et non pas du mouvement passé ; la [[Récurrence et transience d'une chaîne de Markov|récurrence et la transience d'une chaîne de Markov]] assurent le retour ou le passage un nombre fini de fois en un état donné ; une [[Martingale (calcul stochastique)|martingale]] est un processus tel que l'état futur est déterminé en moyenne par l'état présent, etc.

=== Doctrine des probabilités ===
{{article détaillé|probabilisme}}
La doctrine de la probabilité, autrement appelée [[probabilisme]], est une théologie morale catholique qui s'est développée au cours du {{s-|XVI|e}}, sous l'influence, entre autres, de [[Bartolomé de Medina]] et des [[jésuites]]. Avec l'apparition de la doctrine de la probabilité, ce terme connaîtra un glissement sémantique pour finir par désigner, au milieu du {{s-|XVII|e}}, le caractère vraisemblable d'une idée.

La probabilité d'une opinion désigne alors, au milieu du {{s-|XVII|e}}, la probabilité qu'une opinion soit vraie. Ce n'est qu'à partir de la fin du {{s-|XVII|e}}, avec l'émergence de la probabilité mathématique, que la notion de probabilité ne concernera plus seulement les opinions et les idées, mais aussi les faits, et se rapprochera de la notion de hasard<ref group="b">Pour désigner cette mathématique du probable, Pascal, en 1654, parle de {{citation|Géométrie du hasard}}.</ref> que l'on connaît aujourd'hui.

== Interprétations de la probabilité ==
{{article détaillé| Interprétations de la probabilité}}
Lors de l'étude d'un phénomène aléatoire, il existe plusieurs façons d'aborder la notion de probabilité liée à ce phénomène<ref group="a">{{Lien web |langue=fr |auteur=David Stadelmann |url=http://david.stadelmann-online.com/pdf/0011_stat.pdf |titre=Les conceptions de la probabilité: Comparaison des différentes approches |année=2003|page=}}</ref>.

*La ''conception subjective'' de la probabilité d'un événement s'applique dans le cas où il est difficile, voire impossible, de connaître les différentes probabilités des résultats d'une [[expérience aléatoire]]. Notamment dans le cas où l'expérience ne peut se réaliser plusieurs fois dans les mêmes conditions. Les probabilités attribuées ne correspondent alors pas exactement à la réalité, et leurs estimations peuvent varier selon les personnes et les situations. On parle dans ce cas de probabilité épistémique ou de probabilité bayésienne. Il s'agit d'une probabilité s'appliquant au jugement que l'on porte plus que sur l'événement lui-même<ref>Thierry Martin, ''La probabilité, un concept pluriel'',Pour la Science, n°385, novembre 2009, p.46-50</ref>{{,}}<ref>Mikaël Cozic, Isabelle Drouet, ''Interpréter les probabilités'', Pour la Science, n°385, novembre 2009, p.52-58</ref>.
{{Retrait|Par exemple : quelle est la probabilité de réussir à un examen ? Pour connaître les chances d'obtenir une note donnée à un examen, il faut l'estimer suivant le candidat et sa situation par rapport à l'examen. Il n'est pas possible de réaliser plusieurs fois l'expérience puisqu'un examen ne peut se passer plus d'une fois dans la même configuration. Les probabilités estimées et choisies pour chaque note vérifient les axiomes de Kolmogorov mais sont subjectives.|taille=3em}}
*La ''conception fréquentiste'' des probabilités d'un événement est plus historique. Elle permet d'attribuer les chances de réalisation de chaque événement par une méthode statistique, c'est-à-dire en réalisant plusieurs fois l'expérience et d'en déduire une estimation des probabilités liées aux événements. Idéalement il faudrait répéter l'expérience à l'infini pour obtenir les probabilités réelles de l'expérience, cependant, puisque ce n'est pas possible, les méthodes expérimentales donnent des probabilités empiriques. (voir la section ''[[#Probabilités d'un évènement|Les probabilités d'un événement]]'' ci-dessus). Cette notion s'appelle également ''probabilité statistique'' ou ''[[probabilité a posteriori]]''<ref group="a" name="CNRTL"/>.{{Retrait|Par exemple : un joueur possède un dé pipé dont il ne connaît pas le biais, c'est-à-dire que les valeurs du dé n'ont pas les mêmes chances d'apparaître. Une méthode possible est de réaliser un grand nombre de lancers et de compter les résultats obtenus. Les résultats sont alors approchés pour vérifier l'axiomatique de Kolmogorov.|taille=3em}}
*La ''conception classique'' de la probabilité s'utilise dans le cas de situations prédéfinies considérées comme connues. Beaucoup de situations sont considérées comme aléatoires et équiprobables, c'est-à-dire que chaque événement élémentaire à la même chance d'apparaître. Cette conception est également appelée ''objective'', ''probabilité mathématique'' ou ''[[probabilité a priori]]''<ref group="a" name="CNRTL"/>.{{Retrait|Par exemple : un dé (non pipé) est supposé équilibré, c'est-à-dire que chaque valeur a une chance sur six d'apparaître. Lors d'une distribution de cartes, chaque donne est supposée apparaître avec les mêmes chances lorsque le jeu a été bien mélangé.|taille=3em}}

Une notion philosophique apparaît alors : puisque nous ne connaissons la nature et le monde autour de nous que par notre expérience et notre point de vue, nous ne le connaissons que de manière subjective et ne pouvons estimer précisément les lois objectives qui les dirigent.

== Vulgarisation ==
Le [[Groupe d'experts intergouvernemental sur l'évolution du climat|Giec]] utilise pour les résumés pour décideurs de ses rapports un [[langage naturel]] calibré<ref>{{Lien web |langue= |auteur= |titre=L’océan et la cryosphère dans le contexte du changement climatique |url=https://www.ipcc.ch/site/assets/uploads/sites/3/2020/07/SROCC_SPM_fr.pdf |site= |date=2019 |consulté le=24-01-2021 |page=6}}</ref>. 

{{Citation|Les qualificatifs ci-après ont été utilisés pour indiquer la probabilité évaluée d’un résultat : quasiment certain (probabilité de 99 à 100 %), très probable (90 à 100 %), probable (66 à 100 %), à peu près aussi probable qu’improbable (33 à 66 %), improbable (0 à 33 %), très improbable (0 à 10 %), exceptionnellement improbable (0 à 1 %). La probabilité évaluée est indiquée en italique : par exemple très probable... D’autres qualificatifs peuvent également être utilisés le cas échéant : extrêmement probable (95 à 100 %), plus probable qu’improbable (> 50 à 100 %), plus improbable que probable (0 à < 50 %) et extrêmement improbable (0 à 5 %). Enfin, ce Rapport utilise également les expressions «  fourchette probable » et « fourchette très probable » qui signifient que la probabilité évaluée d’un résultat se situe dans la fourchette de 17 à 83 % ou de 5 à 95 %.}}

== Applications ==
Les jeux de hasard sont l'application la plus naturelle des probabilités mais de nombreux autres domaines s'appuient ou se servent des probabilités. Citons entre autres :
* la [[statistique]] est un vaste domaine qui s'appuie sur les probabilités pour le traitement et l'interprétation des données ;
* La [[théorie des jeux]] s'appuie fortement sur la probabilité et est utile en économie et plus précisément en [[micro-économie]] ;
* l'estimation optimale par usage de la loi de [[Théorème de Bayes|Bayes]], qui sert de fondement à une grande partie des applications de [[théorie de la décision|décision]] automatique ([[imagerie médicale]], astronomie, [[reconnaissance de caractères]], filtres anti-[[spam|pourriel]]) ;
* en [[physique]] ainsi qu'en [[biologie moléculaire]] l'étude du [[mouvement brownien]] pour de petites particules ainsi que les [[Équation de Fokker-Planck|équations de Fokker-Planck]] font intervenir des concepts s'appuyant sur le [[calcul stochastique]] et la [[marche aléatoire]] ;
* les [[mathématiques financières]] font un large usage de la théorie des probabilités pour l'étude des cours de la bourse et des [[Produit dérivé financier|produits dérivés]]. Par exemple le [[Modèle Black-Scholes|Modèle de Black-Scholes]] pour déterminer le prix de certains actifs financiers (notamment les [[options]]) ;
* les [[Étude probabiliste de sûreté|études probabilistes de sûreté]] où l'on évalue la probabilité d'occurrence d'un événement indésirable. C'est devenu un outil d'évaluation des risques dans bon nombre d'installations industrielles.
* les assurances.
* La modélisation de l’évolution de populations et la modélisation de propagation d’épidémies 


=== Liens avec la statistique ===
{{article détaillé|Interconnexions entre la théorie des probabilités et la statistique}}
Il existe plusieurs façons d'aborder les probabilités : le calcul [[Probabilité a priori|''a priori'']] et le calcul [[Probabilité a posteriori|''a posteriori'']]<ref name="Saporta319">{{Harvsp|Saporta|2006|p=319}}</ref>. (voir la section ''[[#Interprétation des probabilités|interprétation des probabilités]]'' ci-dessus). Le calcul des [[Probabilité a posteriori|probabilités ''a posteriori'']] correspond à une attribution des valeurs des probabilités inconnues grâce au [[théorème de Bayes]]. 

Pour estimer les probabilités, les [[Estimateur (statistique)|estimateurs statistiques]] sont utilisés afin de mieux approcher la variable recherchée<ref name="Saporta289">{{Harvsp|Saporta|2006|p=289}}</ref>. Un estimateur est une valeur calculée à partir d'un échantillon de la population totale étudiée. Un estimateur est bien choisi, c'est-à-dire qu'il donnera une bonne estimation des valeurs recherchées, si c'est un estimateur sans biais et convergent ; autrement dit la [[moyenne empirique]] approche la [[Espérance mathématique|moyenne théorique]] et l'estimateur [[Estimateur (statistique)#Convergence|converge]] vers la bonne variable aléatoire lorsque la taille de l'échantillon augmente. La méthode du [[maximum de vraisemblance]] permet de choisir un bon estimateur.

Par ces méthodes, il est possible d’estimer les paramètres inconnus d'une loi de probabilité associée au phénomène étudié<ref name="Saporta292">{{Harvsp|Saporta|2006|p=292}}</ref>.

La révision bayésienne est une autre méthode pour le calcul des [[Probabilité a posteriori|probabilités a posteriori]]<ref group="a">{{article|langue=fr|prénom1=Christian|nom1=Robert|titre=L'analyse statistique bayésienne|périodique=Courrier des statistiques|année=2001|url texte=http://www.insee.fr/fr/ffc/docs_ffc/cs100a.pdf}}</ref>. Celle-ci se fait grâce au [[théorème de Bayes]] :{{Retrait|<math>\mathbb P(\textrm{hypothese}|\textrm{preuve}) = \frac{\mathbb P(\textrm{preuve}|\textrm{hypothese})\times\mathbb P(\textrm{hypothese})}{\mathbb P(\textrm{preuve})}.</math>}}
Dans cette formule, l'''hypothèse'' représente ce que l'on suppose [[Probabilité a priori|a priori]] sur le phénomène aléatoire, la ''preuve'' est une partie du phénomène que l'on connaît et que l'on peut mesurer. Le terme <math>\mathbb P(\textrm{preuve}|\textrm{hypothese})</math> est appelé [[Fonction de vraisemblance|vraisemblance]]. Ainsi <math>\mathbb P(\textrm{hypothese}|\textrm{preuve})</math> permet de mesurer la [[probabilité a posteriori]] de l'hypothèse que l'on fixe en tenant compte de la ''preuve''.

====Exemple 1====
La fréquence empirique permet d'estimer les probabilités. Dans un échantillon de {{math|n}} individus, il suffit de compter le nombre de fois où l'individu appartient à la catégorie {{math|A}} recherchée<ref name="Saporta278">{{Harvsp|Saporta|2006|p=278}}</ref>. En notant <math> n_A</math> ce nombre parmi les {{math|n}} tirages, la fréquence <math> \frac{n_A}{n}</math> est proche de la probabilité <math> \mathbb P(A)</math> recherchée. Lors de 400 lancers de pièces, s'il apparaît 198 fois le côté ''face'', alors on en déduit que la probabilité d'obtenir ''face'' est approximativement <math> \mathbb P(\text{obtenir face})\simeq\frac{198}{400}= 0,495</math>. C'est un cas particulier de la [[loi des grands nombres]]. 0,495 est la valeur estimée de  <math> \mathbb P(\text{obtenir face})</math>.

====Exemple 2====
Une liste de valeurs <math> x_1,x_2,\dots,x_n</math> est connue, elle est supposée être le résultat d’expériences indépendantes de [[loi normale]] dont la moyenne {{mvar|m}} est connue<ref name="Saporta292"/>. La question est de trouver l'[[écart type]] {{math|σ}} de la loi normale. La [[Statistique (indicateur)|statistique]] {{mvar|T}} définie par <math> T^2={1 \over n } \sum_{i=1}^n (x_i-m)^2</math> est un estimateur de {{math|σ}}, c'est-à-dire qu'il tend vers {{math|σ}} lorsque {{mvar|n}} tend vers l'infini.

====Exemple 3====
On se demande quel temps il fera demain, la météo permet d'obtenir des informations supplémentaires. Certaines données sont alors connues : dans cet exemple, la probabilité que la météo annonce un beau temps sachant qu'il fera effectivement beau : <math> \mathbb P(M|\text{beau})=0,9</math>, la probabilité que la météo annonce un beau temps sachant qu'il pleuvra : <math> \mathbb P(M|\text{pleut})=0,2</math>.

Une hypothèse est choisie : par exemple <math> \mathbb P(\text{beau})=1/2</math>, c'est-à-dire que l'on considère, [[Probabilité a priori|''a priori'']], qu'il y a une chance sur deux qu'il fera beau demain.

Il est alors possible de calculer la probabilité que la météo annonce un beau temps :{{Retrait|<math> \mathbb P(M)=\mathbb P(M|\text{beau})\mathbb P(\text{beau})+\mathbb P(M|\text{pleut})\mathbb P(\text{pleut})=0,9 \times 1/2+0,2\times1/2=0,55.</math>}}
c'est-à-dire que la météo annonce un beau temps dans 55 % des cas. La probabilité qu'il fera beau demain sachant que la météo a annoncé beau temps est alors donnée par :{{Retrait|<math>\mathbb P(\mathrm{beau}|M)=\frac{\mathbb P(M|\textrm{beau})\mathbb P(\textrm{beau})}{\mathbb P(M)}=0,9\times0,5/0,55.\approx 82\%.</math>}}

Il est alors possible de réviser une deuxième fois l'hypothèse qu'il fera beau en regardant un deuxième bulletin météo d'une source différente. On prendrait alors comme nouvelle hypothèse la probabilité d'avoir un beau temps nouvellement calculée.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|group="b"}}

=== Références ===
==== Ouvrages ====
{{Références|colonnes=3}}

====Articles et autres sources ====
{{Références|group="a"}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
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}}

=== Bibliographie ===
* Sylvie Méléard, ''[http://www.editions.polytechnique.fr/?afficherfiche=158 Aléatoire - Introduction à la théorie et au calcul des probabilités]'', Éditions de l'École Polytechnique, 2010
*{{Ouvrage |langue=fr |auteur1=[[Claude Aslangul]] |titre=Mathématiques pour physiciens |éditeur=Université Pierre et Marie Curie, La science à Paris |année=2004 |isbn= |lire en ligne=http://www.lerepairedessciences.fr/sciences/maths/proba.pdf |numéro chapitre=8}} {{plume}}
*{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Jean|nom1=Bertoin|lien auteur1=Jean Bertoin|titre=Probabilités : cours de licence de mathématiques appliquées|éditeur=|année=2000|pages totales=79|isbn=|lire en ligne=http://www.proba.jussieu.fr/cours/bertoin.pdf}} {{plume}}
* Bernard Courtebras, ''Mathématiser le hasard'', [[Vuibert]], 2008
*{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Jean|nom1=Jacod|lien auteur1=Jean Jacod|prénom2=Philip E.|nom2=Protter|lien auteur2=Philippe Protter|titre=Probability Essentials|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2003|pages totales=254|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=OK_d-w18EVgC&printsec=frontcover}} {{plume}}
*{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Jean-François|nom1=Le Gall|lien auteur1=Jean-François Le Gall|titre=Intégration, Probabilités et Processus aléatoires|sous-titre=cours de l'[[École normale supérieure (Ulm)|ENS]]|éditeur=|année=2006|pages totales=248|isbn=|lire en ligne=http://www.math.u-psud.fr/~jflegall/IPPA2.pdf}} {{plume}}
*{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Daniel|nom1=Revuz|lien auteur1=Daniel Revuz|prénom2=Marc|nom2=Yor|lien auteur2=Marc Yor|titre=Continuous martingales and Brownian motion|volume=293|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2004|numéro d'édition=3|pages totales=606|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=1ml95FLM5koC&printsec=frontcover}} {{plume}}
*{{Saporta1|id=Saporta2006}}.{{plume}}
*{{Ouvrage|langue=en|langue originale=ru-Latn|prénom1=Iakov|nom1=Sinaï|lien auteur1=Iakov Sinaï|titre=Probability theory|sous-titre=An introductory course|lieu=Berlin/Heidelberg/Paris etc.|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=1992|pages totales=138|isbn=3-540-53348-6|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=A4T-fE7FiLUC&printsec=frontcover}} {{plume}}
*{{Ouvrage |langue=fr |prénom1=J |nom1=Tricot |titre=[[Topiques (Aristote)|Les topiques]] |volume=V |tome=1 à 8 |éditeur=[[Librairie philosophique J. Vrin|VRIN]] |année=1990 |pages totales=368 |isbn= |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=hZL-tM4D6GcC}} {{plume}}
*{{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Maurice |nom1=GIRAULT |titre=[Travaux pratiques de calcul des probabilités] |année=1963 |pages totales=64 |isbn= |lire en ligne=https://archive.org/details/girault.-maurice-travaux-pratiques-probabilites}} {{plume}}


=== Articles connexes ===
{{colonnes|nombre=2|
* [[Cindyniques]]
* [[Chance]]
* {{page h|Plausibilité}}
* [[Probabilité (mathématiques élémentaires)]]
* [[Statistique]]
* [[Théorie des probabilités]]
* [[Appel à la probabilité]]
* [[Avec grande probabilité]]
}}

=== Liens externes ===
* [http://www.jehps.net/ Journal électronique d'histoire des probabilités et de la statistique] et site associé (articles, bibliographie, biographies)

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