Voir la source de Q-symbole de Pochhammer

{{Titre mis en forme|''q''-symbole de Pochhammer}}
{{Ebauche|mathématiques}}
En [[combinatoire]], le '''''q''-symbole de Pochhammer''' est un symbole permettant de noter facilement certains produits. C'est l'élément de base des [[q-analogue|''q''-analogues]]. C'est le ''q''-analogue du [[symbole de Pochhammer]] défini par [[Leo Pochhammer]]. 

== Définition et notations ==
Le ''q''-symbole de Pochhammer est<ref>{{MathWorld|nom_url=q-Series|titre=q-Series}}</ref> :

:<math>(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})</math> 

avec 

:<math>(a;q)_0 = 1</math>.

On peut étendre la notation à des produits infinis : 

:<math>(a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k).</math>

On note parfois <math>(a)_n=(a;q)_n</math>, lorsqu'il est clair que la variable est ''q''.

== Fonctions génératrices de partitions ==

Un grand nombre de [[Série génératrice|séries génératrices]] représentant des [[partition d'un entier|partitions]] peuvent être exprimées de façon compacte avec ces symboles.
Par exemple, celle du nombre ''p''(''n'') de partitions de l'entier ''n'' peut s'écrire : 

:<math>\sum_{n=0}^{\infty}p(n)q^n = \prod_{n=1}^{\infty}\frac1{1-q^n} = \frac1{(q;q)_{\infty}}</math>.

Notons que l'on retrouve ici l'inverse de la [[fonction d'Euler]].

== Identités ==
L'une des identités les plus simples est le théorème ''q''-binomial<ref>{{Lien web|langue=en|auteur=[[:en:George Gasper|George Gasper]]|titre= Lecture notes for an introductory minicourse on q-series|année=1995|arxiv=math.CA/9509223|site=arxiv.org (Cornell University Library)|consulté le=26 septembre 2016|passage=3}}</ref>{{,}}<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Introduction à la théorie des nombres/Séries et produits infinis formels|« Théorème ''q''-binomial et identités d'Euler », dans la leçon « Introduction à la théorie des nombres »|début=Voir la démonstration de}}</ref> (exprimé ici avec la notation compacte) : 

:<math>\sum_{n\in\N}\frac{(a)_n}{(q)_n}z^n=\frac{(az)_{\infty}}{(z)_{\infty}}</math>,
dont des cas particuliers sont les deux identités d'Euler :
:<math>(z)_{\infty}=\sum_{n\in\N}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(q)_n}(-z)^n\quad\text{et}\quad\frac1{(z)_{\infty}}=\sum_{n\in\N}\frac{z^n}{(q)_n}</math>.

On peut en déduire des théorèmes, comme [[théorème des nombres pentagonaux|celui des nombres pentagonaux]] : <math>(q;q)_{\infty}=\sum_{k\in\Z}(-1)^kq^{k(3k-1)/2}</math>, ou encore celui du [[triple produit de Jacobi]].

Les calculs sur les ''q''-séries permettent aussi de trouver des égalités entre objets combinatoires sans expliciter de bijection, c'est le cas par exemple des [[identités de Rogers-Ramanujan]].

== Notes et références ==
{{Références}}

== Liens externes ==
{{DLMF|titre=''q''-Factorials|id=5.18}}

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[[Catégorie:Théorie des nombres]]