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{{ébauche|probabilités et statistiques}}
[[Fichier:Iqr with quantile.png|vignette|Densité de probabilité d'une loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ. On montre ici les trois quartiles ''Q''<sub>1</sub>, ''Q''<sub>2</sub>, ''Q''<sub>3</sub>. L'aire sous la courbe rouge est la même dans les intervalles (−∞,''Q''<sub>1</sub>), (''Q''<sub>1</sub>,''Q''<sub>2</sub>), (''Q''<sub>2</sub>,''Q''<sub>3</sub>), et (''Q''<sub>3</sub>,+∞). La probabilité d'être dans chacun de ces intervalles est de 25%.]]
En [[Statistique mathématique|statistiques]] et en [[théorie des probabilités]], les '''quantiles''' sont les valeurs qui divisent un [[jeu de données]] en [[Intervalle (mathématiques)|intervalles]] de même probabilité. Il y a donc un quantile de moins que le nombre de groupes créés. Par exemple, les [[Quartile|quartiles]] sont les trois quantiles qui divisent un ensemble de données en quatre groupes de même probabilité. La [[Médiane (statistiques)|médiane]] quant à elle est le quantile qui sépare le jeu de données en deux groupes de même probabilité.

== Définitions en langage commun ==
Les '''quantiles''' d'une [[variable aléatoire]] univariée, discrète (ex. : entière) ou [[variable aléatoire réelle|continue (réelle)]], sont les valeurs que prend la variable pour des valeurs de probabilité sous le quantile considéré, valant une valeur remarquable, par exemple 3 dixièmes, ou 5 centièmes, etc. On les appelle encore '''fractiles''', synonyme complet selon le contexte d'usage, et ce sont les valeurs réciproques de la [[fonction de répartition]] de la [[loi de probabilité]] considérée. On s'intéresse plus particulièrement à quelques jeux de valeurs de quantile correspondant aux multiples de fractions simples du 100 % de la probabilité totale. Par exemple, on peut scinder les 100 % de probabilité totale en 4 masses de probabilités égales chacune à {{frac|1|4}}=25 %, correspondant, pour les valeurs de la variable aléatoire, à quatre intervalles adjacents. Les trois valeurs intermédiaires définissent ainsi, respectivement les fractiles de {{frac|1|4}}=0,25, {{frac|1|2}}=0,5 et {{frac|3|4}}=0,75, ou encore en termes de fractions, les quantiles d'un quart, un demi et trois quarts (les deux limites extrêmes, l'inférieure correspondant au quantile de 0 et la supérieure pour le quantile de 1, sont les bornes du [[Ensemble de définition|domaine de définition]] de la variable aléatoire.

Les '''quantiles''' d'un [[échantillon statistique]] de nombres sont des valeurs remarquables permettant de diviser le jeu de ces données ordonnées (i.e. triées) en intervalles consécutifs contenant le même nombre de données (à la justesse de la division entière du nombre total de données, près). Par exemple, un échantillon de 90 données pourra être découpé selon 10 sous-intervalles consécutifs au moyen d'un jeu de 9 quantiles (plus les [[Limite supérieure et limite inférieure|limites inférieure et supérieure]] du domaine d'échantillonnage).
<!-- /Commentaire probablement à retirer lors d'une prochaine revue.../  Diviser des données ordonnées en ''q'' sous-jeux de données de dimension essentiellement égale est la motivation des ''q''-quantiles ; les quantiles sont les valeurs de données marquant les limites entre deux sous-jeux consécutifs. Put another way, the ''p''th ''q''-quantile is the value ''x'' such that the probability that a random variable will be less than ''x'' is at most ''p''/''q'' and the probability that a random variable will be less than or equal to ''x'' is at least ''p''/''q''.  There are ''q''&nbsp;−&nbsp;1 ''q''-quantiles, with ''p'' an integer satisfying 0 < ''p'' < ''q''. -->

Certains jeux de quantiles ont reçu des noms particuliers :
* les quantiles des multiples du centième sont appelés '''[[centile]]s''', ou ''percentiles'' selon un [[anglicisme]] fréquent. Ainsi, le {{5e}} centile partage l'échantillon en 5 % des données sous lui, et les 95 % restant au-dessus de lui. Le dernier centile (le {{99e}}) joue fréquemment un rôle de seuil d'alerte extrême pour des mesures qui traduisent l'intensité d'un phénomène sujet à des évolutions critiques et en permettent ainsi le suivi (cf. ci-après l'exemple en hydrologie de la définition de la [[crue centennale]]) ;
* les quantiles des multiples du dixième sont des '''[[décile]]s'''. Ils sont d'usage fréquent en [[géologie]] minière (étude des caractéristiques granulométriques de matériaux divisés), en hydrologie (définition des hauteurs d'eau, notamment pour les crues, le {{9e|décile}} du débit d'une rivière définissant son niveau de [[Crue_centennale|crue décennale]]), ainsi que dans nombre de statistiques médicales ;
* les quantiles des multiples du quart sont les '''[[quartile]]s'''. Le premier quartile est la statistique notée générale q<sub>1</sub> ; le second quartile n'est autre que la [[Médiane (statistiques)|médiane]] ; le troisième quartile est noté q<sub>3</sub> et son écart au {{1er|quartile}} définit l'[[écart interquartile]], qui est une des mesures classiques de la dispersion de l'échantillon de données, néanmoins plus [[Robustesse_(Statistiques)|robuste]] que l'[[écart-type]].
Ont encore été définis, les quatre [[quintile]]s, et les deux terciles, d'usage rare.

''Nota Bene'' : certains programmes informatiques définissent un ''quantile minimum'' et un ''quantile maximum'' par, respectivement, le quantile de 0 et le quantile de 100 %. Toutefois, une telle terminologie va au-delà des définitions traditionnelles de la statistique. 

<!-- Le contenu de ce commentaire a été repris correspond au 1er paragraphe, la définition du quantile d'une variable aléatoire, cette dernière étant une notion plus rigoureuse que celle de "population infinie". Ce commentaire pourra être recyclé ou effacé ultérieurement.
Pour une population infinie, le ''p''-ième ''q''-quantile est la valeur des données où la fonction de distribution cumulative vaut {{frac|''p''|''q''}}.  Pour un nombre fini ''N'' de tirages, il faut calculer {{frac|''Np''|''q''}}--si ce n'est pas un entier, alors il faut arrondir à l'entier supérieur pour obtenir une valeur approchée (en supposant que les tirages sont ordonnés par valeur croissante) ; si c'est un entier alors n'importe quelle valeur depuis la valeur de ce tirage jusqu'à la valeur du prochain tirage peut être choisie pour le quantile, et conventionnellement (mais c'est tout-à-fait arbitraire) on prend la moyenne de ces deux valeurs. -->

== Formalisation ==
Soit un nombre réel <math>\alpha\in[0;1]</math> et <math>X</math> une [[variable aléatoire]] réelle. On note <math>F</math> la [[fonction de répartition]] de <math>X</math>, c'est-à-dire pour tout réel <math>x</math>, on a <math>F(x)=\mathbb P (X\leq x)</math>.

Le quantile d'ordre <math>\alpha</math> de <math>X</math>, appelé aussi <math>\alpha</math>-quantile, est l'ensemble <math>q(\alpha)</math> tel que :
:<math>q(\alpha)=F^{-1}(\{\alpha\}).</math>

Autrement dit, le quantile d'ordre <math>\alpha</math> de <math>X</math> est l'ensemble des nombres réels <math>x</math> tel que <math>\mathbb P (X\leq x) = \alpha</math>. Lorsque <math>F</math> est [[Bijection|bijective]], il n'y a qu'une valeur dans <math>q(\alpha)</math> : dans ces cas-là par [[abus de langage]] on parle du [[Singleton (mathématiques)|singleton]] <math>q(\alpha)</math> comme d'un nombre. 

Exemples :  

# Le quantile d'ordre 1/2 d'une variable de [[loi normale]] centrée réduite est 0
# Le quantile d'ordre 0,025 d'une variable de loi normale centrée réduite est d'environ -1.959964

== Quelques remarques ==

=== Abus de langage ===
Dans les résultats standardisés de [[Test statistique|tests statistiques]], il est courant de lire l'expression « dans le {{80e}} centile ». Les centiles étant des valeurs et non des intervalles, il serait plus juste de dire « dans l'intervalle entre le {{80e}} et le {{81e}} centile », ou « dans l'intervalle de probabilité 1 % qui suit le {{80e}} centile ».

=== Cas d'une variable aléatoire à distribution symétrique ===
Si une distribution est symétrique par rapport à une valeur particulière, alors la médiane et la moyenne sont égales à cette valeur particulière. En pratique, c'est le cas de toutes les variables aléatoires gaussiennes. Par contre, les exemples d'usage courant abondent aussi où ce n'est pas le cas.

=== Autres notes ===
<!-- suite non relue ; sûrement à retravailler -->
Les quantiles sont des mesures utiles parce qu'elles sont moins sensibles aux distributions allongées et aux valeurs aberrantes. Par exemple, avec une valeur aléatoire qui suit une [[distribution exponentielle]], n'importe quel échantillon particulier de cette variable aléatoire aura approximativement une chance de 63 % d'être inférieur à la moyenne. Ceci est dû à la présence d'une longue queue de la distribution exponentielle dans les valeurs positives, qui est absente dans les valeurs négatives.

Empiriquement, si les données que vous analysez ne sont pas distribuées comme la distribution que vous attendiez, ou si une autre source de valeurs aberrantes influe sur la valeur de la moyenne, alors les quantiles sont des statistiques bien plus utiles que la moyenne ou autres types de moments statistiques.

La [[régression robuste]] est fortement liée à ce sujet. Elle utilise la somme des valeurs absolues des valeurs observées, au lieu des erreurs au carré. La connexion se situe sur le fait que la moyenne est parmi les estimateurs liés à une distribution le seul qui minimise l'espérance du carré des erreurs, tandis que la médiane minimise l'espérance de l'erreur absolue. La régression robuste partage la capacité d'être relativement insensible aux larges déviations dues à certaines observations aberrantes.

Les quantiles d'une variable aléatoire sont préservés lors de transformations croissantes, ce qui signifie par exemple que si ''m'' est la médiane d'une variable aléatoire ''X'' alors 2<sup>''m''</sup> est la médiane de 2<sup>''X''</sup>, à moins qu'un choix arbitraire ait été fait à partir d'une plage de valeurs, pour spécifier un quantile particulier. Les quantiles peuvent aussi être utilisés dans les cas où seulement des données [[ordinales]] sont disponibles. 

== Calcul des quantiles ==

=== Par estimation ===
Il existe différentes méthodes pour estimer les quantiles : soit ''N'' le nombre de valeurs observées de la population échantillonnée, et soit {{math|''x''{{ind|1}}, ''x''{{ind|2}}, ..., ''x{{ind|N}}''}} les valeurs ordonnées de la même population, telles que {{math|''x''{{ind|1}}}} est la plus petite valeur, etc.  Pour le ''k''-ième ''q''-quantile, on a ''p'' = {{frac|''k''|''q''}}.

;Fonction de distribution empirique 
:<math>\begin{cases}x_j, & g=0\\ x_{j+1}, & g>0\end{cases}</math>
{{mvar|j}} est la [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]] de {{mvar|Np}} et {{mvar|g}} la partie fractionnelle.
;Fonction de distribution empirique avec mise à la moyenne  
:<math>\begin{cases}\frac{1}{2}(x_j+x_{j+1}), & g=0\\ x_{j+1}, & g>0\end{cases}</math>
{{mvar|j}}est la partie entière de {{mvar|Np}} et {{mvar|g}} est la partie fractionnelle.
;Moyenne pondérée 
:<math>x_{j+1}+g(x_{j+2}-x_{j+1})</math>
{{mvar|j}} est la partie entière de {{math|(''N''–1)''p''}} et {{mvar|g}} est la partie fractionnelle. Cette méthode est utilisée, par exemple, dans la fonction PERCENTILE de [[Microsoft Excel]].
;Échantillon de numéro le plus proche de {{math|(''N''–1)''p''+1}}
:<math>\begin{cases}x_j, & g\le 0,5\\ x_{j+1}, & g\ge 0,5\end{cases}</math>
{{mvar|j}} est la partie entière de {{math|(''N''–1)''p''+1}} et {{mvar|g}} est la partie fractionnelle.

=== Par optimisation ===
Une définition plus générale de la fonction quantile est donnée comme un problème d'optimisation<ref>{{ouvrage |lang=en |auteur=T. Ferguson |année=1967 |titre=Mathematical Statistics : A Decision Theoric Approach |éditeur=Academic Press |lieu=New York}}</ref>{{,}}<ref>{{article |lang=en |auteur1=Roger Koenker |auteur2=Gilbert Bassett |titre=Regression Quantiles |périodique=Econometrica |volume=46 |numéro=1 |année=1978 |pages=33–50 |doi=10.2307/1913643}}</ref>:
:<math>q(\alpha) = \underset{\theta \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,min}} \int_{\R}\left(|y - \theta| + \frac{\alpha+1}{2} (y - \theta)\right) F (dy).</math>

Cette définition peut être utile pour étendre la définition à des données multivariées ; on parle alors de ''quantiles géométriques''.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
* [[Statistique]]
* [[Boîte à moustaches]]
* [[Centile]]
* [[Quartile]]
* ''[[Value at risk]]''
* [[Diagramme Quantile-Quantile]]
* [[Fonction quantile]]
* [[97,5ème centile]]

{{Palette|Probabilités et statistiques}}
{{Portail|probabilités et statistiques}}
[[Catégorie:Statistique descriptive]]