Voir la source de Quadrature (mathématiques)

{{Voir homonymes|Quadrature}}
En [[mathématiques]], la '''quadrature''' d'une surface est la recherche d'un carré ayant la même aire que la surface en question. Si dans le langage courant le terme de quadrature revêt le sens d'opération impossible, cela provient du fait que la quadrature la plus célèbre (la [[quadrature du cercle]]) se révèle impossible à réaliser [[nombre constructible|à la règle et au compas]]. Mais, en mathématiques, le terme de quadrature va prendre très rapidement le sens de calcul d'aire. Jusqu'à la fin du {{s-|XVII}}, le calcul intégral est inconnu et ces calculs d'aires ne peuvent se faire qu'en utilisant des calculs approchés mettant en place des méthodes comme la [[méthode d'exhaustion]] d'[[Archimède]], la [[méthode des indivisibles]] de [[Bonaventura Cavalieri|Cavalieri]]…

La recherche de ces quadratures fait un bond prodigieux (1669-1704) grâce à [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] et [[Isaac Newton|Newton]] qui, avec le [[calcul infinitésimal]], font le lien entre quadrature et [[dérivée]].

Depuis cette époque, la recherche des quadratures est associée à celle des primitives : l'aire de la surface délimitée par les droites d'équation <math>x=a</math> et <math>x=b</math>, l'axe (''Ox'') et la courbe d'équation <math>y=f(x)</math>, où <math>f</math> est une fonction positive est <math>\int_a^bf(x)\,\mathrm dx</math> ; l'unité d'aire est fournie par l'aire du rectangle unité ''OINJ'' où ''I'' est le point de [[coordonnées cartésiennes|coordonnées]] (1, 0) et ''J'' celui de coordonnées (0, 1).

== Quadratures célèbres ==
=== Théorème de Pythagore et quadrature du rectangle ===
Une des préoccupations des géomètres de l'antiquité grecque était de ramener les surfaces de polygones quelconques à des surfaces de carrés<ref name="carrer la terre">{{lien web|titre=Carrer la terre: une origine de la géométrie|url=http://www.breves-de-maths.fr/carrer-la-terre-une-origine-de-la-geometrie/ |site= www.breves-de-maths.fr|consulté le = 21 septembre 2024}}</ref>. Il est relativement facile de découper  n'importe quel polygone en triangles. Il est facile également, à partir d'un triangle, de construire un rectangle ayant même aire que ce triangle. Il est donc réalisable, à partir d'un polygone, de construire un rectangle de même aire. Il ne reste plus alors qu'à construire un carré de même aire que ce rectangle. C'est la quadrature du rectangle. Elle est exposée dans les ''[[Éléments (Euclide)|Éléments]]'' d'[[Euclide]] - [[Livre II des Éléments d'Euclide|Livre II]]- proposition {{rom|XIV}} où Euclide précise que cela permet, un polygone quelconque étant donné,  de trouver un carré dont l'aire est égale à celle du polygone. Sa démonstration s'appuie sur des manipulations de [[gnomon (géométrie)|gnomon]]s et sur l'utilisation du [[théorème de Pythagore]] démontré à la proposition {{rom|XXXXVII}} du [[Livre I des Éléments d'Euclide|Livre I]]<ref>Euclide, ''Éléments'', Livre {{rom|II}}, prop. {{rom|XIV}}. {{lire en ligne|lien= https://remacle.org/bloodwolf/erudits/euclide/geometrie2.htm}}</ref>{{,}}<ref name="Pythagore">{{lien web|titre=Pythagore au pied d'argile|url=http://www.breves-de-maths.fr/pythagore-aux-pieds-dargile/|site= www.breves-de-maths.fr|consulté le = 21 septembre 2024}}</ref>.  C'est l'élément conclusif du livre II. Le géomètre sait alors remplacer tout polygone par un carré de même aire, et remplacer la somme ou la différence de deux carrés par un carré unique grâce au théorème de Pythagore.
<gallery mode="packed" heights="150px">
Fichier:Quadrature-somme-2carres.svg|Quadrature de la somme de deux carrés : <math> a^2+b^2=c^2</math> ([[théorème de Pythagore]]).
Fichier:Quadrature-difference-2carres.svg|Quadrature de la différence de deux carrés : <math>b^2-a^2=c^2</math>  (théorème de Pythagore).
File:Quadratur rechteck hoehensatz.svg|Quadrature d'un rectangle : <math> p\times q = h^2</math> (la hauteur h du triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle est [[Théorème de la moyenne géométrique|moyenne géométrique]] des segments découpés sur l'hypoténuse).
</gallery>
Ces quadratures sont l’occasion pour les mathématiciens grecs de manipuler des longueurs irrationnelles<ref> Euclide (''Éléments'' - Livre {{rom|XX}} - Définition 3)   parle de quantités non commensurables aux côtés, mais commensurables en puissance, c'est-à-dire par leur aire.</ref> , comme {{racine|2}}, {{racine|3}}, {{racine|5}}... [[Platon]], dans son ''[[Théétète (Platon)|Théétète]]'' mentionne que [[Théodore de Cyrène]] aurait démontrer, au {{-s-|V}}, l'incommensurabilité de ces racines de nombres impairs non carrés jusqu'à 17<ref>Théétète, 147d et suivantes{{lire en ligne|lien=https://remacle.org/bloodwolf/philosophes/platon/theetetefr.htm}}</ref>.

=== Quadrature du cercle ===
{{article détaillé|Quadrature du cercle}}
C'est un problème vieux de plus de 2000 ans, posé par l'[[école pythagoricienne]] : peut-on [[construction à la règle et au compas|tracer à la règle et au compas]] un carré ayant même aire qu'un cercle donné ? La réponse à cette question ne viendra que plus de 19 siècles plus tard grâce à [[Pierre-Laurent Wantzel]], [[Joseph Liouville]] et [[Ferdinand von Lindemann]] : la réponse est non. Le calcul de l'aire d'un disque de rayon ''r'' est pourtant réalisable : c'est {{math|π}}''r''{{2}}. Cependant le carré qu'il faudrait construire aurait pour côté ''r''{{sqrt|π}}, construction impossible à la règle et au compas car {{math|π}} n'est pas un [[nombre algébrique]].

=== Quadrature de la parabole ===
{{article détaillé|Quadrature de la parabole}}
La parabole n'est pas une surface. [[La Quadrature de la parabole (Archimède)|La quadrature de la parabole]] consiste à déterminer l'aire de la surface comprise entre une corde et une portion de parabole.

Elle est résolue par [[Archimède]] (287-212 {{Av JC}}). C'est le premier exemple de calcul d'aire par la [[méthode d'exhaustion]] (l'erreur commise diminue de plus de 50 % à chaque étape). Le résultat est connu de nos jours très facilement grâce au calcul de primitive :
: L'aire sous la courbe d'équation <math>y=x^2</math> entre les points <math>a</math> et <math>b</math> est <math>b^3-a^3\over3</math>.
: L'aire sous la corde correspondante est <math>(b-a)(b^2 + a^2) \over 2</math>.
: L'aire délimitée par cette même parabole et la corde est <math>\frac{\left(b-a\right)\left(a^2+b^2-2ab\right)}6</math>.
: Si <math>a</math> et <math>b</math> sont opposés alors l'aire délimitée par la parabole et la corde est <math>\frac23b\times b^2</math>.
: Cette formule se généralise à toute parabole d'équation <math>y=kx^2</math> , l'aire devenant <math>\frac 23 b\times f(b)</math>.

=== Quadratures des fonctions de ''kx<sup>m</sup>'' ===
Elles concernent le calcul de l'aire de la surface comprise entre l'axe des ''x'', la courbe et la droite d'équation ''x = a'' (pour ''m'' > 0), ou bien l'aire de la surface comprise entre l'axe des ''x'', la courbe, et située à droite de la droite d'équation ''x = a'' (pour ''m'' ≤ –2).
 
Elles sont mises au point par [[Pierre de Fermat|Fermat]] pour tout [[entier relatif]] différent de –1, ainsi que pour tout m rationnel positif. Il démontre que cette aire est toujours égale à <math>\frac{a^{m+1}}{m+1}</math>.

=== Quadrature de la cycloïde ===
La [[cycloïde]] est une courbe particulièrement étudiée par [[Galileo Galilei|Galilée]] (1599). De nombreux mathématiciens ont cherché à calculer l'aire sous une arche de cycloïde. Galilée même a tenté une résolution expérimentale en découpant un cycloïde et en la pesant. La quadrature de la cycloïde est résolue presque simultanément par [[Gilles Personne de Roberval|Roberval]] (1634) et [[Evangelista Torricelli|Torricelli]] qui démontrent que l'aire sous une arche est égale à 3 fois l'aire du cercle qui génère la cycloïde.

=== Quadrature de l'hyperbole ''y'' = 1/''x'' ===
C'est l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations ''x = a'' et ''x'' = 1.

Elle est découverte par [[Grégoire de Saint-Vincent]] (1647) qui met en évidence la propriété ''L''(''ab'') = ''L''(''a'') + ''L''(''b'') si l'on appelle ''L''(''a'') l'aire entre 1 et ''a'', rangeant cette aire dans la famille de fonctions [[logarithme]]s. Il s'agit par définition de la fonction [[logarithme népérien]].

== Références ==
{{références}}

== Voir aussi ==
* [[Calcul numérique d'une intégrale]]
* [[Méthode de Romberg]]
* [[Méthodes de quadrature de Gauss]]
* [[Quadrature du carré]]
* [[Théorème de la moyenne géométrique]] (pour la quadrature du rectangle)

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Histoire des mathématiques]]