Voir la source de Projet:Les Mille Pages/Mahāvīra (mathématicien)

{{Infobox Biographie2|wikidata=Q2269861}}

'''Mahāvīra''' (ou '''Mahaviracharya''', "Mahavira le Maître") est un [[Jaïnisme|Jaïn]] du {{IXe}} siècle. {{sfn|Pingree|1970}}{{,}}{{sfn|O'Connor|Robertson|2000}}{{,}}{{sfn|Tabak|2009|p=42}}. Il est l'autrice du ''Gaṇitasārasan̄graha'' (''Ganita Sara Sangraha'') ou le Compendium sur l'essentiel des mathématiques en 850 après J.-C. {{sfn|Puttaswamy|2012|p=231}}. Il est parrainé par le roi [[Rashtrakuta]] Amoghavarsha.{{sfn|Puttaswamy|2012|p=231}}. Il a séparé l'[[astrologie]] des mathématiques. C'est le plus ancien texte indien entièrement consacré aux mathématiques<ref>Le livre des mathématiques : De Pythagore à la {{57e}} dimension, 250 jalons dans la... par Clifford A. Pickover : page 88</ref> Il a exposé les mêmes sujets sur lesquels [[Aryabhata]] et [[Brahmagupta]] se disputaient, mais il les a exprimés plus clairement. Son œuvre est une approche très syncopée de l'algèbre et l'accent est mis, dans une grande partie de son texte, sur le développement des techniques nécessaires à la résolution des problèmes algébriques.<ref>Algèbre : Les ensembles, les symboles et le langage de la pensée par John Tabak : p.43.</ref>Il est très respecté parmi les mathématiciens indiens, en raison de son établissement d'une [[terminologie]] pour des concepts tels que le triangle équilatéral, et isocèle ; le losange ; le cercle et le demi-cercle.<ref>Geometry in Ancient and Medieval India by T. A. Sarasvati Amma : page 122</ref> L'éminence de Mahāvīra s'est répandue dans toute l'Inde du Sud et ses livres se sont avérés être une source d'inspiration pour d'autres mathématiciens de l'[[Inde du Sud]].{{sfn|Hayashi|2013}} Il est traduit en langue telugu par Pavuluri Mallana sous le titre de ''Saara Sangraha Ganitamu''.<ref>Census of the Exact Sciences in Sanskrit by David Pingree: page 388</ref>.

Il découvre des identités algébriques telles que ''a''<sup>3</sup> = ''a'' (''a'' + ''b'') (''a'' &minus ; ''b'') + ''b''<sup>2</sup> (''a'' &minus ; ''b'') + ''b''<sup>3</sup>.{{sfn|Tabak|2009|p=42}} Il a également trouvé la formule pour <sup>''n''</sup>C<sub>''r''</sub> comme <br/>[''n'' (''n'' &minus ; 1) (''n'' &minus ; 2) . .. (''n'' &minus ; ''r'' + 1)] / [''r'' (''r'' &minus ; 1) (''r'' &minus ; 2) ... 2 * 1].{{sfn|Tabak|2009|p=43}} Il a conçu une formule qui donne une approximation de l'aire et des périmètres des ellipses et a trouvé des méthodes pour calculer le carré d'un nombre et les racines cubiques d'un nombre.{{sfn|Krebs|2004|p=132}} Il a affirmé que la [[racine carrée]] d'un [[nombre négatif]] n'existe pas.{{sfn|Selin|2008|p=1268}}

== Règles de décomposition des fractions ==
Le ''Gaṇita-sāra-saṅgraha'' de Mahāvīra a donné des règles systématiques pour exprimer une fraction comme la [[fraction égyptienne|somme des fractions unitaires]]<ref name=k497>{{Harvnb|Kusuba|2004|pp=497-516}}</ref>. Celfait suite à l'utilisation des fractions unitaires en [[mathématiques indiennes]] à l'époque védique, et aux [[Śulba-Sūtras|Śulba Sūtras]]' donnant une approximation de {{radic|2}} équivalente à <math>1 + \tfrac13 + \tfrac1{3\cdot4}. - \tfrac1{3\cdot4\cdot34}</math>{{,}}<ref name=k497/>.

Dans le ''Gaṇita-sāra-saṅgraha'' (GSS), la deuxième section du chapitre sur l'arithmétique est nommée ''kalā-savarṇa-vyavahāra'' (lit. "l'opération de la réduction des fractions"). En cela, la section ''bhāgajāti'' (versets 55-98) donne les règles suivantes<ref name=k497/> :

* Pour exprimer 1 comme somme de ''n'' fractions unitaires (GSS ''kalāsavarṇa'' 75, exemples en 76)<ref name=k497/> :
{{Citation|rūpāṃśakarāśīnāṃ rūpādyās triguṇitā harāḥ kramaśaḥ /<br>
dvidvitryaṃśābhyastāv ādimacaramau phale rūpe //}}
{{Citation|Lorsque le résultat est un, les dénominateurs des quantités ayant un comme numérateurs sont [les nombres] commençant par un et multipliés par trois, dans l'ordre. Le premier et le dernier sont multipliés par deux et deux tiers [respectivement].
:: <math> 1 = \frac1{1 \cdot 2} + \frac1{3} + \frac1{3^2} + \dots + \frac1{3^{n-2}} + \frac1{\frac23 \cdot 3^{n-1}} </math>

* Pour exprimer 1 comme la somme d'un nombre impair de fractions unitaires (GSS ''kalāsavarṇa'' 77)<ref name=k497/> :
:: <math>1 = \frac1{2\cdot 3 \cdot 1/2} + \frac1{3 \cdot 4 \cdot 1/2} + \dots + \frac1{(2n-1) \cdot 2n \cdot 1/2} + \frac1{2n \cdot 1/2} </math>

* Pour exprimer une fraction unitaire <math>1/q</math> comme la somme de ''n'' autres fractions aux numérateurs donnés <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> (GSS ''kalāsavarṇa'' 78, exemples en 79) :
:: <math>\frac1q = \frac{a_1}{q(q+a_1)} + \frac{a_2}{(q+a_1)(q+a_1+a_2)} + \dots + \frac{a_{n-1}}{(q+a_1+\dots+a_{n-2})(q+a_1+\dots+a_{n-1})} + \frac{a_n}{a_n(q+a_1+\dots+a_{n-1})}</math>

* Pour exprimer toute fraction <math>p/q</math> comme une somme de fractions unitaires (GSS ''kalāsavarṇa'' 80, exemples en 81)<ref name=k497/> :
: Choisir un entier ''i'' tel que <math>\tfrac{q+i}{p}</math> est un entier ''r'', puis écrire.
:: <math> \frac{p}{q} = \frac{1}{r} + \frac{i}{r \cdot q} </math>
et répétez le processus pour le second terme, de manière récursive. (Notez que si ''i'' est toujours choisi pour être le ''plus petit'' de ces entiers, ceci est identique à l'algorithme greedy algorithm for Egyptian fractions).

* Pour exprimer une fraction unitaire comme la somme de deux autres fractions unitaires (GSS ''kalāsavarṇa'' 85, exemple en 86)<ref name=k497/> :
:: <math>\frac1{n} = \frac1{p\cdot n} + \frac1{\frac{p\cdot n}{n-1}}</math> where <math>p</math> is to be chosen such that <math>\frac{p\cdot n}{n-1}</math> is an integer (for which <math>p</math> must be a multiple of <math>n-1</math>).
:: <math>\frac1{a\cdot b} = \frac1{a(a+b)} + \frac1{b(a+b)}</math>

* Pour exprimer une fraction <math>p/q</math> comme la somme de deux autres fractions dont les numérateurs <math>a</math> et <math>b</math> sont donnés (GSS ''kalāsavarṇa'' 87, exemple en 88)<ref name=k497/> :
:: <math>\frac{p}{q} = \frac{a}{\frac{ai+b}{p}\cdot\frac{q}{i}} + \frac{b}{\frac{ai+b}{p} \cdot \frac{q}{i} \cdot{i}}</math> where <math>i</math> is to be chosen such that <math>p</math> divides <math>ai + b</math>

Quelques règles supplémentaires ont été données dans le ''Gaṇita-kaumudi'' de Narayana Pandit au {{14e}} siècle<ref name=k497/>.

== Voir aussi ==
* Liste des mathématiciens indiens.

== Notes ==
{{Références}}

== Références ==
*Bibhutibhusan Datta et Avadhesh Narayan Singh (1962). ''History of Hindu Mathematics : A Source Book''.
*{{DSB|prénom=David|nom=Pingree|autricelink=David Pingree|titre=Mahāvīra|date=1970}}. (Disponible, avec de nombreuses autres entrées d'autres encyclopédies pour d'autres Mahāvīra-s, [http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830902766.html online]).
* {{article|langue=en|nom=Selin|prénom=Helaine|titre=Encyclopédie de l'histoire des sciences, des techniques et de la médecine dans les cultures non occidentales|url=https://books.google.com/books?id=kt9DIY1g9HYC&pg=PA1268|année=2008|éditeur=Springer|bibcode=2008ehst.book.....S|isbn=978-1-4020-4559-2}}
* {{article|langue=en|prénom=Takao|nom=Hayashi|auteur-link=Takao Hayashi|titre=Mahavira|encyclopedia=Encyclopædia Britannica|url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/853508/Mahavira|année=2013}}
*{{Biographie MacTutor|id=Mahavira|titre=Mahavira|date=2000}}
* {{article|langue=en|nom=Tabak|prénom=John|titre=Algèbre : Sets, Symbols, and the Language of Thought|url=https://books.google.com/books?id=h-zRieb7VbwC&pg=PA42|année=2009|éditeur=Infobase Publishing|isbn=978-0-8160-6875-3}}
* {{article|langue=en|nom=Krebs|prénom=Robert E.|titre=Expériences scientifiques révolutionnaires, inventions et découvertes du Moyen Âge et de la Renaissance|url=https://books.google.combooks?id=MTXdplfiz-cC&pg=PA131|année=2004|éditeur=Greenwood Publishing Group|isbn=978-0-313-32433-8}}
* {{article|langue=en|nom=Puttaswamy|prénom=T.K|titre=Mathematical Achievements of Pre-modern Indian Mathematicians|url=https://books.google.com/books?id=DAPLaxw-53IC&pg=PA231|année=2012|éditeur=Newnes|isbn=978-0-12-397938-4}}
* {{article|langue=en | nom=Kusuba|prénom=Takanori | contribution=Règles indiennes pour la décomposition des fractions |année=2004 | titre=Studies in the History of the Exact Sciences in Honour of David Pingree | éditeur=[[Éditions Brill|Brill]] | isbn=9004132023 | issn=0169-8729 | editor1=Charles Burnett | editor2=Jan P. Hogendijk | editor3=[[Kim Plofker]] |display-editors = 3 | editor4=Michio Yano}}
<!-- L'article de David Pingree dans le DSB a une liste plus complète de sources -->

{{Mathématiques indiennes}}

{{Contrôle de l'autorité}}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Mahāvīra (mathematician)|1085834754|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Liens externes ===
* {{Liens}}

{{Portail|mathématiques|Inde}}

{{CLEDETRI:Mahāvīra, }}
[[Catégorie:Mathématicien indien]]