Voir la source de Quadrilatère

{{Voir homonymes|Quatre coins}}
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|{{Quadrilatères}}
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En [[géométrie]] plane, un '''quadrilatère''' est un [[polygone]] à quatre côtés. Les [[trapèze]]s, [[parallélogramme]]s, [[losange]]s, [[rectangle]]s, [[carré]]s et [[Cerf-volant (géométrie)|cerfs-volants]] sont des quadrilatères particuliers.

== Autres appellations et étymologies ==
Le mot « quadrilatère » provient du latin : ''quatuor'', quatre, et ''latus, lateris'', côté<ref name=etymologiemath/>{{,}}<ref name=CNRTL>{{CNRTL|quadrilatère|onglet=2}}.</ref>.
Le mot équivalent d'origine grecque est '''tétrapleure''' (du pl. [[Genre grammatical|neutre]] {{Grec ancien|τέσσαρα|téssara}}, « quatre »<ref>{{lien web |auteur=Anatole Bailly ; 2020 : Hugo Chávez, Gérard Gréco, André Charbonnet, Mark De Wilde, Bernard Maréchal & contributeurs|titre=Le Bailly |date=2020 |url=https://bailly.app/tessares |consulté le=29 décembre 2023}}.</ref>, et {{Grec ancien|πλευρά|pleurá}}, « côté »)<ref name="curiosités">{{ouvrage|auteur=Emile Fourrrey|titre=Curiosités géométriques|passage=49|année=1910|lire en ligne=https://archive.org/details/curiositesgeomet00fouriala/page/48/mode/2up}}.</ref> ou '''tétragone''' (de {{Grec ancien|γωνία|gōnía}}, angle »). Le mot tétragone était employé par [[Sylvestre II|Gerbert d'Aurillac]]<ref name=curiosités/> au {{s-|X|e}} et par [[Nicole Oresme|Oresme]]<ref name=etymologiemath/> au {{s-|XIV|e}}. Le terme quadrilatère est introduit en [[1554]] par [[Jacques Peletier du Mans|Peletier]]<ref name=etymologiemath/>{{,}}<ref name=CNRTL/>. Certains auteurs employaient le mot « quadrangle » ([[Alcuin]], {{s-|VIII|e}})<ref name=etymologiemath/>{{,}}<ref name=curiosités/> ou « helmuariphe », terme d'origine arabe ([[Campanus de Novare|Campanus]], {{s-|XIII|e}}, et d'autres à la [[Renaissance]])<ref name=etymologiemath/>{{,}}<ref name=curiosités/>.
Pour les Grecs, un quadrilatère avec un angle rentrant s'appelait un « koïlogone » (de {{Grec ancien|κοῖλος|koīlos}}, « creux »)<ref name=etymologiemath/>{{,}}<ref name=curiosités/>, et certains appelaient « trapèze » un quadrilatère dont tous les côtés sont inégaux. « Tétragone » est employé par [[Euclide]] dans ''[[Éléments d'Euclide|Les Éléments]]'' pour désigner le [[carré]]<ref name=etymologiemath>[http://trucsmaths.free.fr/etymologie.htm#Q « Étymologie des maths »].</ref>{{,}}<ref name=curiosités/>.

== Caractéristiques ==
Un quadrilatère est la figure notée « ABCD » formée par :
* quatre points distincts A, B, C et D : les sommets du quadrilatère ;
* quatre segments [AB], [BC], [CD] et [DA] : les côtés du quadrilatère.

Les sommets A et C sont dits ''opposés,'' ainsi que les sommets B et D.<br />
Les [[diagonale]]s [AC] et [BD] joignent les sommets opposés.

Un quadrilatère est dit :
* ''croisé'', si deux côtés opposés se coupent;
* ''non croisé'', ou ''simple'', dans le cas contraire.

Selon le théorème sur la [[Polygone#Somme des angles|somme des angles d'un polygone]], la somme des mesures entre 0° et 360° des angles intérieurs d'un quadrilatère non croisé vaut {{Unité|360|°}}.

Note : les 4 permutations circulaires des lettres ABCD et les 4 permutations circulaires des lettres DCBA définissent le même quadrilatère. Les 16 autres permutations définissent deux autres quadrilatères.
[[Fichier:Qudrilatere interieur.png|vignette]]

== Intérieur ==
Comme toute [[courbe de Jordan]], la réunion des côtés d'un quadrilatère non croisé découpe le plan en deux zones, une, bornée, l{{'}}''intérieur'' du quadrilatère et l'autre, l{{'}}''extérieur'' du quadrilatère.

Un point M est intérieur au quadrilatère non croisé ABCD si et seulement si les quatre triangles MAB, MBC, MCD, MDA sont orientés dans le même sens.

Cela se traduit par le fait que les déterminants <math>\det(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}),\det(\overrightarrow{MB},
\overrightarrow{MC}),\det(\overrightarrow{MC},\overrightarrow{MD}),\det(\overrightarrow{MD},\overrightarrow{MA})</math> sont de même signe.

== Condition d'existence d'un quadrilatère de longueurs de côtés donnés ==
Quatre réels strictement positifs <math>a,b,c,d</math> sont les longueurs des côtés consécutifs d'un quadrilatère dont trois sommets ne sont pas alignés si et seulement si  <math>\begin{cases} a<b+c+d\\b<c+d+a\\c<d+a+b\\d<a+b+c \end{cases} </math><ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=Mohammed AASSILA|titre=1000 challenges mathématiques, géométrie|passage=341, 347, 348, 351|éditeur=Ellipses|date=2018}}</ref>.

== Quadrilatère convexe ==

=== Caractérisations ===
En géométrie élémentaire, une grande place est accordée aux quadrilatères [[ensemble convexe|convexes]].

Un quadrilatère est convexe si et seulement si :

* quel que soit le côté que l'on choisit, le quadrilatère est entièrement inclus dans un [[demi-plan]] dont la frontière porte ce côté

ou

* c'est un quadrilatère non croisé dont tous les angles sont [[Angle rentrant et angle saillant|saillants]]

Ces caractérisations sont générales à  tout [[polygone convexe]]. Dans le cas particulier du quadrilatère, il existe d'autres caractérisations : un quadrilatère est convexe si et seulement si :

* les diagonales se rencontrent.
* les diagonales sont situées à l'intérieur du quadrilatère
* une droite du plan ne passant pas par un sommet rencontre au plus deux côtés du quadrilatère.

Un quadrilatère simple est non convexe si l'une de ses diagonales est située à l'extérieur du quadrilatère.

=== Aire ===
{{Article détaillé|Formule de Bretschneider}}
L'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des longueurs des diagonales multiplié par le [[sinus (mathématiques)|sinus]] de l'angle qu'elles forment. Pour un quadrilatère quelconque, voir « [[Aire algébrique d'un polygone]] ».

=== Intérieur ===
L'intérieur d'un quadrilatère convexe ABCD peut être défini comme l'intersection des demi-plans ouverts délimités par (AB), par (BC), par (CD) et par (DA) et contenant respectivement chacun les points C, D, A et B.

Cela se traduit par le fait que les quatre produits <math>\det(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}).\det(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}),
\det(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}).\det(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}) ,
\det(\overrightarrow{MC},\overrightarrow{MD}).\det(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}),
\det(\overrightarrow{MD},\overrightarrow{MA}).\det(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA})</math>sont strictement positifs.[[Fichier:Fermat quadrilatere.png|vignette]]

=== Théorème de Fermat pour un quadrilatère ===
Le point d'intersection des diagonales d'un quadrilatère convexe est le point du plan pour lequel la somme des distances aux quatre sommets est minimale et ce minimum est strict<ref name=":0" />.

Avec les notations de la figure, on utilise l'inégalité triangulaire dans les triangles AMC et BMD.

== Quadrangle et quadrilatère ==
Un quadrilatère dérive directement d'un [[quadrangle]] par le regroupement des sommets en deux paires. Pour chaque paire, les deux sommets sont dits ''opposés'' et le segment qui les joint (côté du quadrangle) n'est plus considéré comme un côté, mais comme une ''diagonale'' du quadrilatère.

Donc la première chose à savoir sur les quadrilatères quelconques, c'est que, contrairement aux [[triangle]]s, la donnée de leurs sommets ne suffit pas à les définir (mais définit un quadrangle, sous certaines conditions).

En effet, considérons quatre points ''A'', ''B'', ''C'' et ''D'' (non alignés trois à trois pour éviter certains problèmes).<br />
Ces quatre points sont les extrémités de six segments distincts : les six côtés du quadrangle : [AB], [AC], [AD], [BC], [BD] et [CD].<br />
Ces segments peuvent être assemblés, quatre à quatre, pour former trois quadrilatères distincts (et trois seulement) : 
* [AB] + [BC] + [CD] + [DA] noté ''ABCD'' ;
* [AB] + [BD] + [DC] + [CA] noté ''ABDC'' ;
* [AC] + [CB] + [BD] + [DA] noté ''ACBD''.
Les quatre segments utilisés par le quadrilatère sont ses ''côtés'' ; les deux autres segments sont ses ''diagonales''.

'''Notation''' : ainsi ''ABCD'' est une notation commune pour définir un quadrangle ou un quadrilatère.

Cependant si l'ordre des points est indifférent pour un quadrangle, il doit en revanche être respecté (à une rotation ou un retournement près) pour conserver un même quadrilatère.

Il existe 24 arrangements des quatre points ''A'', ''B'', ''C'' et ''D'' basés sur le même quadrangle.
Il y a trois quadrilatères ''ABCD'', ''ACBD'', ''ABDC''.

Le même quadrilatère  ''ABCD'' peut donc s'écrire ''ABCD'', ''BCDA'', ''CDAB'', ''DABC'' dans un sens ; ''DCBA'', ''CBAD'', ''BADC'', ''ADCB'' dans l'autre sens.

=== Quadrangles et quadrilatères complets ===
* Un [[quadrangle complet]] est l'ensemble de 4 points et des 6 droites qui les relient 2 à 2.
* Un [[quadrilatère complet]] est l'ensemble de 4 droites et de leurs 6 points d'intersection 2 à 2.

== Typologie des quadrilatères ==
Les quadrilatères quelconques offrent relativement peu d'intérêt, mais permettent de voir ce qui se cache derrière les définitions des quadrilatères particuliers bien connus ([[trapèze]], [[parallélogramme]], [[rectangle]], [[losange]], [[Carré (géométrie)|carré]], [[Cerf-volant (géométrie)|cerf-volant]], [[pseudo-carré]], etc.).

<gallery widths="200" heights="200">
Fichier:Diagramme venn differents types quadrilateres.svg|Diagramme de Venn de différents types de quadrilatères convexes.
Fichier:Euler diagram of quadrilateral types.svg|Diagramme d'Euler de différents types de quadrilatères.
Fichier:Quadrilateral hierarchy svg.svg|Diagramme de Hasse de différents types de quadrilatères.
</gallery>

Quand on cherche à classer les quadrilatères en leur imposant des propriétés particulières, on obtient les classes énumérées ci-dessous.
[[Fichier:Orthodiago.png|vignette|Quadrilatères orthodiagonaux non convexes.]]

=== Diagonales perpendiculaires ===
{{Article détaillé|Quadrilatère orthodiagonal}}
Un quadrilatère dont les diagonales (éventuellement prolongées) sont perpendiculaires est appelé un [[quadrilatère orthodiagonal]]. L'aire d'un tel quadrilatère non croisé est <math>\frac {D \times d} 2</math> (où ''D'' et ''d'' sont les longueurs des diagonales), même dans le cas non convexe.

Cette catégorie ne présente pas  de régularité d'aspect.

Parmi les quadrilatères convexes dont les diagonales sont perpendiculaires, on peut noter : 
[[Image:Quadrilateres a diagonales perpendiculaires.png|center]]
*ceux qui ont deux côtés consécutifs égaux : les [[Cerf-volant (géométrie)|cerfs-volants]] (dont les losanges) ;
*ceux [[Quadrilatère équidiagonal|dont les diagonales sont de même longueur]] : les [[Pseudo-carré|pseudo-carrés]].

=== Côtés égaux deux à deux ===
[[Image:Quadrilateres a cotes egaux.png|center]]
On n'obtient pas toujours un parallélogramme. Pour obtenir un parallélogramme, il faut que le quadrilatère soit en outre convexe et que les côtés ''opposés'' soient égaux. Si le quadrilatère n'est pas convexe et les côtés opposés sont égaux deux à deux, on obtient un quadrilatère croisé : l'[[antiparallélogramme]].

Si les côtés égaux sont consécutifs deux à deux, on retombe sur le cerf-volant.

=== Côtés parallèles ===
[[Image:Quadrilateres a cotes paralleles.png|center]]
On retrouve là deux classes intéressantes de quadrilatères convexes : les [[trapèze]]s et, parmi eux, les [[parallélogramme]]s.

Parmi les trapèzes particuliers, on trouve le trapèze isocèle dont les côtés non parallèles sont de même longueur et le trapèze rectangle qui possède deux angles droits.

Parmi les parallélogrammes particuliers on trouve les rectangles (parallélogrammes à angles droits), les losanges (parallélogrammes à côtés adjacents égaux) et les carrés (à la fois rectangles et losanges).
[[Image:Quadrilateres remarquables.png|center]]

Ainsi, selon cette classification, le carré est le quadrilatère le plus riche en propriétés. Il est aussi l'unique solution du problème [[isopérimétrie|isopérimétrique]] pour les quadrilatères. C'est-à-dire que, parmi tous les quadrilatères de même périmètre, le carré est celui qui possède la plus grande surface.

=== Quadrilatères inscriptibles ===
{{Voir|Quadrilatère inscriptible}}

Les quadrilatères inscriptibles sont les quadrilatères dont les sommets sont situés sur un cercle, ou [[Points cocycliques|cocycliques]].
[[Image:Ptolemy Theorem.svg|right|thumb|Figure du théorème de Ptolémée :<math>AC \cdot BD = AB  \cdot CD + AD \cdot BC</math>]]

Le [[Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre#Théorème de l'angle inscrit|théorème de l'angle inscrit]] permet la caractérisation suivante : un quadrilatère est [[cercle circonscrit|inscriptible]] si et seulement s’il possède deux angles opposés égaux ou [[Angles supplémentaires|supplémentaires]] : quand les angles sont supplémentaires il s'agit d'un quadrilatère convexe, et quand les angles sont égaux, il s'agit d'un quadrilatère croisé.

En particulier, un trapèze isocèle, un rectangle sont des quadrilatères inscriptibles.

Le [[théorème de Ptolémée]] permet d'affirmer qu'un quadrilatère convexe est inscriptible si, et seulement si, le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés.

La [[formule de Brahmagupta]] donne l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible en ne connaissant que la longueur de ses côtés.
:<math>S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}</math>
où <math>p = \frac 12 (a+b+c+d)</math>
est le demi-[[périmètre]] du quadrilatère, ''a'', ''b'', ''c'' et ''d'' sont les longueurs de ses côtés et {{math|''S''}} son aire.

=== Quadrilatères circonscriptibles ===
{{Article détaillé|Quadrilatère circonscriptible}}
Les quadrilatères circonscriptibles sont ceux admettant un [[cercle inscrit]], c'est-à-dire tangent aux quatre côtés. Cela n'est possible que si les quatre bissectrices sont [[Droites concourantes|concourantes]] en un point qui est le centre du cercle inscrit.

Le [[théorème de Pitot]] caractérise les quadrilatères circonscriptibles : un quadrilatère dont les côtés ont pour longueurs successives ''a'', ''b'', ''c'', et ''d'' est circonscriptible si et seulement si les sommes des côtés opposés sont égales entre elles, à savoir

<math>a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2} = p,</math>

où ''p'' est le demi-périmètre du quadrilatère.

Les cerfs-volants, les losanges et les carrés sont des exemples de quadrilatères circonscriptibles.

=== Quadrilatères bicentriques ===
[[Fichier:Bicentric quadrilateral poncelet.svg|vignette|Deux quadrilatères bicentriques inscrits et circonscrits aux mêmes cercles (application du [[Grand théorème de Poncelet|porisme de Poncelet]]).]]
{{Article détaillé|Quadrilatère bicentrique}}
Les quadrilatères bicentriques sont à la fois inscriptibles et circonscriptibles, et héritent donc des caractéristiques des deux catégories précédentes.

La distance entre le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit est l'objet du [[Quadrilatère bicentrique#Théorème de Fuss|théorème de Fuss]].

On peut appliquer aux deux cercles respectivement inscrits et circonscrits à un quadrilatère bicentrique le  [[Grand théorème de Poncelet|théorème de Poncelet]] qui permet de construire une infinité d'autres quadrilatères bicentriques relativement à ces cercles, comme illustré par la figure ci-contre.

== Bimédianes, médianes, et centre de gravité ==
Les deux '''bimédianes''' d'un quadrilatère sont les segments joignant les milieux de deux côtés opposés<ref name=":0" />.

Les quatre '''médianes''' sont les segments joignant un sommet au centre de gravité du triangle formé par les trois autres sommets<ref name=":0" />.

Le '''centre de gravité''' d'un quadrilatère est l'[[isobarycentre]] des sommets.

D'après la propriété d'associativité du barycentre, le centre de gravité <math>G</math> est le milieu des bimédianes, le milieu du segment joignant les milieux des diagonales, et il se trouve aux trois quarts des médianes, en partant des sommets.

Attention, contrairement au cas du triangle, le [[Centre de masse d'une plaque homogène|centre de gravité <math>G_m</math> d'une plaque quadrilatérale homogène]] est différent de l'isobarycentre des sommets, sauf si <math>G</math> est le point d'intersection <math>O</math> des diagonales (auquel cas le quadrilatère est un parallélogramme). On a en effet <math>\overrightarrow{OG_m}=\frac 43 \overrightarrow{OG}</math> ([[théorème de Wittenbauer]]).

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets| wikt=quadrilatère}}

=== Articles connexes ===
* [[Quadrilatère complet]]
* [[Théorème de Pitot]]
* [[Relation d'Euler dans le quadrilatère]]
* [[Formule de Bretschneider]] donnant l'aire d'un quadrilatère non croisé
* [[Parallélogramme de Wittenbauer]]
* [[Centre de masse d'une plaque homogène#Centre de masse d'une plaque en forme de quadrilatère|Centre de masse d'une plaque en forme de quadrilatère]]

=== Lien externe ===
[http://jurzak.perso.math.cnrs.fr/geometrie/AllQuadrilateres.pdf La géométrie des quadrilatères par l'informatique] {{Pdf}}

{{Palette|Polygones}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Quadrilatère| ]]