Voir la source de Pyramide

{{Voir homonymes1|les pyramides en tant que polyèdres géométriques|Pyramide (homonymie)}}

{| style="margin:0 0 0.5em 1em;float:right;width:250px;border-collapse:collapse;" border="1" cellpadding="5"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|Ensemble des pyramides
|-
|align=center colspan=2|[[Image:Pyramid.svg|240px|Pyramide carrée]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Faces||<math>n</math> [[triangle]]s,<br />1 [[polygone|''n''-gone]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Arêtes||2<math>n</math>
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Sommets||<math>n</math> + 1
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Groupe de symétrie|Groupe des isométries]]||[[Groupe de symétrie#Dimension 3|<sub>''D2n''</sub>]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Polyèdre dual]]||Auto-duales
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Propriétés||convexe
|}

En [[géométrie]], une '''pyramide''' (du [[grec ancien]] {{grec ancien|πυραμίς|puramís}}) à <math>n</math> côtés est un [[polyèdre]] à <math>n</math> + 1 faces, formé en reliant une [[base (géométrie)|base]] polygonale à <math>n</math> côtés à son ''sommet'', ou ''sommet opposé à la base'' (également appelé [[apex (géométrie)|apex]]), par <math>n</math> [[face (géométrie)|faces]] [[triangle|triangulaires]] (<math>n\geqslant3</math>). 

Lorsque cela n'est pas précisé, la base est supposée carrée. Pour une pyramide triangulaire chaque face peut servir de base, avec le sommet opposé pour apex. Le [[tétraèdre]] [[polyèdre régulier|régulier]], un des [[solide de Platon|solides de Platon]], est une pyramide triangulaire. Les pyramides carrées ainsi que les pentagonales peuvent aussi être construites avec toutes les faces régulières, et par conséquent être des [[solide de Johnson|solides de Johnson]]. Toutes les pyramides sont auto-[[polyèdre dual|duales]].

Les pyramides forment une sous-classe des [[prismatoïde]]s.

== Origine du nom ==
Le mot « pyramide » vient du grec ancien {{grec ancien|πυραμίς, -δος|puramís, -dos}} transmis au latin sous la forme ''{{langue|la|pyramis, -idis}}''<ref>{{CNRTL|pyramide}}.</ref>  mais son origine est incertaine. Certains la rattachent à la notion de feu (racine grecque ''pyr'')<ref name=Millin>[[Aubin-Louis Millin]], ''Dictionnaire des beaux-arts'', 1805, {{p.|403}}.</ref> et citent [[Platon]] qui voyait dans le tétraèdre régulier (en forme de pyramide) le symbole du feu<ref>{{PlaTim}}, 56b.</ref>. D'autres y voient un mot dérivé du grec «'' puros ''» signifiant « ''froment'' » rappelant que c'était la forme des greniers royaux<ref name=Millin/>. D'autres y voient encore une déformation de l'égyptien, soit du mot « ''haram (ou rem)'' » qui s'écrit ''h-r-m'' en égyptien<ref name=Millin/> et qui est leur nom en égyptien, soit du mot « ''pr-m-ous'' » qui désigne en égyptien une ligne déterminante de la pyramide<ref name=EU>Jean-Philippe Lauer, « Pyramide », in ''[[Encyclopædia Universalis]]'', 1990, T.19, {{p.|311}}.</ref>. D'autres enfin signalent que ce mot « ''pyramis'' » désignait en grec un gâteau de miel et de farine<ref name=EU/>.

== Volume ==

Le [[Cône (géométrie)#Volume|volume d'un cône]] et en particulier d'une pyramide est<center><math>V=\frac13Sh</math></center>où <math>S</math> est l'aire de la base et <math>h</math> la [[Hauteur (géométrie)|hauteur]] de la base à son sommet, c'est-à-dire la plus petite distance entre la base et son sommet.

[[Image:pyramide_geometrie.png|thumb|Pyramide géométrique vue en perspective]]
En particulier, le volume d'une [[pyramide à base carrée]] avec une hauteur égale à la moitié de la base peut être vue comme un sixième d'un cube formé par six pyramides de cette sorte (en paires opposées) par le centre. Alors « base fois hauteur » correspond à un demi du volume du cube, et par conséquent trois fois le volume de la pyramide, ce qui donne bien le facteur un tiers.

Le volume d'une pyramide à base carrée et composée de triangles équilatéraux est le double de celui d'un tétraèdre de même côté, ce qui se démontre par [[Problème de dissection|dissection]] moitié.

== Aire de la surface ==

L'aire de la surface d'une pyramide régulière, c'est-à-dire une pyramide dont toutes les faces sont des triangles isocèles identiques, est<center><math>S =S_b+ \frac{pl}2</math></center>où {{math||§=''S{{ind|b}}''}} est l'aire de la base, <math>p</math> le périmètre de la base et <math>l</math> la longueur de la [[bissectrice]] d'une face (i.e. la longueur à partir du milieu d'une arête quelconque de la base jusqu'à l'apex).

== Pyramides avec des faces polygonales ==

Si toutes les faces sont des polygones réguliers, la base de la pyramide peut être un polygone régulier de 3, 4 ou 5 côtés :

{| border="1" cellpadding="7" style="margin:0 auto; text-align:center; border-collapse: collapse;"
|-
!Nom
![[Tétraèdre]]
![[Pyramide carrée]]
![[Pyramide pentagonale]]
|-
|
|[[Image:Tetrahedron.svg|160px|]]
|[[Image:Square pyramid.png|160px|]]
|[[Image:Pentagonal pyramid.png|160px]]
|-
|Classe
|[[Solide de Platon]]
|[[Solide de Johnson]] (J1)
|[[Solide de Johnson]] (J2)
|-
|Base
|[[Triangle|Triangle équilatéral]]
|[[Carré]]
|[[Pentagone (figure)|Pentagone régulier]]
|-
|Groupe<br /> de symétrie
|T<sub>d</sub>
|C<sub>4v</sub>
|C<sub>5v</sub>
|}

Le centre géométrique d'une pyramide carrée est localisé sur l'axe de symétrie, à un quart de son hauteur.

=== Symétrie ===

Si la base est régulière et son sommet est au-dessus du centre, le [[groupe de symétrie|groupe des isométries]] d'une pyramide à <math>n</math> côtés est le [[groupe diédral]] <math>D_{2n}</math>, d'ordre <math>2n</math>, excepté dans le cas d'un tétraèdre régulier, qui possède le groupe de symétrie plus grand '''T<sub>d</sub>''' d'ordre 24, lequel a quatre versions de <math>D_{6}</math> pour sous-groupes.

Le groupe de rotation est <math>C_{n}</math>, d'ordre <math>n</math>, excepté dans le cas d'un tétraèdre régulier, qui possède le groupe de rotation plus grand '''T''' d'ordre 12, qui a quatre versions de <math>C_{3}</math> pour sous-groupes.

== Généralisation aux dimensions supérieures ==
Une pyramide est un objet géométrique ayant pour base un polygone quelconque, auquel on relie tous ses sommets à un point unique. Par [[abus de langage]], on dit qu'elle est régulière si toutes ses faces sont des polygones réguliers.

En généralisant, une '''hyperpyramide''' de dimension 4 est un polychore ayant pour base un polyèdre auquel on relie tous ses sommets à un point unique. Le [[pentachore]] en est l'exemple le plus simple.

Et donc, une hyperpyramide de dimension <math>n</math>  est un polytope à <math>n</math>  dimensions, qui a pour base un polytope à ''<math>n-1</math>''  dimensions, et dont tous les sommets sont reliés à un point unique. Une hyperpyramide peut être considérée comme l'ensemble de tous les « états » pris par sa base lors de son rétrécissement progressif jusqu'à l'apex le long d'une médiane centrale (reliant le centre de gravité de la base au sommet) ; tous ces « états » de la base sont en fait l'intersection de l'hyperpyramide avec des hyperplans parallèles à la base. <br />
L'hypervolume d'une hyperpyramide de dimension <math>n</math>  est donné par la formule :
<center><math>V_n = \frac{B_{n-1} \times h}n,</math></center>
où {{math|''B''{{ind|''n''–1}}}} est l'hypervolume de la base et <math>h</math>  la hauteur.

{| class="wikitable centre"
|+'''Les premières hyperpyramides'''
|-
!Nom
|Point
|Segment
|Triangle
|Pyramide
|4-hyperpyramide
|5-hyperpyramide
|-
!Explication
|rien (d=-1) n'est relié à un point (d=0)
|un point (d=0) est relié à un point (d=0)
|un segment (d=1) est relié à un point (d=0)
|un [[polygone]] (d=2) est relié à un point (d=0)
|un [[polyèdre]] (d=3) est relié à un point (d=0)
|un [[polychore]] (d=4) est relié à un point (d=0)
|-
!Dimension
|0
|1
|2
|3
|4
|5
|-
!Image
|[[Fichier:Point graphe.jpg | 75px]]
|[[Fichier:Segment graphe.jpg |150px]]
|[[Fichier:Triangle illustration.svg | 150px]]
|[[Image:Square pyramid1.png | 150px]]
|[[Fichier:Hyperpyramide-animation.gif | 150px]]
|
|}


Tout [[simplexe]] est une hyperpyramide, et la plus simple de chaque dimension.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Pyramid (geometry)|99522641|type=note}}
<references />

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Pyramids (geometry)|wiktionary=pyramide}}

=== Articles connexes ===
* [[Bipyramide]]
* [[Pyramide (architecture)]]
* {{page h|Pyramide (homonymie)}}
*[[Liste des pyramides en France]]
*[[Liste de pyramides contemporaines|Liste des pyramides contemporaines]]
*[[Nombre pyramidal]]

=== Liens externes ===
*{{en}} [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
*{{en}} [http://www.mathsisfun.com/geometry/triangular-pyramid.html Triangular Pyramid], [http://www.mathsisfun.com/geometry/square-pyramid.html Square Pyramid] et [http://www.mathsisfun.com/geometry/pentagonal-pyramid.html Pentagonal Pyramid] en rotation sur le site Math Is Fun
*{{en}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Polyhedra], ''The Encyclopedia of Polyhedra'', sur le site de {{Lien|George W. Hart}}
** Modèles [[VRML]] [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/alphabetic-list.html (George Hart)] [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/tetrahedron.wrl <3>] [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/square_pyramid_(J1).wrl <4>] [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/pentagonal_pyramid_(J2).wrl <5>]

{{Palette|Prismatoïdes}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Prismatoïde]]