Voir la source de Quadratrice d'Hippias

[[Fichier:Mechanical Quadratrix or Quadratrixzirkel.svg|thumb|right|upright=1.0|Le mécanisme engendrant la quadratrice d'Hippias.]]
La '''quadratrice d’Hippias''', '''trisectrice''' ou '''quadratrice de Dinostrate''' est une [[courbe]] [[cinématique|mécanique]] dont l'invention est attribuée par [[Proclus]] au [[sophiste]] [[Hippias d'Élis]] (vers [[420 av. J.-C.]]), qui s'en servit pour résoudre le problème de la [[trisection de l'angle]] (d'où son nom de « trisectrice »). Vers [[350 av. J.-C.]], [[Dinostrate]] s'en servit pour résoudre la [[quadrature du cercle]]. C'est l'un des premiers exemples de courbe non-circulaire.

== Définition ==
[[Fichier:Quadratrix_no_anim.svg|thumb|right|Quadratrice (en rouge); position courante des points F et E aux 6/{{10e}} de leurs trajectoires respectives.]]
La quadratrice d'Hippias est décrite par composition d'un mouvement rectiligne uniforme avec un [[mouvement circulaire uniforme]] de la façon suivante. Dans le carré ''ABCD'', on considère le quadrant DB de centre ''A''. Soit ''E'' un point décrivant ce quart de cercle de ''D'' à ''B'' à vitesse constante, et soit ''F'' un point décrivant le segment ''DA'' à vitesse constante, de telle façon que ''E'' et ''F'' partent simultanément du point ''D'' et arrivent simultanément au point ''B'' (resp. ''A''). La '''quadratrice''' est le [[lieu géométrique]] de l'intersection ''S'' du segment ''AE'' et de la parallèle à ''AB'' passant par ''F''.

Si l'on note ''a'' le côté du carré et que l'on prend le point ''A'' comme origine d'un [[Coordonnées cartésiennes|système de coordonnées cartésiennes]] avec l'axe des abscisses le long de ''AB'', l'équation paramétrique de la quadratrice est
:<math> \gamma:[0,\tfrac{\pi}{2}]\rightarrow \mathbb{R}^2</math>,
::<math> \gamma(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2a}{\pi} t\cot(t)\\\frac{2a}{\pi} t\end{pmatrix}</math>.
On peut utiliser cette équation pour définir abstraitement la quadratrice, avec une difficulté liée cependant aux non-définitions de la fonction cot(''t'').

== Application à la trisection de l'angle ==
[[Fichier:Angle trisection quadratix hippias.svg|thumb|right|upright=1.25|La trisection de l'angle.]]
La [[trisection de l'angle]] est l'un des [[Trois grands problèmes de l'Antiquité]], qui traduisent des cas d'inconstructibilité « [[construction à la règle et au compas|à la règle et au compas]] ». Selon Proclus, Hippias aurait imaginé la quadratrice comme un moyen de diviser graphiquement un angle<ref name="Rey_IV">{{Ouvrage|prénom1=Abel|nom1=Rey|lien auteur1=Abel Rey|titre=L'Apogée de la science technique grecque|volume=IV|titre volume=Les mathématiques d'Hippocrate à Platon|éditeur=[[Éditions Albin Michel|Albin Michel]]|collection=L’Évolution de l'Humanité|année=1946|passage=224-227|numéro chapitre=5|titre chapitre=De la quadrature à la trisection de l'angle et à la géométrie supérieure : Hippias d'Élée}}.</ref>.
 
Par construction, l'angle au centre d'un point de la quadratrice est proportionnel à son ordonnée (comptée depuis D) ; par conséquent, si l'on peut découper un segment en parties égales, on divisera par là-même un angle en trois angles égaux. Or la division d'un segment en 3 segments égaux est [[construction à la règle et au compas|constructible à la règle et au compas]].

Soit ainsi l'angle ''BAE'' (&nbsp;≤&nbsp;90°) : on construit sur sa base ''AB'' un carré ''ABCD'' et l'on forme la quadratrice inscrite grâce au mécanisme décrit ci-dessus. L'autre côté de l'angle recoupe la quadratrice au point ''G'', et la droite parallèle au côté ''AB'' issue de ''G'' intercepte le côté ''AD'' du carré au point ''F''; le segment ''AF'' est proportionnel à l'arc ''BE'' ou, plus précisément, le rapport de longueurs ''AF''/''AD'' est égal au rapport des longueurs d'arcs ''BE''/''BD''.

À présent, portons depuis ''A'' trois segments égaux alignés (''AN'', ''NM'', ''MO'') et traçons la droite ''OF'' ; puis menons depuis ''M'' et ''N'' des parallèles à cette droite ; on partage ainsi ''AF'' en trois segments égaux. Les parallèles à ''AB'' menées depuis les extrémités de ces segments : ''P'', ''Q'', coupent la quadratrice aux points ''U'' et ''T'' qui divisent exactement l'angle donné en trois angles égaux<ref name="Underwood">D'après {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Underwood|nom1=Dudley|lien auteur1=Underwood Dudley|titre=The Trisectors|lieu=Washington (D.C.)|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=1994|pages totales=184|passage=6-8|isbn=0-88385-514-3|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=tp3kHvbMjqUC&printsec=frontcover}}.</ref>.

La quadratrice n'est pas constructible à la règle et au compas : ce n'est qu'une courbe « constructible par points », c'est-à-dire qu'on ne peut en construire qu'un [[ensemble dénombrable]] de points<ref>Cf. {{Harvsp|Lebesgue|1950|loc=partie III, {{n°|1}}}}, « Courbes constructibles par points quelconques ».</ref>. Il est vrai qu'on peut ainsi esquisser assez précisément la quadratrice, mais elle ne peut véritablement s'obtenir en totalité que par un mécanisme ; or il faut avoir toute la courbe pour pouvoir l'utiliser, car les points d'intersection utiles sont évidemment ''a priori'' indéterminés.

== Application à la quadrature du cercle ==
[[Fichier:Circle_quadrature_quadratix_hippias2.svg|vignette|La quadrature du cercle unité en trois temps.]]
Comme la trisection de l'angle, la quadrature du cercle à la règle et au compas est impossible, mais la quadratrice d’Hippias permet la construction du carré cherché (ou, ce qui revient au même, d'un carré de même surface que le quart du cercle donné).

Le lemme de Dinostrate énonce<ref name="Rey_IV"/> que la quadratrice d’Hippias divise le côté du carré dans le rapport <math>\tfrac{2}{\pi}</math>. Autrement dit, étant donné un quadrant de rayon ''r'', on forme d'abord le carré circonscrit ''ABCD'' (donc d'arête ''r''). La quadratrice intercepte le côté ''AB'' du carré en ''J'' de telle sorte que <math>AJ=\tfrac{2}{\pi}r</math>. 

La construction d'un carré de surface π/2 s'en déduit aisément.

Du point ''J'', on élève un segment ''JK'' perpendiculaire à ''AB'' et de longueur ''r''. Soit ''L'' le point d'intersection entre ''AK'' et le côté prolongé ''BC''. D'après la similitude des triangles ''AJK'' et ''ABL'', on a <math>BL=\tfrac{\pi}{2} r</math>. Si à présent l'on prolonge le rayon AB d'un segment colinéaire <math>BO=\tfrac{r}{2}</math>, ''BL'' et ''BO'' forment les côtés d'un rectangle ''OBLN'', dont la surface est celle du quart de cercle. Il reste à former un carré de même surface, ce qui s'obtient au moyen des relations métriques dans le [[triangle rectangle]] et du [[théorème de Thalès]]. 

Pour cela, prolongeons ''ON'' d'un segment <math>OQ=\tfrac{r}{2}</math>, décrivons un demi-cercle de diamètre ''NQ'' et prolongeons ''AO'' jusqu'à intercepter le demi-cercle. Soit ''R'' le point d'intersection. D'après le théorème de Thalès le triangle ''NQR'' est un triangle rectangle, et les relations métriques indiquent que sa hauteur ''OR'' est l'arête d'un carré de même surface que le rectangle ''OBLN''.

Il importe de remarquer que le pantographe imaginé par Hippias ne permet pas d'obtenir le point d'intersection ''J'' de la quadratrice avec le côté ''AB'' du carré, car les deux réglettes (le rayon tournant et la réglette en translation verticale) se superposent lorsqu'elles passent par le point ''B'', et donc n'ont plus d’intersection unique (réduite à un point). Et ainsi on ne peut pas davantage former le point ''J'' avec la quadratrice qu'avec la règle et le compas<ref name="Delahaye">Cf. {{Le fascinant nombre π}}, chap. 3 (« Histoire de π au temps de la géométrie »), {{p.|54}}.</ref>.

== Historique ==
L'histoire de la quadratrice, sa construction et ses applications sont parvenues jusqu'à nous par trois sources différentes :  [[Proclus]] (412-485), [[Pappus d'Alexandrie]] ({{s|IV}}) et [[Jamblique]] (vers&nbsp;240-325). Proclus nomme Hippias comme l'inventeur de la quadratrice et montre comment Hippias a appliqué cette courbe à la trisection de l'angle. Pappus, pour sa part, montre comment Dinostrate, [[Nicomède (mathématicien)|Nicomède]] et d'autres géomètres se sont servis d'une courbe qu'ils appelaient « quadratrice » pour résoudre graphiquement le problème de la quadrature du cercle ; nulle part il ne fait allusion à Hippias, et n'évoque pas même son nom avec celui de la courbe. Jamblique indique seulement au détour d'une phrase que Nicomède s'est servi d'une courbe quadratrice pour quarrer le cercle<ref name="Heath">{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Thomas Little|nom1=Heath|lien auteur1=Thomas Heath|titre=A History of Greek Mathematics|volume=1|titre volume=From Thales to Euclid|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=2013|année première édition=1921|isbn=978-1-108-06306-7|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=J-kaAgAAQBAJ}}.</ref>.
Bien que son nom de quadratrice, donné par Proclus, donne à penser qu'Hippias l'a imaginée pour résoudre le problème de la quadrature, [[Moritz Cantor]], et à sa suite [[Thomas Heath]]<ref name="Heath"/> et [[Abel Rey]]<ref name="Rey_IV"/>, s'ils admettent que c'est bien Hippias qui l'a inventée, estiment en revanche qu'il ne l'a fait qu'en vue de résoudre la trisection de l'angle, et que son application à la quadrature est l'œuvre de géomètres postérieurs, vraisemblablement [[Dinostrate]] et [[Nicomède (mathématicien)|Nicomède]].

== Voir aussi ==
{{autres projets|Commons=category:Quadratrix}}

== Article connexe ==
La [[cissoïde de Dioclès]], un [[mésolabe]].

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|auteur1=[[Henri Lebesgue]]|titre=Leçons sur les constructions géométriques|lieu=Paris|éditeur=[[Gauthier-Villars]]|année=1950|réimpression=2003|pages totales=318|titre chapitre=1-La solution des problèmes fondamentaux : trisection de l'angle, duplication du cube}}
* {{Ouvrage|prénom1=Robert|nom1=Baccou|titre=Histoire de la science grecque, de Thalès à Socrate|lieu=Paris|éditeur=Aubier|année=1951|pages totales=256}}
* {{Ouvrage|prénom1=Felix|nom1=Klein|lien auteur1=Felix Klein|titre=Famous Problems of Elementary Geometry|lieu=Boston etc.|éditeur=Ginn & Co.|année=1897|réimpression=2007|passage=57-58|lire en ligne=https://archive.org/details/famousproblemsof00kleiiala}})
*{{Ouvrage|prénom1=Thomas|nom1=Heath|lien auteur1=Thomas Heath|titre=A History of Greek Mathematics|volume=1|titre volume=From Thales to Euclid|éditeur=[[Oxford University Press|Clarendon Press]]|année=1921|réimpression=Elibron Classics 2006|passage=225-230}}.


=== Liens externes ===
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/dinostrate/dinostrate.shtml La quadratrice de Dinostrate] sur MathCurve.
* [http://haftendorn.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt.htm?show=http://haftendorn.uni-lueneburg.de/kurven/transzendente/quadratrix/quadratrix.htm La quadratrice et la quadrature du cercle] sur le site de l’université de Lunebourg.
*Michael D. Huberty, Ko Hayashi, Chia Vang: [http://www.geom.uiuc.edu/~huberty/math5337/groupe/quadratrix.html  La quadratrice d'Hippias].
* {{en}} [http://mathworld.wolfram.com/QuadratrixofHippias.html Quadratrix of Hippias] sur le site [[MathWorld]].

==Références==
<references />

{{Palette|Courbes}}

{{portail|géométrie}}

[[Catégorie:Courbe]]