Voir la source de Produit de Cauchy

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En [[analyse (mathématiques)|analyse]], le '''produit de Cauchy''' est une [[Opération (mathématiques)|opération]] portant sur certaines [[série (mathématiques)|séries]]. Il permet de généraliser la propriété de [[distributivité]]. Son nom est un hommage à l'analyste français [[Augustin Louis Cauchy]]. Il s'agit d'un [[produit de convolution]] discret. 

== Préliminaire : une écriture du produit de polynômes ==

Une écriture particulière des coefficients du produit de polynômes permet de comprendre l'introduction de la formule du produit de Cauchy. Soient deux [[polynôme]]s à coefficients [[Nombre complexe|complexes]] {{mvar|P}} et {{mvar|Q}} donnés par leur décomposition dans la [[base canonique]]
:<math>P=\sum_{i=0}^{+\infty} a_i X^i, \qquad Q=\sum_{j=0}^{+\infty} b_j X^j</math>
où les coefficients de {{mvar|P}} et de {{mvar|Q}} sont nuls à partir d'un certain rang. Alors leur produit se décompose comme
:<math>PQ=\sum_{i\in \N, j\in \N} a_i b_j X^{i+j}=\sum_{s=0}^{+\infty} \left(\sum_{k=0}^s a_k b_{s-k} \right) X^s</math>.
La réindexation nécessaire ne pose pas de difficulté puisque la somme est finie.

== Produit de Cauchy de séries complexes ==
Le produit de Cauchy de deux séries <math>\sum a_n</math> et <math>\sum b_n</math> de nombres complexes est la série de terme général
:<math>c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}</math>.

Sous des hypothèses convenables sur les deux séries <math>\sum a_n</math> et <math>\sum b_n</math> {{infra|Théorème de Mertens}}, leur produit de Cauchy converge, et l'on peut écrire la formule de distributivité généralisée
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} c_n=\left(\sum_{i=0}^{\infty} a_i\right) \left(\sum_{j=0}^{\infty} b_j\right)</math>.

Un cas particulier [[trivial]] est celui où les séries sont toutes les deux à termes nuls à partir d'un certain rang : dans ce cas, les sommes sont finies et il suffit d'utiliser le résultat du paragraphe précédent en [[Polynôme#Fonctions polynômes|évaluant les polynômes]] en 1.

En revanche, le produit de Cauchy de deux [[Série convergente|séries convergentes]] n'est pas toujours convergent. Par exemple, le produit de Cauchy par elle-même de la série <math>\sum\tfrac{(-1)^n}{\sqrt n}</math> a pour terme général
:<math>c_n = (-1)^n \sum_{k=1}^{n-1} \frac1{\sqrt{k(n-k)}}</math>.
Or {{math|''k''(''n'' – ''k'') ≤ (''n'' – 1){{2}}}}, si bien que {{math|{{!}} ''c{{ind|n}}'' {{!}} ≥ 1}} ; la série est donc grossièrement divergente<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Konrad Knopp]]|titre=Theory and Application of Infinite Series|sous-titre=translated from the Second german Edition|année=1951|passage=148|lire en ligne={{Google Livres|ac_DAgAAQBAJ|page=148}}}} ; {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Charles G. Denlinger|titre=Elements of Real Analysis|éditeur=Jones & Bartlett|année=2011|passage=489|lire en ligne={{Google Livres|CeTkVSXlj4cC|page=489}}}}.</ref>.

Il peut aussi arriver que <math>\sum a_n</math> et <math>\sum b_n</math> divergent et que <math>\sum c_n</math> soit [[Convergence absolue|absolument convergente]]. Par exemple<ref>{{Harvsp|Denlinger|2011|p=492}}.</ref>, le produit de Cauchy des séries 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + … et 1 – 2 + 2 – 2 + 2 – … est la série nulle (pour d'autres exemples, voir le [[#Produit de Cauchy de séries entières|§ ci-dessous sur les séries entières]]).

=== Cas de deux séries absolument convergentes ===

Lorsque les séries <math>\sum a_n</math> et <math>\sum b_n</math> sont toutes deux absolument convergentes, leur produit de Cauchy converge et la formule de distributivité généralisée est vérifiée. Il suffit en effet d'utiliser les propriétés de commutativité et d'associativité des [[famille sommable|familles sommables]].

Notamment, pour deux complexes ''a'' et ''b'', on peut faire le produit de Cauchy des séries définissant l'[[Exponentielle complexe|exponentielle]]
:<math>\mathrm e^a \cdot\mathrm e^b = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{k=0}^n \frac{a^kb^{n-k}}{k!(n-k)!}\right)
=\sum_{n=0}^{\infty} \frac1{n!} (a+b)^n =\mathrm e^{a+b}</math>.

À partir de cette propriété, il est possible également de définir le produit de Cauchy de deux séries entières {{infra|Produit de Cauchy de séries entières}}.

=== Théorème de Mertens ===
Le mathématicien allemand [[Franz Mertens]] a prouvé une propriété de convergence plus forte :
{{énoncé|si l'une des deux séries converge et l'autre converge absolument, alors leur produit de Cauchy converge et la formule de distributivité généralisée a bien lieu<ref>{{Harvsp|Knopp|1951|p=321}}.</ref>{{,}}<ref name=Wikiversité>{{Note autre projet|Wikiversité|Série numérique/Produit de Cauchy|chapitre « Produit de Cauchy »|début=Pour une démonstration, voir par exemple le}}</ref>.}}

Le théorème de Mertens admet une réciproque<ref>Voir {{Ouvrage|auteur1=Hervé Queffélec|auteur2=Claude Zuily|titre=Analyse pour l'agrégation|éditeur=[[Dunod]]|année=2013|numéro d'édition=4|passage=199<!--|lire en ligne={{Google Livres|HdrgAAAAQBAJ|page=199}}-->}} ou {{Note autre projet|Wikiversité|Espaces de Banach/Exercices/Théorème de Banach-Steinhaus#Exercice 5-1|cet exercice corrigé du cours d'analyse fonctionnelle|début=}} comme application immédiate du [[théorème de Banach-Steinhaus]], ou {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Godfrey Harold Hardy]]|titre=Divergent Series|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=1973|année première édition=1949|lire en ligne=https://archive.org/details/DivergentSeries}}, remarque p. 228 et Theorem I p. 43-46, pour une démonstration (plus longue mais plus élémentaire) d'une propriété générale des [[Série divergente#Propriétés des méthodes de sommation|méthodes de sommations linéaires régulières]] (cf. [[Théorème de Silverman-Toeplitz]]).</ref> : si la série des {{math|''a{{ind|n}}''}} est telle que son produit de Cauchy par toute série convergente est convergente, alors <math>\sum|a_n|<\infty</math>.

=== Théorèmes de convergence ===

Si deux séries convergent il y a pourtant des résultats de convergence positifs pour leur produit de Cauchy. En reprenant les notations {{math|''a{{ind|n}}'', ''b{{ind|n}}'', ''c{{ind|n}}''}} pour les termes généraux des deux séries et de la série produit de Cauchy, et en notant {{math|''A''}} et {{math|''B''}} les sommes des deux premières séries :

* si la série produit <math>\sum c_n</math> converge, alors ce ne peut être que vers le produit {{math|''AB''}} (on peut le déduire<ref name=Wikiversité/> du [[Théorème d'Abel (analyse)|théorème de convergence radiale d'Abel]]) ;
* il y a en tout cas toujours une convergence en un sens plus faible, au sens du [[Lemme de Cesàro|procédé de sommation de Cesàro]]. C'est-à-dire{{Retrait|<math>\lim\limits_{n\to +\infty}\frac1{n+1} \sum_{k=0}^n \left(\sum_{j=0}^k  c_j\right) = AB</math>.}}Plus généralement, si une série est [[Sommation de Cesàro#Sommation (C, α)|(C, α)-sommable]] de somme {{math|''A''}} et une autre (C, β)-sommable de somme {{math|''B''}}, avec α, β > −1<ref>{{Harvsp|Knopp|1951|p=488}}, donne une preuve du cas où α et β sont de plus entiers. {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[E. W. Hobson]]|titre=The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier's Series|volume=2|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=1926|numéro d'édition=2|passage=76|lire en ligne={{Google Livres|x3k9AAAAIAAJ|page=76}}}}, démontre le cas général, en signalant que le cas particulier est dû à [[Ernesto Cesàro|Cesàro]] et le cas général à Knopp, suivi d'une preuve plus simple par {{Article|lang=en|auteur=[[Sydney Chapman (1888-1970)|S. Chapman]]|titre=On non-integral orders of summability of series and integrals|revue=Proc. [[London Mathematical Society|London Math. Soc.]] (2)|vol=9|année=1911|p.=369-409}} (p. 378).</ref>, alors leur série produit est (C, α + β + 1)-sommable de somme {{math|''AB''}}. Une généralisation analogue du théorème de Mertens vu précédemment est<ref>{{Ouvrage|auteur1={{Lien|Aksel Frederik Andersen}}|titre=Sur la multiplication de séries absolument convergentes par des séries sommables par la méthode de Cesàro|lieu=Copenhague|éditeur=A.F. Høst & Søn|année=1918|pages totales=39|passage=23|lire en ligne=http://www.sdu.dk/media/bibpdf/Bind%201-9%5CBind%5Cmfm-1-4.pdf}}.</ref> : si l'une des deux séries est absolument convergente de somme {{math|''A''}} et l'autre (C, β)-sommable de somme {{math|''B''}}, avec β ≥ 0, alors le produit est (C, β)-sommable de somme {{math|''AB''}}.

== Produit de Cauchy de séries entières ==

Deux [[série entière|séries entières]] <math>\sum a_n x^n</math> et <math>\sum b_n x^n</math> étant données, leur produit de Cauchy est également une série entière, puisque le terme général vaut {{math|''c{{ind|n}}x{{exp|n}}''}} avec
:<math>c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}</math>.

Les [[série entière#Rayon de convergence|rayons de convergence]] {{math|''R{{ind|a}}'', ''R{{ind|b}}'', ''R{{ind|c}}''}} des trois séries entières vérifient l'inégalité
:<math>R_c\ge\min(R_a,R_b)</math>.

En effet, si l'on considère un complexe de module strictement inférieur à ce minimum, les deux séries entières convergent absolument, la série produit aussi, et sa fonction somme est le produit des fonctions sommes des deux séries. On en déduit que le produit de deux fonctions développables en série entière sur un ouvert est lui aussi développable en série entière.

L'inégalité précédente peut être stricte. C'est le cas par exemple si l'on prend pour les deux séries {{math|∑ ''x{{exp|n}}''}} (rayon 1) d'une part et {{math|1 – ''x''}} d'autre part (polynôme, donc de rayon infini). La série produit est réduite à {{math|1}} (rayon infini). Ou encore, si l'on considère le développement de {{racine|1 – ''x''}} en série entière, le rayon de convergence est 1. Mais quand on fait le produit de Cauchy de cette série avec elle-même, on obtient la série {{math|1 – ''x''}} (rayon infini).

== Généralisation aux algèbres de Banach ==

On suppose que ''A'' est une [[algèbre de Banach]]. Alors il est possible de définir la notion de produit de Cauchy de deux séries à valeurs dans ''A''. En outre, le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes converge, et la formule de distributivité généralisée tient toujours.

Par exemple, il est possible de reprendre le calcul du produit de deux exponentielles effectué dans le cas complexe {{Supra|Cas de deux séries absolument convergentes}}. La seule propriété qui manque pour pouvoir écrire la formule est la possibilité d'appliquer la formule du [[binôme de Newton]], ce qui demande de supposer par exemple que ''a'' et ''b'' commutent. Sous cette hypothèse,
:<math>\mathrm e^{a+b}=\mathrm e^a\times \mathrm e^b</math>.

Par exemple, si ''t'' et ''u'' sont des [[Scalaire (mathématiques)|scalaires]], on a toujours
:<math>\mathrm e^{(t+u)a}=\mathrm e^{ta}\times\mathrm e^{ua}</math>,
en particulier
:<math>\mathrm e^a\times\mathrm e^{-a}=\mathrm e^0=1</math>.

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Palette|Augustin Louis Cauchy}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Série (mathématiques)]]
[[Catégorie:Augustin Louis Cauchy]]