Voir la source de Quadrant horaire

[[Fichier:Quadrans Vetus inv 662 IF 22256.jpg|vignette|Un quadrant horaire de type « quadrant ancien » du  {{s-|XIV}}.]]

Les '''quadrants horaires''' sont des [[Cadran solaire#Typologie|cadrans solaires de hauteur]] anciens, portables et de la famille des [[quadrant (instrument)|quadrant]]s.

La {{page h'|hauteur#Astronomie|hauteur}} du Soleil étant prise, ils permettent, à l'aide d'un fil à plomb et d'un pointeur, de lire l'heure sur le corps de l'instrument où est tracé un réseau de lignes horaires.

Au préalable à la lecture de l'heure, il convient d'effectuer quelques réglages simples en fonction du type de quadrant utilisé et de la date de l'observation.

Ils sont connus en [[Occident]] depuis le [[Moyen Âge]], mais leur origine se trouve assurément dans les pays arabo-musulmans (une mention en ayant été trouvée dans un manuscrit égyptien daté probablement du {{s|IX}} ou {{s|X}}).

== Approche élémentaire ==

=== Description ===
L'instrument est composé de quelques éléments de base que l'on retrouve sur pratiquement tous les quadrants horaires. Ce sont :
[[Fichier:Quadrant ancien simple 0.png|vignette|400 px|Dessin schématique d'un quadrant ancien simple.]]

* le corps du quadrant, ayant la forme générale d'un quart de cercle, sur lequel on trouve un secteur gradué de 90° vers son bord extérieur : le [[Limbe (technologie)|limbe]] ;
* le système de visée comprenant deux {{page h'|Pinnule|pinnule}}s à œilleton fixées sur un côté du quadrant ;
* un [[fil à plomb]] qui permet de vérifier la verticalité de l'instrument lors de la visée du Soleil (qui ne doit pas être regardé en face) et qui indique sur le limbe la [[hauteur (angle)|hauteur]] de l'astre du jour ;
* un réseau d'heures tracé sur le corps du cadran. Ce réseau, qui dépend de la méthode de construction choisie, est de forme variable et les heures, suivant l'époque, peuvent être des [[heures temporaires]] et/ou des [[Heure équinoxiale|heures équinoxiales]] ;
* une petite perle-index, ajustée « glissant serré » sur le fil à plomb, après un réglage adéquat, indiquera, lors de la visée du Soleil, l'heure d'observation sur le réseau horaire<ref>D'après {{harvsp|R. D'Hollander|1999|p=213}}.</ref>.

Sur la figure ci-contre le réseau horaire (en rouge) représente les six heures temporaires du matin, l'heure de midi étant la sixième heure ; les heures de l'après-midi se superposent par symétrie sur les heures du matin, soit par exemple les couples 5-7, 3-9, 1-11. La perle coulissante (en vert) indique que l'on est au début de la deuxième heure du matin ou un peu avant la onzième heure de l'après-midi.

=== Réglage ===
La hauteur du Soleil varie en fonction de la [[latitude]], de la [[Déclinaison (astronomie)|déclinaison]] solaire et de l'heure de l'observation.<br>
La formule suivante donne cette hauteur : [[Fichier:Quadrant ancien simple 1 réglage.png|vignette|400 px|Etapes de réglage d'un quadrant ancien simple avant de prendre l'heure.]]
<center> <math>\sin h=\sin\varphi\sin\delta+\cos\varphi\cos\delta\cos H</math> (1)</center>

où ''h'' est la hauteur angulaire du Soleil, ''φ'' la latitude du lieu, ''δ'' la déclinaison du Soleil et ''H'' l'angle horaire du Soleil (''H'' vaut 0° à midi et par exemple 15° à 13 h…).<br>
La hauteur du Soleil à midi où ''H'' = 0° est donnée par :
<center> <math>h_{m}=90^\circ-\varphi+\delta</math> (2)</center>

Le réglage de la perle s'effectue sur la ligne horaire de midi en tenant compte de la latitude du lieu d'observation et de la déclinaison solaire<ref group="N">En gnomonique, à une date donnée, la déclinaison solaire est considérée comme constante ; sa valeur est celle du midi solaire du jour considéré.</ref>.<br>
Pour une latitude de 47° et pour une déclinaison actuelle de 23°26', arrondie à 23,5°, qui correspond à la date du solstice d'été vers le {{date-|21 juin}}<ref group="N">Il existe des tables donnant la correspondance entre la déclinaison solaire et les calendriers civil et/ou zodiacal ; on verra plus loin comment se dispenser de ces tables.</ref>, on procédera au réglage de la façon suivante :
# déterminer la hauteur méridienne du Soleil à la date considérée, d'après l'expression (2) :  ''h<sub>m</sub>'' = 90 - 47 + 23,5 = 66,5° ;
# tendre le fil sur la graduation 66,5° ;
# amener la perle sur le demi-cercle de la {{6e}} heure<ref>D'après {{harvsp|Philippe Dutarte|2006|p=206-209}}.</ref>.

=== Lecture de l'heure ===
Après réglage, il suffit de viser le Soleil avec le quadrant.
[[Fichier:Quadrant ancien simple 2 vérif.png|400px|vignette|Lecture de l'heure avec son principe.]]
Le fil à plomb, vertical, indique sur le limbe la hauteur du Soleil et la perle donne l'heure (ici temporaire), soit ''h'' = 15,5° relevée un peu après la première heure du matin ou un peu avant la onzième heure de l'après-midi.

On peut remarquer que le lieu de la perle lors du déplacement journalier du fil à plomb est un arc de cercle centré en O et que son rayon correspond à sin ''h'' que l'on retrouve dans (1) expression de la hauteur du Soleil.

Ainsi, sur la figure, où tous les demi-cercles horaires sont centrés sur la droite OD, on aura :
* pour la sixième heure, si l'on considère le triangle rectangle OAB inscrit dans le demi-cercle de diamètre OB pris égal à 1 on a : l'angle OBA = ''h<sub>m</sub>'' comme angles à côtés perpendiculaires et OA = sin ''h<sub>m</sub>'' ;
* pour la quatrième heure, dans le triangle OCD, on aura l'angle ODC = ''h<sub>4</sub>'' et OC = sin ''h<sub>4</sub>''.
Quelle que soit l'heure considérée, la valeur sin ''h'' caractérise le lieu de déplacement de la perle<ref>D'après {{harvsp|Philippe Dutarte|2006|p=208}}.</ref>.

Cette propriété se retrouvera sur tous les types de quadrants présentés.

== Typologie ==
Les quadrants horaires sont d'origine arabe, mais les sources manuscrites sont rares et elles ont été publiées tardivement. Les quadrants arabes ne seront abordés ici qu'après étude des différents types d'instruments connus en Occident.

Les plus anciennes mentions occidentales des cadrans horaires datent du [[Moyen Âge central]] qui s'étend du {{s mini|XI}} aux {{s2|XII|XIII}}. Ils sont assez bien documentés mais leur désignation était assez floue du fait de l'absence de règles typologiques.

Ce n'est qu'en 1981 qu'[[Emmanuel Poulle]] propose une classification en prenant en compte les définitions d'usage des instruments. Cette typologie se veut chronologique. Dans l'ordre d'apparition en Occident on trouve alors<ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Emmanuel|nom1=Poulle|titre=Les sources astronomiques|lieu=Turnhout-Belgium|éditeur=[[Brepols]]|année=1981|passage=36, 40, 42.|isbn=}}.</ref> :
* le quadrant sinus ou ''quadrans vetustissimus'' - superlatif latin du quadrant suivant, le ''quadrans vetus''. C'est certainement le premier quadrant introduit en Occident à la fin du {{s-|X}}. Il comprend un réseau de lignes parallèles à définition trigonométrique. Ce n'est donc pas un quadrant horaire. Il ne sera pas abordé ici ;
* le quadrant ancien ou ''quadrans vetus'', connu depuis le {{s-|XII}}. C'est la première famille de quadrants horaires caractérisés à l'origine par un diagramme d'heures temporaires se présentant sous forme d'arcs de cercles (comme sur les figures précédentes). Certains quadrants seront adaptés à une seule latitude, d'autres dits universels seront utilisables sous différentes latitudes grâce à un curseur-calendrier facilitant le réglage. Plus tard le quadrant ancien inspirera le tracé de quadrants à heures égales ;
* le quadrant nouveau ou ''quadrans novus''<ref group="N">E. Poulle indique que « c'est l'érudition moderne qui a précisé les termes latins employés, et que le ''quadrans vetustissimus'' a été forgé par J.-M Millas-Villacrosa en 1932. »</ref>, dit aussi astrolabe-quadrant, dont l'invention a longtemps été attribuée à [[Profacius]] en 1263. Ce n'est qu'un astrolabe planisphérique réduit par rabattements et rotation à un quart de cercle ; Certains de ces instruments comportent un diagramme d'heures temporaires, comme le quadrant ancien ;
* des quadrants à heures égales, apparaissent dès avant le {{s-|XV}}. Ils sont liés à l'usage de l'horloge mécanique et à sa mise à l'heure. De construction simple, ils sont dédiés à une seule latitude et le réseau des heures équinoxiales est obtenu de différentes façons.

Récemment, en l'an 2000, l'étude d'un manuscrit conservé à la bibliothèque du Vatican fait apparaitre un nouveau quadrant daté du milieu du {{s-|XII}}<ref>{{harvsp|Catherine Jacquemard, Olivier Desbordes et Alain Hairie|2007|p=79}}.</ref>. Il va perturber l'ordre précédemment établi en prenant sa place avant le ''quadrans vetus''. Il portera le nom de ''quadrans vetustior''<ref group="N">''vetustior'' est le comparatif de ''vetus''.</ref>, nom proposé par E. Poulle entouré d'une équipe d'érudits spécialistes.

Les différents types de quadrants horaires seront présentés ici chronologiquement en tenant compte de ce dernier instrument.

== Le quadrant ''vetustior'' ==
L'introduction en Occident de ce quadrant est supposée être antérieure au {{s-|XII}} : il est admis correspondre au ''quadra astrolabii'' mentionné par [[Hermann Contract|Hermann le Boiteux]] (1013-1054) dans son traité ''De utilitatibus astrolabii''<ref>{{harvsp|R. D'Hollander|1999|p=213}}.</ref>.
=== Quadrant théorique ===
Comme son nom ''quadra astrolabii'' l'indique, il est dérivé de l'[[astrolabe planisphérique]] ; c'est donc un instrument conçu pour une latitude unique. La latitude de 47°, comme celle de l'exemple du manuscrit du Vatican, sera choisie pour ce modèle théorique<ref>Sur le modèle théorique voir : {{harvsp|Gérard Aubry|2019|p=_ _ _ ?}}.</ref>.<br>
Il reprend le tracé des cercles astronomiques de l'astrolabe obtenus par [[projection stéréographique]] (équateur, tropiques, écliptique) et les place dans un quart de cercle par un double rabattement<ref group="N">La méthode des rabattements des cercles de l'astrolabe se retrouvera un peu plus tard en Occident sur le quadrant nouveau proposé par [[Profatius]] en 1288.</ref>.

[[Fichier:Quadrant proj stéréo fin.png|500px|vignette|centré|Schéma du principe de construction d'un quadrant vetustior.]]

* la figure de base est la projection stéréographique des [[Astrolabe planisphérique#Projection stéréographique|cercles astronomiques de l'astrolabe]]. Le cercle de l'équateur est de couleur émeraude, le tropique du Cancer (été) est en rouge, celui du Capricorne (hiver) en bleu et l'écliptique avec sa division zodiacale est en marron ;
* la deuxième vue montre le premier rabattement ;
* la troisième vue, correspondant au second rabattement, peut donner deux quarts de cercle, ou quadrants, suivant le sens (droit ou gauche) du rabattement.
Le modèle privilégie ici le quadrant avec rabattement à droite. Cette figure de base est construite à priori pour le milieu du {{s-|XII}} avec la latitude précitée de 47°, une inclinaison de l'écliptique « vraie » de 23°33' et une division angulaire zodiacale de base de 27,9°, 29,9°, 32,2° pour respectivement les signes du Bélier, Taureau et Gémeaux<ref group="N">Les angles de graduation de l'écliptique sont calculés à partir de la formule <math>\tan\alpha =\cos\epsilon*\tan\lambda</math> où ''α'' est l'ascension droite, ''ε'' l'inclinaison de l'écliptique et ''λ'' la longitude écliptique.</ref>.

Après ce tracé préliminaire, sont mis en place les arcs de cercle de déclinaison solaire pour l'entrée et le milieu de chaque signe zodiacal.

Pour finir, les lignes horaires temporaires, numérotées de 1 à 6 (midi) pour les heures du matin et de 7 à 11 pour les heures de l’après-midi, sont tracées point à point à partir d'une table des hauteurs du Soleil.

[[Fichier:Hauteurs théoriques.png|500px|vignette|centré|Table des hauteurs théoriques du Soleil pour l'an 1150.]]

Cette table est, elle aussi, construite à priori pour le milieu du {{s-|XII}}, avec la latitude précitée de 47°<ref group="N">Cette table est calculée à partir d'une formule moderne donnant obliquité de l'écliptique, longitude et déclinaison du Soleil en fonction du [[jour julien]] considéré.</ref>{{,}}<ref>La formule de référence, complexe, est donnée dans {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Denis Savoie|titre=La gnomonique|lieu=Paris|éditeur=[[Les Belles Lettres]]|collection=L'Âne d'or|année=2007|pages totales=521|passage=56-58|isbn=978-2-251-42030-1}}.</ref>.

Tracé du quadrant

[[Fichier:Quadrant Vetustior théorique.png|500px|vignette|centré|Quadrant Vetustior théorique]]

Quelques remarques :
* vers le milieu du {{s-|XII}}, le jour du printemps, correspondant à l'entrée du Soleil dans le signe du Bélier, se trouve être le 15 du mois de mars du calendrier julien employé à l'époque ;
* pour usage, le début des mois est donc admis être confondu avec le milieu de chaque signe zodiacal ; ce sera aussi l'hypothèse retenue dans l'exemple du manuscrit du Vatican ;
* le quadrant est agrémenté d’un carré des ombres - comme sur certains astrolabes - à usage topographique.

=== L'exemple du manuscrit du Vatican ===
Le quadrant du manuscrit ''Vaticano, BAV Ott. lat. 1631'', commenté et illustré par Catherine Jacquemard, Olivier Desbordes et Alain Hairie, est du même type que le modèle théorique présenté précédemment. Par contre, le protocole de construction proposé est intéressant dans la mesure où il simplifie le tracé du quadrant en faisant abstraction de tout calcul astronomique<ref>Rappel : {{harvsp|Catherine Jacquemard, Olivier Desbordes et Alain Hairie|2007|p=79}}.</ref>.
* le tracé du double rabattement des cercles célestes est réalisé à partir d'une construction géométrique originale bien développée dans l'article présenté. Cette proposition implique une valeur de l'[[obliquité]] ε ≈ 23°35' donnée par les auteurs de l'article<ref group="N">Pour information, ε = 23°35' = 23,583° correspond à une obliquité des années 900 - époque de création de ce type de quadrant ?</ref> ;
* l'emplacement du début des signes zodiacaux et des mois sur les arcs brisés de l'écliptique est proposé de 15° en 15°<ref group="N">À titre indicatif, les valeurs angulaires « vraies » de chaque signe, correspondant à l'[[ascension droite]] du Soleil sur l'écliptique vers les années 1150, du Capricorne au Gémeaux sont sensiblement dans l'ordre, de 32,2°, 29,9°, 27,9°, 27,9°, 29,9°, 32,2°.</ref>, ce qui est assez inexact ;
* suit le tracé des arcs des cercles de déclinaison du Soleil, centrés en O, qui s'appuient sur les points précédemment définis ;
* le tracé des lignes horaires est alors obtenu à partir d'une table des hauteurs du Soleil dont les valeurs sont données pour l'entrée et le milieu de chacun des signes du zodiaque<ref group="N">L'obtention de cette table est dite suivre la relation (1) donnée précédemment. Pour obtenir ces hauteurs, la déclinaison, non précisée, doit être connue ; est-elle obtenue graphiquement ou à partir de la relation <math>\sin\delta=\sin\epsilon\sin\lambda</math> ? Relation où ''δ'' est la déclinaison, ''ε'' l'obliquité de l'écliptique et ''λ'' la longitude écliptique du Soleil.
</ref>. Ces lignes horaires sont tracées point à point et reprises par les auteurs de l'article.

Un fil à plomb, apparemment sans perle-index permet la lecture, alors incommode, de l'heure.<br>
Pour finir le quadrant est agrémenté d'un [[Astrolabe#Carré des ombres|carré des ombres]], dont la finalité est topographique.

Il est intéressant d'avoir une idée de l'erreur sur la lecture de l'heure due au tracé simplifié du quadrant du manuscrit du Vatican. Ceci pour sa finalité reconnue : donner l'heure vers 1150.<br>
Une première solution consiste à superposer le quadrant du manuscrit avec son modèle théorique. Cette superposition est grossièrement correcte mais le quadrant du manuscrit n'étant pas publiable, l'illustration ne peut être donnée ici.<br>
Par contre, l'examen de la table des hauteurs du Soleil donnée en annexe du manuscrit est exploitable dans ce sens.<br>
Sa comparaison avec le modèle théorique - supposé exact -, en relevant les écarts entre les deux tables, permet de voir où se trouvent les erreurs les plus importantes<ref>Sur l'erreur sur la lecture de l'heure voir : {{harvsp|Gérard Aubry|2019|p=_ _ _ ?}}.</ref>.

[[Fichier:Ecarts bruts de hauteur.png|400px|vignette|centré|Table des écarts bruts de hauteur.]]

Dans cette table des écarts, après élimination de quelques valeurs aberrantes et analyse, on constate que la valeur moyenne des écarts de hauteur est de l'ordre de 0,35° et la dispersion, à 3 écarts-types, est inférieure à ±2°.

On peut alors en déduire les erreurs de temps brutes, pour chaque heure temporaire, dues aux hypothèses simplificatrices.<br>
Sans entrer dans les détails, l'erreur la plus significative est due à l'emploi de la table des hauteurs établie pour une obliquité de 24° au lieu de 23°35' ; les autres simplifications n'ont guère d'influence au vu de la précision de l'instrument.

[[Fichier:Erreurs de temps brutes en min.png|400px|vignette|centré|Table des erreurs de temps brutes aux heures temporaires.]]

Globalement l'instrument donne l'heure avec une exactitude dont on pouvait se satisfaire à l'époque, à l'exception des valeurs relevées vers midi (h6) où l'erreur est très importante<ref group="N">C'est aussi vers midi que la mesure de hauteur - comme sur tout cadran de hauteur -  est la plus incertaine ; les deux « imprécisions » se « cumulent » statistiquement, ce qui détériore encore plus le résultat.</ref>{{,}}<ref>Sur l'incertitude sur la lecture de l'heure voir : {{harvsp|Gérard Aubry|2019|p=_ _ _ ?}}.</ref>.

== Le quadrant ancien ou ''quadrans vetus'' ==
D'origine arabe, il a vraisemblablement été introduit en Occident avant le {{s-|XIII}}. À partir de cette époque, Il est mentionné dans différents traités :
* le ''traité du quadrant'' de [[Sacrobosco]] mort en 1244 ou 1256 ;
* le ''traité du quadrant de maître Robert Anglès'' [Robert l'Anglais] à Montpellier, ca 1231-1276<ref>Voir la référence BnF, [https://data.bnf.fr/13006624/robert_l_anglais/] et sa publication par Paul Tannery, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1416758w lire en ligne]</ref>.
* un traité de [[Campanus de Novare]] (1220-1296) ;
* il fait l'objet du livre 9, le  ''Libro del cuadrante'', dans l'encyclopédie du savoir astronomique, le ''[[Libro del saber de astrología]]'' dit d'[[Alphonse X]] Le Sage, paru vers 1276.

=== Le quadrant ancien simple ===
Son [[#Approche élémentaire|approche élémentaire]] (description, réglage et lecture de l'heure) a servi d'exemple dans la première section de cette page.<br>
Précisons ici le tracé des lignes horaires temporaires.
==== Diagramme des lignes horaires ====
Les lignes horaires ne sont pas tracées à partir des formules exactes (1) et (2) données plus haut. C'est une formule approximative qui est employée ; elle donne néanmoins de bons résultats pour des latitudes pas trop élevées. Elle permet de simplifier - mieux que pour le quadrant vetustior - le tracé des lignes horaires qui sont alors représentées simplement par des arcs de cercles.

:Construction géométrique
[[Fichier:Quadrant ancien simple 3 Lignes horaires.png|500px|vignette|centré|Construction du diagramme des lignes horaires.]]
La partie utile du quadrant, recevant le diagramme des heures (temporaires) est le secteur <math>OAB</math> de rayon <math>a</math>.<br>
Chaque ligne horaire passe par un premier point, le point <math>O</math> et un second, situé sur l'arc <math>AB</math>, dont la position est donnée par l'arc <math>Ai</math>, avec <math>Ai1</math> = 15°, <math>Ai2</math> = 30°, <math>Ai3</math> = 45°, <math>Ai4</math> = 60°, <math>Ai5</math> = 75° et <math>Ai6</math> = 90°<ref group="N">Les point i2, i4, i6 ne sont pas représenter pour ne pas surcharger la figure.</ref>.<br>
Les centres des arcs de cercles <math>C1</math>, <math>C2</math>… <math>C6</math> des heures temporaires se trouvent respectivement sur la médiatrice des segments <math>Oi1</math>, <math>Oi2</math>… <math>Oi6</math> et sur l'axe <math>Oy</math>.
:Formule mathématique
Chaque rayon <math>R_{n}</math> de ligne horaire (<math>n</math> variant de 1 à 6) est donné par la formule suivante :
<center> <math>R_{n}=\frac{a}{2\sin T}</math></center>
où <math>T</math> est exprimé en degrés (de 15 en 15 pour <math>n</math> variant de 1 à 6)<ref group="N">Par exemple, à la fin de la première heure temporaire <math>n = 1</math> alors <math>T = 15</math> ; pour <math>n = 3</math>, alors <math>T = 45</math> ; pour <math>n = 6</math>, alors <math>T = 90</math>.</ref>{{,}}<ref>D'après {{harvsp|R. D'Hollander|1999|p=137}}.</ref>.
:Erreur commise
Les lignes horaires n'étant pas tracées à partir des formules exactes, elles entrainent une erreur théorique sur la lecture de l'heure soulignée ici ; l'erreur est donnée en minutes d'heures temporaires.

{| class="wikitable centre"
|+ Erreur maximale au solstice d'été<ref>D'après {{harvsp|Philippe Dutarte|2006|p=209}} ; voir aussi {{harvsp|R. D'Hollander|1999|p=143}}.</ref>
|-
! Latitude φ !! Erreur max.
|-
| 30°|| 6 min 
|-
| 40°|| 9 min 
|-
| 50°|| 14 min 
|}

==== Utilisation du diagramme ====
L'intérêt du diagramme d'heures temporaires est qu'il est utilisable pour des latitudes quelconques pas trop élevées<ref group="N">Voir le tableau précédent.</ref>.<br>
Guère employé  sous sa forme simple comme instrument, il est néanmoins très utilisé au Moyen Âge islamique et occidental, dans les versions suivantes :
* tracé au dos de l'astrolabe planisphérique ;
* comme quadrant ancien simple dédié à une latitude donnée ;
* mais surtout, il servira de base au quadrant ancien universel ;
* il sera aussi tracé sur l'astrolabe-quadrant dit aussi quadrant nouveau.

===== Tracé au dos de l'astrolabe =====
C'est un tracé qui figure fréquemment au dos de l'astrolabe, sous sa forme simple et le plus souvent sous sa forme double plus fonctionnelle et esthétique. Ce diagramme permet de déterminer l'heure approximative temporaire pour une latitude quelconque ; c'est donc une avancée par rapport à l'astrolabe classique qui ne peut donner l'heure temporaire (exacte) qu'en utilisant les tympans l'accompagnant<ref>D'après {{harvsp|R. D'Hollander|1999|p=144}}.</ref>.
<gallery mode="packed" heights="200 " caption="Diagramme double d'heures temporaires" >
Quadrant Diagramme double 1.png |Localisation au dos d'un astrolabe.
Quadrant Diagramme double 2.png |Utilisation avec l'alidade.
</gallery>
Soit à rechercher l'heure temporaire pour une latitude de 47° au jour du solstice d'été, comme vu précédemment :
# après avoir lu sur l'écliptique de l'araignée (sur la face avant de l'astrolabe) la déclinaison du Soleil à son entrée dans le signe du Cancer, 23,5°, déterminer la hauteur méridienne du Soleil à la date considérée, d'après (2) : hm = 90 - 47 + 23,5 = 66,5° ; au dos de l'instrument pointer avec l'alidade la hauteur 66,5° ;
# repérer l'intersection de l'alidade avec le demi-cercle de la sixième heure, la noter sur l'alidade (ici sur la graduation 9 de « hauteur<ref group="N">Les graduations de « hauteur » tracées sur l'alidade n'ont aucun rapport avec le problème traité.</ref> » ; l'heure du jour se trouve sur l'arc de cercle de rayon O9 ;
# faire pivoter l'alidade, pour l'amener en direction du Soleil. À cet instant lire l'heure au point 9 de « hauteur » de l'alidade. Par exemple, pour une hauteur de 27° il sera 2 heures temporaires du matin ou 10 heures temporaires de l'après-midi.

===== L'instrument « quadrant ancien simple » =====
[[Fichier:Munster, quadrant ancien à heures inégales.jpg|vignette|Gravure d'un quadrant ancien simple, Munster, 1551.]]
Le quadrant est dédié à une latitude donnée :

On trouve sur l'instrument un calendrier zodiacal qui dispense de l'utilisation de tables de déclinaison du Soleil. Ce calendrier est construit dans un secteur circulaire, sur le pourtour du quadrant, en suivant les divisions angulaires de chaque signe zodiacal, données par la relation (2).

Pour la lecture de l'heure temporaire on procède comme précédemment en réglant d'abord le fil sur la date du jour et en amenant la perle sur le demi-cercle de la sixième heure, puis on vise le Soleil ; le fil à plomb donne l'angle de hauteur du Soleil et la perle indique alors l'heure temporaire.

Sur la figure on remarquera la colatitude 40°, correspondant à une latitude de 50°, et les angles de 16,5° et de 63,5° aux solstices donnés par la formule ''h<sub>m</sub>'' = 90 - 50 ± 23,5.

Il ne semble pas subsister d'exemplaires de ce type de quadrant. On trouve simplement sa description dans quelques ouvrages traitant du ''quadant ancien'' en général, tels [[Oronce Fine]] et [[Sebastian Münster]].

=== Le quadrant ancien universel ===
Il s'agit d'un quadrant ancien utilisable sous n'importe quelle latitude, celle-ci étant donnée<ref>D'après {{harvsp|R. D'Hollander|1999|p=214-215}} et {{harvsp|David A. King|2002}}.</ref>.

Il reprend le principe du quadrant ancien simple, décrit précédemment, en remarquant que le secteur circulaire qui reçoit le calendrier est constant dans ses dimensions angulaires, quelle que soit la latitude. Il suffit de déplacer le secteur pour le régler sur la colatitude adéquate.

Dans sa construction, le secteur circulaire mobile appelé curseur peut se déplacer dans une rainure semi-circulaire.<br>
Réglé en position, il s'utilise comme le cadran ancien simple.

Le calendrier, zodiacal à l'origine, s'est vu adjoindre un calendrier civil pour en faciliter l'utilisation.

Le quadrant du Musée Galilée est pris comme exemple.

[[Fichier:Quadrans Vetus inv 662 IF 22256-1.jpg|400px|vignette|centré|Quadrant ancien universel en position d'observation avec ses réglages.]]
Commentaires : La chiffraison est de type gothique (fin {{s-|XIV}}).
# la latitude est de l'ordre de 44,4° ; la colatitude correspondante est de 45,6°, elle permet le réglage du curseur en alignant l'entrée du signe du Bélier sur l'angle 45,6° du limbe<ref group="N">Sur l'instrument, l'entrée dans le signe du Bélier correspond à la date du 13 mars du calendrier julien. Ceci permet de dater la table calendaire à partir de laquelle a été tracé le quadrant, vers les années 1300 - [[Astrolabe planisphérique#Examen des calendriers|Voir la source Wiki]].</ref> ;
# le jour de l'observation est supposé être le {{1er}} mai, dans l'après-midi. Le fil à plomb est placé sur la graduation 62,6° correspondant à la date, la perle est glissée sur la sixième heure, heure de midi ;
# Pour finir, l'observation du Soleil donne sa hauteur ''h'' = 35° à un instant ''t'' où la perle indique l'heure : un peu avant le milieu de la dixième heure de l'après-midi.

<gallery mode="packed" heights="200 " caption="Premières représentations occidentales" >
10 Quadrant de Sacrobosco.png|Quadrant de Sacrobosco, première moitié du {{s-|XIII}}, édition de 1534.
20 Quadrant de Robert Angles.png|Quadrant de Robert Angles, ca 1231-1276, édition 1897.
30 Quadrant du Libro del Saber.png|Quadrant du Libro del Saber, ca 1276.
</gallery>

=== Des origines arabes ===
Les sources sont rares sur l'origine du ''Quadrans Vetus''. En Occident, il n'existait, comme on a pu le voir, que des références latines médiévales et Castillanes.

C'est un article publié en 2002 par [[David A. King]] qui présente une source arabe probablement du {{s-|IX}} ou au plus tard du {{s-|X}}. Il s'agit du ''Traité de [[Bagdad]]'', conservé dans un manuscrit de la Bibliothèque nationale égyptienne au [[Caire]]<ref>{{harvsp|David A. King|2002|p=237-238}}.</ref>. David A. King suggère que ce traité anonyme soit dû à l'astronome [[Al-Khwârizmî]].

Il y est mentionné différents types de quadrants anciens universels donnés schématiquement ci-dessous. Les lignes horaires peuvent être représentées sous forme d'arcs de cercles (a), de lignes parallèles (b) ou de lignes rayonnantes (c).<br>
Excepté pour le quadrant de type (a) décrit plus haut, l'usage des deux autres quadrants schématisés par King n'est guère explicite. King précise dans son article que l'astronome de Bagdad écrit simplement « l'usage de tous ceux-là [(b) et (c)] est le même »<ref>{{harvsp|David A. King|2002|p=240-241}}.</ref>.

[[Fichier:Quadrants types.png|600px|vignette|centré|Les trois types de quadrants du ''Traité de Bagdad'', {{sp|IX|ou|X|}}.]]

== Le quadrant nouveau ou ''quadrans novus'' ==
[[Fichier:Canterbury-astrolabe.jpg|vignette|Un astrolabe-quadrant.]]
Ce quadrant est une invention d'origine orientale qui a longtemps été attribuée à [[Profacius]] en 1263.<br>
Ce n'est qu'un [[astrolabe planisphérique]] réduit par rabattements à un quart de cercle ; il est décrit sur la page [[astrolabe-quadrant]]. Comme l'indique R. D'Hollander « il nécessite une gymnastique intellectuelle particulière qui contraste avec la simplicité d'emploi de l'astrolabe planisphérique<ref>{{harvsp|R. D'Hollander|1999|p=233}}.</ref>. »

La détermination de l'heure inégale avec cet instrument admet différentes solutions :
* par des calculs trigonométriques facilités par l'instrument lui-même, à partir de la hauteur du Soleil ;
* par l'intermédiaire d'un diagramme d'heures inégales, comme décrit plus haut, qu'on trouve sur certains instruments ;
* en mesurant de nuit la hauteur d'une étoile<ref>Voir {{harvsp|R. D'Hollander|1999|p=230-233}} pour une présentation détaillée ; source : {{Ouvrage|auteur1=Anthiaume & Sottas|titre=L'astrolabe-quadrant du Musée des Antiquités de Rouen|lieu=Paris|éditeur=G. Thomas|année=1910|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64601198.texteImage|plume=oui}}.</ref>.

Développons la détermination de l'heure en utilisant le diagramme des heures inégales, avec l'exemple suivant :

<center>Latitude ''φ'' = 49° ; hauteur du Soleil ''h'' = 26° relevée le matin du {{1er}} mai dans le calendrier julien.</center>

On doit pour cela calculer la hauteur méridienne du Soleil à la date donnée, d'après la formule (2) :
<center> <math>h_{m}=90^\circ-\varphi+\delta</math> </center>
La déclinaison solaire <math>\delta</math> est déterminée sur l'instrument (ici l'astrolabe-quadrant de Rouen tracé pour l'époque de Profacius) :
# au verso du quadrant, comme sur un astrolabe planisphérique, un calendrier civil et zodiacal indique que, le {{1er mai}}, le Soleil est à 17° dans le signe du Taureau<ref group="N">La figure, non représentée, se trouve en planche I, dans l'ouvrage d'Anthiome et Sottas</ref> ;
# sur l'échelle intérieure du limbe, repérer la place du Soleil dans le signe du Taureau (surligné en vert), {{grossir|♉|facteur=1.25}}17° ; tendre le fil (de couleur fuchsia) sur ce point ; amener la perle sur le secteur « Taureau » de l'écliptique rabattue ; faire tourner ensuite le fil et sa perle (trajectoire fuchsia pointillée et fléchée) pour amener cette dernière sur l'échelle de déclinaison solaire, sur le côté du quadrant où est notée « l'échelle de 10 cm ».
<center>On lit alors la déclinaison <math>\delta</math> ≈ 17°<ref group="N">Ces 17° n'ont pas de rapport avec les 17° du Taureau repérant le lieu du Soleil au {{1er}} mai</ref></center>
Dans ces conditions :
<center> <math>h_{m}=</math> 90° - 49° + 17° = 58°</center>
Ce qui permet de déterminer l'heure suivant les [[#Réglage|étapes]] décrites plus haut. Au résultat final, pour ''h'' = 26° on trouve un peu plus de deux heures temporaires.
<gallery mode="packed" heights="400 " caption="Détermination de l'heure temporaire sur l'astrolabe-quadrant de Rouen" >
Astrolabe-quadrant Rouen 1.png |Recherche de la déclinaison solaire.
Astrolabe-quadrant Rouen 2.png |Réglages pour trouver l'heure.
</gallery>

== Les quadrants à heures égales ==
En Occident, au  {{s-|XIV}}, l'essor de [[horloge mécanique#Inventaire sommaire|l'horloge mécanique]] a probablement favorisé l'adaptation aux heures égales des instruments horaires de l'époque. Cette transformation a été nécessaire pour mettre à l'heure ce nouveau gardien du temps. Parmi ces instruments, dont certains étaient utilisés dès l'Antiquité, les quadrants dérivés du quadrant ancien occupent une place importante.

Ces nouveaux quadrants ne pourront être universels, la complexité et la confusion entre lignes horaires rendant cette représentation impossible. Ils seront alors tracés simplement pour une latitude donnée et différents modèles verront le jour au cours des siècles suivants.<br>
Probablement en bois aux origines, les quelques exemplaires existants sont en laiton et dédiés à de riches personnalités.

=== Le quadrant « ancien » à heures égales ===
==== Version de base ====
Il s'inspire du « quadrant ancien simple », mais le diagramme des heures, approximatif, est construit suivant un nouveau principe<ref>D'après {{harvsp|Philippe Dutarte|2006|p=209-213}}.</ref>.

[[Fichier:Fine, quadrant ancien à heures égales.jpg|vignette|Quadrant à heures égales d'Oronce Fine pour la latitude de Paris.]]

Du quadrant ancien simple sont conservés :
* d'une part, le secteur circulaire fixe dédié au calendrier zodiacal et tracé pour une latitude donnée. Sur la figure d'Oronce Fine, la latitude est de 48°40', soit une colatitude de 41,33° correspondant à l'entrée du Soleil dans le signe du Bélier ;
* d'autre part, le demi-cercle de la sixième heure inégale (heure de midi) qui devient la douzième heure égale.

Le diagramme des heures égales autres que l'heure de midi est construit à partir des lignes de déclinaison solaire des équinoxes (''Aequinoxialis'') et des solstices (''Tropicus''…), tracées sur le quadrant.

Une table des hauteurs du Soleil va permettre de définir sur les lignes de déclinaison précitées 3 points pour chaque heure. Ainsi, pour 10 heures du matin ou deux heures de l'après-midi on aura les 3 points suivants : 13°0' pour l'entrée dans le signe du Capricorne, 34°53' pour les équinoxes, 55°27' pour l'entrée dans le signe du Cancer.<br>
[[Fichier:Table solaire Fine.png|vignette|centré|Table des hauteurs du Soleil pour la latitude de Paris.]]
Ces 3 points étant reportés sur le quadrant, il sera tracé l'arc de cercle passant par ces trois points pour définir la ligne horaire correspondante.<br>
Ce tracé est approximatif ; il va permettre néanmoins de définir un diagramme horaire simple. On pourra y adjoindre des lignes de déclinaison solaire supplémentaires qui par la suite permettront de se dispenser du secteur circulaire du calendrier zodiacal.

Quatre quadrants anglais, datés de la fin du {{s-|XIV}}, semblent être les plus anciens quadrants de ce type conservés à ce jour.
Il s'agit de quadrants tracés pour une latitude du sud de l'Angleterre et confectionnés pour le roi [[Richard II]] et son entourage.
<gallery caption="Quadrants dits de Richard II">
Quadrant Richard II 1396 Recto.png|Quadrant de 1396, face d'usage (après consultation de la table du verso).
Quadrant Richard II 1396 Verso.png|Quadrant de 1396, face AR avec table de hauteurs méridiennes du Soleil.
Quadrant for Richard II 2.png|Quadrant de 1399 pour le roi d'Angleterre.
</gallery>
Ils sont datés respectivement de 1396 (marqué du signe du roi et mis en vente en 2011 par [[Bonhams]]), 1398 (Musée Dorset du comté de Dorchester), 1399<ref>[https://www.britishmuseum.org/research/collection_online/collection_object_details.aspx?assetId=111450001&objectId=55091&partId=1 Illustration en ligne du British Museum.]</ref> et ca 1400 (British Museum Londres)<ref group="N">[https://newatlas.com/barn-find-quadrant-becomes-the-second-earliest-british-scientific-instrument/20361/ Voir des illustrations en ligne].</ref>.<br>
On peut souligner que, dans les dernières décennies du siècle, la cour de Richard II comme celle de [[Charles V le Sage|Charles V]] pourraient bien avoir favorisé l'utilisation des heures égales ; un dossier administratif utilise les heures égales à l'occasion de l'abdication de Richard II, le {{date-|30 septembre 1399}}<ref>D'après un article temporaire de Bonhams [http://www.bonhams.com/eur/auction/19020/lot/4/ Archive ?]</ref>.

Des versions supplémentaires de ce quadrant de base ont été proposées par différents auteurs aux siècles suivants :

==== Version mixte ====
Cette version propose sur un même quadrant un tracé des heures temporaires accompagné d'un tracé des heures égales.<br>
[[Fichier:Quadrant horaire mixte.png|vignette|centré|Quadrant horaire mixte, à heures égales (en haut) et temporaires (en bas) pour la latitude de Paris.]]
Pour éviter la confusion entre les lignes, le diagramme des heures égales est inversé : les quarts de cercle des « tropiques » sont intervertis.<br>
Pour lire l'heure égale il faut alors régler la perle sur la date symétrique du calendrier zodiacal.

==== Version au tracé rectiligne ====
[[Fichier:Quadrant au tracé rectiligne.png|vignette|Quadrant au tracé rectiligne pour la latitude de Paris]]
Les lignes d'heures égales sont rectilignes, le principe de tracé est alors différent de la version de base présentée plus haut.
# sur le quart de cercle FG on reporte, d'après des tables, les hauteurs du Soleil aux différentes heures des équinoxes ;
# sur le quart de cercle DE on reporte les hauteurs du Soleil aux différentes heures du solstice d'été ;
# tracer alors, pour chaque heure, les segments horaires qui sont dirigés vers la droite ;
# la lecture de l'heure, entre les équinoxes et solstice d'été, s'effectue en réglant la perle du fil à plomb sur le segment de 12 heures.
Les lignes horaires « d'hiver » sont tracées de la même façon ; elles sont dirigées vers la gauche.<br>
Ces tracés sont approximatifs.

Ce type de quadrant a sa place sur le célèbre tableau ''[[Les Ambassadeurs]]'' d' [[Hans Holbein le jeune]], peint en 1533.
[[Fichier:Detail - cadrants - from The Ambassadors - Holbein.jpg|vignette|centré|Le quadrant, en blanc, est situé à l'arrière-plan.]]

=== Les quadrants tracés point à point ===
À la fin du Moyen Âge et au début de la Renaissance, le souci d'exactitude a peut-être favorisé l'émergence de diagrammes horaires obtenus directement à partir de tables de hauteurs du Soleil.
[[Fichier:Quadrant Lund Mh 47 -f.45v1 Table.png|500px|vignette|centré|Table de hauteurs du Soleil pour une latitude de 48°, vers 1500.]]
Ces tables, calculées ou construites et/ou vérifiées par l'expérience ont permis le tracé « exact » des lignes horaires.<br>
Le report des valeurs de ces tables sur les quadrants s'est d'abord effectué point à point, puis les lignes horaires ont été représentées par des courbes lissées se rapprochant d'un modèle mathématique.<br>
Une superposition de quelques lignes horaires tracées suivant le principe du quadrant « ancien » permet de constater les erreurs dues à ce dernier.

<gallery mode="packed" heights="300 " caption="Quadrants aux tracés mathématiques" >
Quadrant Lund Mh 47 -f.45v.jpg|Quadrant à heures égales pour une latitude de 48°, construit point à point, esquisse manuscrite, vers 1500.
Quadrant Lund Mh 47 -f.45v-1.png|Comparaison du tracé point à point avec un tracé de type quadrant « ancien » (en trait mixte noir) pour les heures 8, 10, 12.
Fotothek df tg 0005061 Astronomie ^ Instrument ^ Gestirn.jpg|Quadrant aux tracés temporaire et équinoxial « exacts », Apian, 1532.
</gallery>

=== Le quadrant de Gunter ===
[[Fichier:Gunter's quadrant.jpg|vignette|Le quadrant de Gunter, 1653]]
Ce quadrant, un peu particulier, a été conceptualisé par [[Edmund Gunter]] (1581-1626), mathématicien et astronome anglais<ref>Voir le site de Whipple Collections, [http://www.sites.hps.cam.ac.uk/whipple/explore/astronomy/mapsoftheheavens/thegunterquadrant/ Sur le quadrant de Gunter.]</ref>.<br>
En usage aux {{s2-|XVII|XVIII}}, il en existe différents exemplaires disséminés dans les musées anglais.

Il est dit avoir été utilisé en navigation. Mais son exploitation n'est possible que pour une latitude donnée, celle du quadrant, ce qui ne peut que laisser dubitatif sur son emploi en mer.

C'est un instrument, dérivé de l'astrolabe, sur lequel on trouve en projection stéréographique - comme sur le quadrant ''vetustior'' et le quadrant nouveau - l'équateur (de couleur émeraude sur la figure), le tropique du Capricorne (en bleu), l'écliptique (en marron) et l'horizon du lieu, non représenté ici. La partie située au-dessus de l'équateur n'apparait plus dans la construction du quadrant.
[[Fichier:Quadrant proj stéréo Gunter.png|vignette|centre|300 px|Projection stéréographique : de l'astrolabe au quadrant de Gunter.]]
Pour le reste il s'apparente plutôt au [[#Le quadrant « ancien » à heures égales|quadrant « ancien » à heures égales]]. On y trouve en effet le secteur circulaire fixe dédié au calendrier civil ainsi qu'un diagramme des heures équinoxiales sur la partie gauche en position d'utilisation. Ce diagramme est composé de deux réseaux d'heures : heures d'été dirigées vers l'intérieur du quadrant (sur la droite) et heures d'hiver dirigées vers l'extérieur (sur la gauche) ; ces réseaux sont construits point à point, en suivant le principe de disposition du [[#Version au tracé rectiligne|quadrant au tracé rectiligne.]]<br>
La partie droite est réservée à un diagramme des azimuts.<br>
Ce quadrant a pu être agrémenté d'un carré des ombres ou d'autres compléments en fonction de l'usage escompté (tableau d'étoiles notamment).

D'après l'ouvrage de Gunter de 1623, ''De Sectore et Radio''<ref>Voir une édition de 1721 sur l'utilisation du quadrant :[https://books.google.fr/books?id=hv9eAAAAcAAJ&pg=PA16&lpg=PA16&dq=gunter's+quadrant&source=bl&ots=1KGxHHFU9o&sig=ACfU3U2ZFRukyO76t54bCoSbDvZYSTC5HA&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwih3rzqqaLhAhUc8uAKHdKDDvc4ChDoATACegQICBAB#v=onepage&q=gunter's%20quadrant&f=false Google books : The Description and Use of... Gunter's Quadrant]</ref>, le quadrant permet de trouver :
* le jour du mois ;
* l'heure du jour ;
* l'heure du lever et du coucher du Soleil, donc la durée du jour ;
* l'heure de nuit par les étoiles ;
* [l'azimut du Soleil]…

[[Fichier:Buckler's Hard Maritime Museum 23 - Gunter's quadrant.jpg|400px|vignette|centré|Un quadrant de Gunter pour la latitude de 52°53' (non daté).]]

On peut remarquer sur la figure, sur le côté gauche, l'échelle de déclinaison solaire graduée de 0 à 23,5° ; au-dessus du limbe, le secteur calendaire civil où on peut deviner la colatitude de 37° ; la projection de l'horizon est chiffrée de 10 à 30 et l'écliptique est graduée de 10 à 90 ; au centre du quadrant, sur la gauche le diagramme des heures égales numérotées de 6 à 11 pour les heures d'hiver (sur l'équateur) et de 8 à 12 pour les heures d'été (sur le tropique du Capricorne).<br>
Sur la partie droite on trouve le diagramme des azimuts numérotés de 20 à 120.<br>
Un applet permet d'avancer pas à pas dans l'usage du quadrant<ref>[http://www.geoastro.de/gunter/ Un applet sur le sujet];</ref>. <br>
D'autres sites présentent des quadrants de diverses collections<ref>[https://www.ion.org/museum/item_view.cfm?cid=6&scid=13&iid=32 Un quadrant de 1657.] ; [https://www.britishmuseum.org/research/collection_online/collection_object_details/collection_image_gallery.aspx?partid=1&assetid=440829001&objectid=54902 Image du British Museum (ca 1800).]</ref>.

== Les quadrants ottomans ==
[[Fichier:Astrolabe-MnM 9 NA 61-IMG 6075-white1.png|vignette|Un quadrant ottoman iranien, apparemment sans lignes de prières, {{s-|XIX}}.]]

Ces quadrants ont été très en vogue dans l'[[empire ottoman]], notamment à partir du {{s-|XVII}} jusqu'au début du  {{s-|XX}}.<br>
Ils reprennent les grands principes de construction du [[#Le quadrant vetustior|quadrant vetustior]] ou du [[#Le quadrant nouveau ou quadrans novus|quadrant nouveau]] dit aussi astrolabe-quadrant décrits précédemment.<br>
Leur fonction essentielle est la détermination des heures des prières islamiques pour une latitude donnée : la face astrolabique est dédiée aux différentes mesures, l'autre est à usage trigonométrique.<br>
À l'examen, les quadrants ottomans se différencient des astrolabes-quadrants par une grande encoche sur le côté qui remplace les pinnules de visée ; la ligne de visée vers le Soleil est ajustée quand l'ombre du talon supérieur recouvre le talon inférieur.<br>
De belle facture, ils sont généralement en bois verni avec de nombreuses décorations<ref>Pour une description détaillée voir : {{harvsp|Philippe Dutarte|2006|p=219-231}}.</ref>.

=== Description ===
La construction de ce type de quadrant résulte du tracé des cercles astronomiques de l'astrolabe obtenus par projection stéréographique et placés dans le quart supérieur gauche par un double rabattement.

[[Fichier:Quadrant ottoman proj stéréo.png|500px|vignette|centré|Schéma du principe de construction d'un quadrant ottoman.]]

Le cercle de l'équateur est de couleur émeraude, le tropique du Cancer (été) est en rouge, celui du Capricorne (hiver) en bleu et l'écliptique avec sa division zodiacale est en marron.

Un dessin simplifié et chiffré à l'« occidental » d'un quadrant construit pour une latitude de 42° (colatitude 48°) met en évidence ces premiers éléments.

[[Fichier:Quadrant ottoman 42°-0.png|300 px|vignette|centré|Quadrant simplifié et sans heures de prières pour une latitude de 42°.]]

Sur ce quadrant on trouve en plus :
* d'une part, le réseau des arcs de cercles d'égale hauteur ou [[almicantarat|almucantarat]]s tracés en vert. L'almucantarat 0° (hauteur = 0°) qui correspond à l'horizon du lieu d'observation, en gras, limite la zone d'exploitation du quadrant.
* d'autre part, le réseau des arcs d'azimuts du secteur correspondant est tracé en trait fin de couleur marron.
Ces deux derniers éléments, almucantarats et azimuts, permettent aussi de reconnaitre un quadrant ottoman et de le différencier de l'astrolabe-quadrant dit « [[#Le quadrant nouveau ou quadrans novus|quadrant nouveau]] ».

Le limbe reçoit vers l'intérieur une échelle graduée en degrés et, vers l'extérieur une échelle des cotangentes (non graduée ici) pour déterminer des longueurs d'ombre.

Le méridien (ligne de 12 h) reçoit les graduations des hauteurs solaires à midi.

La partie fonctionnelle de l'instrument se limite vers le centre (pôle) du quadrant à l'arc de cercle du tropique du Cancer. Dans cette zone centrale on trouve éventuellement un diagramme des heures temporaires (quadrant ancien simple ombré), puis différentes échelles graduées non détaillées ici<ref>D'après {{harvsp|Philippe Dutarte|2006|p=219-224}}.</ref>.

=== Heures des prières ===
Les règles coraniques sont très vagues sur les instants où doivent être effectuées les prières.

À l'époque de l'usage des quadrants ottomans, par convention, le jour musulman qui se divise en 24 heures égales, commence au coucher du Soleil ; les heures de midi, du lever et du coucher du Soleil, « heures sataniques », sont interdites à la prière<ref>Pour les heures des prières voir {{harvsp|Philippe Dutarte|2006|p=224-227}}.</ref>.

[[Fichier:5 Prières.png|400 px|centré|vignette|Localisation des 5 prières journalières.]]

Les cinq prières traditionnelles de l'Islam, en suivant ces conventions, étaient dans l'ordre :
* Maghrib (prière du coucher) : prière qui commence après le coucher du soleil et se termine au crépuscule ;
* Icha (prière de la nuit) : prière qui commence quand la nuit tombe et que le crépuscule du soir disparaît ;
* Fajr (prière de l'aube) : prière qui commence à l’aube ou au crépuscule du matin ;
* Dhohr (prière de la mi-journée) : prière qui commence à la mi-journée, quand les rayons du soleil ont dépassé le méridien ; le dhor se termine au début du Asr (Asr1).
* Asr (prière de l’après-midi) : son horaire dépend de la grandeur de l'ombre d'un gnomon de référence. Plusieurs écoles s'affrontent pour en déterminer les instants de début et de fin. Sur les quadrants ottomans, il semble que les tracés de Asr soient conformes aux règles édictées par [[al-Biruni]] au {{s-|IX}} dans son ''Traité exhaustif des ombres''.

[[Fichier:Prière Asr.png|vignette|centré|300 px|Longueurs d'ombre pour la prière de l'asr.]]

==== Tracé ====
[[Fichier:Quadrant ottoman 42°-5.png|vignette|Tracé de la prière d'asr et des crépuscules pour une latitude de 42°.]]
Le tracé de l'asr est supposé suivre les règles de Biruni. Asr 1 et Asr 2 sont deux courbes sensiblement parallèles. Elles proviennent du rabattement des courbes originelles du secteur 2 sur le secteur 1 du quadrant.

Le tracé des autres prières n'est pas représenté ici par manque d'informations. Il faut noter que ces dernières prières ne peuvent être obtenues à partir de la visée du Soleil puisqu'elles ont lieu quand ce dernier est sous l'horizon. Leur tracé sur les quadrants ottomans ne servait qu'à déterminer les instants où elles devaient être récitées.

À la place de ces tracés on trouvera celui des [[crépuscule]]s astronomiques du matin (aube) et du soir qui interviennent dans la position respective des différentes prières éludées. Il faut noter que le crépuscule du soir appartient à l'origine au secteur 3 et celui du matin au secteur 4.

==== Usage ====
La fonction essentielle du quadrant ottoman est de déterminer les heures de prières. Son mode d'emploi s'inspire en partie du quadrant ''vetustior'' et surtout de l'[[Astrolabe planisphérique#Étapes pour déterminer l'heure|astrolabe]]. <br>
Dans la démarche développée ci-dessous, on prendra l'exemple d'un quadrant tracé pour une latitude de 42° et utilisé le jour de l'entrée du Soleil dans le signe des Poissons ou du Scorpion.

[[Fichier:Quadrant ottoman 42°-6.png|vignette|centre|400 px|Pour annoncer la prière de l'asr 1.]]

Détermination de l'instant où doit être annoncée la prière de l'asr 1<ref group="N">Cet instant correspond aussi à la limite de fin de la prière de dhohr.</ref> :
# tendre le fil à plomb sur le repère A qui correspond à l'entrée du Soleil dans les signes zodiacaux des Poissons-Scorpion sur l'écliptique ;
# amener la perle en ce point ;
# l'arc de cercle de déclinaison solaire, lieu du Soleil pour la journée, a sensiblement pour rayon la hauteur méridienne de 37° définie par la position de la perle sur le fil ;
# cet arc de cercle coupe la courbe de l'asr 1 en B. Ce point permet de déterminer la hauteur (≈ 23°) et l'azimut (≈ 48°) de l'instant de la prière qui se lit sur le limbe : 45° ou 3h de l'après-midi (15° sur le limbe correspond à une heure équinoxiale). En visant le Soleil, le muezzin annoncera l'heure de la prière quand la perle recouvrira la courbe de l'asr 1.

Usage de la courbe des crépuscules :<br>
d'abord, sur la figure précédente on voit qu'au jour défini, le lever et le coucher du Soleil, d'almucantarat 0°, donne sur le limbe un angle de 10° (3/4 d'heure). Le lever a donc lieu à 6 h 40 min et le coucher à 17 h 20 min.<br>
Ensuite, pour les crépuscules, on trouve sur le limbe, à partir de l'intersection de l'arc de déclinaison avec la courbe des crépuscules, un angle de 14° (56 min). Ce qui permet de déterminer l'instant de l'aube, 5 h 04 min, par rabattement dans le secteur 4 et l'instant du crépuscule du soir, 18 h 56 min, par double rabattement dans le secteur 3<ref group="N">Cette petite gymnastique intellectuelle était aussi nécessaire pour lire l'heure sur les courbes des prières éludées.</ref>.<br>
Ainsi, sommairement, on peut déterminer les intervalles de temps où le muezzin peut annoncer les prières liées aux crépuscules.

[[Fichier:MHS 15598 Astrolabe-Quadrant.jpg|vignette|centré|Un quadrant ottoman turc du Musée de l'histoire de la science, ca 1682.]]

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=N}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
*{{Ouvrage|auteur1=R. D'Hollander|titre=L'Astrolabe|sous-titre=Histoire, théorie et pratique|lieu=Paris|éditeur=Institut océanographique|année=1999|isbn=2-903581-19-3|plume=oui}}.
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Philippe Dutarte|titre=Les instruments de l'astronomie ancienne de l’Antiquité à la Renaissance|lieu=Paris|éditeur=[[Vuibert]]|année=2006|pages totales=294|isbn=2-7117-7164-4|plume=oui}}.
* {{Ouvrage|auteur1=Catherine Jacquemard|auteur2=Olivier Desbordes|auteur3=Alain Hairie|titre=Du quadrant vetustior à l’horologium viatorum d’Hermann de Reichenau|sous-titre=étude du manuscrit Vaticano, BAV Ott. lat. 1631, f. 16-17v|volume=23|lieu=Caen|éditeur=Kentron|année=2007|passage=79-124|isbn=|lire en ligne=https://journals.openedition.org/kentron/1748|plume=oui}}.
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Gérard Aubry|titre=Le quadrant « vetustior »|volume=39|lieu=Paris|éditeur=Cadran-Info - Société Astronomique de France|année=2019|isbn=|plume=oui}}.
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[David A. King]]|titre=A Vetustissimus Arabic Treatise on the Quadrans Vetus|volume=33|éditeur=Journal for the History of Astronomy|année=2002|passage=237-255|isbn=|lire en ligne=https://journals.sagepub.com/doi/10.1177/002182860203300302|plume=oui}}.

=== Articles connexes ===
* [[Cadran solaire]]
* [[Quadrant (instrument)]]
** [[Quadrant astronomique]]
** [[Quadrant géométrique]]
** [[Quadrant de navigation]]

=== Liens externes ===
{{Autres projets| commons= Category:Quadrants (instrument)| commons titre= Quadrants (instrument)}}

;Approche générale, images
* {{Lien web|langue=fr|auteur1=Michel Lalos|champ libre=voir : Types de cadrans solaires. Cadrans de hauteur. Quadrants|titre=Gnomonique un peu de théorie|sous-titre=Quadrants|url=http://michel.lalos.free.fr/cadrans_solaires/doc_cadrans/theorie_cs/index_theorie_cs.html|site=Cadrans solaires - La mesure du temps|lieu={{s.l.}}|éditeur=Michel Lalos (site personnel hébergé par [[Free (entreprise)|Free]])|consulté le=28 septembre}}
* [http://collections.rmg.co.uk/collections.html#!csearch;authority=subject-90240;browseBy=collection Musée de Greenwich (40 quadrants)]

; Quadrants à heures inégales
Quadrant vetustior :
* [https://journals.openedition.org/kentron/1748 Quadrant vetustior Kentron]
Quadrant ancien :
* [https://www.flowton-dials.co.uk/wp-content/uploads/2017/01/ChetwodeQuadrant-Bull-27ii.pdf ChetwodeQuadrant]
* [https://www.persee.fr/doc/ccmed_0007-9731_1972_num_15_57_2020#ccmed_0007-9731_1972_num_15_57_T1_0037_0000 Texte d'Emmanuel Poulle]
Quadrant nouveau ou astrolabe-quadrant :
* [https://www.planetarium-provence.com/realisation-astrolabe3.pdf page sur l'astrolabe-quadrant]
* [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64601198.texteImage%20astrolabe%20quadrant%20rouen%20anthiaume astrolabe-quadrant d'Anthiaume, Rouen]

;Quadrants à heures égales
* [https://www.abc.net.au/news/2011-11-09/one-man27s-trash-is-another27s-centuries-old-treasure/3654974 Quadrant de Richard II]
* [https://www.photo.rmn.fr/archive/14-565510-2C6NU0AW5GCR7.html Quadrant au tracé rectiligne {{s-|XVII}} RMN]
* Quadrants ottomans
** [http://www.ader-paris.fr/html/fiche.jsp?id=7330601&np=&lng=fr&npp=150&ordre=&aff=&r= Quadrant avec heures de prières]
** [https://www.artcurial.com/fr/lot-quadrant-de-navigation-turquie-art-ottoman-19eme-siecle-2953-257#popin-active Autre quadrant avec heures de prières]
** [https://www.christies.com/lotfinder/Lot/an-ottoman-turkish-astrolabic-quadrant-sulayman-hilmy-5421507-details.aspx Autre quadrant, zoom intéressant]

;Quadrant sinus
* [https://books.google.fr/books?id=8A4uJ1z-zx8C&pg=PA164&lpg=PA164&dq=quadrant+vetustissimus&source=bl&ots=_WU0uSJC-W&sig=chPMvoWBX2ZwBxVfmYWbiDJqAVY&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwjIlejTifTdAhWDgM4BHd2ABe84ChDoATAKegQIAxAB#v=onepage&q=quadrant%20vetustissimus&f=false Pour information]

{{Portail|astronomie}}

[[Catégorie:Quadrant (instrument)]]
[[Catégorie:Cadran solaire]]