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{{Entête label|AdQ}}
En mathématiques, la '''loi des cosinus''' est un [[théorème]] de [[géométrie]] couramment utilisé en [[trigonométrie]], qui relie dans un [[triangle]] la longueur d'un côté à celles des deux autres et au [[cosinus]] de l'[[angle]] formé par ces deux côtés. Cette loi s'exprime de façon analogue en géométrie plane, [[géométrie sphérique|sphérique]] ou [[géométrie hyperbolique|hyperbolique]].

En ce qui concerne la géométrie plane, elle est également connue sous les noms de '''théorème d'Al-Kashi''', en [[France]], ou encore '''théorème de Pythagore généralisé'''<ref>{{Ouvrage|auteur=Pascal Honvault|titre=Une approche possible de la géométrie plane|éditeur=[[Édition à compte d'auteur|Publibook]]|année=2004|url={{Google Livres|t43c0p50NkQC|page=41}}|page=41}}.</ref>. Il généralise en effet le [[théorème de Pythagore]] aux triangles non rectangles. Bien qu'un résultat similaire (avec des longueurs seulement) fût déjà connu d'Euclide<ref>{{Lien web|url=http://public.iutenligne.net/mathematiques/mathematiques-pour-l-economie/billonnet/Pythagore/Chapitre-3/Section-3-2.html|titre=Pythagore et son théorème — 3.2. Réciproque|site=IUT en ligne}}.</ref>, le nom francisé du [[mathématicien]] [[persans|perse]] Ghiyath [[al-Kashi]] (1380-1429) apparut dans les années 1990 dans les manuels scolaires édités en France, les appellations ''théorème de Pythagore généralisé'' ou ''loi des cosinus'' étant utilisées jusque-là.

== En géométrie plane ==
=== Énoncé ===
[[Image:Triangle with notations 2.svg|thumb|upright=1.5|Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.]]
La loi des cosinus s'énonce de la façon suivante :
::Soit un triangle ABC, dans lequel on utilise les notations usuelles exposées sur la figure 1 : d'une part α, β et γ pour les angles et, d'autre part, ''a'', ''b'' et ''c'' pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles. 
::<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\ \cos\ \gamma.</math>

===Histoire===

[[Image:obtuse-triangle-with-altitude.png|thumb|Fig. 2 - Triangle ABC avec hauteur BH.|upright=1.5]]

Les [[Éléments d'Euclide|''Éléments'']] d'[[Euclide]] datant du {{IIIe siècle av. J.-C.}}, contenaient déjà une approche géométrique de la généralisation du [[théorème de Pythagore]] : les propositions 12 et 13 du [[Livre II des Éléments d'Euclide|livre II]], traitent séparément le cas d'un [[triangle obtusangle]] et celui d'un [[triangle acutangle]].
L'absence de [[fonction trigonométrique]] et d'[[algèbre]] oblige à formuler le théorème en termes de différences d'aires. Aussi la proposition 12 énonce-t-elle :
{{Citation bloc|Dans les triangles obtusangles, le carré du côté qui soutend l'angle obtus est plus grand que les carrés des côtés qui comprennent l'angle obtus, de deux fois le rectangle compris sous celui des côtés de l'angle obtus sur le prolongement duquel tombe la perpendiculaire, et sous la droite prise extérieurement de la perpendiculaire à l'angle obtus.|Euclide|Les Éléments<ref>Les œuvres d'Euclide, trad. F. Peyrard, Paris (1819), rééd. Blanchard (1993). Pour d'autres éditions, voir la [[Éléments d'Euclide#Bibliographie|bibliographie]] de l'article sur les ''Éléments''.</ref>}}
En notant ABC le triangle d'angle obtus C et H le pied de la hauteur issue de B (cf.  Fig. 2 ci-contre), les notations modernes permettent de résumer l'énoncé ainsi : 
<center>AB² = CA² + CB² + 2 CH x AC</center>

Il fallut attendre la trigonométrie arabo-musulmane au [[Moyen Âge]] pour voir le théorème évoluer dans sa forme et dans sa portée. Durant la même période sont établies les premières tables trigonométriques, pour les fonctions [[sinus (mathématiques)|sinus]] et [[cosinus]].  En 1428, on trouve un énoncé du théorème, utilisant les cosinus, dans l'œuvre d'[[al-Kashi]], ''Les clés de l'arithmétique''<ref>{{article|auteur=Youssef Guergour |titre=Le roi de Saragosse Al-Mutaman Ibn Hud et le théorème de Pythagore : ses sources et ses prolongements |périodique=LLULL|volume=28|année=2005|issn=0210-8615|url=http://dialnet.unirioja.es/servlet/fichero_articulo?codigo=2470591&orden=0 |passage=432}}.</ref>.

C'est au début du {{XIXe siècle}} que les notations algébriques modernes permettent d'écrire le théorème sous sa forme actuelle et qu'il prend dans de nombreuses langues le nom de loi (ou théorème) des cosinus.
{{clr}}

===Le théorème et ses applications===
[[File:Triangle-with-an-unknown-angle-or-side.svg|thumb|Fig. 3 - Utilisation du théorème d'Al-Kashi : angle ou côté inconnu.|upright=1.5]]
La loi des cosinus généralise le [[théorème de Pythagore]], puisqu'elle permet d'énoncer que l'angle <math>\gamma</math> est droit (autrement dit <math>\cos \gamma</math> = 0) si et seulement si <math>c^2=a^2+b^2</math>.

Plus généralement, le théorème s'utilise en [[triangulation]] (voir Fig. 3) pour [[résolution d'un triangle|résoudre un triangle]], à savoir déterminer
* le troisième côté d'un triangle dont on connaît un angle et les côtés adjacents :
:<math>c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}; \, </math>
* les angles d'un triangle dont on connaît les trois côtés :
:<math>\gamma = \arccos \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.</math>
Ces formules sont instables numériquement dans le cas de triangles en épingle, c'est-à-dire lorsque ''c'' est petit devant ''a'' et ''b'' — ou, de façon équivalente, lorsque ''γ'' est petit devant 1.

Il existe un corollaire de la loi des cosinus : pour deux triangles directement semblables ABC et <nowiki>A'B'C'</nowiki>
:<math>cc' = aa' + bb' - (ab'+a' b)\cos \gamma. \, </math>

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=== Démonstrations ===
Tout comme le [[théorème de Pythagore]], le théorème d'Al-Kashi possède de nombreuses démonstrations, certaines utilisant des propriétés sur les aires comme celles d'Euclide ou d'Al-Kashi, d'autres utilisant des propriétés trigonométriques ou liées au cercle. Enfin, le théorème d'Al-Kashi peut être vu comme une application des propriétés sur le [[produit scalaire]]<ref name="scalaire">La {{Citation|formule dite d'Al Kashi}}, vue comme application du produit scalaire, est présente dans les programmes de mathématiques de première S de l'enseignement français (voir [http://www.education.gouv.fr/bo/2000/hs7/vol5mathsc.htm BO du 31 aout 2000]).</ref>.
==== Démonstration d'Euclide ====
[[Fichier:Law of cosines(Euclide).svg|thumb|Fig. 4 - Démonstration du théorème d'Al-Kashi pour un angle obtus : « selon Euclide ».|upright=1.5]]
La démonstration d'Euclide<ref>[[Denis Henrion]] (trad.), ''Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide'', 1632, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k68013g.f104 {{p.|99-104}}].</ref> par la proposition 12 (angle obtus) et 13 (angle aigu) s'appuie sur le théorème de Pythagore et fait intervenir le point H pied de la hauteur issue de B. Pour Euclide cette propriété est une propriété sur des aires. ''Pour l'angle obtus'' (proposition 12), Euclide construit le carré extérieur au triangle AHB de côté [AH] et remarque que 
: <math>AH^2 = CH^2 + CA^2 + 2\times CH \times AC</math>
Il lui suffit alors d'ajouter l'aire du carré de côté HB
: <math>AH^2 + HB^2 = HB^2 + CH^2 + CA^2 + 2\times CH \times AC</math>
et d'utiliser le théorème de Pythagore deux fois
:triangle rectangle AHB
: <math> AB^2 = AH^2 + HB^2</math>
:triangle rectangle CHB
: <math> CB^2 = HB^2 + CH^2</math>
On obtient
: <math>AB^2 = CA^2 + CB^2 + 2\times CH \times AC</math>
Une démonstration analogue est réalisable pour l'angle aigu.

==== Démonstration d'Al-Kashi ====
[[Image:law of cosines with acute angles by Al-Kashi.svg|thumb|Fig. 5 - Démonstration du théorème d'Al-Kashi pour un triangle acutangle : « selon Al-Kashi ».|upright=1.5]]
Dans son livre ''Clé de l'arithmétique'' en 1429<ref>Selon {{Harvsp|Guergour|2005}}, la démonstration se trouve dans KASHI (al) (1967): Miftam al-misab [Clé de l'Arithmétique], al-Damardache, A. S. & al-Manfi al-Shikh, M. M. (Edit.), Le Caire, Dar al-Kitab al-cArabi li at-tibaqa wa an-Nashr, {{p.|130-138}}.</ref>, Al-Kashi généralise le théorème de Pythagore et introduit dans l'égalité la trigonométrie.

Pour lui aussi, cette propriété est liée aux aires. Ainsi dans un triangle acutangle ABC, il mène par A et par B les hauteurs du triangle qui découpent dans les carrés s'appuyant sur CB et CA des rectangles.

Dans la figure ci-contre, on prouve l'égalité des aires des rectangles verts en prouvant l'égalité des aires des triangles
* JAE et JAB par glissement d'un sommet parallèlement à une base ;
* JAB et CAM par rotation d'angle droit ;
* CAM et FAM par glissement d'un sommet parallèlement à une base<ref>Voir cette {{Commons-inline|File:Law of cosines(anime).gif|animation}}.</ref>.
On fait de même pour les rectangles rouges.

Quant aux rectangles bleus, dont les côtés ont pour longueur  CL ( = CA) et CE ( = CB cos C), pour l'un, et CI ( = CB) et CD( = CA cos C) pour l'autre, ils ont même aire égale à CA × CB × cos C.

On en déduit par somme 
{{retrait|<math>CA^2 + CB^2 = AB^2 + 2 CA \times CB \times \cos C</math>}}

Une démonstration analogue est envisageable pour un triangle obtusangle en opérant par soustraction d'aires.
{{clr}}

====Par un découpage d'aires====
[[Image:law of cosines with acute angles.svg|right|thumb|Fig. 6a - Démonstration du théorème d'Al-Kashi pour les triangles à angles aigus : « méthode du découpage ».|upright=1.5]]
[[Image:law of cosines with an obtuse angle.svg|right|thumb|Fig. 6b - Démonstration du théorème d'Al-Kashi dans le cas d'un angle obtus : « méthode du découpage »|upright=1.5]]
Un certain nombre des démonstrations du théorème font intervenir un calcul d'[[Aire (géométrie)|aire]]s<ref>Voir par exemple {{Ouvrage|lang=en|auteur=Roger B. Nelsen|année=2000|titre=Proofs without Words II: More Exercises in Visual Thinking|éditeur=[[Mathematical Association of America|MAA]]|page=9}}, et plus généralement l'article « [[Preuve sans mots]] ».</ref>. Il convient en effet de remarquer que 
* <math>a^2</math>, <math>b^2</math> et <math>c^2</math> sont les aires de [[carré (géométrie)|carré]]s de côtés respectifs <math>a</math>, <math>b</math> et <math>c</math> ;
* <math>ab |\cos\gamma|</math> est celle d'un [[parallélogramme]] de côtés <math>a</math> et <math>b</math> formant un angle <math>\pi/2-\gamma</math>, le changement de signe de <math>\cos\gamma</math> lorsque l'angle <math>\gamma</math> devient obtus rendant une étude par cas obligatoire.

La figure 6a (ci-contre) découpe un heptagone de deux manières différentes de sorte à démontrer le théorème d'Al-Kashi dans le cas d'un angle aigu. Interviennent :
* en rose, les aires <math>a^2</math>, <math>b^2</math>  à gauche, et les aires <math>2ab \cos\gamma</math> et <math>c^2</math> à droite ;
* en bleu, le triangle ABC, à droite comme à gauche ;
* en gris, quelques triangles supplémentaires, identiques au triangle ABC et en même nombre dans les deux découpages.

L'égalité des aires de droite et de gauche donne
:<math>\,a^2+b^2 = c^2+2ab \cos\gamma</math>.

La figure 6b (ci-contre) découpe un hexagone de deux manières différentes de façon à démontrer le théorème d'Al-Kashi dans le cas d'un angle obtus.  La figure montre
* en rose, les aires <math>a^2</math>, <math>b^2</math> et <math>-2ab \cos\gamma</math> à gauche, et l'aire <math>c^2</math> à droite ;
* en bleu, deux fois le triangle ABC, à droite comme à gauche.

L'égalité des aires à droite et à gauche donne
:<math>\,a^2+b^2-2ab\cos\gamma = c^2</math>.

Une démonstration rigoureuse nécessiterait de prouver que les deux découpages sont effectivement identiques, ce qui utilise principalement les [[cas d'égalité des triangles]].
{{clr}}

====Par le [[théorème de Pythagore]]====
[[Image:Triangle with trigonometric proof of the law of cosines.svg|thumb|Fig. 7 - Démonstration du théorème d'Al-Kashi en utilisant les relations trigonométriques.|upright=1.5]] 
La figure 7 (ci-contre) indique la manière de procéder pour démontrer le théorème d'Al-Kashi ''dans le cas d'un triangle à angles aigus'' en utilisant le théorème de Pythagore sur un sous-triangle rectangle formé en prenant le pied de la hauteur<ref>{{Harvsp|Gellert|Küstner|Hellwich|Kästner|1980|loc=chap. 11-2, {{p.|265}}}}.</ref>. Seule la dernière étape n'est pas indiquée sur la figure : le théorème de Pythagore s'applique au triangle rectangle dont l'[[hypoténuse]] est le côté ''c'' :
:<math>c^2 = (b-a\cos\gamma)^2 + (a\sin\gamma)^2= b^2 - 2ab\cos\gamma + a^2\cos^2\gamma+a^2\sin^2\gamma.</math>
En utilisant l'identité remarquable
:<math>\cos^2\gamma + \sin^2\gamma = 1,</math>
on obtient le résultat escompté, après simplification :
:<math>c^2 = b^2 + a^2 - 2ab\cos\gamma.</math>

La méthode est en tous points similaire pour les angles obtus, et conduit à un résultat identique.
{{clr}}

==== En utilisant la puissance d'un point par rapport à un cercle====
[[File:Triangle with circle of center B and radius BC.svg|thumb|Fig. 8 - Démonstration du théorème d'Al-Kashi en utilisant la puissance d'un point par rapport à un cercle.|upright=1.5]]
On considère le cercle de centre B et de rayon [BC] (cf. figure ci-contre). Il coupe la droite (AC) en C et K.  La [[puissance d'un point par rapport à un cercle|puissance du point A par rapport au dit cercle]] est : 
:<math>\mathrm{AB}^2 - \mathrm{BC}^2 = \overline{\mathrm{AC}}\cdot\overline{\mathrm{AK}} = \overline{\mathrm{AC}}\cdot(\overline{\mathrm{AC}}+\overline{\mathrm{CK}})</math>
d'où
:<math>c^2-a^2 = b\,(b-2a\ \cos\ \gamma)</math>.

Contrairement aux précédentes, pour cette démonstration, il n'est pas nécessaire de recourir à une étude par cas. En effet, les [[mesure algébrique|mesures algébriques]] permettent de traiter pareillement un angle aigu (<math>\overline{\mathrm{CK}} < 0</math>) et un angle obtus (<math>\overline{\mathrm{CK}} > 0</math>).

On trouve trace de l'utilisation de la puissance d'un point par rapport à un cercle pour déterminer tous les angles d'un triangle dont les longueurs sont connues, dans l'œuvre de [[Nicolas Copernic]], ''[[Des révolutions des sphères célestes]]''. Il présente ainsi deux algorithmes, l'un utilisant le théorème de Pythagore généralisé présent dans l'œuvre d'Euclide, l'autre utilisant la puissance d'un point par rapport à un cercle<ref>{{la}} N. Copernic, ''De revolutionibus orbium coelestium'', Livre I, chap. XII, § VII, [[s:la:Pagina:Nicolai Copernici torinensis De revolutionibus orbium coelestium.djvu/54|{{p.|20}}]] et [[s:la:Pagina:Nicolai Copernici torinensis De revolutionibus orbium coelestium.djvu/55|{{p.|21}}]], respectivement.</ref>.

Ainsi dans une figure analogue à celle ci-contre, il fait remarquer que, ''a'' et ''c'' étant connus, la puissance du point A par rapport au cercle tracé est connue
: en langage mathématique actuel, elle vaut <math>c^2-a^2</math>
Il en déduit que, puisque ''b'' est connu, AK est connu.
: En effet <math>AK \times b = c^2-a^2</math> donc <math>AK=\frac{c^2-a^2}b.</math>
Puisque AK est connu, alors CK est connu.
: En effet, dans la figure ci-contre, <math>CK= AK-b=\frac{c^2-a^2-b^2}{b}.</math>
Enfin, il fait remarquer que CK étant connu, l'angle KCB est connu.
: En effet, <math>\cos(KCB)=\frac{CK}{2a}=\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}.</math>
Et puisque l'angle KCB est connu, il en est de  même de l'angle ACB.
: Ainsi, on retrouve la règle du cosinus : <math>\cos(\gamma)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
Ne manipulant pas les mesures algébriques, Nicolas Copernic présente deux cas de figure pour l'angle obtus et l'angle aigu, travaille sur un cercle dont le rayon correspond au plus petit côté, et ne présente pas de formule, mais un algorithme de calcul. Une utilisation analogue de la puissance d'un point par rapport à un cercle pour retrouver la règle du cosinus est faite par [[Pitiscus]]<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[David Eugene Smith]]|url={{Google Livres|awAfO7Ff_z0C}}|titre=A Source Book in Mathematics|vol=1|page=435}}.</ref>.

====À l'aide du produit scalaire ====
En utilisant le calcul [[vecteur|vectoriel]], plus précisément le [[produit scalaire]], il est possible de retrouver le théorème d'Al-Kashi en quelques lignes<ref name="scalaire"/> :
:{| border=0
|<math>c^2\,</math>
|<math>=\lVert\overrightarrow{\mathrm{AB}}\lVert^2</math>
|-
|
|<math>= \lVert\overrightarrow{\mathrm{CB}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}\lVert^2</math>
|-
|
|<math>=\lVert\overrightarrow{\mathrm{CB}}\lVert^2-2\cdot\overrightarrow{\mathrm{CB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\lVert\overrightarrow{\mathrm{CA}}\lVert^2</math>
|-
|
|<math>=\mathrm{CB}^2-2\cdot\left|\mathrm{CB}\right|\cdot\left|\mathrm{CA}\right|\cos\widehat{\mathrm{ACB}}+\mathrm{CA}^2</math>
|-
|
|<math>=a^2+b^2-2ab \cos\gamma\,. </math>
|}

== En géométrie non euclidienne ==
{{Section à sourcer|date=février 2016}}
{{référence nécessaire|date=février 2016|Pour une [[géométrie non euclidienne|surface non euclidienne]] quelconque de [[Courbure de Gauss|courbure]] ''K'',
on définit le rayon de courbure}} ''ρ'' par :
:<math>\rho = 1/\sqrt{|K|},</math>
puis les {{référence nécessaire|date=février 2016|dimensions réduites}} ''a'', ''b'' et ''c'' du triangle par :
:<math>a = BC/\rho,\quad b = AC/\rho,\quad c = AB/\rho.</math>

=== En [[géométrie sphérique]] ===
[[Image:Spherical triangle with notations.png|thumb|Fig. 9 - Triangle sphérique : dimensions réduites ''a'', ''b'' et ''c'' ; angles α, β et γ.|upright=1.5]]
Le développement de la [[trigonométrie sphérique]] dans le monde arabo-musulman  et le travail d'[[al-Battani]] sur celle-ci, conduisent [[Jean-Baptiste Joseph Delambre|Delambre]] dans son ''Histoire de l'astronomie du Moyen-Âge''<ref>''[[Op. cit.]]'', p. 17-20, {{Google Livres|zceNcM0k73gC|page=17|aperçu}}.</ref> à attribuer à al-Battani, la première version de la loi des cosinus en trigonométrie sphérique. Cependant, pour {{lien|Anton von Braunmühl}}<ref>{{Ouvrage|lang=de|prénom=Anton|nom=von Braunmühl|titre=Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie|année=1900|url=https://archive.org/stream/vorlesungenber00brauuoft#page/n63/mode/2up|page=53}}, note 1.</ref>, le travail d'al-Battani ne met pas en évidence de formule générale, et il faut attendre [[Regiomontanus]], qui s'appuyant sur les travaux d'al-Battani, énonce et démontre la loi à l'aide des [[sinus verse]]s<ref>{{Harvsp|von Braunmühl|1900|p=[https://archive.org/stream/vorlesungenber00brauuoft#page/n141/mode/2up 131 et suivantes]}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|lang=en|auteur=Tony Phillips|url=http://www.math.sunysb.edu/~tony/archive/336f06/braunmuehl/braunmuehl.html|titre=The True History of the Law of Cosines|site=[[Université Stony Brook]]|année=2006}}.</ref>.

Dans un [[trigonométrie sphérique|triangle sphérique]] ABC (Fig. 9), les dimensions réduites ''a'', ''b'' et ''c'' correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] et la loi des cosinus s'écrit<ref>Voir l'article « [[Trigonométrie sphérique]] », et une démonstration différente de celle de l'article, par exemple, [http://www.madore.org/~david/math/carto.pdf le « cours » de cartographie de David Madore].</ref> :
:<math>\cos c = \cos a \, \cos b + \sin a \, \sin b \, \cos\gamma.</math>

'''Démonstration''' :
Considérons un triangle sphérique ABC dans une sphère de centre O et de rayon 1, de sorte que OA = OB = OC = 1. Le vecteur <math>\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\cos(b)\overrightarrow{\mathrm{OC}}</math> est le vecteur tangent en C au grand cercle passant par A et C. En effet, il appartient au plan OAC et il est orthogonal à <math>\overrightarrow{\mathrm{OC}}</math> puisque le produit scalaire
<math>\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\cos(b)</math>. De plus, il est facile de vérifier que sa norme vaut <math>\sin(b)</math> en calculant son carré scalaire. De même, le vecteur <math>\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\cos(a)\overrightarrow{\mathrm{OC}}</math> est le vecteur tangent en C au grand cercle passant par B et C, et sa norme est <math>\sin(a)</math>. L'angle entre les deux vecteurs est donc <math>\gamma</math>. On obtient alors la loi des cosinus en effectuant le produit scalaire des deux vecteurs, ce qui donne :
:<math>\sin a \sin b \cos \gamma = \cos c - \cos a \cos b</math>

Il existe une identité similaire qui relie les trois angles :
:<math>\cos\gamma = - \cos\alpha\,\cos\beta + \sin\alpha\,\sin\beta\,\cos c</math>

Lorsque le rayon de courbure tend vers l'infini, c’est-à-dire lorsque ''a'', ''b'' et ''c'' tendent vers 0, la loi des cosinus sphérique se simplifie pour donner la version euclidienne de la même loi. Pour le montrer, on utilise les [[développement limité|développements limités]] suivants :
:<math>\,\sin a = a + o(a^2),</math>  
:<math>\,\cos a = 1 - a^2/2 + o(a^2).</math>
et on identifie les coefficients du second ordre dans la relation <math>\sin a \sin b \cos \gamma = \cos c -\cos a \cos b</math>, ce qui donne :
:<math>ab\cos \gamma=-\frac{c^2}{2}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}</math>

=== En [[géométrie hyperbolique]] ===
Dans un triangle hyperbolique ABC, la loi des cosinus s'écrit
:<math>\cosh c = \cosh a\,\cosh b - \sinh a\,\sinh b\,\cos\gamma</math>.

Lorsque le rayon de courbure devient très grand devant les dimensions du triangle, on retrouve la loi des cosinus euclidienne à partir des développements limités
:<math>\,\sinh a = a + O(a^3)</math>, 
:<math>\,\cosh a = 1 + a^2/2 + O(a^3).</math>
en identifiant les termes du second ordre.

==Généralisation à l'espace euclidien==
[[Image:Tetrahedron with faces and dihedral angles.png|thumb|Fig. 10 - Tétraèdre : faces et angles diédraux.|upright=1.5]] 
On considère un [[tétraèdre]] A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>A<sub>3</sub>A<sub>4</sub> de l'espace euclidien. La figure 10 ci-contre présente les notations concernant les sommets, faces et angles dans le tétraèdre :   
* <math>\mathrm S_k</math> la face opposée au sommet <math>\mathrm A_k\ </math>;   
* <math>s_k</math> la surface de <math>\mathrm S_k\ </math>;    
* <math>\Delta_k</math> le [[plan (mathématiques)|plan]] dans lequel <math>\mathrm S_k\ </math> est plongée ;   
* <math>\theta_{ij}</math> l'angle diédral <math>(\Delta_i, \Delta_j)</math>.    
    
Alors, surfaces et angles vérifient<ref>{{Article|lang=en|auteur=J. R. Lee|titre=The Law of Cosines in a Tetrahedron|revue=J. Korea Soc. Math. Ed. Ser. B: Pure Appl. Math.|vol=4|passage=1-6|année=1997}}, cité par {{MathWorld|nom_url=LawofCosines|titre=Law of cosines}}.</ref> :
:<math>s_4^2 = s_1^2+s_2^2+s_3^2 - 2s_1s_2\cos\theta_{12} - 2s_1s_3\cos\theta_{13} - 2s_2s_3\cos\theta_{23}.\,</math>
{{clr}}

== Notes et références ==
{{Références|colonnes=2}}

== Voir aussi==
===Articles connexes===
'''[[Théorème de Ptolémée]]'''
{| width="80%"
|-
! [[Trigonométrie]]
! [[Géométrie]] du [[triangle]]
! [[Mathématicien]]s
|-
| [[triangulation]]
| [[théorème de Pythagore]]
| [[Euclide]]
|-
| [[trigonométrie sphérique]]
| [[Livre II des Éléments d'Euclide]]
| [[al-Battani]]
|-
| [[fonction trigonométrique]]
| [[loi des sinus]]
| [[Ghiyath al-Kashi]]
|-
|
| [[loi des tangentes]]
| [[François Viète]]
|}

===Lien externe===
{{Lien web|lang=en|site=[[Cut The Knot]]|url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cosine.shtml|titre=The Law of Cosines (Cosine Rule)|auteur=A. Bogomolny}}

===Bibliographie===
*  N. Éfimov, ''Géométrie supérieure'', Moscou, [[éditions Mir]], [[1981]]
*{{ouvrage|auteur=W. Gellert|auteur2=H. Küstner|auteur3=M. Hellwich|auteur4=H. Kästner|traducteur=un collectif, sous la direction de [[Jacques-Louis Lions]]|titre=Petite encyclopédie des mathématiques|langue originale=de|titre original= Kleine Enzyklopädie der Mathematik|lieu=Paris|éditeur=K. Pagoulatos/[[Didier (maison d'édition)|Didier]]|année=[[1980]]|pages totales=896|isbn=978-2278035267}}
*[[Antoine Arnauld (1612-1694)|Antoine Arnauld]], ''Nouveaux éléments de géométrie'', Paris, Charles Savreux, [[1667]], {{p.|295-296}} (sixième théorème)
*A. Amiot, ''Éléments de géométrie'', Paris, [[Éditions Delagrave|Delagrave]], {{14e}} éd., [[1870]], {{p.|109-111}}
*Paul-Louis Cirodde, ''Leçons de géométrie'', Paris, [[Hachette Livre|Hachette]], {{3e}} éd., [[1858]], {{p.|111-112}} (théorème XI)

{{portail|géométrie|monde arabo-musulman}}
<!--2BREINSERTED
{{DEFAULTSORT:Loi cosinus}}
[[Catégorie:Géométrie du triangle]]
[[Catégorie:Mathématiques élémentaires]]
[[Catégorie:Trigonométrie]]
[[Catégorie:Théorème de géométrie|Cosinus]]
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{{Source republication|url=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Loi_des_cosinus&oldid=127405433|texte=Wikipedia|CC-BY-SA=oui}}

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