Voir la source de Produit de convolution

{{À sourcer|date=mars 2021}}
En [[mathématiques]], le '''produit de convolution''' est un [[Application bilinéaire|opérateur bilinéaire]] et un [[produit (mathématiques)|produit]] [[commutativité|commutatif]], généralement noté « {{math|∗}} », qui, à deux [[fonction (mathématiques)|fonctions]] {{mvar|f}} et {{mvar|g}} sur un même domaine infini, fait correspondre une autre fonction « {{math|''f'' ∗ ''g''}} » sur ce domaine, qui en tout point de celui-ci est égale à l'[[Intégration (mathématiques)|intégrale]] sur l'entièreté du domaine (ou la [[somme (arithmétique)|somme]] si celui-ci est [[Ensemble discret|discret]]) d'une des deux fonctions autour de ce point, pondérée par l'autre fonction autour de l'origine — les deux fonctions étant parcourues en sens contraire l'une de l'autre (nécessaire pour garantir la commutativité).
[[Fichier:Convolucion_Funcion_Pi.gif|vignette|upright=2.18|Convolution d'une [[fonction porte]] par elle-même.]]
Le produit de convolution généralise l'idée de [[moyenne glissante]] et est la représentation mathématique de la notion de [[filtre linéaire]]. Il s'applique aussi bien à des données temporelles (en [[traitement du signal]] par exemple) qu'à des données spatiales (en [[traitement d'image]]). En [[statistique]], on utilise une formule très voisine pour définir la [[corrélation croisée]].

== Définition du produit de convolution ==
Le produit de convolution de deux fonctions [[Nombre réel|réelles]] ou [[Nombre complexe|complexes]] {{mvar|f}} et {{mvar|g}}, est une autre fonction, qui se note généralement <math> f\ast g</math> et qui est définie par :
:<math> (f\ast g) (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t)g(t) \, \mathrm dt = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)g(x-t) \, \mathrm dt</math>

Parfois l'opération {{math|∗}} s'appelle '''loi de convolution''' et <math> f\ast g</math> s'appelle la '''convoluée'''<ref>{{Lien web |auteur=Xavier Gourdon |titre=Les maths en tête. Analyse - 2e édition |url=https://www.editions-ellipses.fr/accueil/10446-les-maths-en-tete-analyse-3e-edition-9782340038561.html |site=www.editions-ellipses.fr |consulté le=2023-07-23 |page=p. 284, Problème 18 "Preuve du théorème de Weierstrass par la convolution"}}</ref>.

Pour des [[Suite (mathématiques)|suites]] (en remplaçant la [[mesure de Lebesgue]] par la [[Mesure (mathématiques)#Exemples|mesure de comptage]]) :
:<math>(f \ast g)(n) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} {f(n - m)g(m)}= \sum_{m=-\infty}^{\infty} {f(m)g(n - m)}</math>.
Lorsqu'il s'agit de séries, on parle de [[produit de Cauchy]] (mais dans ce qui suit, nous n'utiliserons que la version « continue »).

On peut considérer cette formule comme une généralisation de l'idée de [[moyenne mobile]].

Pour que cette définition ait un sens, il faut que {{mvar|f}} et {{mvar|g}} satisfassent certaines hypothèses ; par exemple, si ces deux fonctions sont [[intégrale de Lebesgue|intégrables au sens de Lebesgue]] (c'est-à-dire qu'elles sont [[Fonction mesurable|mesurables]] et que l'intégrale de leur module est finie), leur produit de convolution est défini pour [[Ensemble négligeable|presque tout]] ''x'' et est lui-même intégrable. Plus généralement, si {{math|''f'' ∈ [[Espace Lp|L{{exp|''p''}}]]}} et {{math|''g'' ∈ L{{exp|''q''}}}} et <math display=inline>\frac1p+\frac1q=1+\frac1r</math> avec <math>p,q,r\in[1,+\infty]</math>, alors {{math|''f'' ∗ ''g'' ∈ L{{exp|''r''}}}} : cf. « [[Inégalité de Young pour la convolution]] ».

== Propriétés du produit de convolution ==
=== Propriétés algébriques ===
Le produit de convolution est [[Application bilinéaire|bilinéaire]], [[Associativité|associatif]] et [[Commutativité|commutatif]] :
:<math>f\ast (g+\lambda h)=(f\ast g)+\lambda(f\ast h)</math> (pour tout [[Scalaire (mathématiques)|scalaire]] {{math|λ}}) ;
:<math>(f\ast g)\ast h=f\ast(g\ast h)</math> ;
:<math>f\ast g=g\ast f</math>.

{{Démonstration|
*Le produit de convolution est [[Distributivité|distributif]] sur l'addition :
{{Retrait|<math>\begin{align}(f\ast (g+h)) (x) 
&\stackrel{\mathrm {def.}}{=}  \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t)(g(t)+h(t)) \, \mathrm dt\\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} [f(x-t)g(t)+ f(x-t)h(t)] \, \mathrm dt\\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t)g(t) \, \mathrm dt+ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t)h(t) \, \mathrm dt\\
&\stackrel{\mathrm {def.}}{=} (f\ast g)(x) + (f\ast h) (x).\end{align}</math>}}
*Le produit de convolution est associatif lorsqu'on considère des [[Intégrabilité|fonctions intégrables]] (pour lesquelles s'applique le [[théorème de Fubini]]) :{{Retrait|<math>\begin{align}((f\ast g)\ast h) (y)  
&\stackrel{\mathrm {def.}}{=} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f((y-x)-t)g(t) \, \mathrm dt\right)h(x)\, \mathrm dx\\
&= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(y-T)g(T-x)h(x) \, \mathrm dx\, \mathrm dT\\
&= \int_{-\infty}^{+\infty}f(y-T)\left(\int_{-\infty}^{+\infty}  g(T-x)h(x) \, \mathrm dx\right)\, \mathrm dT\\
&\stackrel{\mathrm {def.}}{=}  (f\ast(g\ast h)) (y)\end{align}</math>}}où <math>T=x+t</math>, soit <math>t=T-x</math>, et <math>\mathrm dt=\mathrm dT</math>.
*Le produit de convolution est commutatif. On le voit aisément en opérant le [[Intégration par changement de variable|changement de variable]] suivant :{{Retrait|<math>\begin{align}(f\ast g) (x)  
&\stackrel{\mathrm {def.}}{=} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t)g(t) \, \mathrm dt\\
&= \int_{+\infty}^{-\infty} f(T)g(x-T) \, \mathrm d(-T) \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} f(T)g(x-T) \, \mathrm dT \; \\
&\stackrel{\mathrm {def.}}{=}  (g\ast f) (x)\end{align}</math>}}où {{math|''T'' {{=}} ''x'' – ''t''}}, soit {{math|''t'' {{=}} ''x'' – ''T''}}, et {{math|d''t'' {{=}}d(–''T'')}}.
}}

=== Pseudo-anneau ===
L'ensemble des fonctions intégrables muni de l'addition et du produit de convolution forme donc un [[pseudo-anneau]], c'est-à-dire un [[Anneau (mathématiques)|anneau]] '''non unitaire'''. En effet, si cet anneau était unitaire, l'élément unité {{mvar|δ}} devrait vérifier (pour tout {{mvar|x}} et toute fonction {{mvar|f}}) :
:<math> f(x) =\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\delta(x-t) \, \mathrm dt</math>.
On vérifie que ce n'est possible que si {{mvar|δ}} est la [[distribution de Dirac]], qui n'est pas une fonction.

Le cadre naturel pour une bonne généralisation du produit de convolution est celui de la [[distribution (mathématiques)|théorie des distributions]], mais il n'est pas abordé dans cet article. On trouvera dans [[Distribution (mathématiques)#Convolution des distributions|l'article consacré aux distributions]] une définition précise du produit de convolution dans ce cas, ainsi qu'une étude de ses principales propriétés.

=== Compatibilité avec les translations ===
Le produit de convolution est compatible avec les translations temporelles. Si l'on note {{mvar|τ{{ind|h}}}} la translation sur les fonctions définie par
:<math>(\tau_h f)(x)=f(x-h)</math>,
alors 
:<math>(\tau_h f)\ast g=\tau_h(f\ast g).</math>
Dans le cadre plus large de la [[#Produit de convolution de mesures|convolution des mesures]],
:<math>\tau_h f=\delta_h\ast f</math>,
où {{mvar|δ<sub>h</sub>}} désigne la [[Distribution de Dirac#Notation|masse de Dirac en ''h'']], et la compatibilité avec les translations n'est qu'une conséquence immédiate de l'associativité du produit de convolution des mesures :
:<math>(\tau_h f)\ast g=(\delta_h\ast f)\ast g=\delta_h\ast(f\ast g)=\tau_h(f \ast g).</math>
Cette propriété doit par ailleurs être rapprochée des [[#Le produit de convolution et le filtrage|applications des produits de convolution au filtrage]].

=== Parité ===
La convolution suit la [[Signe (arithmétique)#Règle des signes|règle des signes]] pour la [[Parité d'une fonction|parité des fonctions]] :
:{{math|''f'' ∗ ''g''}} est paire (resp. impaire) si {{mvar|f}} et {{mvar|g}} sont de même parité (resp. de parités contraires).

{{Démonstration|
Notons {{mvar|I}} l'[[Involution (mathématiques)|involution]] définie par <math>(If)(x)=f(-x)</math> et vérifions que <math>I(f\ast g)=(If)\ast(Ig)</math>.
:<math>\begin{align}(I(f\ast g))(x)&=(f \ast g)(-x)\\&=\int_{-\infty}^{+\infty} f(-x-t)g(t)\,\mathrm dt\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty} f(-x+ u)g(-u)\,\mathrm du\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}(If)(x - u)(Ig)(u)\,\mathrm du\\
&=((If)\ast Ig)(x).\end{align}</math>
}}

Cette propriété combinée avec l'invariance sous translation permet de prouver que le produit de convolution par une fonction paire préserve les symétries axiales des fonctions :
:Si {{mvar|g}} est paire et si {{math|''f'' (''x''–''h'') {{=}} ''f''(–''x''–''h'')}} alors {{math|(''f'' ∗ ''g'')(''x''–''h'') {{=}} (''f'' ∗ ''g'')(–''x''–''h'')}}.

{{Démonstration|
La première équation est équivalente à <math>\tau_h(f)(x)=\tau_h(f)(-x)</math>. On en déduit
:<math>((\tau_h f)\ast g)(x)=((\tau_h f)\ast g)(-x)=\tau_h(f\ast g)(x)=\tau_h(f\ast g)(-x)</math>,
qui est le résultat annoncé.
}}

=== Intégration d'un produit de convolution ===
On a (en appliquant le [[théorème de Fubini]]) la formule :
<math>\int_{-\infty}^{+\infty}(f\ast g)(t)\,\mathrm{d}t=\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,\mathrm dt\right)\left(\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)\,\mathrm dt\right).</math>

=== Dérivation ===
Dans le cas d'une seule variable, si {{mvar|f}} (par exemple) est de classe [[Classe de régularité|{{math|''C''{{1}}}}]] et si {{mvar|f}}, {{mvar|f '}} et {{mvar|g}} appartiennent à [[Espace L1|{{math|L{{1}}}}]] alors

: <math>(f * g)' = f' * g</math>.

Plus généralement dans les cas de [[fonction de plusieurs variables|fonctions de plusieurs variables]] on a 

:<math>\frac{\partial}{\partial x_i}(f * g) = \frac{\partial f}{\partial x_i} * g</math>.

=== Produit de convolution et transformée de Fourier ===
La [[transformation de Fourier|transformée de Fourier]] d'un produit de convolution s'obtient par multiplication des transformées de Fourier des fonctions :
*si {{mvar|f}} et {{mvar|g}} sont intégrables alors{{retrait|<math>\mathcal{F}(f\ast g)=\mathcal F(f)\mathcal F(g)~;</math>}}
*si {{mvar|f}} est intégrable et si {{mvar|g}} est de [[carré intégrable]], on a aussi
{{retrait|<math>\mathcal F(f\ast g)=\mathcal F(f)\mathcal F(g)\text{ donc }f\ast g=\mathcal F^{-1}\left(\mathcal F(f)\mathcal F(g)\right)~;</math>}}
*si {{mvar|f}} et {{mvar|g}} sont de carré intégrable alors{{retrait|<math> f\ast g = \mathcal F^{-1}\left(\mathcal F(f)\mathcal F(g)\right)</math>}}

où <math>\mathcal F</math> désigne la transformation de Fourier et <math>\mathcal F^{-1}</math> la transformation de Fourier inverse (« théorème de convolution »).

Ces formules se restreignent à l'[[espace de Schwartz]], puis s'étendent partiellement à la [[Transformation de Fourier#Transformation de Fourier pour les distributions tempérées|transformation de Fourier pour les distributions tempérées]], appliquée par exemple à la [[Distribution (mathématiques)#Convolution d'une distribution par une distribution à support compact|convoluée d'une distribution tempérée par une distribution à support compact]]. Plus généralement, si ''S'' et ''T'' sont deux [[Distribution tempérée|distributions tempérées]] dont l'une est un [[Espace de Schwartz#Opérations sur l'espace de Schwartz|convoleur]], alors leurs transformées de Fourier sont des distributions tempérées dont l'une est un [[Espace de Schwartz#Opérations sur l'espace de Schwartz|multiplieur]], et elles vérifient :{{retrait|<math>\mathcal{F}(S\ast T)=\mathcal F(S)\mathcal F(T)\text{ donc }S\ast T=\mathcal F^{-1}\left(\mathcal F(S)\mathcal F(T)\right).</math>}}

Dans ce cadre, la [[distribution de Dirac]] (convoleur [[Élément neutre|neutre]]) et la [[fonction constante]] {{math|1}} (multiplieur neutre) sont deux distributions tempérées (paires) transformées de Fourier l'une de l'autre.

L'intérêt principal du calcul du produit de convolution par transformées de Fourier est que ces opérations sont moins coûteuses en temps pour un ordinateur que le calcul direct de l'intégrale.

== Utilisation du produit de convolution ==
* Le produit de convolution est utilisé dans le traitement du signal, lorsque l'on utilise des filtres ([[passe-bas]], [[passe-haut]], [[passe-bande]]). Si l'on a un signal entrant {{math|''e''(''t'')}} et un élément filtrant ayant une [[fonction de transfert]] {{math|''h''(''t'')}} alors le signal de sortie {{math|''s''(''t'')}} sera la convolution de ces deux fonctions :{{Retrait|<math> s=e\ast h</math> (produit de convolution) et {{math|''S''(''f''){{=}}''E''(''f'')''H''(''f'')}} (produit simple de deux fonctions)}} où {{math|''E''(''f'')}}, {{math|''S''(''f'')}} et  {{math|''H''(''f'')}} sont les [[Transformation de Fourier|transformées de Fourier]] des fonctions du temps {{math|''e''(''t'')}} , {{math|''s''(''t'')}} et {{math|''h''(''t'')}}.
* En audio numérique, et particulièrement dans le [[mixage audio|mixage]] musical ou audiovisuel, des logiciels de [[réverbération à convolution]] existent. Ils effectuent, dans le [[domaine fréquentiel]], un produit de convolution entre le signal audio entrant et une réponse impulsionnelle sélectionnée par l'utilisateur. Ces logiciels disposent d'une banque de réponses impulsionnelles correspondant à divers environnements dont on souhaite reproduire la réverbération sonore (pièces, grottes, églises, ...), réponses obtenues en enregistrant la réverbération du lieu à un signal source donné.
* En [[cristallographie]], le théorème de convolution est utilisé dans les méthodes directes pour déterminer la [[Phase (onde)|phase]] des [[Théorie de la diffraction sur un cristal#Facteur de structure|facteurs de structure]] lors de la [[détermination d'une structure cristalline]].
* En probabilité, la [[densité de probabilité]] de la somme de deux [[variable aléatoire réelle|variables aléatoires réelles]] [[Indépendance (probabilités)|indépendantes]] (à densité) est le ''produit de convolution des densités'' de probabilité de ces deux variables indépendantes, comme on le voit à l'aide d'un [[Densité de probabilité#Somme de variables aléatoires indépendantes|changement de variables]]<ref>{{Lien web |auteur=Olivier Garet et Aline Kurtzmann |titre=De l'intégration aux probabilités - 2e édition augmentée |url=https://www.editions-ellipses.fr/accueil/4593-de-l-integration-aux-probabilites-2e-edition-augmentee-9782340030206.html |site=www.editions-ellipses.fr |éditeur=Ellipses |date=28.05.2019 |isbn=9782340030206 |consulté le=2023-07-23 |page=p. 179 Théorème 6.45}}</ref>.
* Une autre utilisation des produits de convolution se situe dans le domaine de la mécanique quantique, où l'on réalise des produits de convolution à partir des fonctions d'onde [[Notation bra-ket|bra et ket]].
* De manière générale, on peut écrire les [[Équation différentielle linéaire|équations différentielles linéaires]] correspondant à de nombreux problèmes physiques sous la forme du produit de convolution d'un opérateur par une fonction décrivant le système. On peut alors résoudre de manière générique le problème en déterminant l'inverse de convolution de l'opérateur (appelé [[fonction de Green]]). [[Joseph Fourier]] a été à l'origine de cette méthode lorsqu'il a cherché à résoudre l'[[équation de la chaleur]]. Sa formulation moderne a dû attendre l'arrivée de la [[Distribution (analyse mathématique)|théorie des distributions]] introduite par [[Laurent Schwartz (mathématicien)|Laurent Schwartz]].
* Le produit de convolution se généralise à de nombreuses algèbres d'un groupe, par exemple aux [[algèbre d'un groupe fini|algèbres d'un groupe fini]]. Si de plus le groupe est abélien, alors la théorie de l'[[analyse harmonique sur un groupe abélien fini]] permet d'établir tous les résultats classiques du produit de convolution.
*En [[apprentissage profond]], des opérateurs de convolution constituent les banques de [[Filtre (électronique)#Filtres en traitement numérique du signal|filtres]] des [[Réseau neuronal convolutif|réseaux neuronaux convolutifs]] pour la [[vision par ordinateur]] ou le [[traitement automatique du langage naturel]].

== Produit de convolution de mesures ==
=== Convolution de mesures sur la droite réelle ===
Par extension, on peut définir le produit de convolution de deux [[Mesure (mathématiques)|mesures]] sur <math>(\R,\mathcal B(\R)),</math> avec l'interprétation probabiliste suivante : lorsque les [[Loi de probabilité|lois de probabilité]] {{math|''μ''}} et {{math|''ν''}} de deux [[variable aléatoire réelle|variables aléatoires réelles]] indépendantes n'ont pas toutes les deux des [[Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue#Densité d'une mesure|densités par rapport à la mesure de Lebesgue]], la loi de leur somme est le '''produit de convolution''' de {{math|''μ''}} par {{math|''ν''}}, noté {{math|''μ'' ∗ ''ν''}} et défini, pour toute partie [[Tribu borélienne|borélienne]] {{mvar|A}} de <math>\R,</math> par
: <math> \mu\ast\nu(A)=\int_{\R^2}\ 1_A(x+y)\, \mu(\mathrm dx)\,\nu(\mathrm dy).</math>
L'intégrale d'une fonction ''θ'' par rapport à la mesure {{math|''μ'' ∗ ''ν''}} est donnée par
: <math> \int_{\R}\ \theta(s)\, (\mu\ast\nu)(\mathrm ds)\ =\ \int_{\R^2}\ \theta(x+y)\, \mu(\mathrm dx)\,\nu(\mathrm dy).</math>
Le produit de convolution {{math|''μ'' ∗ ''ν''}} est la [[mesure image]] par la fonction ''φ'', définie sur <math>\R^2</math> par {{math|''φ''(''x'', ''y'') {{=}} ''x'' + ''y''}}, de la [[mesure produit]] {{math|''μ'' ⊗ ''ν''}}. En particulier, si {{math|''μ''}} et {{math|''ν''}} ont toutes les deux des densités, respectivement {{mvar|f}} et {{mvar|g}}, par rapport à la mesure de Lebesgue, alors {{math|''μ'' ∗ ''ν''}} a aussi une densité par rapport à la mesure de Lebesgue, et une de ses densités est {{math|''f'' ∗ ''g''}}.

=== Convolution de mesures sur un [[groupe commutatif]] ===
Cette définition du produit de convolution peut être étendue à un [[groupe topologique]] commutatif {{math|(''G'',⊕)}} muni de sa [[tribu borélienne]], de manière immédiate : pour toute partie [[Tribu borélienne|borélienne]] {{mvar|A}} de {{mvar|G}},
: <math> \mu\ast\nu(A)=\int_{G^2}\ 1_A(x\oplus y)\, \mu(\mathrm dx)\,\nu(\mathrm dy).</math>
L'intégrale d'une fonction ''θ'' par rapport à la mesure {{math|''μ'' ∗ ''ν''}} est donnée par
: <math> \int_G\ \theta(s)\, (\mu\ast\nu)(\mathrm ds)\ =\ \int_{G^2}\ \theta(x\oplus y)\, \mu(\mathrm dx)\,\nu(\mathrm dy).</math>
La notion de [[mesure de Haar]] du groupe {{mvar|G}} s'écrit alors en termes de produit de convolution : {{math|''μ''}} est une mesure de Haar de {{mvar|G}} si et seulement si, pour tout élément {{mvar|g}} de {{mvar|G}},
: <math> \delta_g\ast\mu=\mu.</math>
Si le groupe n'est pas commutatif, on peut quand même définir un produit de convolution en précisant convolution à gauche ou à droite.

Plus généralement, on peut définir un produit de convolution pour une [[action de groupe (mathématiques)|action de groupe]]. Soit {{mvar|G}} un groupe mesurable agissant sur un [[espace mesurable]] ''K'', d'action notée . et soient {{math|''μ''}} une mesure sur {{mvar|G}} et {{math|''ν''}} une mesure sur ''K''. On définit le produit de convolution par la formule
:<math>\mu * \nu (A)=\int_K\int_G\mathsf1_A(g.x)\,\mu(\mathrm dg)\,\nu(\mathrm dx) </math> où ''A'' est une partie mesurable de ''K''.

C'est une mesure sur ''K''. Si ''K'' = ''G'' et si l'action est la multiplication (ou la multiplication à gauche ou à droite si le groupe n'est pas commutatif), alors on retrouve le produit de convolution sur les groupes décrit plus haut.

== Approche vulgarisée ==
[[Image:dirac_fonction.png|thumb|Dirac : limite d'une suite de fonctions.]]

=== Convolution avec un dirac ===
La manière la plus simple de représenter le produit de convolution consiste à considérer la [[fonction δ de Dirac]] {{math|''δ''<sub>''a''</sub>(''x'')}} ; cette « fonction » vaut 0 si ''x'' ≠ ''a'' et son intégrale vaut 1. Ceci peut paraître contre-intuitif, mais on peut l'imaginer comme la [[limite d'une suite]] de fonctions, des courbes en cloche ou des rectangles ayant toutes la même surface 1, mais de plus en plus fines (donc de plus en plus hautes) ; lorsque la largeur des courbes tend vers 0, sa hauteur tend vers +∞, mais la surface reste égale à 1. Pour des raisons pratiques, on représente souvent le dirac comme un bâton placé en {{mvar|a}} et de hauteur 1.

Le produit de convolution par un dirac {{math|δ<sub>''a''</sub>}} correspond à une translation de la fonction initiale d'une valeur de {{mvar|a}}
:<math>f \ast \delta_a(x) = f(x-a)</math>

<center>
[[Image:convol_1dirac.png|produit de convolution d'une fonction par un dirac]]<br />
<small>''Produit de convolution d'une fonction par le dirac en a''</small>
</center>

En particulier pour a = 0, on voit que δ<sub>0</sub> laisse invariante la fonction <math>f</math> : <math>f\ast\delta_0(x) = f(x-0)</math>. Ainsi δ<sub>0</sub> est l'élément neutre du produit de convolution


=== Convolution avec une somme pondérée de deux diracs ===
Si l'on considère maintenant le produit de convolution par une [[somme pondérée]] de deux diracs ({{math|α δ<sub>''a''</sub> + β δ<sub>''b''</sub>}}), on obtient la superposition de deux courbes translatées.

<center>
[[Image:convol_2diracs.png|produit de convolution d'une fonction par une somme pondérée de deux diracs]]<br />
<small>''Produit de convolution d'une fonction par une somme pondérée de deux diracs''</small>
</center>

=== Convolution avec une fonction porte ===
Considérons maintenant une [[fonction porte]] ''P<sub>a,b</sub>'' ; c'est une fonction qui vaut 1/(''b-a'') entre ''a'' et ''b'', et 0 ailleurs (son intégrale vaut 1). Cette fonction peut être vue comme une succession de diracs. La convolution de {{mvar|f}} par ''P<sub>a,b</sub>'' va donc s'obtenir en faisant glisser {{mvar|f}} sur l'intervalle [''a'';''b'']. On obtient un « élargissement » de {{mvar|f}}.

<center>
[[Image:convol_porte.png|produit de convolution d'une fonction par une fonction porte]]<br />
<small>''Produit de convolution d'une fonction par une fonction porte''</small>
</center>

Si l'on considère maintenant une fonction quelconque {{mvar|g}}, on peut voir {{mvar|g}} comme une succession de diracs pondérés par la valeur de {{mvar|g}} au point considéré. Le produit de convolution de {{mvar|f}} par {{mvar|g}} s'obtient donc en faisant glisser la fonction {{mvar|f}} et en la dilatant selon la valeur de {{mvar|g}}.

<center>
[[Image:convol_fonction.png|produit de convolution d'une fonction par une fonction quelconque]]<br />
<small>''Produit de convolution d'une fonction par une fonction quelconque''</small>
</center>

== Le produit de convolution et le filtrage ==
Le produit de convolution est lié à la notion de filtrage sous deux conditions, à savoir la [[système linéaire|linéarité]] et l'indépendance du filtre vis-à-vis du temps ([[système invariant]]). À partir de ces deux conditions, l'opérateur de convolution peut être construit. La convolution correspond à la réponse du filtre à une entrée donnée (notée {{math|''e''(''t'')}} ). Le filtre est entièrement caractérisé par sa [[réponse impulsionnelle]] {{math|''h''(''t'')}}. [[Mise en équation]], la réponse du filtre est {{math|''s''(''t'') {{=}} {''h'' ∗ ''e''}(''t'')}}.

La construction de l'opérateur de convolution s'élabore de la manière suivante. Tout d'abord, on s'intéresse aux deux conditions imposées sur le filtre. On note {{math|''f'' (''e'')}} le filtrage réalisé par le filtre sur l'entrée {{var|e}}. La linéarité du filtre implique que :
:<math>f(\lambda e)=\lambda f(e)</math>
:<math>f(e_1+e_2)=f(e_1)+f(e_2)</math>

On peut noter que la réponse du filtre à un signal nul est nulle. L'indépendance du temps se résume par :
:<math>f(e^d) = (f(e))^d</math>

où {{mvar|e{{exp|d}}}} est le signal {{mvar|e}} retardé de la quantité {{mvar|d}}.

À partir de là, on peut construire la réponse du filtre linéaire et indépendant du temps à l'entrée {{math|''e''(''t'')}} . En effet, comme le filtre est linéaire, on peut décomposer le signal {{math|''e''(''t'')}}  en parties indépendantes, à l'aide d'un ensemble de signaux {{mvar|e{{ind|i}}}} avec des [[support de mesure|supports]] disjoints compacts de telle sorte que <math>e(t) = \Sigma_i e_i(t)</math>. On injecte chaque partie du signal dans le filtre puis l'on somme les différentes réponses. Ainsi le filtrage donnera : <math>f(e) = \Sigma_i f(e_i)</math>. Cette décomposition temporelle de {{math|''e''(''t'')}}  peut s'effectuer de manière récursive sur les signaux {{math|''e{{ind|i}}''(''τ'')}}. À la fin, on obtient une suite de signaux dont le [[support de mesure|support]] se résume à un point. Ces signaux, élémentaires parce que non décomposables temporellement, correspondent chacun d'entre eux à la distribution de Dirac {{math|''δ''(''t''–''τ'')}} centrée en {{math|''τ''}} avec une amplitude {{math|''e''(''τ'')}}, l'impulsion s'écrit {{math|''δ''(''t''–''τ'')''e''(''τ'')}}. Il suffit de sommer toutes les impulsions suivant la variable {{math|''τ''}} pour obtenir le signal {{math|''e''(''t'')}} :
:<math>e(t)=\int \delta(t-\tau)e(\tau) \,\mathrm d\tau</math>

On applique l'opération de filtrage sur {{math|''e''(''t'')}} . Comme le filtre est linéaire et indépendant du temps, nous avons :

:<math>\begin{align}f(e)&=\int f(\delta(t-\tau)e(\tau))\,\mathrm d\tau\\
&=\int e(\tau)f(\delta(t-\tau))\,\mathrm d\tau&\text{(linéarité)}\\
&=\int e(\tau)(f\circ\delta)(t-\tau)\,\mathrm d\tau&\text{(indépendance du temps).}\end{align}</math>

La réponse du filtre {{mvar|f}} à l'impulsion {{math|''δ''(''t'')}} est nommée la réponse impulsionnelle du filtre {{math|''h''(''t'')}}. Finalement on a : 

:<math>f(e) = \int e(\tau)h(t-\tau) \,\mathrm d\tau</math> 

qui n'est autre que le produit de convolution.

En conclusion : si le filtre est linéaire et indépendant du temps, alors il est entièrement caractérisé par sa réponse {{math|''h''(''t'')}} et la réponse du filtre à l'entrée {{math|''e''(''t'')}} est donnée par l'opérateur de convolution.

Autre conclusion fondamentale des filtres linéaires et indépendants du temps : si l'on entre un signal {{math|''e''(''t''){{=}}e{{exp|2 π j ''f t''}}}}, le signal de sortie sera :

:<math>\begin{align}s(t)&=\int\mathrm e^{2\pi\jmath f\tau}h(t-\tau)\,\mathrm d\tau\\
&=\int\mathrm e^{2\pi\jmath f(t-\tau)}h(\tau)\,\mathrm d\tau\\
&=\mathrm e^{2\pi\jmath ft}\int\mathrm e^{-2\pi\jmath f\tau}h(\tau)\,\mathrm d\tau\\
&=\mathrm e^{2\pi\jmath ft}H(f).\end{align}</math>

Le signal {{math|''s''(''t'')}} sera aussi un signal de la forme {{math|e{{exp|2 π j ''f t''}}}} au facteur {{math|''H''(''f'')}} près. Ce facteur n'est autre que la [[transformée de Fourier]] de {{math|''h''(''t'')}}.
== Notes et références ==
{{Références}}


== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Convolution}}
=== Articles connexes ===
* [[Approximation de l'unité]]
*[[Convolution de Dirichlet]]
*[[Déconvolution]]
* [[Dualité de Pontriaguine]]
* [[Fenêtrage]]
*[[Intégrale paramétrique]]

=== Bibliographie ===
{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Marc Briane|auteur2=Gilles Pagès|titre=Théorie de l'intégration|sous-titre=convolution et transformée de Fourier|lieu=Paris|éditeur=[[Vuibert]]|année=2012|pages totales=365|isbn=978-2-311-00738-1}}

=== Liens externes ===
*{{en}} [http://www.jhu.edu/~signals/index.html Animation de la Johns Hopkins University qui explique la convolution de façon graphique] 
* [http://fr.audiofanzine.com/plugin-reverb/editorial/dossiers/viva-la-convolution.html Viva la Convolution] : application de la convolution à l'[[acoustique]]

{{Palette|Opérations binaires}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Théorie de l'intégration]]
[[Catégorie:Analyse harmonique]]
[[Catégorie:Opération]]