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En [[mathématiques]], et plus précisément en [[géométrie]], le '''produit vectoriel''' est une [[Opération (mathématiques)|opération]] [[Vecteur|vectorielle]] effectuée dans les [[espace euclidien|espaces euclidiens]] [[orientation (mathématiques)|orientés]] de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] 3<ref group=N>Tous les espaces vectoriels euclidiens orientés de dimension 3 sont deux à deux [[Isomorphisme|isomorphes]] ; l'isomorphisme est une [[isométrie]] bien définie à composition près par une [[Rotation vectorielle|rotation]].</ref>{{,}}<ref group=N>Il est en fait possible de définir une opération ayant des propriétés analogues dans des espaces de dimension 7 ; voir « [[Produit vectoriel en dimension 7]] ».</ref>{{,}}<ref group=N>On peut aussi définir le [[Produit mixte#Définition générale du produit vectoriel|produit vectoriel de ''n''-1 vecteurs]] dans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension ''n''.</ref>. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse vectorielle écrit par [[Willard Gibbs|Josiah Willard Gibbs]] pour ses étudiants en physique. Les travaux de [[Hermann Günther Grassmann]] et [[William Rowan Hamilton]] sont à l'origine du produit vectoriel défini par Gibbs<ref name="Crowe">{{harvsp|Crowe|1994}}.</ref>{{,}}<ref name="ref2">Jean-Paul Collette, ''Histoire des mathématiques'', t. 2, Vuibert, 1979 {{ISBN|0-7767-0164-9}}, {{p.|244}}.</ref>.

== Histoire ==
=== Résumé ===
La mise en place de la notion de produit vectoriel prend son essor dans la deuxième moitié du {{s|XIX}}, même si [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] utilise en 1773 des grandeurs assimilables aux composantes du produit vectoriel de deux vecteurs. Mais cette utilisation reste limitée à un usage ponctuel<ref>{{article|auteur=[[Joseph-Louis Lagrange]]|titre=Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires|périodique=Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et Belles-Lettres|année=1773}}, réimprimé dans {{Ouvrage|auteur1=Serret|titre=Œuvres de Lagrange|volume=3|éditeur=[[Gauthier-Villars]]|année=1869|passage=661-692|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229222d/f663.image}}</ref>.
En 1843, [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] invente les [[quaternion]]s qui permettent d'introduire naturellement le produit vectoriel. Indépendamment et à la même période (1844), [[Hermann Günther Grassmann|Grassmann]] définit dans ''{{lang|de|Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik}}'' un « produit géométrique » à partir de considérations géométriques ; mais il ne parvient pas à définir clairement un produit vectoriel. Puis Grassmann lit Hamilton et s'inspire de ses travaux pour publier en 1862 une deuxième version de son traité qui est nettement plus claire<ref name="Dieudonné">{{Dieudonné (dir.)}}, 1986, {{p.|107}}.</ref>. De même, Hamilton lit les travaux de Grassmann, les commente et les apprécie<ref name="Crowe2">{{harvsp|Crowe|1994|p=85}}.</ref>. Plus tard [[James Clerk Maxwell|Maxwell]] commence à utiliser la théorie des quaternions pour l'appliquer à la physique. Après Maxwell, [[William Kingdon Clifford|Clifford]] modifie profondément le formalisme de ce qui devenait l'[[analyse vectorielle]]. Il s'intéresse aux travaux de Grassmann et Hamilton avec une nette préférence pour le premier<ref name="ref2"/>. Dans son ouvrage ''{{lang|en|texte=Elements of Dynamic}}'' (1878), Clifford définit le produit vectoriel de deux vecteurs comme un vecteur orthogonal aux deux vecteurs et dont la grandeur est égale à l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=William Clifford|titre=Elements of Dynamic : An Introduction to the Study of Motion and Rest in Solid and Fluid Bodies|éditeur=MacMillian and Co (Londres)|année=1878|passage=95}}</ref>. En 1881, [[Willard Gibbs|Gibbs]] publia ''{{lang|en|texte=Elements of Vector Analysis Arranged for the Use of Students of Physics}}'' s'inspirant des travaux déjà réalisés, notamment ceux de Clifford et Maxwell.
Si les physiciens se sont empressés d'utiliser le formalisme de Gibbs, celui-ci ne fut accepté en mathématiques que bien plus tard, et après plusieurs modifications.

=== Anecdote ===
[[Peter Guthrie Tait]], dans la préface de la troisième édition de son traité sur les quaternions, qualifie le nouveau formalisme créé par Gibbs de {{citation|monstre hermaphrodite, composé des notations de Hamilton et Grassmann}}<ref name="Cajori2"/>.

== Notation ==
Plusieurs notations sont en concurrence pour le produit vectoriel :
* En [[France]], le produit vectoriel de {{mvar|u}} et de {{mvar|v}} est noté {{math|''u'' ∧ ''v''}}, où le symbole {{math|∧}} se lit ''vectoriel'' (''[[Wedge (mathématiques)|wedge]]'' en anglais). Cette notation a été introduite par [[Cesare Burali-Forti]] et [[Roberto Marcolongo]] en 1908<ref name="Cajori">{{harvsp|Cajori|texte=Cajori 1993|p=138}}.</ref>. Son inconvénient est d'entrer en conflit avec la notation du [[produit extérieur]] ;
* Dans la littérature anglophone et allemande (ainsi qu'au Canada francophone, en [[Suisse]], et parfois en Belgique), le produit vectoriel est noté {{math|''u'' × ''v''}}. Cette notation est due à [[Willard Gibbs|Josiah Willard Gibbs]]<ref name="Cajori2">{{harvsp|Cajori|texte=Cajori 1993|p=134 et 136}}.</ref>. Son inconvénient est d'induire une confusion éventuelle avec le [[Produit (mathématiques)|produit des réels]] et le [[produit cartésien]], mais ces produits ne portent pas sur des objets de même nature<ref group=N>Un autre inconvénient est que le produit vectoriel n'est ni associatif, ni commutatif, mais c'est aussi le cas des « produits » dans les [[Algèbre sur un corps#Algèbre unifère non associative|algèbres non associatives]].</ref> ;
* Une troisième notation, privilégiée par exemple par [[Vladimir Arnold|Arnold]], est l'utilisation des [[crochet de Lie|crochets de Lie]] : {{math|[''u'' , ''v'']}}<ref group=N>Voir section Définition [[#Comme produit de Lie]].</ref>.

Dans cet article, la première convention sera utilisée (avec ou sans flèches sur les vecteurs).

== Définition ==

[[Fichier:vecteurs produit vectoriel.png|droite|Produit vectoriel]]

Soit ''E'' un [[espace vectoriel euclidien]] [[Orientation (mathématiques)|orienté]] de dimension 3. Par le choix d'une [[base orthonormée]], ''E'' peut être identifié avec l'espace '''R'''{{3}}, mais cette identification n'est pas obligatoire pour définir le produit vectoriel.

D'un point de vue [[géométrie|géométrique]],
{{énoncé|le '''produit vectoriel''' de deux [[vecteur]]s <math>\vec u</math> et <math>\vec v</math> de ''E'' non [[colinéaire]]s se définit comme l'unique vecteur <math>\vec w</math> tel que :
* le vecteur <math>\vec w</math> est [[orthogonal]] aux deux vecteurs donnés ;
* <math>\|\vec w\|=\|\vec u\|\|\vec v\|\left|\sin(\widehat{\vec u,\vec v})\right|</math> ;
* la [[base (algèbre linéaire)|base]] <math>(\vec u,\vec v, \vec w)</math> est de [[orientation (mathématiques)|sens direct]],
et le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est [[vecteur nul|nul]] par définition.
}}
[[Fichier:Cross product parallelogram.gif|alt=Animation : Module du produit vectoriel et parallélogramme des vecteurs|vignette|Le produit vectoriel (bleu) est perpendiculaire aux deux vecteurs (rouge) et son module est égal à l'aire du parallélogramme défini par ces deux derniers.]]
En particulier :
* deux vecteurs sont colinéaires si (et seulement si) leur produit vectoriel est nul ;
* deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si la norme de leur produit vectoriel est égale au produit de leurs normes ;
* le module du produit vectoriel <math>\vec w</math> est égal à l'aire du parallélogramme défini par les deux vecteurs <math>\vec u</math> et <math>\vec v</math>.

La notion d'orientation peut ici être appréhendée de manière élémentaire en utilisant la [[règle de la main droite]] : le pouce, l'index et le majeur écartés en un [[trièdre]] indiquent respectivement le sens de <math>\vec u</math>, de <math>\vec v</math> et de <math>\vec w</math>. Cette méthode, utilisée dans l'enseignement secondaire, n'est pas totalement satisfaisante, mais reste une approche adaptée aux applications, en particulier en physique (voir l'article [[orientation (mathématiques)]] pour une approche plus théorique).

=== Définition par le produit mixte ===

Une seconde définition<ref group=N>L'équivalence entre cette définition et la précédente est démontrée, par exemple, {{Note autre projet|Wikiversité|Produit vectoriel/Avancé#Caractérisation algébrique|dans la leçon « Produit vectoriel »|début=}}</ref> utilise la théorie des [[déterminant (mathématiques)|déterminants]] et la notion de [[produit mixte]] comme point de départ. Le produit mixte de trois vecteurs {{mvar|u}}, {{mvar|v}}, {{mvar|w}}, noté {{math|[''u'', ''v'', ''w'']}}, est le déterminant de ces trois vecteurs dans une [[base orthonormée|'''b'''ase '''o'''rtho'''n'''ormée]] '''d'''irecte (BOND) quelconque. La formule de changement de base montre que ce déterminant est indépendant du choix de la base directe ; géométriquement il est égal au volume orienté du [[parallélépipède]] appuyé sur les vecteurs {{mvar|u}}, {{mvar|v}}, {{mvar|w}}.
{{énoncé|Le produit vectoriel de deux vecteurs {{mvar|u}} et {{mvar|v}} est l'unique vecteur {{math|''u'' ∧ ''v''}} tel que, pour tout {{mvar|w}}, on a :
{{Retrait|1=<math>[u, v, w] = (u \wedge v) \cdot w.</math>}}
}}

Le produit vectoriel s'interprète comme les variations du volume orienté d'un parallélépipède en fonction du troisième côté.

Avec une telle définition, il est possible de définir, dans un espace vectoriel orienté de dimension ''n'' + 1, le produit vectoriel de ''n'' vecteurs.

Cette définition se reformule en recourant à la notion d'[[espace euclidien]]. Le produit vectoriel {{math|''u'' ∧ ''v''}} est alors le [[Espace_euclidien#Espace_dual_et_forme_bilinéaire|vecteur dual]] de la [[forme linéaire]] {{math|''w'' : ⟼ [''u'', ''v'', ''w'']}}, donné par le [[Théorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz)|théorème de représentation de Riesz]].

=== Calcul en composantes ===

[[Fichier:Technique de calcul du produit vectoriel.gif|vignette|Une méthode pour calculer le produit vectoriel grâce aux composantes.]]
Le choix arbitraire d'une base orthonormée directe donne une identification de <math>E</math> et de <math>\mathbb{R}^3</math>. Notons les coordonnées {{math|1=''u'' = (''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>, ''u''<sub>3</sub>)}} et {{math|1=''v'' = (''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ''v''<sub>3</sub>)}}.

Leur produit vectoriel est donné par<ref group="N">Pour une démonstration, voir par exemple {{Note autre projet|Wikiversité|Produit vectoriel/Avancé#Calcul pratique avec les coordonnées|la leçon « Produit vectoriel »|début=}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |langue=fr |titre=Produit vectoriel |url=https://homeomath2.imingo.net/prodvect.htm}}</ref> :
<center><math>u\wedge v=\begin{pmatrix}
u_1\\ u_2\\ u_3
\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}
v_1\\ v_2\\ v_3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
u_2v_3-u_3v_2\\ u_3v_1-u_1v_3\\ u_1v_2-u_2v_1
\end{pmatrix}</math>.</center>

Cette troisième définition, puisqu'elle est équivalente aux deux précédentes, est indépendante, malgré les apparences, du choix de la base orthonormée directe dans laquelle on calcule les coordonnées.

== Propriétés ==
=== Propriétés algébriques ===
* Le produit vectoriel est un produit distributif, anticommutatif :
** [[Distributivité]] par rapport à l'addition :
**: <math>u\wedge(v+w)=u\wedge v+u\wedge w</math>,
** Compatibilité avec la [[multiplication par un scalaire]] :
**: <math>\lambda(u\wedge v)=\lambda u\wedge v=u\wedge\lambda v</math>.
Ces deux propriétés font du produit vectoriel une [[application bilinéaire]], et confèrent à <math>\mathbb{R}^3</math> une structure d'[[Algèbre sur un corps|algèbre]].

* {{ancre|anticommutativité}}Anticommutativité, ou [[Application multilinéaire#Symétrie et antisymétrie|antisymétrie]] :
*: <math>u\wedge v=-v\wedge u</math>.
Ces propriétés découlent immédiatement de la définition du produit vectoriel par le produit mixte et des propriétés algébriques du déterminant.
* Il n'est pas associatif — c'est-à-dire qu'en général {{math|''u'' ∧ (''v'' ∧ ''w'')}} n'est pas égal à {{math|(''u'' ∧ ''v'') ∧ ''w''}} — et plus précisément, il vérifie les '''égalités du double produit vectoriel''' :
:<math>u\wedge(v\wedge w)=(u\cdot w)v-(u\cdot v)w\qquad\text{et}\qquad(u\wedge v)\wedge w=(u\cdot w)v-(v\cdot w)u</math>.
{{Démonstration|titre=Démonstrations des égalités du double produit vectoriel|contenu=
Remarquons d'abord<ref group="∧∧" name=Mercier>D.-J. Mercier, ''L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques, vol. 4'', Publibook, 2008 {{ISBN|978-2-74834110-2}}, p. 301.</ref> que chacune des deux égalités se déduit de l'autre par [[#antisymétrie|antisymétrie]], et qu'elles sont immédiates lorsque les deux vecteurs entre parenthèses, dans le double produit, sont liés. Mentionnons quelques-unes des nombreuses méthodes pour démontrer l'une ou l'autre, de la plus calculatoire à la plus savante.

* On peut<ref group="∧∧">[http://uel.unisciel.fr/physique/outils_nancy/outils_nancy_ch03/co/sexercer_04.html Exercice corrigé] sur uel.unisciel.fr.</ref>{{,}}<ref group="∧∧">H. Muller, R. Weidenfeld et A. Boisseau, ''Mathématiques MPSI'', Bréal, 2008 {{ISBN|978-2-74950033-1}}, [https://books.google.fr/books?id=Jy-ZHW9HebwC&pg=PA75 p. 75].</ref> développer les deux membres de l'équation [[#Calcul en composantes|en coordonnées]] dans une base orthonormée directe quelconque, et constater que les deux résultats sont égaux.
* Une méthode standard<ref group="∧∧" name=Mercier/>{{,}}<ref group="∧∧">Pour plus de détails, voir {{Note autre projet|Wikiversité|Produit vectoriel/Double produit vectoriel|le chapitre « Double produit vectoriel »|début=}}</ref> est de procéder de même, mais dans une base orthonormée directe correspondant au [[Algorithme de Gram-Schmidt|procédé de Gram-Schmidt]] (en supposant <math>(u,v)</math> libre), ce qui simplifie les calculs.
* On peut<ref group="∧∧">R. Ferréol, MPSI 09/10, [http://mapage.noos.fr/r.ferreol/atelecharger/textes/esp%20euclidien.pdf Exercices sur les espaces euclidiens], exercice 46.</ref> remarquer d'emblée qu'il existe toujours deux réels {{mvar|α}}, {{mvar|β}} tels que
{{retrait|<math>u\wedge(v\wedge w)=\alpha v+\beta w</math>}}
(en effet, si {{mvar|v}} et {{mvar|w}} sont indépendants, le plan qu'ils engendrent est l'orthogonal de leur produit vectoriel, or le double produit appartient à cet orthogonal), et même (en effectuant le [[produit scalaire]] des deux membres par {{mvar|u}}) qu'il existe un réel {{math|λ}} tel que
{{retrait|<math>u\wedge(v\wedge w)=\lambda((u\cdot w)v-(u\cdot v)w)</math>.}}
On remarque ensuite que {{math|λ}} est indépendant de {{mvar|u}}, {{mvar|v}} et {{mvar|w}} (en effet, [[Homothétie#Géométrie vectorielle|si deux applications linéaires {{mvar|f}} et {{mvar|g}} sont telles que pour tout vecteur {{mvar|x}}, {{math|1=''f''(''x'') = λ''g''(''x'')}}, {{math|λ}} ne dépend en fait pas de {{mvar|x}}]]). On conclut en calculant sa valeur dans une configuration simple : par exemple, si {{math|(''u'', ''v'')}} est orthonormée alors {{math|1=''u'' ∧ (''v'' ∧ ''u'') = ''v''}} donc {{math|λ}} = 1.
* Au lieu de comparer directement les deux membres de l'égalité, on peut comparer leur produit scalaire avec un vecteur {{mvar|x}} arbitraire, en utilisant les propriétés du [[déterminant de Gram]]<ref group="∧∧">P. Dupont, ''Introduction à la géométrie'', De Boeck, 2002 {{ISBN|978-2-80414072-4}}, p. 194, donne même, par cette méthode, une généralisation de la formule en dimension quelconque.</ref> :
{{retrait|<math>\begin{align}(x\cdot((u\cdot w)v-(u\cdot v)w))&=(x\cdot v)(u\cdot w)-(x\cdot w)(u\cdot v)\\
&=\operatorname{Gram}(x,u;v,w)\\&=((x\wedge u)\cdot(v\wedge w))\\&=[x,u,v\wedge w]\\&=(x\cdot(u\wedge(v\wedge w))).\end{align}</math>
<references group="∧∧"/>}}
}}

* Il vérifie par conséquent l'[[Relation de Jacobi|identité de Jacobi]], ce qui en fait un [[crochet de Lie]] :
{{retrait|<math>u\wedge(v\wedge w)+w\wedge(u\wedge v)+v\wedge(w\wedge u)=0</math>.}}
* En partant <math>\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\|\vec v\|\left|\sin(\widehat{\vec u,\vec v})\right|</math> et de <math>\vec u.\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\widehat{\vec u,\vec v})</math>, 
on obtient l'égalité :

{{retrait|<math>\|\vec u\wedge\vec v\|^2 + (\vec u\cdot\vec v)^2 = \|\vec u\|^2\|\vec v\|^2</math>}}

ce qui donne, en passant aux coordonnées, l'[[identité de Lagrange]] :

{{retrait|<math>\left((bc'-b'c)^2+(ca'-c'a)^2+(ab'-a'b)^2\right) + (aa'+bb'+cc')^2 = (a^2+b^2+c^2)(a'^2+b'^2+c'^2).</math>}}

=== Applications ===
*Les premières propriétés algébriques ci-dessus ([[bilinéarité]] et formule du double produit vectoriel) fournissent une solution au problème de la '''division vectorielle''' {{math|''u'' ∧ ''x'' {{=}} ''v''}}, où l'inconnue est le vecteur {{mvar|x}} et les données sont les deux vecteurs {{mvar|u}} et {{mvar|v}}, en supposant {{mvar|u}} non nul et orthogonal à {{mvar|v}} (sans quoi la résolution est instantanée).
En effet, de {{math|''u'' ∧ (''v'' ∧ ''u'') {{=}} ║''u''║{{2}}''v''}}, on déduit que {{math|''x''{{ind|0}} {{=}} (''v'' ∧ ''u'')/║''u''║{{2}}}} est une solution. Or le [[Application linéaire#Noyau et image|noyau de l'application linéaire]] {{math|''x'' ↦ ''u'' ∧ ''x''}} est la [[droite vectorielle]] {{math|'''R'''''u''}}, donc l'ensemble des solutions de cette [[équation linéaire]] est {{math|''x''{{ind|0}} + '''R'''''u''}}.
*En développant le quadruple produit vectoriel <math>(a\wedge b)\wedge(c\wedge d)</math> de deux façons, on obtient une relation de dépendance linéaire entre les quatre vecteurs {{Mvar|a, b, c, d}} :  <math>[b,c,d]a-[c,d,a]b+[d,a,b]c-[a,b,c]d=0</math>.

=== Invariance par isométries ===
Le produit vectoriel est [[invariant]] par l'action des isométries vectorielles directes. Plus exactement, pour tous vecteurs {{mvar|u}} et {{mvar|v}} de ''E'' et pour toute rotation {{mvar|f}} de ''E'', on a :
{{retrait|<math>f\left[u\wedge v\right]=f(u)\wedge f(v).</math>}}

Cette identité peut être prouvée différemment suivant l'approche adoptée :

'''Définition géométrique''' : L'identité est immédiate avec la première définition, car {{mvar|f}} préserve l'orthogonalité, l'orientation et les longueurs.

'''Produit mixte''' : L'[[Application linéaire#Définitions|isomorphisme linéaire]] {{mvar|f}} laisse invariant le produit mixte de trois vecteurs. En effet, le produit mixte de {{math|''f''(''u'')}}, {{math|''f''(''v'')}}, {{math|''f''(''w'')}} peut être calculé dans l'image par {{mvar|f}} de la base orthonormée directe dans laquelle le produit mixte de {{mvar|u}}, {{mvar|v}} et {{mvar|w}} est calculé. De fait, l'identité précédente s'obtient immédiatement :
:<math>(f(u)\wedge f(v))\cdot f(w)=[f(u),f(v),f(w)]=[u,v,w]=(u\wedge v)\cdot w\,=f(u\wedge v)\cdot f(w)</math>
où {{math|''f''(''w'')}} parcourt tout l'espace vectoriel quand {{mvar|w}} le parcourt puisque {{mvar|f}} est une [[bijection]], d'où l'égalité souhaitée.

== Définitions alternatives ==
=== Comme produit de Lie ===

Toute [[isométrie]] directe de '''R'''{{exp|3}} est une rotation vectorielle. L'ensemble des isométries directes forme un [[groupe de Lie]] classique noté SO(3) (autrement dit, un sous-groupe fermé de GL<sub>3</sub>('''R''')). Son [[algèbre de Lie]], notée '''so'''(3) est la sous-algèbre de Lie de '''gl'''<sub>3</sub>('''R''') définie comme l'espace tangent de SO(3) en l'identité. Un calcul direct montre qu'il est l'espace des [[matrice antisymétrique|matrices antisymétriques]] de taille 3. Cet espace est ''a fortiori'' stable par le crochet de Lie.

Toute matrice antisymétrique {{math|A}} de taille 3 s'écrit de manière unique 
{{retrait|<math>\mathrm A = \begin{pmatrix}
0 & -a_3 & a_2\\
a_3 & 0 & -a_1\\
-a_2 & a_1 & 0
\end{pmatrix}</math>}}
En identifiant {{math|A}} et le vecteur <math>a = (a_1,a_2,a_3)</math>, on définit un isomorphisme linéaire entre '''so'''(3) et '''R'''{{exp|3}}. Le crochet de Lie se transporte via cet isomorphisme, et '''R'''{{exp|3}} hérite d'une structure d'algèbre de Lie. Le crochet {{math|[''u'', ''v'']}} de deux vecteurs est précisément le produit vectoriel de {{mvar|u}} et de {{mvar|v}}.

En effet, si <math>u = (u_1,u_2,u_3)</math> et <math>v = (v_1,v_2,v_3)</math>, leur crochet se calcule en introduisant les matrices antisymétriques correspondantes <math>U</math> et <math>V</math> : 
:<math>[\mathrm U, \mathrm V]= \mathrm U \mathrm V- \mathrm V \mathrm U =
\begin{pmatrix}
0 & v_1 u_2 - u_1 v_2  &  v_1 u_3 - u_1 v_3\\
u_1 v_2 - v_1 u_2  &  0  &  v_2 u_3 - u_2 v_3\\
u_1 v_3 - v_1 u_3  &  u_2 v_3 - v_2 u_3  &  0
\end{pmatrix}</math>
Le vecteur correspondant, à savoir <math>[u,v]</math>, a donc pour coordonnées 
<math>(u_2 v_3 - v_2 u_3, u_3 v_1 - v_3 u_1, u_1 v_2 - v_1 u_2)</math>. Cette approche redéfinit donc le produit vectoriel.

Si on suit cette approche, il est possible de prouver directement l'invariance du produit vectoriel par les isométries directes.
{{retrait|<math>f\left[u\wedge v\right]=f(u)\wedge f(v).</math>}}
En tant qu'algèbres de Lie, '''so'''(3) a été identifié à '''R'''{{exp|3}}. L'action (linéaire) de SO<sub>3</sub>('''R''') sur '''R'''{{exp|3}} s'identifie à l'action par conjugaison sur '''so'''(3). SO<sub>3</sub>('''R''') opère donc par automorphisme d'algèbres de Lie. Autrement dit, l'identité ci-dessus est vérifiée.

=== Comme produit de quaternions imaginaires ===
Il est possible de retrouver produit vectoriel et [[produit scalaire]] à partir du produit de deux [[quaternion]]s purs. Pour rappel, le [[Corps gauche|corps (non commutatif)]] des quaternions '''H''' est l'unique extension de '''R''' de dimension 4. Sa [[base canonique]] est {{math|(1, i, j, k)}} où le sous-espace engendré par {{math|i}}, {{math|j}} et {{math|k}} forme l'espace des quaternions purs, canoniquement identifié avec '''R'''{{exp|3}}. Ces éléments vérifient :
{{retrait|<math>{\rm i}^2={\rm j}^2={\rm k}^2={\rm ijk}= -1</math> ;}}
{{retrait|<math>{\rm ij}=-{\rm ji}={\rm k}\quad ;\quad {\rm jk}=-{\rm kj}={\rm i}\quad ;\quad {\rm ki}=-{\rm ik}={\rm j}</math>.}}
Si {{math|1=''q''<sub>1</sub> = ''a''<sub>1</sub>i + ''b''<sub>1</sub>j + ''c''<sub>1</sub>k}} et {{math|1=''q''<sub>2</sub> = ''a''<sub>2</sub>i + ''b''<sub>2</sub>j + ''c''<sub>2</sub>k}}, le produit {{math|''q''<sub>1</sub>''q''<sub>2</sub>}} se calcule immédiatement :
{{retrait|<math>q_1q_2=-(a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2)+(b_1c_2-b_2c_1){\rm i}+(c_1a_2-c_2a_1){\rm j}+(a_1b_2-a_2b_1){\rm k}.</math>}}
La [[partie réelle]] est au signe près le produit scalaire de {{math|''q''<sub>1</sub>}} et de {{math|''q''<sub>2</sub>}} ; la [[partie imaginaire]] est un quaternion pur qui correspond au produit vectoriel, après identification avec '''R'''{{exp|3}}.

Cette coïncidence trouve ses explications dans le paramétrage du groupe SO(3) par les quaternions unitaires.
{{démonstration|titre=Éléments d'explication|contenu=
L'application linéaire envoyant 1 sur 1, {{math|i}} sur {{math|–i}}, {{math|j}} sur {{math|–j}} et {{math|k}} sur {{math|–k}} est appelée la conjugaison. Le [[conjugué]] d'un quaternion {{mvar|q}} est noté {{surligner|''q''}}. Un quaternion est un réel si et seulement s'il est égal à son conjugué. L'application <math>(q,q')\mapsto q\overline{q'}</math> définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel '''H'''. Un quaternion est dit unitaire lorsqu'il est de [[norme (mathématiques)|norme]] 1. Dans ce cas, il suit de la définition même du produit scalaire qu'il est inversible et que son inverse est son conjugué. L'ensemble des quaternions unitaires, la sphère unité '''S'''<sup>3</sup>, forme un [[groupe de Lie|groupe (de Lie)]] [[compacité (mathématiques)|compact]] et [[connexité simple|simplement connexe]]. Il [[Action de groupe (mathématiques)|agit]] sur l'espace des quaternions imaginaires par conjugaison. Pour tout quaternion unitaire {{mvar|u}} et pour tout quaternion imaginaire {{mvar|q}} :
{{retrait|<math>u\cdot q=uq\overline{u}=uqu^{-1}.</math>}}
Cette action préserve la norme ; autrement dit, c'est une action par isométries. Elle définit donc un [[morphisme]] de groupes :
:<math>S^3\rightarrow SO(3)</math>
Ce morphisme est en réalité le [[revêtement (mathématiques)|revêtement]] universel du groupe SO(3). Il induit donc un isomorphisme entre les algèbres de Lie.

L'algèbre de Lie de '''S'''<sub>3</sub> est justement l'espace des quaternions imaginaires munis du crochet de Lie obtenu comme la partie imaginaire du produit des quaternions. Cette algèbre de Lie est isomorphe à l'algèbre de Lie '''R'''<sup>3</sup> (munie du produit vectoriel). 

C'est la raison fondamentale pour laquelle la partie imaginaire de deux quaternions imaginaires s'identifie au produit vectoriel.
{{Article détaillé|Quaternion}}
}}

Il est de nouveau possible de justifier l'invariance par isométrie. Toute isométrie de l'espace des quaternions imaginaires s'écrit comme la conjugaison par un quaternion unitaire. Si {{mvar|q}} est un quaternion unitaire, et {{math|''q''<sub>1</sub>}}, {{math|''q''<sub>2</sub>}} sont des quaternions imaginaires, il suffit de constater :
:<math>\left[qq_1\overline{q}\right].\left[qq_2\overline{q}\right]=q(q_1q_2)\overline{q}</math>
pour en déduire l'invariance par isométrie du produit vectoriel.

=== Par le produit tensoriel ===
{{Article connexe|Produit tensoriel}}

Soient deux vecteurs {{mvar|u}} et {{mvar|v}} dont les 3 coordonnées dans une base orthonormée directe sont notées respectivement  <math>u_i</math> et <math>v_j</math>. On peut définir le [[tenseur]] <math>u\otimes v</math> dont les 9 coordonnées sont
:<math>\begin{pmatrix}
u_1 v_1 & u_1 v_2 & u_1 v_3 \\
u_2 v_1 & u_2 v_2 & u_2 v_3 \\
u_3 v_1 & u_3 v_2 & u_3 v_3 \\
\end{pmatrix}</math>
ce qui, en notation tensorielle, s'écrit simplement <math>(u\otimes v)_{ij}= u_i\,v_j</math>.

Ce tenseur peut se décomposer en la demi-somme de deux tenseurs, l'un complètement symétrique <math>u\odot v = u\otimes v + v\otimes u</math> qui a 6 coordonnées indépendantes données par  <math>(u\odot v)_{ij}=u_i\,v_j + v_i\,u_j</math>, et l'autre complètement anti-symétrique  <math>u\wedge v = u\otimes v - v\otimes u</math> qui a 3 coordonnées indépendantes données par <math>(u\wedge v)_{ij}=u_i\,v_j - v_i\,u_j</math>.

On peut associer <math>u\wedge v</math> et le vecteur {{mvar|z}} dont les coordonnées sont :
:<math>z_1 = (u\wedge v)_{23},\;z_2 = (u\wedge v)_{31},\;z_3 = (u\wedge v)_{12}</math>
ce qui, à l'aide du [[symbole de Levi-Civita]] <math>\varepsilon</math> peut s'écrire <math>z_k = \varepsilon_{ijk} \,u_i\,v_j</math>

Selon la [[convention de sommation d'Einstein]], on somme sur {{mvar|i}} et sur {{mvar|j}} dans la formule ci-dessus. Par exemple pour {{math|1=''k'' = 3}} ({{mvar|i}} et {{mvar|j}} variant de 1 à 3), <math>z_3 = \varepsilon_{ij3} \,u_i\,v_j = \varepsilon_{123} \,u_1\,v_2 + \varepsilon_{213} \, u_2\,v_1 = u_1\,v_2 - v_1\,u_2</math>.

Comme cette égalité est conservée lors d'un changement de base orthonormée directe, {{mvar|z}} est bien le produit vectoriel de {{mvar|u}} et {{mvar|v}}.

''Remarque :'' Dans l'écriture ci-dessus, <math>u\wedge v</math> désigne le [[produit extérieur]] des vecteurs {{mvar|u}} et {{mvar|v}}. Avec la notation <math> \times </math> pour le produit vectoriel on peut écrire <math>(u \times v)_1 = (u\wedge v)_{23}</math>, etc. ce qui ne pose aucun problème. Avec la notation française  <math>\wedge </math> pour le produit vectoriel, on obtient <math>(u \wedge v)_1 = (u\wedge v)_{23}</math> ce qui peut amener des confusions.

Dans le cas général, la base n'est pas nécessairement orthonormée directe. Comme le produit extérieur <math>u\wedge v</math> est défini de manière intrinsèque (définition tensorielle), l'expression de ses coordonnées est inchangée : <math>(u\wedge v)_{ij}=u_i\,v_j - v_i\,u_j</math>.
Mais il n'en est pas de même pour le produit vectoriel. Pour généraliser au cas d'une base quelconque, (toujours en dimension 3) il faut introduire les coordonnées [[Covariant et contravariant (algèbre linéaire)|covariantes et contravariantes]] ainsi que le [[tenseur de Levi-Civita]] <math>\eta</math> 

On obtient alors <math>z_k = \eta_{ijk} \,u^i\,v^j</math> ou de manière équivalente <math>z^k = \eta^{ijk} \,u_i\,v_j</math>

=== À partir des propriétés algébriques ===

==== Caractérisation du produit vectoriel en dimension 3 ====
Théorème : si une application bilinéaire notée <math>\wedge</math> de <math>E\times E</math> dans {{mvar|E}}, {{mvar|E}} espace vectoriel réel de dimension 3, vérifie pour tout {{math|''u'',''v'',''w''}} :

# Règle d'échange : <math>(u\wedge v)\cdot w=u\cdot(v\wedge w)</math>
# Formule du double produit : <math>u\wedge(v\wedge w)=(u\cdot w)v-(u\cdot v)w\qquad</math>

Alors il existe une orientation de {{mvar|E}} telle que <math>\wedge</math> est le produit vectoriel de {{mvar|E}}.

Étapes successives de la démonstration :
:a. On montre <math>\lVert u\wedge v \rVert^2=\lVert u \rVert^2\lVert v\rVert^2-(u\cdot v)^2</math> en partant de <math>\lVert u\wedge v \rVert^2=(u\wedge v)\cdot(u\wedge v )</math> et utilisant 1. puis 2.
:b. On en déduit directement <math>u\wedge v=0\Leftrightarrow(u,v) \text{ lié}</math> (égalité dans l'[[inégalité de Cauchy-Schwarz]]) puis <math>u\wedge v=-v \wedge u</math> en calculant <math>(u+v)\wedge (u+v)</math>.
:c. Soient <math>e_1,e_2</math> deux vecteurs normés orthogonaux, <math>e_3=e_1\wedge e_2</math>, alors en utilisant 1. et a. on montre que <math>(e_1,e_2,e_3)</math> est orthonormale, puis que <math>e_2\wedge e_3=e_1</math> et <math>e_3\wedge e_1=e_2</math>.
:d. En exprimant {{mvar|u}} et {{mvar|v}} dans cette base, décrétée directe, on calcule les coordonnées de <math>u\wedge v</math> , qui montrent alors que <math>\wedge</math> est bien « le » produit vectoriel.

==== Autre caractérisation en dimension quelconque a priori ====
{{Article connexe|Produit vectoriel en dimension 7}}
On appelle '''produit vectoriel''' sur un  [[espace euclidien]] ''V'' une  [[application multilinéaire|application bilinéaire]] notée<ref group=N>La notation francophone usuelle du produit vectoriel en dimension 3 est <math>\scriptstyle\mathbf{x} \wedge \mathbf{y}</math>, mais il ne semble pas y avoir de mention du cas général dans la littérature</ref> ×, allant  de ''V × V''  vers ''V'',<math>(\mathbf{x},\mathbf{y})\mapsto\mathbf{x} \times \mathbf{y}</math>, ayant les propriétés suivantes<ref name=Massey0>{{article |langue=en |titre=Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces |auteur=WS Massey |périodique=[[The American Mathematical Monthly]] |volume=90 |année=1993 |pages=697–701 |éditeur=[[Mathematical Association of America]] |url=https://www.jstor.org/stable/2323537 |numéro=10 |doi=10.2307/2323537 }}</ref>{{,}}<ref name=Brown>
 Massey (1993)  et {{article|langue=en|auteurs=Robert B Brown et Alfred Gray|titre=Vector cross products|volume=42|éditeur=Birkhäuser Basel|année=1967|pages=222–236|doi=10.1007/BF02564418|lire en ligne=https://link.springer.com/article/10.1007/BF02564418|périodique=Commentarii Mathematici Helvetici}} demandent que l'application soit bilinéaire.</ref> : 
:<math>\mathbf{x} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = (\mathbf{x} \times \mathbf{y})\mathbf{\cdot y}=0</math>   (orthogonalité), 
et :
:<math>|\mathbf{x} \times \mathbf{y}|^2 = |\mathbf{x}|^2 |\mathbf{y}|^2 - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y})^2 </math>   (relation entre les normes),
où ('''x·y''') est le [[produit scalaire]] et |'''x'''| est la [[Norme (mathématiques)|norme]] du vecteur '''x'''. Une formulation équivalente, utilisant l'[[angle]] ''θ'' entre les vecteurs<ref name="Hildebrand">
La définition de l'angle dans un espace de dimension ''n'' est généralement donnée à l'aide du produit scalaire, comme valant
<math>\theta=\widehat{(\mathbf{x \cdot y})} = \arccos(\mathbf{x \cdot y}|/(|\mathbf x |\,|\mathbf y |)), \ \mathrm {avec}\ 0 \le\theta \le \pi</math>. Par conséquent, et en appliquant le théorème de Pythagore à la relation entre les normes,
<math>|\mathbf{x} \times \mathbf{y}| = |\mathbf{x}| |\mathbf{y}| \sin \theta </math>, sin θ étant toujours positif dans cet intervalle.
Voir {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Francis Begnaud Hildebrand|titre=Methods of applied mathematics|éditeur=[[Dover Publications|Courier Dover Publications]]|année=1992|numéro d'édition=Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd|pages totales=362|format livre=poche|passage=24|isbn=978-0-486-67002-7|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=17EZkWPz_eQC&pg=PA24}}
</ref>, est<ref name = Lounesto/> :
:<math>|\mathbf{x} \times \mathbf{y}| = |\mathbf{x}| |\mathbf{y}| \sin \theta, </math>
ce qui est l'aire du  [[parallélogramme]] (dans le plan de  '''x''' et '''y''') ayant les deux vecteurs pour côtés<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=M. G.|nom1=Kendall|titre=A Course in the Geometry of N Dimensions|éditeur=[[Dover Publications|Courier Dover Publications]]|année=2004|pages totales=63|format livre=poche|passage=19|isbn=978-0-486-43927-3|lccn=2004047769|lire en ligne={{Google Livres|_dFJ6pSzRLkC|page=19 }}}}
</ref>. Il est également possible de montrer que l'expression suivante est équivalente aux deux précédentes<ref name=Silagadze1>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Z.K. Silagadze|titre=Multi-dimensional vector product|éditeur=|année=2002|isbn=}}, {{arxiv|math.RA/0204357}}.</ref> :
: <math>|\mathbf{x} \times \mathbf{y}| =  |\mathbf{x}| |\mathbf{y}|~\mbox{si} \  \left( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \right)= 0</math>.
On démontre alors qu'un produit vectoriel non trivial ne peut exister qu'en dimensions trois et sept<ref name = Lounesto>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Pertti|nom1=Lounesto|titre=Clifford algebras and spinors|lieu=Cambridge, UK|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=2001|numéro d'édition=2|pages totales=338|format livre=poche|passage=96-97|isbn=978-0-521-00551-7|lccn=2001025396|lire en ligne={{Google Livres|kOsybQWDK4oC}}}}.</ref> ; de plus, en dimension trois, ce produit vectoriel est unique au signe près.

== Définitions ambiguës ou/et obsolètes ==
La définition mathématique du produit vectoriel nécessite la notion « d'orientation de l'espace », expression  qui, même de nos jours (2021), est assez peu utilisée en dehors du champ mathématique<ref name="Riley"/>. Les mathématiciens définissent l'orientation en dimensions quelconques sur des objets très généraux appelés [[Orientabilité|variétés]] d'une manière nécessairement très abstraite. Même dans le cas simple des [[Espace vectoriel|espaces vectoriels]], la définition la plus usuelle fait intervenir la notion de [[forme volume]] (elle ne fait pas appel aux bases) et est assez peu concrète<ref name="orientation"/>. Les physiciens, entre autres, préfèrent utiliser « l'orientation d'une base », notion plus facilement accessible (en dimension 3) à l'aide des trois premiers doigts de la main : [[règle de la main droite]] ou [[règle de la main gauche]] selon le cas. En anglais, on utilise l'expression imagée {{Lien|langue=en|trad=Handedness (disambiguation)|texte="handedness"}}.

=== Définition obsolète ===
En physique, la définition moderne du produit vectoriel est conforme à la définition mathématique. Mais il n'en a pas toujours été ainsi. Par exemple, chez {{harvsp |Landau|p=28|id=Landau}}, on trouve : 
{{citation bloc|Lorsque l'on renverse par symétrie le système de coordonnées, c'est-à-dire quand on change les signes des trois coordonnées, les composantes d'un vecteur ordinaire changent également de signe. De tels vecteurs sont dits polaires. Les composantes d'un vecteur pouvant être représenté comme le produit vectoriel de deux vecteurs polaires ne changent pas de signe lors d'un renversement. De tels vecteurs sont dits axiaux. […] Un vecteur axial est un pseudo-vecteur, dual d'un certain tenseur antisymétrique. Ainsi, si <math>C=A \times B</math>, on a <math>C_\alpha = \frac{1}{2}e_{\alpha\beta\gamma}C_{\beta\gamma}</math> où <math>C_{\beta\gamma}=A_\beta B_\gamma - A_\gamma B_\beta</math>.}}

En physique, la définition moderne du produit vectoriel de deux vecteurs ne fait pas intervenir le fait qu'ils soient polaires ou axiaux et est indépendante de tout [[système de coordonnées]] : c'est donc un tenseur. Plus précisément c'est un tenseur de rang 1, c'est-à-dire un vecteur. Alors que pour Landau, le produit vectoriel de deux vecteurs polaires (et d'une manière plus générale, tout vecteur axial) est un pseudo-tenseur de rang 1, c'est-à-dire un [[pseudovecteur]]. La définition de Landau est donc obsolète mais elle a le grand mérite d'être ''clairement'' obsolète.

=== Définitions ambiguës ===
{{citation bloc|On sait qu'un vecteur axial change de sens quand on change l'orientation des axes (on le vérifie aisément par exemple sur le produit vectoriel de deux vecteurs polaires){{sfn|Arzeliès |p=178}}.}}
À première vue, cette définition semble être analogue à celle de Landau. Mais le dessin qui l'accompagne permet de mieux la comprendre. L'auteur utilise un repère orthonormal dans lequel, ''par définition'', les formules usuelles sont correctes<ref name="direct"/>. Il explique ensuite que ''par convention'' on le représente sous la forme d'un repère orienté à droite (il ne le précise pas mais cela signifie que ''l'espace'' est orienté à droite) mais que l'on pourrait tout aussi bien le représenter orienté à gauche (l'espace serait alors orienté à gauche). Le changement de signe du produit vectoriel vient donc du changement d'orientation ''de l'espace'', ce qui est conforme à sa définition.

La citation précédente n'est explicitée que grâce au dessin qui l'accompagne ; seule elle est ambigüe. D'autres auteurs sont sans doute dans le même cas et il faut être prudent lorsque l'on extrait une phrase de son contexte. Par exemple  
{{citation bloc|Or, par définition, le produit vectoriel  <math>A \times B</math> de deux vecteurs <math>A</math> et <math>B</math> est un vecteur <math>C</math> [<math>\cdots</math>] tel que le trièdre <math>A, B, C</math> soit de même sens que le trièdre des axes coordonnées{{sfn|Berthelot|p=52}}}}
Faut-il interpréter cette citation comme celle ci-dessus ? Par la suite, l'auteur précise sa pensée et en fait il est dans le même esprit que Landau.

=== Réconciliation ? ===
Il apparait donc, comme le dit Jean Sivardière, que « deux définitions, non équivalentes, du produit vectoriel se rencontrent dans la littérature<ref name="cross"/> ». Est-il possible de concilier ces deux approches ? 

''A priori'', cela est impossible. On ne peut pas affirmer d'un côté que le produit vectoriel est un vecteur (la définition est indépendante de tout repère) et prétendre de l'autre qu'un changement de base ''seul'' peut le changer en son opposé : cela est une ''contradiction'' pure et simple. Il faut que les choses soient claires : le produit vectoriel de deux vecteur polaires est un vecteur axial mais ce n'est pas un pseudo-tenseur. En effet   
# lorsque l'on change l'orientation du repère, un pseudo-tenseur est changé en son opposé tandis que le produit vectoriel est invariant.
# lorsque l'on change l'orientation de l'espace, un pseudo-tenseur est invariant tandis que le produit vectoriel est changé en son opposé.
Certes, lorsque l'on change les deux ''en même temps'', produit vectoriel et pseudo-tenseur sont changés en leur opposé mais cela ne fait que masquer leurs différences.

Certains commentateurs, refusant de voir cette incompatibilité, ont eu l'idée de redéfinir la notion de "renversement des axes" : un renversement des axes serait toujours accompagné ''implicitement'' par un renversement de l'orientation de l'espace. Ainsi, le changement de signe du produit vectoriel serait conforme à la définition.

L'idée est intéressante mais elle est inapplicable en ce qui concerne les citations des grands auteurs. Car même si cela pourrait convenir à certains, pour d'autres ce serait une trahison de leur pensée ; seule une analyse plus précise du contexte peut éventuellement permettre de savoir quelle définition du produit vectoriel l'auteur a choisie.

== Applications ==
[[Fichier:Cross parallelogram.png|vignette|Représentation vectorielle utilisée en mécanique]]

=== Mécanique ===
On définit l'opérateur [[rotationnel]] comme suit :
{{retrait|<math>\overrightarrow{\operatorname{rot}} \ \vec u = \vec \nabla \wedge \vec u=\begin{vmatrix} 
\vec i & \vec j & \vec k \\ 
\partial_x  & \partial_y & \partial_z   \\ 
u_x & u_y & u_z 
\end{vmatrix}.</math>}}
En [[mécanique du solide]], c'est une opération très employée notamment dans la [[relation de Varignon]] qui lie les deux [[champ vectoriel|champs vectoriels]] d'un [[torseur]]. D'autre part, les [[équations de Maxwell]] sur l'[[électromagnétisme]] s'expriment à travers l'opérateur rotationnel, ainsi que les équations de la [[mécanique des fluides]], notamment celles de [[équations de Navier-Stokes|Navier-Stokes]].

Le [[moment d'une force]] est défini comme le produit vectoriel de cette force <math> \vec \mathrm F</math> par le vecteur <math>\vec{\mathrm{AP}}</math> reliant son point d'application {{math|A}} au pivot {{math|P}} considéré :
{{retrait|<math>\vec\mathrm  M_{\vec \mathrm{F/P}} = \vec\mathrm F\wedge\vec{\mathrm{AP}} = \vec{\mathrm{PA}}\wedge\vec \mathrm F.</math>}}
C'est une notion primordiale en mécanique du solide.

=== Équation de plan dans l'espace ===
{{Article détaillé|Propriétés métriques des droites et des plans#Le plan dans l'espace euclidien{{!}}Le plan dans l'espace euclidien}}
Soient {{Mvar|A}}, {{Mvar|B}} et {{Mvar|C}}, trois points non alignés de l'espace, grâce auxquels on peut former le plan ({{Mvar|ABC}}).

Alors <math>\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}
=\overrightarrow{BC}\wedge\overrightarrow{BA}=
\overrightarrow{CA}\wedge\overrightarrow{CB}</math> est un [[Propriétés métriques des droites et des plans#Vecteur normal à un plan|vecteur normal]] non nul à ({{Mvar|ABC}}).

Les coordonnées <math>(a,b,c)</math> de <math>\vec n</math> dans une base orthonormée fournissent donc les trois premiers coefficients d'une [[équation cartésienne]] de ({{Mvar|ABC}}) : {{math|''ax'' + ''by'' + ''cz'' + ''d'' {{=}} 0}} dans un repère orthonormé associé à cette base.

=== Géométrie métrique ===
Soit {{Mvar|ABCD}} un [[parallélogramme]], c'est-à-dire qu'on a la relation :
{{Retrait|<math>\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}</math>.}}Comme indiqué plus haut dans la définition, l'aire de ce parallélogramme est égale à la norme du produit vectoriel des deux vecteurs sur lesquels il s'appuie :
{{Retrait|<math>\left\| \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD} \right\|</math>.}}

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Notes|groupe=N}}

=== Références ===
{{Références|références=
<ref name="Riley">« The third edition [2006] of this highly acclaimed undergraduate textbook is suitable for teaching all the mathematics ever likely to be needed for an undergraduate course in any of the physical sciences ». Bien que cette préface d'un livre de {{harvsp |Riley|id=Riley}} soit sans aucun doute justifiée, il n'est pas question "d'orientation  de l'espace" dans la définition (p.222) du produit vectoriel.</ref> 
<ref name="cross"> {{harvsp |Sivardière|p=1239|id=Sivardière}}. La "littérature" en question est nécessairement non mathématique car en 1988 le produit vectoriel est mathématiquement parfaitement défini.</ref>
<ref name="orientation">Voir, par exemple [[Pseudo-vecteur (mathématiques)#Espace orienté|ici]], </ref>
<ref name="direct">Les mathématiciens diraient repère orthonormal ''direct'', c'est-à-dire de même orientation que l'espace. Si l'espace est orienté à droite, "direct" à la même signification en mathématiques et en physique. Si l'espace est orienté à gauche, les physiciens n'ont pas de mot pour désigner un repère direct au sens mathématique. Ce n'est pas bien grave car, en physique, l'espace est ''toujours'' orienté à droite. C'est tellement acquis que, même dans les ouvrages les plus sérieux ({{harvsp |Riley|id=Riley}}, par exemple), cela n'est pas précisé.</ref>
}}

=== Ouvrages cités ===
* {{Cajori}}, 1993
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Michael J. Crowe]]|titre=[[A History of Vector Analysis]]|sous-titre=The Evolution of the Idea of a Vectorial System|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=1994|numéro d'édition=2|année première édition=1985|pages totales=270|isbn=0-486-67910-1|lire en ligne={{Google Livres|iVFAVqA91h4C}}}}
*{{Ouvrage |langue=fr | auteur=André Berthelot| titre=Les développements récents relatifs à la symétrie droite-gauche en physique| editeur=J.-B. Baillière et fils| lieu=Paris| année=mars/avril 1965| collection=L'information scientifique| numéro dans collection= 2|page=47-62|id=Berthelot}}
*{{Ouvrage |langue=fr | auteur=Henri Arzeliès| titre=Electricité macroscopique et relativiste| editeur=Gauthiers-Villard| lieu=Paris| année=1963| id=Arzeliès }}
*{{Ouvrage |langue=fr| auteur1=Lev Landau |auteur2=Evgueni Lifchitz| titre=Théorie du champ| éditeur=Mir| lieu=Moscou| année=1966| traducteur=Edouard Gloukhian| id=Landau}}
*{{Ouvrage |langue=en| auteur1=K. F. Riley| auteur2=M. P. Hobson| auteur3=S. J. Bence| titre=Mathematical Methods for Physics and Engineering| lieu=Cambridge| éditeur=Cambridge University Press| numéro édition=3| année=2006 |pages totales=1333 |isbn=978-0-521-86153-3| id=Riley}}.
*{{Ouvrage |langue=fr | auteur=Jean Sivardière| titre=Les grandeurs physiques axiales| editeur=|année=décembre 1988| collection=Bulletin de l'Union des Physiciens| numéro dans collection=709|page=1239-1261|id=Sivardière }}
*{{Ouvrage |langue=fr | auteur=Théodore Vogel| titre=Sur l’utilisation des pseudo-tenseurs en physique| lieu=Paris| année=1957| collection=Le Journal de Physique et Le Radium|tome=18, n°2|page=81-84|hal=jpa-00235630|lire en ligne=https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00235630|doi=10.1051/jphysrad:0195700180208100 |id=Vogel}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
  | wikiversity = Produit vectoriel
  | commons = Category:Cross product
}}
=== Articles connexes ===
{{Colonnes|nombre=2|
* [[Calcul vectoriel en géométrie euclidienne]]
* [[Produit mixte#Application : définition générale du produit vectoriel|Définition générale du produit vectoriel]]
* [[Dérivation vectorielle]]
* [[Géométrie vectorielle]]
* [[Produit vectoriel en dimension 7]]
* [[Pseudovecteur]]
* [[Tire-bouchon de Maxwell]]
}}

=== Bibliographie ===
* {{Berger2}}
* {{Ouvrage |langue=en| auteur1=L. L. Boyle| auteur2=P. S. C. Matthews| titre=On the nature of axial tensors| collection=International Journal of Quantum Chemistry| volume=5 issue S5| passage=579-590| éditeur=Wiley| numéro édition=1| année=18 janvier 1971| doi=10.1002/qua.560050866| id=Boyle}}.

=== Lien externe ===
[http://www.isima.fr/~leborgne/IsimathMeca/Produitvectoriel.pdf www.isima.fr/~leborgne/IsimathMeca/Produitvectoriel.pdf]. "Produit vectoriel, pseudo-produit vectoriel, et endomorphismes antisymétriques". 9 pages.

[https://sciencesindustrielles.com/logiciels QCM Prod], un programme python gratuit pour s'entraîner aux produits vectoriels.

{{Palette|Algèbre linéaire|Opérations binaires|Multiplication}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Géométrie euclidienne]]
[[Catégorie:Aire]]
[[Catégorie:Opération]]