Voir la source de Problème du rond de serviette

[[Fichier:sphere bands.svg|vignette|upright=1.35|Si un trou d'une hauteur ''h'' est creusé directement à travers le centre d'une [[boule (solide)|boule]], le [[volume]] de la bande qui demeure ne dépend pas de la taille de la boule. Ainsi, pour une boule plus grande, la bande sera plus mince, mais plus longue.]]
[[Fichier:Cut Napkin ring problem Animation created with openscad.gif|thumb|Animation présentant la création de « ronds de serviette » de même hauteur à partir de boules différentes.]]

En [[géométrie]], le '''problème du rond de serviette''' fait référence au [[volume]] restant (en forme de [[rond de serviette]]) d'une [[boule (solide)|boule]] à laquelle on a retiré une section [[cylindre|cylindrique]] en son centre. Le problème implique de calculer le volume d'une « bande » d'une certaine [[hauteur (géométrie)|hauteur]] et a pour résultat [[Paradoxe|contre-intuitif]] que pour des hauteurs égales, les volumes des bandes sont égaux et ce, peu importe la taille de la boule initiale.

== Histoire ==
{{...}}
Une version de ce problème est posée au {{XVIIe siècle}} dans les [[mathématiques japonaises]] par [[Seki Kōwa]]. D'après {{harvsp|Smith|Mikami|1914}}, Seki appelait le solide un « anneau-arc (''arc-ring'', ''kokan'' ou ''kokwan'' en [[japonais]]).

== Formalisme ==
[[Fichier:ring cross-sections.svg|thumb|upright=1.2|Schéma illustrant les différentes [[variable (mathématiques)|variables]].]]

On suppose un cylindre dont l'[[axe (mathématiques)|axe]] passe par le centre d'une boule de [[rayon (géométrie)|rayon]] <math>R</math>. <math>h</math> représente la hauteur (distance [[Parallélisme (géométrie)|parallèle]] à l'axe) de la partie du cylindre située à l'intérieur de la boule. La « bande » est la partie de la boule située en dehors du cylindre.

D'après le [[théorème de Pythagore]], le rayon du cylindre est :

: <math> \sqrt{R^2 - \left(\frac{h}{2}\right)^2},\qquad\qquad(1) </math>

le rayon d'une coupe transversale horizontale de la boule à une hauteur <math>y</math> au-dessus de l'« équateur » de la boule est :

: <math> \sqrt{R^2 - y^2}.\qquad\qquad(2) </math>

La {{lien|lang=en|trad=cross-section (geometry)|fr=coupe transverse}} de la bande avec le plan à la hauteur <math>y</math> est la région située à l'intérieur du grand cercle dont le rayon est donné en (2) et à l'extérieur du petit cercle dont le rayon est donnée en (1). L'[[aire (géométrie)|aire]] de la coupe est donc l'aire du plus grand cercle moins celle du petit cercle :

: <math>
\begin{align}
& {}\quad \pi(\text{grand rayon})^2 - \pi(\text{petit rayon})^2 \\
& = \pi\left(\sqrt{R^2 - y^2}\right)^2 - \pi\left(\sqrt{R^2 - \left(\frac{h}{2}\right)^2\,{}}\,\right)^2 = \pi\left(\left(\frac{h}{2}\right)^2 - y^2\right).
\end{align}
</math>

On remarque que <math>R</math> n'apparaît plus dans l'expression. L'aire de la coupe transverse à une hauteur <math>h</math> ne dépend donc pas de <math>R</math>, tant que <math>y</math> ≤ {{sfrac|<math>h</math>|2}} ≤ <math>R</math>.

Le volume de la bande est :

: <math> \int_{-h/2}^{h/2} (\text{aire de la coupe à la hauteur }y) \, dy, </math>

qui lui non plus ne dépend pas de <math>R</math>.

Cela est une application de la [[méthode des indivisibles]]. Puisque l'aire de la coupe est la même que celle d'une sphère de rayon <math>h</math>/2, le volume est :

: <math>\frac{4}{3}\pi\left(\frac{h}{2}\right)^3 = \frac{\pi h^3}{6}.</math>

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Napkin ring problem|801826060}}
{{références}}

== Bibliographie ==
*{{lien web|langue=en|prénom=Keith|nom=Devlin|lien auteur=Keith Devlin|titre=The Napkin Ring Problem|url=http://www.maa.org/devlin/devlin_04_08.html|éditeur=[[Mathematical Association of America]]|année=2008|archiveurl=https://www.webcitation.org/60rIio0jC|archivedate=11 August 2011}}
*{{lien web|langue=en|prénom=Keith|nom=Devlin|lien auteur=Keith Devlin|titre=Lockhart's Lament|url=http://www.maa.org/devlin/devlin_05_08.html|éditeur=[[Mathematical Association of America]]|année=2008|archiveurl=https://www.webcitation.org/60rJGphT5|archivedate=11 August 2011}}
*{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Martin|nom1=Gardner|lien auteur1=Martin Gardner|titre=My best mathematical and logic puzzles|éditeur=[[Dover Publications]]|année=1994|passage=8|isbn=|titre chapitre=Hole in the Sphere}}
*{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Samuel I.|nom1=Jones|titre=Mathematical Wrinkles for Teachers and Private Learners|lieu=Norwood, MA|éditeur=J. B. Cushing Co.|année=1912}} Problem 132 asks for the volume of a sphere with a cylindrical hole drilled through it, but does not note the invariance of the problem under changes of radius.
*{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Mark|nom1=Levi|titre=The Mathematical Mechanic|sous-titre=Using Physical Reasoning to Solve Problems|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=2009|pages totales=102–104|isbn=978-0-691-14020-9|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=2Jp3FKRcZbEC&printsec=frontcover|titre chapitre=6.3 How Much Gold Is in a Wedding Ring?}}. Levi argues that the volume depends only on the height of the hole based on the fact that the ring can be swept out by a half-disk with the height as its diameter.
*{{Ouvrage|langue=en|prénom1=L.|nom1=Lines|titre=Solid geometry : With Chapters on Space-lattices, Sphere-packs and Crystals|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=1965}}. Reprint of 1935 edition. A problem on page 101 describes the shape formed by a sphere with a cylinder removed as a "napkin ring" and asks for a proof that the volume is the same as that of a sphere with diameter equal to the length of the hole.
*{{Ouvrage|langue=en|prénom1=George|nom1=Pólya|lien auteur1=George Pólya|titre=[[Mathematics and plausible reasoning|Mathematics and Plausible Reasoning]], Vol. I: Induction and Analogy in Mathematics|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=1990|pages totales=191–192|isbn=}}. Reprint of 1954 edition.
*{{Ouvrage|langue=en|prénom1=David E.|nom1=Smith|lien auteur1=David Eugene Smith|prénom2=Yoshio|nom2=Mikami|lien auteur2=Yoshio Mikami|titre=A History of Japanese Mathematics|éditeur=Open Court Publishing Company|année=1914|pages totales=121–123|lire en ligne=https://archive.org/details/historyofjapanes00smitiala}}. Republished by Dover, 2004, {{ISBN|0-486-43482-6}}. Smith and Mikami discuss the napkin ring problem in the context of two manuscripts of Seki on the mensuration of solids, ''Kyuseki'' and ''Kyuketsu Hengyo So''.

== Liens externes ==
{{autres projets|commons=Category:Napkin ring problem}}
*{{MathWorld|titre=Spherical Ring|nom_url=SphericalRing}}
*{{YouTube|J51ncHP_BrY|The Napkin Ring Problem|en}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Volume]]
[[Catégorie:Mathématiques japonaises]]
[[Catégorie:Mathématiques récréatives]]
[[Catégorie:Problème mathématique]]