Voir la source de Puissance d'un nombre

{{Voir homonymie|Puissance}}
{{Exemple flottant|contenu=<math>\begin{array}{l} a^0 = 1 \\ a^1 = a \\ a^2 = a\times a \\ a^3 = a\times a \times a\end{array}</math>|légende=Premières puissances d'un nombre ''a''.}}

En [[algèbre]], une '''puissance d'un nombre''' est le résultat de la [[multiplication]] répétée de ce [[nombre]] avec lui-même. Elle est souvent notée en assortissant le nombre d'un [[Entier naturel|entier]], [[exposant (typographie)|typographié en exposant]], qui indique le nombre de fois qu'apparaît le nombre comme facteur dans cette multiplication.
:<math>a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n\ \mathrm{facteurs}}</math>
Elle se lit « puissance ''n''-ième de ''a'' », « ''a'' puissance ''n'' » ou « ''a'' exposant ''n'' ». L'entier ''n'' est appelé [[Exposant (mathématiques)|exposant]], et l'entier ''a'' est appelé base.

En particulier, le [[carré (algèbre)|carré]] et le [[cube (algèbre)|cube]] sont des puissances d'exposant 2 et 3 respectivement.

Tout nombre est égal à sa propre puissance d'exposant 1, tandis que toute puissance d'exposant [[zéro|nul]] vaut 1 par convention.

{{Exemple flottant|contenu=<code>2^3 = 8</code>|légende=Codage d'une puissance.}}
Pour chaque exposant, la puissance définit donc une [[opération (mathématiques)|opération]], dont la notation est prioritaire sur les autres symboles d'opérations algébriques élémentaires. L'opération binaire associée est l'[[exponentiation]], qui se note parfois à l'aide du symbole « ^ », notamment sur les calculatrices. On trouve aussi le symbole ** dans certains langages de programmation (par exemple [[Python (langage)|Python]] ou [[Ada (langage)|Ada]])
{{Exemple flottant|contenu=<math>\begin{array}{l} x^{-3}=\dfrac{1}{x^3}\\ x^{1/2} = \sqrt{x}\end{array}</math>|légende=[[#Exponentielle|Puissance d'exposant négatif ou rationnel]].}}
Lorsqu'un nombre possède un [[inverse]], il est possible de définir ses puissances d'exposant [[nombre négatif|négatif]] comme les puissances de cet inverse. Sous certaines conditions, il est même possible de définir des puissances d'exposant [[nombre rationnel|rationnel]] comme 1/2, qui correspond à la [[racine carrée]] pour les réels positifs. La [[fonction exponentielle]] permet ensuite d'étendre cette définition aux exposants [[nombre réel|réels]] ou [[nombre complexe|complexes]].

Les opérations algébriques sur les puissances d'un nombre ou de plusieurs possèdent des propriétés particulières. Les puissances de dix, comme 10<sup>−5</sup>, sont d'une utilisation régulière dans les autres [[science]]s, notamment en [[physique]] et en [[chimie]].

== Puissance d'exposant entier positif ==
=== Définition ===
On considère un nombre {{mvar|a}} quelconque et un [[entier naturel]] ''n'' non nul. La puissance ''n''-ième de {{mvar|a}}, notée {{mvar|a{{exp|n}}}} et lue « ''a'' puissance ''n'' »<ref> Voir, par exemple, ce [https://eduscol.education.fr/document/17251/download document] d'Eduscol sur la présentation des puissances en cycle 4, chap. Introduire les puissances de dix.</ref>, ou « ''a'' exposant ''n'' » est le [[multiplication|produit]] de ''n'' facteurs tous égaux à {{mvar|a}} :
: <math>a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n\text{ facteurs}\atop n-1\text{ signes }\times}\,.</math>
Quand {{math|§=''n'' = 1}} (un seul facteur) :
: <math>a^1 = a\,.</math>
Le nombre {{mvar|n}} est appelé l'exposant de la puissance {{mvar|a{{exp|n}}}}.

Le nombre {{mvar|n}} est un entier naturel (donc positif) et {{mvar|a{{exp|n}}}} est une puissance à exposant entier positif de {{mvar|a}}.

=== Cas particuliers ===
* on appelle {{math|''a''{{2}}}} la ''puissance carrée'' ou le ''carré'' de {{mvar|a}} ;
* on appelle {{math|''a''{{3}}}} la ''puissance cubique'' ou le ''cube'' de {{mvar|a}}.
* quel que soit l'entier naturel ''n'' non nul, 0{{exp|''n''}} = 0 et 1{{exp|''n''}} = 1 (ces nombres sont idempotents).

=== Premières propriétés ===
Par définition de la puissance ''n''-ième, et en utilisant les propriétés de la [[multiplication]], il vient que :
* <math>a^m\times a^n=a^{m+n}</math> ;
* <math>(a^m)^n=a^{m\times{n}}=a^{n\times{m}}=(a^n)^m</math> ;
* <math>(a\times{b})^n=a^{n}\times{b^n}</math>.

== Puissance d'exposant nul ==
{{Article détaillé|Zéro puissance zéro}}
La première des [[#Premières propriétés|propriétés]] ci-dessus conduit à une généralisation naturelle de la puissance d'un nombre réel non nul à l'exposant 0 :
:<math>a^0 = 1\,.</math>
En effet, on a bien alors que :
<math>a^m\times a^0=a^m\times 1 = a^{m+0}\,.</math>

Le cas <math>a =0</math> est moins clair. Une convention possible est de poser <math>0^0=1</math>. Elle est cohérente avec les [[#Premières propriétés|propriétés algébriques]] énoncées ci-dessus, et a d'autres justifications (voir [[Zéro puissance zéro|l'article détaillé]]).  

Cependant, l'application <math>(x,y)\mapsto x^y = \exp(y \ln(x))</math>, bien définie sur <math>\R^*_+\times \R</math>, n'admet pas de prolongement par [[Continuité (mathématiques)|continuité]] en (0, 0), ce qui interdit le choix d'une convention acceptable en toute généralité. Néanmoins des conventions sont possibles, limitées à des domaines bien définis<ref>{{Article|prénom=Jean|nom=Jacquelin|titre=Zéro puissance zéro|revue=Quadrature|lien périodique=Quadrature (revue)|vol=66|p.=34-36|mois=10|année=2007|url=http://fr.scribd.com/doc/14709220/Zero-puissance-zero-Zero-to-the-Zeroth-Power}}.</ref>.

== Puissance d'exposant entier négatif ==
On considère maintenant un nombre {{mvar|a}} non nul et un entier naturel {{mvar|n}} non nul. Par définition de la puissance ''n''-ième et en notant {{sfrac|1|a}} l'inverse de {{mvar|a}} :
* <math>a^n\times {1\over a} = a^{n-1}</math> pour <math>n \geq 1</math> ;
* <math>a^n\times \left({1\over a}\right)^2 = a^{n-2}</math> pour <math>n \geq 2</math> ;
* etc.
En particulier :
:<math>a^n\times \left({1\over a}\right)^n = 1 = a^0 = a^{n-n}</math>
Il est donc naturel de définir le nombre ''a<sup>–n</sup>'', lu « ''a'' puissance moins ''n'' », ou « ''a'' exposant moins ''n'' », comme la puissance ''n''-ième de l'inverse de {{mvar|a}} qui est aussi l'inverse de la puissance ''n''-ième de {{mvar|a}} :
:<math>a^{-n}=\left(\dfrac1{a}\right)^n=\dfrac1{a^{n}}.</math>
En particulier, {{math|''a''{{exp|–1}} {{=}} {{sfrac|1|''a''}}}}.

Le nombre {{mvar|–n}} est l'exposant de la puissance {{mvar|a<sup>–n</sup>}}, étant négatif, {{mvar|a<sup>–n</sup>}} est une puissance de {{mvar|a}} à exposant [[nombre négatif|négatif]].

La puissance ''n''-ième d'un nombre non nul se généralise donc à n'importe quel exposant [[entier relatif]].

On déduit de la définition d'une puissance négative que pour tout exposant entier relatif {{mvar|r}} :
:<math>a^{-r}=\left(\dfrac1{a}\right)^r=\dfrac1{a^{r}}.</math>
En particulier pour un entier naturel {{mvar|n}} :
: <math>a^n=\dfrac1{a^{-n}}\,.</math>

== Signe de l'exposant entier et signe du nombre ==
La puissance ''n''-ième d'un nombre positif est toujours positive.
Le [[Signe (arithmétique)|signe]] de la puissance ''n''-ième d'un nombre réel négatif dépend de la parité de l'exposant entier relatif {{mvar|n}}.

* une puissance paire d'un nombre réel négatif est un nombre positif : si {{mvar|n}} est un entier relatif pair, et {{mvar|a}} un réel positif alors {{math|(–''a''){{exp|''n''}} {{=}} ''a''{{exp|''n''}}}} ;
* une puissance impaire d'un nombre réel négatif est un nombre négatif : si {{mvar|n}} est un entier relatif impair, et {{mvar|a}} un réel positif alors {{math|(–''a''){{exp|''n''}} {{=}} –''a''{{exp|''n''}}}}.
;Exemples
:* (–2){{3}}, puissance cubique de –2, vaut (–2)×(–2)×(–2) = –8 < 0.
:* 3{{exp|–4}}, l'inverse de la puissance quatrième de 3, vaut
::<math>\dfrac1{3^4}=\dfrac1{3\times3\times3\times3}=\dfrac1{81}>0</math>.

;Remarque.
Par convention sur les [[priorité des opérations|priorités des opérations]], {{math|§=–''a{{exp|n}}'' = –(''a{{exp|n}}'')}} : la puissance s'applique à {{mvar|a}} uniquement. Pour élever {{math|–''a''}} à la puissance {{mvar|n}}, il est nécessaire de parenthéser en écrivant {{math|(–''a''){{exp|''n''}}}} :
* <math>(-a)^n = (-a)\times(-a)\times(-a)\times \dots \times(-a)\,;</math>
* <math>-a^n = -(a\times a\times a\times \dots \times a)\,.</math>

== Opérations algébriques sur les puissances entières ==
Pour tous nombres {{mvar|a}} et {{math|''b''}} et pour tous entiers relatifs {{mvar|m}} et {{mvar|n}} :
* <math>a^m\times a^n=a^{m+n}</math> ;
* <math>\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\text{ si }a\ne0</math> ;
* <math>(a^m)^n=a^{m\times{n}}=a^{n\times{m}}=(a^n)^m</math> ;
* <math>(a\times{b})^n=a^{n}\times{b^n}</math> ;
* <math>\left(\dfrac ab\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\text{ si }b\ne0</math>.
Ces formules sont cohérentes entre elles et avec la convention « {{math|''a''{{exp|0}} {{=}} 1}} pour tout nombre réel {{math|''a'' ≠ 0}} ». Par exemple, pour tout entier naturel {{math|''n'' ≠ 0}} et pour tout réel {{math|''a'' ≠ 0}},
{{Retrait|<math>a^0=a^{n-n}=\dfrac{a^n}{a^n}=1.</math>}}
Certaines [[Identité remarquable|identités remarquables]]  comme la [[Identité remarquable#Différence ou somme de puissances|factorisation de {{mvar|a{{exp|n}} – b{{exp|n}}}}]] ou la [[Formule du binôme de Newton]] associent puissance et [[addition]] ou [[soustraction]].


En général <math>(a^{n})^m\neq a^{(n^{m})}</math> ; de ce fait, l'écriture <math>a^{n^{m}}</math>est ambiguë et, bien qu'il existe une convention qui favorise la désambiguïsation <math>a^{n^{m}}=a^{(n^{m})}</math>, celle-ci devrait être évitée sans parenthésage univoque<ref>{{Lien web |titre=Images des mathématiques |url=https://images.math.cnrs.fr/billets/une-nouvelle-convention-de-calcul/ |site=images.math.cnrs.fr |consulté le=2024-08-28}}</ref>{{refins}}.

== Puissances de dix ==

Les puissances de 10 sont des cas particuliers de puissance. Leur intérêt réside dans le fait que le [[système de numération]] le plus couramment utilisé est [[Système décimal|décimal]]. Les propriétés énoncées sur les puissances de ''a'' restent valables pour les puissances de 10.

{| class="wikitable"
|+ Table des puissances de dix
|-
! Puissance de dix<br />négatives ou nulle !! Préfixe !! !! Puissance de dix<br />positives ou nulle !! Préfixe 
|-
| 10{{exp|0}} = 1 || - ||
| 10{{exp|0}} = 1 || -
|-
| 10{{-1}} = 0,1 || d (déci-) ||
| 10{{1}} = 10 || da (déca-)
|-
| 10{{exp|–2}} = 0,01 || c (centi-) ||
| 10{{2}} = 100 || h (hecto-)
|-
| 10{{exp|–3}} = 0,001 || m (milli-) ||
| 10{{3}} = {{formatnum:1000}} || k (kilo-)
|-
| 10{{exp|–4}} = {{formatnum:0.0001}} ||  ||
| 10{{4}} = {{formatnum:10000}} || ma (myria-)<ref>[http://www.cnrtl.fr/definition/myria- TILF]</ref>
|-
| 10{{exp|–5}} = {{formatnum:0.00001}} || - ||
| 10{{5}} = {{formatnum:100000}} || -
|-
| 10{{exp|–6}} = {{formatnum:0.000001}} || µ (micro-) ||
| 10{{6}} = {{formatnum:1000000}} || M (méga-)
|-
| etc. || etc. ||
| etc. || etc.
|}
Le nombre 10 élevé à une puissance entière positive ''n'' est un chiffre 1 suivi de ''n'' zéros.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière négative –''n'' est un 1 placé à la ''n''-ième position dans un nombre décimal, {{c.-à-d.}} précédé de ''n'' zéros en comptant celui avant la virgule.

On utilise fréquemment les puissances multiples de 3, qui correspondent aux [[préfixes du Système international d'unités]] :
{| class="wikitable"
|+ '''Table des puissances de dix multiples de trois'''
|-
! Puissance de dix<br />négatives !! Préfixe SI !! !! Puissance de dix<br />positives !! Préfixe SI
|-
| 10{{exp|–3}} = 0,001<br />un millième || m (milli-) ||
| 10{{3}} = {{formatnum:1000}}<br />mille || k (kilo-)
|-
| 10{{exp|–6}} = {{formatnum:0.000001}}<br />un millionième || µ (micro-) ||
| 10{{6}} = {{formatnum:1000000}}<br />un million || M (méga-)
|-
|-
| 10{{exp|–9}} = {{formatnum:0.000000001}}<br />un milliardième || n (nano-) ||
| 10{{9}} = {{formatnum:1000000000}}<br />un milliard || G (giga-)
|-
| 10{{exp|–12}} = {{formatnum:0.000000000001}}<br />un millième de milliardième || p (pico-) ||
| 10{{12}} = {{formatnum:1000000000000}}<br />mille milliards|| T (téra-)
|-
| etc. || etc. || || etc. || etc.
|}

Si la virgule signale la position des unités dans l'écriture d'un [[nombre décimal]], multiplier par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la droite et diviser par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la gauche. Donc multiplier par 10<sup>''n''</sup> pour tout entier positif ''n'' revient à déplacer la virgule de ''n'' rangs vers la droite ; diviser par 10<sup>''n''</sup> pour tout entier positif ''n'' revient à déplacer la virgule de ''n'' rangs vers la gauche. Ainsi,
* 325,72 × 10 = {{formatnum:3257.2}}
* 325,72/10 = 32,572
* 325,72 × 10{{5}} = {{formatnum:32572000}}
* 325,72/10{{5}} = {{formatnum:0.0032572}}

L'utilisation des puissances de 10 intervient :
* dans l'écriture explicite en base 10 :
: 325,72 = 3·10{{2}} + 2·10{{1}} + 5·10{{exp|0}} + 7·10{{-1}} + 2·10{{exp|–2}} ;
* dans l'écriture scientifique des nombres décimaux :
: 325,72 est noté {{formatnum:3.2572}}{{x10|2}}
: où le nombre est écrit comme le produit d'un nombre, appelé '''mantisse''', compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10), avec une puissance entière de 10 appelée '''exposant''' ;
* et dans la [[notation ingénieur]] :
: 325,72 est noté 325,72
: {{formatnum:32572}} est noté 32,572{{x10|3}}
: où le nombre est écrit comme produit d'un nombre compris entre 1 et 999 compris, avec une puissance de 10 dont l'exposant est un multiple de 3.
Les puissances de 10 sont également utiles dans la recherche, ou la vérification, d'ordres de grandeur. Ainsi, par exemple,  29967/274 est de l'ordre de grandeur de 100<ref>Précisément : 29967/274 = 109,368...</ref>, car le [[numérateur]] est proche de 3{{X10|4}} et le dénominateur proche de 3{{X10|2}}, donc leur rapport est de l'ordre de  3{{X10|4}}/ 3{{X10|2}}=100.

== Généralisation aux puissances à exposant réel ==
{{Article détaillé|Fonction puissance#Exposant réel{{!}}Fonction puissance à exposant réel}}
On peut aussi élever un nombre ''{{math|a}} ''strictement positif à une puissance à exposant réel quelconque.

Pour cela, on peut définir successivement :
* d'abord des puissances fractionnaires simples : {{math|''a''{{exp|1/''n''}}}} = {{sqrt|''a''|n=''n''}}, où {{math|''n''}} est un entier, qui coïncident avec les racines {{math|''n''}}-ièmes pour tout {{math|''a'' > 0}}. ''Voir [[racine carrée]], [[racine cubique]] et [[racine d'un nombre]]'' ;
* puis des puissances fractionnaires composées : {{math|''a{{exp|p/q}} ''{{=}} (''a''{{exp|1/''q''}}){{exp|''p''}} {{=}} (''a{{exp|p}}''){{exp|1/''q''}}}} ;
* et enfin, par [[Continuité (mathématiques)|continuité]], des puissances à exposant réel quelconque : ''{{math|a{{exp|x}}}} ''peut ainsi être défini pour tout {{math|''x''}} [[nombre réel|réel]] et tout {{math|''a'' > 0}}.

Pour un nombre {{math|''a'' > 0}} donné, la fonction <math>x\mapsto a^x </math> ainsi obtenue est appelée fonction [[exponentielle de base a]].
Elle peut s'exprimer à l'aide des seules fonctions [[logarithme népérien]] et [[fonction exponentielle|exponentielle]] :
:<math> a^x = \exp(x \ln(a))</math>

Ces puissances fractionnaires et réelles répondent aux mêmes règles que les puissances entières. Notamment, pour tous {{math|''a'' > 0}}, {{math|''b''}} et {{math|''c''}} réels quelconques :
* <math>a^b \times a^c = a^{b+c}~;</math>
* <math>(a^b)^c = a^{b \times c}.</math>
On a en particulier :
* <math>a^{-1/b} = \dfrac1{\sqrt[b]a}</math> pour tout entier {{math|''b''}} non nul ;
* <math>\sqrt[c]{a^b}=\left(\sqrt[c]{a}\right)^{b} = a^{b/c}</math> si {{math|''c''}} est entier non nul ;
* <math>(a^b)^{1/b} = (a^{1/b})^b = \sqrt[b]{a^b} = \left ( \sqrt[b]a\right )^b = a^{b/b} = a</math> si {{math|''b''}} est entier non nul.
=== Exemple ===
Soit à trouver l'[[Aire (géométrie)|aire]] {{math|''S''}} d'un [[cube]] de [[volume]] {{math|''V''}}. 

En notant {{math|''a''}} la longueur d'une arête, on a <math>V=a^3</math>. Donc <math>a=\sqrt[3]{V}</math>. Or, <math>S=6a^2</math>, donc <math>S=6\left(\sqrt[3]{V}\right)^2</math>.

D'après ce qui précède, on peut donc réécrire plus élégamment : <math>S=6{V}^{2/3}</math>.

=== Erreurs fréquentes ===
On n'a généralement pas <math>(a^{n})^m=a^{(n^{m})}</math>. Par exemple : <math>2^{(2^0)} =2^1=2 \quad \neq \quad {(2^2)}^0=4^0=1</math>.

Dans tout ce qui précède, il est crucial de vérifier que l'on a <math>a>0</math>. Par exemple, avec <math>a=-1</math>, on a : <math>((-1)^2)^{1/2}=1^{1/2}=1 \quad \neq \quad (-1)^{2/2}=(-1)^{1}=-1</math>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
* [[Gogolplex]]
* {{Page h|Exponentielle}}
* [[Notation des puissances itérées de Knuth]]

{{Palette|Puissances d'entiers|Opérations binaires}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Opération]]

[[ar:أس]]
[[en:Exponentiation]]
[[nl:Machtsverheffing]]
[[pl:Potęga]]