Voir la source de Quadrivecteur

[[Fichier:GPB circling earth.jpg|vignette|Vue d'artiste de la sonde Gravity Probe B, en orbite autour de la Terre pour vérifier certains aspects de la théorie de la relativité générale.]]
En [[physique]], un '''quadrivecteur''' est un [[vecteur]] à quatre dimensions utilisé pour représenter un événement dans l'[[espace-temps]]<ref>{{Lien web |langue=fr |titre=quadrivecteur |url=http://www.larousse.fr/dictionnaires/francais/quadrivecteur/65446 |site=Larousse |consulté le=24 août 2016}}.</ref>. Dans la théorie de la [[relativité restreinte]], un quadrivecteur est un vecteur de l'[[espace de Minkowski]], où un changement de [[référentiel (physique)|référentiel]] se fait par des [[transformations de Lorentz]] (par covariance des coordonnées).

En relativité restreinte, un quadrivecteur{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} quadrivecteur|p=609, {{col.|1}}}}{{,}}{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{nobr|sect. 1.1}}, {{§|1.1.1}}|p=3}} (ou 4-vecteur){{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} quadrivecteur|p=609, {{col.|1}}}}{{,}}{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{nobr|sect. 1.1}}, {{§|1.1.1}}|p=3}} est un [[vecteur]]{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} quadrivecteur|p=609, {{col.|1}}}}{{,}}{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{nobr|sect. 1.1}}, {{§|1.1.1}}|p=3}} [[Appartenance (mathématiques)|appartenant]] à l'[[espace vectoriel]] <math>E</math> associé à l'[[espace affine]] <math>\mathcal{E}</math> qu'est l'espace-temps{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{nobr|sect. 1.1}}, {{§|1.1.1}}|p=3}}{{,}}{{sfn|Semay|Silvestre-Brac|2021|loc={{chap.|8}}, introd.|p=134}}. Un quadrivecteur a quatre [[Composantes d'un vecteur|composantes]]{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} quadrivecteur|p=609, {{col.|1}}}}{{,}}{{sfn|Hakim|2001|loc={{chap.|3}}, {{nobr|sect. 1}}, {{§|3}}|p=78}}{{,}}{{sfn|Pérez|2016|loc={{chap.|2}}, {{nobr|sect. {{III}}}}, {{§|{{III}}.1}}|p=31}} [[Homogénéité (physique)|homogènes]] en dimension{{sfn|Pérez|2016|loc={{chap.|2}}, {{nobr|sect. {{III}}}}, {{§|{{III}}.1}}|p=31}}.

Exprimés dans une base vectorielle donnée de l'espace-temps de Minkowski, on parle de quadrivecteurs ''contravariants''. À partir de cette base et du produit scalaire de l'espace de Minkowski, on construit une autre base vectorielle, dite ''covariante'', permettant d'écrire le produit scalaire de manière allégée. Exprimés dans cette seconde base, les quadrivecteurs sont dits ''covariants''.

Dans la théorie de la [[relativité générale]], un quadrivecteur est un quadrivecteur de l'[[espace tangent]] de la [[variété différentielle|variété]] de dimension quatre de cette théorie.

Un quadrivecteur est un [[tenseur]] d'ordre 1 (il n'y a qu'un indice).

Le terme quadrivecteur est dû au physicien théoricien allemand [[Arnold Sommerfeld]] ({{date-|1864|en science}}-{{date-|1951|en science}}){{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{nobr|{{abréviation discrète|sect.}} 1.6}}, {{n.|{{abréviation discrète|histor.|historique}}}}|p=26}}.

== Quadrivecteurs covariants et contravariants ==
=== Des vecteurs aux quadrivecteurs contravariants : conventions ===
Dans l'espace-temps de Minkowski, un [[vecteur]] a quatre dimensions, et d'un référentiel à l'autre, les changements de coordonnées se font en utilisant les transformations de Lorentz. Plutôt que de ''vecteur'', on parle de ''quadrivecteur''.

Si on a une base vectorielle <math>\ \{\vec e_0; \vec e_1 ;\vec e_2 ;\vec e_3 \}</math>, où <math>\ \vec e_0</math> est un [[vecteur directeur]] de l'axe temporel, un vecteur s'écrit habituellement <math> \sum_{i=0}^3 u^i. \vec e_i</math>, où <math>\ \{u^0; u^1 ;u^2 ;u^3 \}</math> sont les coordonnées du quadrivecteurs, et <math>\ u^0</math> est la ''coordonnée temporelle''. La base de l'espace étant donnée, l'expression du quadrivecteur dans cette base s'appelle {{Souligner|''quadrivecteur contravariant''}}.

Les {{Souligner|conventions d'écritures}} sont précises : les indices des vecteurs sont en bas <math>\ ( \vec e_i )</math>, ceux des coordonnées sont en haut <math>\ ( u^i )</math>. En général la flèche au-dessus des vecteurs est omise : <math>\ \vec e_i = e_i</math>.

La [[convention d'Einstein]] sur les indices permet d'omettre le symbole de sommation : <math> \sum_{i=0}^3 u^i. e_i = u^i.e_i</math>.

Dans une base donnée, un quadrivecteur <math>u</math> est identifié au quadruplet de ses coordonnées contravariantes : <math>u = (u^0;u^1;u^2;u^3) = \left( u^i \right)_{i=0;1;2;3}</math>

=== De la base covariante aux quadrivecteurs covariants ===

En [[relativité restreinte]], l'espace est l'espace-temps de Minkowski et est doté de la [[forme bilinéaire symétrique]] associée à la [[forme quadratique]] due à l'[[intervalle d'espace-temps]]. Cette opération est souvent désignée, par analogie avec les vecteurs classiques, au [[produit scalaire]]<ref name="jhs">{{ouvrage |langue= fr |prénom1=James H. |nom1= Smith |lien auteur1= |titre= Introduction à la relativité|sous-titre= |lien titre= |numéro d'édition= |éditeur=InterÉditions |lien éditeur= |lieu=Paris |année=1997|volume= |tome= |pages totales=317 |passage= |isbn=2-225-82985-3 |consulté le= }}</ref>. Connaissant une base <math>\ \{ e_0; e_1 ; e_2 ; e_3 \}</math> telle que l'axe de <math>\ e_0</math> soit l'''axe temporel'' du référentiel, cette forme bilinéaire est définie par <math>\ \langle u;v \rangle = u^0.v^0-u^1.v^1-u^2.v^2-u^3.v^3 = \sum_{i=0}^{3} \eta_{ij}.u^i.v^j</math>, où <math>\left( \eta_{ii} \right) = (1;-1;-1;-1)</math> et <math>\ \eta_{ij}  = 0</math> pour <math>\ i\ne j</math> est appelé [[métrique de Minkowski]].

On cherche alors une base, dite ''duale'' ou ''covariante'', <math>\ \{ e^0; e^1 ; e^2 ; e^3 \}</math> (par convention les indices de ces vecteurs sont en haut) telle que <math>\ \langle e^i;e_j \rangle = \delta^i_j = \delta_{ij}</math>, où <math>\ \delta^i_j = \delta_{ij}</math> est le [[symbole de Kronecker]].

On trouve <math>\ e^0 = e_0</math> et <math>\ e^i = -e_i</math> pour <math>\ i=1;2;3</math>. Dans cette base covariante, les coordonnées d'un quadrivecteur <math>\ u = u^i.e_i</math> sont notées <math>\ u_i</math> (les indices des coordonnées sont en bas) : on trouve <math>\ u_0 = u^0</math> et <math>\ u_i = -u^i</math> pour <math>\ i=1;2;3</math>.

On écrit <math>\ u =  u_i.e^i</math> et on parle de {{Souligner|''quadrivecteur covariant''}}. On a : <math>\ u = u^i.e_i = u_i.e^i</math>.

La forme bilinéaire s'écrit alors : <math>\ \langle u;v \rangle = \sum_{i,j=0}^{3} u_i.v^j \langle e^i,e_j \rangle = \sum_{i,j=0}^{3} u_i.v^j.\delta^i_j = \sum_{i=0}^{3} u_i.v^i = u_i.v^i</math>. La forme étant symétrique, on a <math>\ \langle u;v \rangle = u_i.v^i = u^i.v_i</math>.

La méthode est identique en [[relativité générale]] où la forme bilinéaire s'écrit <math>\ \langle u;v \rangle = \sum_{i,j=0}^{3} g_{ij}.u^i.v^j = g_{ij}.u^i.v^j</math>, où <math>\ g_{ij}</math> est le [[tenseur métrique]] ''local'', avec <math>\ \left( g^{ij} \right)_{ij}</math> la [[Matrice inversible|matrice inverse]] vérifiant <math>\ g^{ij}g_{jk} = \delta^i_k</math> (avec la convention d'Einstein sur les indices). En imposant aussi <math>\ \langle e^i;e_j \rangle = \delta^i_j</math>, on trouve <math>\ e^i = g^{ij}e_j</math> et <math>\ u_i = g_{ij}u^j</math>. Et on peut également écrire <math>\ \langle u;v \rangle = u_i.v^i = u^i.v_i</math>.

La définition des <math>\ e^i</math> par la forme bilinéaire permet de s'assurer que par changement de référentiel, « la transformée de la covariante est la covariante de la transformée » : si <math>\ T</math> est une transformation (de Lorentz, pour la relativité restreinte) associée à un changement de base, <math>\ \{ e_i \}_{i=0;...;3}</math> la base initiale et <math>\ \{ f_i \}_{i=0;...;3}</math> la base transformée <math>\ f_i = T(e_i)</math>, alors du fait que <math>\ \langle T(u);T(v) \rangle = \langle u;v \rangle</math>, on obtient <math>\ f^i = T(e^i)</math>.

;Remarques
En relativité générale, une base de l'espace tangent étant donnée, on a <math>\ \langle e_i;e_j \rangle = g_{ij}</math>, résultat invariant par changement de base : une autre base <math>\ \left( f_i \right)_i</math> vérifie <math>\ f_i = T(e_i)</math> et <math>\ \langle f_i;f_j \rangle = \langle T(e_i);T(e_j) \rangle = \langle e_i;e_j \rangle = g_{ij}</math>.<br />
Dans un [[espace euclidien]], en choisissant une [[base orthonormée]], on a <math>\ \langle e_i;e_j \rangle = \delta_{ij}</math>, et donc <math>\ e^i = e_i</math>.

=== Quadriscalaires et norme ===
De par la nature tensorielle même des quadrivecteurs, on sait que le résultat du produit scalaire de deux quadrivecteurs doit être un scalaire invariant peu importe le choix du référentiel, dans la mesure où les deux quadrivecteurs qui ont été multipliés ensemble étaient exprimés dans le même référentiel. Dans le contexte de la relativité, on appelle quadriscalaire les quantités dont la valeur est indépendante du choix de référentiel, et qui peuvent donc être exprimés comme le produit scalaire de deux quadrivecteurs.

En particulier, il est possible de faire le produit scalaire d'un quadrivecteur avec lui-même. Par analogie avec les vecteurs classiques, on appelle le résultat la norme du quadrivecteur, et il est garanti que c'est un quadriscalaire. Les quadriscalaires qui sont la norme d'un quadrivecteur ont généralement une signification physique importante quant aux propriétés physiques de l'objet décrit par le quadrivecteur<ref name="jhs" />.

== Quelques exemples de quadrivecteurs ==

* Quadrivecteur position-temps:
::<math>x^a = (t,{\mathbf{r}}) = (t, x, y, z)</math>,
:ou
::<math>x^a = (c t,{\mathbf{r}}) = (c t,x,y,z)</math>. 
:Il faut cependant préciser que le quadrivecteur position-temps n'est pas un quadrivecteur à proprement parler. En effet le quadrivecteur position-temps change sous changement de référentiels inertiels par des transformations de Poincaré, et non de Lorentz. La distinction est assez mince, mais elle réside dans le fait que le quadrivecteur position-temps varie sous translation spatio-temporelle, ce qui n'est pas le cas des autres quadrivecteurs. Ceci est aussi du au fait que le quadrivecteur position-temps n'est pas vraiment un tenseur, puisqu'il n'est pas défini sur l'espace tangent (ou cotangent) à l'espace de Minkowski, mais sur l'espace de Minkowski lui-même. Si on se souvient de cette légère subtilité, il n'y a pas grand mal à désigner le quadrivecteur position-temps comme un quadrivecteur.
* Quadrivecteur vitesse ([[quadrivitesse]]) :
::<math>u^a = \frac{{\rm d} x^a}{{\rm d} \tau}</math>,
:ou
::<math>u^a = \frac{{\rm d} x^a}{c {\rm d} \tau}</math>,
:où ''τ'' est le [[temps propre]], c'est-à-dire le temps qui serait indiqué par une horloge qui serait attaché à l'objet dont la trajectoire aurait le vecteur vitesse correspondant. Le quadrivecteur vitesse est par définition de norme fixée (par norme on entend la quantité <math>\eta_{ab} u^a u^b</math>, voir paragraphe ci-dessus), égale, selon la convention de coordonnée et de signe choisie à ''c''{{exp|2}}, -''c''{{exp|2}}, 1, ou -1. La composante temporelle du quadrivecteur vitesse est déterminée par la condition que la norme soit égale à la valeur imposée.
* Quadrivecteur impulsion ([[Quadri-moment|quadri-impulsion]]). Pour une particule de masse non nulle :
::<math>p^a = m \frac{{\rm d} x^a}{{\rm d} \tau}</math>,
:ou
::<math>p^a = m \frac{{\rm d} x^a}{c {\rm d} \tau}</math>,
:où ''τ'' est le [[temps propre]]. Le quadrivecteur impulsion possède une norme fixée, égale, selon la convention de coordonnée et de signe choisie à ''m''{{exp|2}}''c''{{exp|2}}, -''m''{{exp|2}}''c''{{exp|2}}, ''m''{{exp|2}}, ou -''m''{{exp|2}}. La composante temporelle du quadrivecteur vitesse est déterminée par la condition que la norme soit égale à la valeur imposée. On peut montrer qu'elle s'identifie (à une constante près) à l'[[énergie]] de l'objet telle qu'elle serait mesurée par un observateur immobile par rapport aux coordonnées ''x'', ''y'', ''z''.
* [[Potentiel vecteur]] ''A{{exp|a}}''. Ce [[quadrivecteur potentiel]] est défini avec des composantes contravariantes. Ses composantes spatiales s'identifient (au signe près) au potentiel vecteur de l'[[électromagnétisme]], dont le [[rotationnel]] donne le [[champ magnétique]]. Sa composante temporelle donne, à un facteur multiplicatif près, le [[potentiel électrique]].

* [[nabla]]: <math>\nabla</math>{{sub|a}} est un [[opérateur (physique)|opérateur]] covariant. Ses composantes spatiales s'identifient (au signe près) au gradient et sa composante temporelle s'identifie à la dérivée temporelle (à une constance 1/c) près. Sa [[pseudonorme]] s'identifie au [[d'alembertien]]

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
* {{Landau|tome 2}}, en particulier le §6.
* ''Relativité générale et gravitation'', Edgard Elbaz, [[Éditions Ellipses|éditions ellipses]], 1986, {{ISBN|2-7298-8651-6}} : chapitre 3 ''Analyse tensorielle''.
* {{Ouvrage| langue=fr | prénom=Éric | nom=Gourgoulhon | lien auteur=Éric Gourgoulhon | préface=[[Thibault Damour]] | titre=Relativité restreinte | sous-titre=des particules à l'astrophysique | lieu=Les Ulis et Paris | éditeur=[[EDP Sciences]] et [[CNRS Éditions|CNRS]] | collection=Savoirs actuels | série=physique | date=5/2010 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XXVI}}-776 | format livre={{dunité|15,5|23|cm}} | isbn10=2-75980-067-9 | isbn1=978-2-7598-0067-4 | isbn2=978-2-271-07018-0 | ean=9782759800674 | oclc=731758818 | bnf=414117131 | doi=10.1051/978-2-7598-0923-3 | sudoc=14466514X | présentation en ligne=https://laboutique.edpsciences.fr/produit/5/9782759809233 | lire en ligne={{Google Livres|id=aHCY6CaHtWsC}} | consulté le=17 décembre 2019 | libellé=Gourgoulhon 2010}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Rémi | nom=Hakim | titre=Gravitation relativiste | lieu=Les Ulis et Paris | éditeur=[[EDP Sciences]] et [[CNRS Éditions|CNRS]] | collection=Savoirs actuels | série=astrophysique | date=7/2001 | numéro d'édition=2 | année première édition={{date-|jun 1994}} | pages totales={{XV}}-310 | format livre={{dunité|15,8|23|cm}} | isbn1=2-86883-370-5 | isbn2=2-271-05198-3 | ean=9782868833709 | oclc=2868833705 | bnf=399187216 | sudoc=060559675 | présentation en ligne=https://laboutique.edpsciences.fr/produit/237/9782759802722/gravitation-relativiste | lire en ligne={{Google Livres|id=PUKGVzi3cuMC}} | consulté le=12 mars 2022 | libellé=Hakim 2001}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=José-Philippe | nom=Pérez | champ libre=collab. Éric Anterrieu | titre=Relativité | sous-titre=fondements et applications | lieu=Paris | édition=[[Éditions Dunod|Dunod]], hors {{coll.}} | date=5/2016 | réimpression={{date-|octobre 2017}} | numéro d'édition=3 | pages totales={{XXIII}}-439 | format livre={{dunité|17,7|24|cm}} | isbn10=2-10-074717-7 | isbn1=978-2-10-074717-7 | isbn2=978-2-10-077295-7 | ean=9782100747177 | oclc=949876980 | bnf=450330711 | sudoc=193153297 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-fondements-et-applications-avec-150-exercices-et-problemes-resolus-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=qeA3DAAAQBAJ}} | consulté le=12 mars 2022 | libellé=Pérez 2016}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Claude | nom1=Semay | prénom2=Bernard | nom2=Silvestre-Brac | titre=Relativité restreinte | sous-titre=bases et applications | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences Sup | date=11/2021 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|octobre 2005}} | pages totales={{X}}-309 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-10-082836-3 | isbn=978-2-10-082836-4 | ean=9782100828364 | oclc=1286364270 | bnf=46915115k | sudoc=258655097 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-restreinte-bases-et-applications-cours-et-exercices-corriges-1 | lire en ligne={{Google Livres|id=wmFMEAAAQBAJ}} | consulté le=12 mars 2022 | libellé=Semay et Silvestre-Brac 2021}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Richard | nom1=Taillet | prénom2=Loïc | nom2=Villain | prénom3=Pascal | nom3=Febvre | titre=Dictionnaire de physique | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck Supérieur]], hors {{coll.}} | date=1/2018 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|mai 2008}} | pages totales={{X}}-956 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-8073-0744-2 | isbn=978-2-8073-0744-5 | ean=9782807307445 | oclc=1022951339 | bnf=456469019 | sudoc=/224228161 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique | lire en ligne={{Google Livres|id=pjlFDwAAQBAJ}} | consulté le=12 mars 2022 | partie={{s.v.}} quadrivecteur | passage=609 | libellé=Taillet, Villain et Febvre 2018}}. 

=== Articles connexes ===
* [[Transformation de Lorentz]]
* [[Covariant et contravariant]]

=== Liens externes ===
* [http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/blanquet/synophys/51relat/51relat.htm#22 Cours sur la théorie de la relativité de l'université de Nantes]

{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Relativité]]
[[Catégorie:Vecteur]]