Voir la source de Quantité de mouvement

{{Confusion|Impulsion (physique)}}
{{Infobox Grandeur physique
 | nom            = Quantité de mouvement
 | image          = Billard.JPG
 | légende        = Au billard, il est possible de considérer qu'il y a conservation de la quantité de mouvement du système constitué par les billes en collision. Ainsi, lors d'une collision d'une bille en mouvement sur une autre immobile, cette dernière va acquérir tout (si la bille incidente est stoppée net) ou une partie (si elle continue ou est déviée) de la quantité de mouvement initiale de la bille incidente.
 | unités         = {{unité|kg m s-1}} (= {{unité|N s}})
 | dimension      = {{dimension|kg=1|m=1|s=-1|A=|K=|mol=|cd=|o=}}
 | symbole        = <math>\vec{p}</math>
 | extensive      = Oui
 | conservative   = Oui
 | nature         = vecteur
 | expressions    = <math>\vec{p}=m\vec{v}</math>
}}

En [[physique]], la '''quantité de mouvement''' est le produit de la [[masse]] <math>m</math> par le [[vecteur vitesse]] <math>\vec{v}</math> d'un corps matériel supposé ponctuel. Il s'agit donc d'une grandeur vectorielle, définie par <math>\vec{p}=m\vec{v}</math>, qui dépend du [[référentiel (physique)|référentiel]] d'étude<ref name="perez">Voir notamment Perez, ''Cours de physique : mécanique'' - {{4e|édition}}, Masson, Paris, 2001.</ref>. Par additivité, il est possible de définir la quantité de mouvement d'un corps non ponctuel (ou système matériel), dont il est possible de démontrer qu'elle est égale à la quantité de mouvement de son [[centre d'inertie]] affecté de la masse totale du système, soit <math>\vec{p}_{\text{système}}=m_{\text{système}}\vec{v}_C</math> (''C'' étant le centre d'inertie du système)<ref name="perez" />.

La notion de quantité de mouvement s'introduit naturellement en [[dynamique (physique)|dynamique]] : la [[Lois du mouvement de Newton|relation fondamentale de la dynamique]] exprime le fait que l'action d'une force extérieure sur un système conduit à une variation de sa quantité de mouvement : <math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}_{\rm ext}</math>. Par ailleurs elle fait partie, avec l'[[énergie (physique)|énergie]], des [[loi de conservation|grandeurs qui se conservent]] pour un [[système isolé]], c'est-à-dire soumis à aucune action extérieure, ou si celles-ci sont négligeables ou se compensent. Cette propriété est utilisée notamment en [[Collision|théorie des collisions]].

En [[mécanique analytique]] ou [[mécanique quantique|quantique]] la quantité de mouvement apparaît naturellement comme la grandeur liée à l'invariance du [[opérateur hamiltonien|hamiltonien]] ou du [[lagrangien]] dans une translation d'espace, c'est-à-dire à la propriété d'homogénéité de l'espace, qui est effectivement vérifiée en l'absence de forces ou champs extérieurs. Sur un plan plus général il s'agit d'une des conséquences du [[théorème de Noether (physique)|théorème de Noether]] qui permet de relier [[symétrie continue]] d'un système et lois de conservation.

La notion d'[[Impulsion (physique)|impulsion]] ou moment linéaire généralise en [[mécanique analytique]] celle de quantité de mouvement, en tant que moment conjugué des [[coordonnées cartésiennes]] <math>q_i</math>, soit <math>p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}</math>. Quantité de mouvement et impulsion sont souvent confondues en raison de leur coïncidence dans la majorité des cas. Néanmoins ces deux grandeurs sont distinctes<ref>{{Cohen}}, tome {{I}}, 1977, {{chap.}}{{III}}, B, {{p.|225}}.</ref>{{,}}<ref>Voir également en mécanique classique {{Landau|Tome 1}} et {{Goldstein}}.</ref>. L'impulsion coïncide avec la quantité de mouvement lorsque les forces appliquées à la particule dérivent d'une [[énergie potentielle]]. L'analogue « angulaire » du moment linéaire est le moment angulaire généralement confondu avec le [[moment cinétique]]<ref group=alpha>Ainsi pour une particule libre de masse {{mvar|m}} en coordonnées sphériques, le lagrangien {{mvar|L}} est donné par <math>L(r,\theta,\phi)=\tfrac{1}{2}m\left(\dot{r}^2+r^2(\dot{\theta}^2+\sin^2 \theta\dot{\phi}^2)\right)</math>, et les moments conjugués sont donc <math>p_r=m\dot{r}</math>, <math>p_{\theta}=mr^2\dot{\theta}</math> et <math>p_{\phi}=mr^2\sin^2\theta\dot{\phi}</math>. Seul {{mvar|p{{ind|r}}}}, qui est le moment conjugué d'une variable linéaire, coïncide avec une quantité de mouvement (ici composante radiale), les deux autres moments conjugués de variables ''angulaires'' coïncident eux avec les deux composantes du [[Moment cinétique (mécanique classique)|moment cinétique]] de la particule, appelé parfois aussi pour cette raison moment ''angulaire''.</ref>.

Il est aussi possible de définir la quantité de mouvement, plus souvent alors appelée '''impulsion''', pour le [[champ électromagnétique]]. Le plus souvent, il est fait référence à la densité volumique d'impulsion du champ donnée par <math>\vec{g}=\varepsilon_0\vec{E}\wedge\vec{B}</math>.

En [[relativité restreinte|mécanique relativiste]], les notions de quantité de mouvement et d'énergie sont liées par l'introduction du [[quadrivecteur énergie-impulsion]] <math>p^\alpha = (\gamma m c,\gamma m\vec{v})</math>, où {{mvar|γ}} est le [[facteur de Lorentz]].

En [[mécanique quantique]], la quantité de mouvement est définie comme un « opérateur vectoriel », c'est-à-dire comme un ensemble de trois opérateurs (un par composante spatiale) qui respectent certaines relations de commutation (dites ''canoniques'') avec les composantes de l'[[opérateur de position]].

== Histoire ==
{{Article connexe| Inertie#Historique{{!}}Inertie (section Histoire)}}

=== Système aristotélicien ===
{{Article connexe|Mouvement (philosophie){{!}}Philosophie du mouvement|Physique (Aristote){{!}}Physique aristotélicienne|Impetus}}
On trouve une première formulation de la quantité de mouvement chez [[Jean Buridan]] (1292 - 1363), dans ses ''Questiones'' sur la physique d'[[Aristote]] : L{{'}}''[[impetus]]'' implanté augmente dans le même rapport que la vitesse. Quand un déménageur met un corps en mouvement, il y implante un certain ''impetus''. C'est une certaine force qui permet au corps de se déplacer dans la direction dans laquelle le déménageur démarre ce mouvement, qu'il soit vers le haut, vers le bas, vers le côté ou en cercle. C'est à cause de cet ''impetus'', dit-il, qu'une pierre se déplace après que le lanceur a cessé de la déplacer. Mais en raison de la résistance de l'air (et aussi de la gravité de la pierre) qui s'efforce de la déplacer dans le sens inverse du mouvement causé par l{{'}}''impetus'', celui-ci faiblira tout le temps. Par conséquent, le mouvement de la pierre sera progressivement plus lent et, finalement, l'impulsion est tellement diminuée ou détruite que la gravité de la pierre prévaut et déplace la pierre vers son lieu naturel. On peut, dit-il, accepter cette explication parce que les autres explications s'avèrent fausses alors que tous les phénomènes sont d'accord avec celle-ci. L'impulsion implantée, on notera, est causée par la vitesse et supposée proportionnelle à celle-ci. Ailleurs, Buridan l'a considérée comme proportionnelle au poids du corps. Dans les unités correctement choisies. L'expression {{Formule|§=''poids'' × ''vitesse''}} reproduite par l'historien des sciences [[Olaf Pedersen]], donne un sens précis à l{{'}}''impetus'', un concept qui était auparavant assez vague. Du point de vue formel, ce nouveau concept en dynamique est égal à la quantité de mouvement de la [[physique classique]], mais en réalité, les deux sont très différents parce qu'ils jouent différentes parties dans leurs théories dynamiques respectives. Le point important est que dans son sens médiéval, le mot ''impetus'' est une force avec le même statut physique que la gravité, la légèreté, le magnétisme{{etc.}} Néanmoins, la théorie pourrait bien avoir préparé la voie à la notion d'[[inertie]]<ref>{{en}} [[Olaf Pedersen]]. Early Physics and Astronomy: A Historical Introduction. CUP Archive, 11 mars 1993. Page 210</ref> qui le remplacera définitivement au {{s-|XVII}}.

=== Galilée et Descartes ===
[[Image:Newtons cradle animation book 2.gif|vignette|Le [[pendule de Newton]] illustre la [[conservation de la quantité de mouvement]].]]
Dans le ''[[Discours concernant deux sciences nouvelles|{{lang|it|Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze}}]]'' de [[Galilée (savant)|Galilée]], la conservation du mouvement, pourtant pleinement reconnue et utilisée, intervient seulement au cours de l’exposé. [[René Descartes]], mesurant toute sa portée, l’introduit comme une « loi de la nature » au seuil de sa philosophie naturelle. Toutefois le domaine d’application du système de Descartes reste la [[cosmologie]] philosophique. Il n'a pas la qualité d’une proposition scientifique, intrinsèquement liée aux conditions qu’exige une théorie géométrisée du mouvement. Par son association avec le concept d’une matière en soi indifférente au repos et au mouvement, Galilée est le précurseur direct du [[Lois du mouvement de Newton|principe classique d’inertie]], ouvrant la voie à une première théorie mathématisée du mouvement dont les résultats passeront intégralement dans la synthèse newtonienne<ref name="a">Clavelin Maurice, « Galilée et Descartes sur la conservation du mouvement acquis », Dix-septième siècle, 1/2009 ({{n°|242}}), {{p.|31-43}}. ([http://www.cairn.info/revue-dix-septieme-siecle-2009-1-page-31.htm lire en ligne]).</ref>.

=== Unités ===
L'[[unité dérivée du Système international|unité SI]] de quantité de mouvement est le kilogramme mètre par seconde {{unité|kg m s-1}}, équivalent au newton seconde ({{nb|N s}}).

L'unité dans le [[unités de mesure anglo-saxonnes|système d'unités anglo-saxonnes]] est la [[livre-force]] seconde ({{unité|lbf s}}) : {{unité|1 lbf s}} = {{unité|4,448221 N s}}. C'est la confusion entre ces deux unités, métrique et anglo-saxonne, qui a été la cause de la [[Mars Climate Orbiter#Perte de la sonde (23 septembre 1999)|perte de la sonde]] martienne ''[[Mars Climate Orbiter]]'' le {{date|23 septembre 1999}}, la poussée des petites corrections de trajectoire pour satelliser la sonde ayant été sous-estimée d'un facteur ~4,5.

== Mécanique classique ==
=== Définition en mécanique newtonienne ===
En [[mécanique classique]], la quantité de mouvement d'un [[point matériel]] de masse {{mvar|m}} animé d'une vitesse <math>\vec{v}</math> dans un [[Référentiel (physique)|référentiel]] donné est définie comme produit de sa masse et de sa vitesse<ref>{{Ouvrage |prénom1=Joseph |nom1=Kane |prénom2=Morton |nom2=Sternheim |titre=Physique |sous-titre=plus de 1900 problèmes et exercices, plus de 800 solutions |passage=161 |éditeur=Masson|collection=Enseignement de la physique |date=1997 |isbn=978-2-225-83137-9 |consulté le=2023-12-11}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |langue=fr |nom=Futura |titre=Définition {{!}} Quantité de mouvement |url=https://www.futura-sciences.com/sciences/definitions/physique-quantite-mouvement-4008/ |site=[[Futura (portail web)|Futura]] |consulté le=2023-12-11}}.</ref> :
:<math>\vec{p}=m\vec{v}</math>
C'est donc, comme la vitesse, une grandeur [[Espace vectoriel|vectorielle]], dont l'unité [[Système international d'unités|SI]] est le kilogramme mètre par seconde ({{nb|kg m s-1}}).

Cette grandeur est ''additive'', ainsi pour un système matériel composé de ''N'' particules, la quantité de mouvement totale (ou ''résultante cinétique'') du système est définie par :
:<math>\vec{p}=\sum_i{m_i \, \vec{v}_i}</math>.

En introduisant le [[centre d'inertie]] ''C'' du système dont le [[vecteur position]] est par définition <math>\vec{r}_C=\frac{\sum_i{m_i \vec{r}_i}}{\sum_i m_i}</math> il vient aussitôt par dérivation la relation<ref name="perez" /> :
:<math>\sum_i{m_i \vec{v}_i} = \left( \sum_i{m_i}\right) \vec{v}_C,</math>
autrement dit la quantité de mouvement totale du système est égale à la quantité de mouvement de son centre d'inertie ''C'' affectée de la ''masse totale'' <math>M=\sum_i{m_i}\,</math> du système :
{{Bloc emphase|<math>\vec{p}=M \, \vec{v}_C.</math>}}
Cette relation est valable pour tout type de système matériel, déformable ou non.

En [[mécanique du solide]], la quantité de mouvement est la résultante du [[torseur cinétique]].

=== Quantité de mouvement et forces ===
==== Relation fondamentale de la dynamique ====
La [[Lois du mouvement de Newton|relation fondamentale de la dynamique]] exprime le fait que l'action d'une [[Force (physique)|force]] fait varier la quantité de mouvement du point matériel dans un [[référentiel galiléen]]<ref group=alpha>Pour un [[Référentiel non inertiel|référentiel non galiléen]], il faut considérer en plus des forces « réelles » agissant sur le point matériel, c'est-à-dire des forces liées à l'action d'un autre corps matériel sur le système, des forces dite d'[[force d'inertie|inertie]] ou de repère, liées uniquement à son caractère non-inertiel, cf. notamment Perez, ''op. cit.''.</ref> :
: <math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\sum_i{\vec{F}_{i}}</math>
Cette relation se généralise aisément à un système matériel en ce qui concerne la quantité de mouvement totale du système, c'est-à-dire celle de son centre d'inertie ''C'' affecté de la masse totale du système<ref group=alpha>La démonstration de ce résultat fait intervenir la loi de l'action et de la réaction ou [[troisième loi de Newton]], cf. Perez, ''op. cit.''</ref>{{,}}<ref group=alpha>Là encore, pour un référentiel non galiléen, il faut tenir compte de l'action des forces d'inertie.</ref> :
:<math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\sum_i{\vec{F}_{i,\rm ext}}.</math>
Ce résultat est le '''théorème de la résultante cinétique''', ou théorème du centre d'inertie. Il montre que pour un système matériel, l'action des [[forces intérieures et forces extérieures|forces extérieures]] conduit à une variation de la quantité de mouvement du centre d'inertie du système<ref group=alpha>Ce résultat est valable pour tous les systèmes matériels, et pas seulement pour les [[Modèle du solide (mécanique)|solides]].</ref>{{,}}<ref name="perez" />.

==== Conservation de la quantité de mouvement ====
{{Article détaillé|Conservation de la quantité de mouvement}}
[[Image:Elastischer stoß3.gif|thumb|[[Collision élastique]] de masses inégales.]]
[[Image:Inelastischer stoß.gif|thumb|[[Collision inélastique]] entre deux masses égales.]]
[[Image:Elastischer stoß.gif|thumb|[[Collision élastique]] de masses égales.]]
[[Fichier:M102 Firing1 pd army mil.jpg|thumb|L'effet du recul pousse le tube de ce canon de type [[Howitzer 105 mm M102]] vers l'arrière.]]

En l'absence de [[forces intérieures et forces extérieures|forces extérieures]], ou si leur résultante est nulle, la quantité de mouvement d'un système matériel est donc une '''constante du mouvement''', puisque alors <math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}</math>. En [[mécanique analytique]] cette loi de conservation peut être reliée à l'invariance par translation dans l'espace du Lagrangien, voir ci-après.

Une illustration classique de la conservation de la quantité de mouvement est fournie par le [[pendule de Newton]], qui est souvent utilisé comme objet décoratif (''cf''. illustration ci-contre). Une bille à une extrémité est lâchée sans vitesse et acquiert une certaine quantité de mouvement, puis entre en collision avec les autres billes accolées. La bille à l'autre extrémité repart dans le même sens que la bille incidente, ayant acquis sa quantité de mouvement, qui se « transmet » à travers les billes accolées.

De façon générale, la conservation de la quantité de mouvement est très importante dans l'étude des [[Collision|chocs de particules]] ou de la désintégration (séparation en plusieurs parties) d'un système. En effet dans le cas d'un choc de deux (ou plus) corps matériel, la durée de l'interaction entre les corps est très brève et il est possible de négliger l'effet des interactions extérieures au système constitué par les corps en collision, dont la quantité de mouvement totale peut donc être considérée comme conservée. Il est important de souligner que l'[[énergie cinétique]] n'est en général ''pas'' conservée dans une collision, car il y a souvent changement de l'état interne des corps durant la collision : par exemple deux particules qui restent accolées au cours d'une collision, ce n'est que si la collision est ''[[Collision élastique|élastique]]'' que l'énergie cinétique est conservée, en plus de la quantité de mouvement ({{cf}} illustrations ci-contre).

Deux exemples classiques permettent d'illustrer l'application de la conservation de la quantité de mouvement dans l'étude des chocs ou de la désintégration d'un système :
* {{Souligner|Exemple 1 : choc de plein fouet d'une boule de billard par une autre :}} une boule de billard de masse ''m'' heurte de plein fouet (centres alignés) à la vitesse <math>\vec{v}_i</math> une autre boule de billard de masse ''m' '', initialement immobile. La conservation de la quantité de mouvement globale du système {boule 1 + boule 2} pendant la durée très brève du choc implique :
:<math>m \, \vec{v}_i = m \, \vec{v}_f + m'\, \vec{v}'_f</math>, soit <math>m'\, \vec{v}'_f = -m\,(\vec{v}_f-\vec{v}_i)=-m \,\Delta \vec{v}_i</math>,
où <math>\Delta \vec{v}_i</math> est la variation de la vitesse de la première boule pendant le choc. Si le choc est de plein fouet alors <math>\Delta \vec{v}_i</math> et <math>\vec{v}'_f</math> sont colinéaires et alors la deuxième boule part à la vitesse de valeur <math>v'_f=\frac{m}{m'}|\Delta v_i|</math>. À la limite il peut y avoir transfert de la totalité de la quantité de mouvement de la première boule sur la deuxième et alors <math>v'_f=\frac{m}{m'}v_i</math>.
* {{Souligner|Exemple 2 : [[recul d'une arme à feu]] :}} lorsqu'une arme à feu est utilisée, le système {arme de masse ''M'' + balle de masse ''m''} peut être considéré comme isolé, l'action du poids étant négligeable. Dans ce cas, et l'arme étant supposée immobile dans le référentiel d'étude, la conservation de la quantité de mouvement du système avant et après le tir implique que :
:<math>\vec{0}= \vec{p}_{\text{arme}}+\vec{p}_{\text{balle}} = m_{\text{arme}} \, \vec{v}_{\text{arme}}+m_{\text{balle}} \, \vec{v}_{\text{balle}}</math>,
:<math>\vec{v}_{\text{balle}}</math> et <math>\vec{v}_{\text{arme}}</math> désignant respectivement la vitesse de la balle et celle de l'arme juste après le tir. Voir l'article détaillé : [[recul d'une arme à feu]].
[[File:Expérience_de_Tsiolkovsky.gif|thumb]]
Par suite, il y a un phénomène de recul de l'arme à la vitesse <math>\vec{v}_{\text{arme}}=-\frac{m_{\text{balle}}}{m_{\text{arme}}} \, \vec{v}_{\text{balle}}</math>.

Le même phénomène intervient lorsqu'un objet lourd (une pierre) est projeté depuis une barque (image ci-contre). C'est la fameuse [[Équation de Tsiolkovski#L'expérience de la barque, de Tsiolkovski|expérience de la barque de Tsiolkovski]].
[[Fichier:Apollo 11 Saturn V lifting off on July 16, 1969.jpg|thumb|La propulsion d'une fusée utilise la conservation de la quantité de mouvement du système {fusée + gaz brûlés}. Ici, décollage de la fusée {{nobr|Saturn V}} de la mission ''{{lnobr|Apollo 11}}''.]]

De façon générale, ce phénomène permet de comprendre le principe du [[moteur-fusée]] ({{cf}} figure ci-contre) : l'expulsion d'une masse ''<math>-\mathrm{d}m</math> (dm étant la variation de masse du vaisseau qui est négative)'' de matière à la vitesse d'éjection <math>\vec{v}_e</math> pendant d''t'' conduit — du fait de la conservation de la quantité de mouvement — (et en négligeant l'action des [[forces intérieures et forces extérieures|forces extérieures]]) à faire varier la vitesse de la [[fusée (astronautique)|fusée spatiale]] de <math>m \, \mathrm{d}\vec{v}=\mathrm{d}m \, \vec{v}_e</math>. En intégrant sur une durée finie <math>\Delta t</math>, la vitesse de la fusée (de masse initiale ''m''{{ind|0}}) varie donc de <math>\Delta \vec{v} = \vec{v}_e \ln{\left(1+\frac{\Delta m }{m_0}\right)}</math> avec {{math|Δ''m'' < 0}} puisque la fusée perd de la masse. Ainsi, la fusée se déplace dans le sens opposé aux gaz éjectés (voir [[Équation de Tsiolkovski]]).

* {{Souligner|Exemple 3 : [[portance (aérodynamique)|portance]] d'une aile :}} Il est possible de calculer la portance d'une aile en sommant les forces élémentaires de pression agissant en chaque point de cette aile. Cependant, la production de portance par une aile est intrinsèquement due à la projection vers le bas de l'air s'écoulant sur cette aile (on peut donc dire que ''l'aile fonctionne à réaction''<ref>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=Danang |nom1=Ispambudi |titre=Fundamentals of Aerodynamics |numéro édition=5 |lire en ligne=https://www.academia.edu/39970945/Fundamentals_of_Aerodynamics_Fifth_Edition |consulté le=2024-04-04}}. {{Commentaire biblio|John D. Anderson écrit, {{p.|478}} : {{Citation|Dans un document donné lors d'une réunion des représentants de la science aéronautique à Göttingen en novembre 1911, [...] Prandtl déclare : {{Citation|La portance générée par l'avion est, du fait du principe d'action et de réaction, nécessairement liée à un courant descendant derrière l'avion}}.}}}}</ref>{{,}}<ref>Rebuffet, ''Aérodynamique expérimentale'', p. 334, en regard d'un schéma de la projection vers le bas des lignes de courant : {{Citation|Plaçons-nous à l'infini aval : chaque seconde, une certaine masse fluide M, animée en amont de la vitesse Vo et qui a été intéressée à l'écoulement autour de l'aile, se trouve ainsi déviée vers le bas.
Cet aspect physique de la question conduit, par l'application du théorème des quantités de mouvement, à considérer la sustentation comme résultant de la variation de quantité de mouvement de la masse M ; la difficulté réside dans le calcul de [la masse fluide déviée] M.}}

Plus loin, le même Rebuffet calcule que {{Citation|Pour une aile à répartition elliptique [de la sustentation], la surface [d'air dévié par l'aile] serait égale à celle d'un cercle dont le diamètre est l'envergure de l'aile [...]}}. Cette approximation est souvent utilisée. S. F. Hoerner écrit d'ailleurs dans son ouvrage ''Fluid-dynamic lift'' ([https://archive.org/details/FluidDynamicLiftHoerner1985 lire en ligne]) : {{Citation étrangère|langue=en|In wings with an elliptical distribution of lift or load along the span, the affected stream is equal in magnitude (but it is not identical) to that contained in a cylinder having a diameter equal to the wing span ‘b’}}. Il va même plus loin, où il fait remarquer : {{Citation étrangère|langue=en|Behind the airplane, the cylinder is thus inclined against the horizontal at the downwash angle s {{=}} w/V, until it finally meets the ground. There, the momentum imparted by the airplane upon the cylinder of air, is transferred onto the earth in the form of pressure. In this manner, the airplane may thus be considered as being supported from the ground}}.</ref>

De même, la mesure en soufflerie de la variation de quantité de mouvement horizontale de l'air s'écoulant autour d'une aile permet de calculer la [[traînée]] [[aérodynamique]] de cette aile.

==== Notion de percussion mécanique ====
Une variation de quantité de mouvement consécutive à l'action d'une force est donc calculée comme étant l'[[Intégration (mathématiques)|intégrale]] de la [[Force (physique)|force]] pendant la durée d'action de la force. Pour un objet de quantité de mouvement initiale <math>\vec{p}_1=\vec{p}(t_1)</math>à un instant {{math|''t''{{ind|1}}}}, qui subit une force <math>\vec{F}(t)</math> pendant une durée {{math|''t''{{ind|2}} – ''t''{{ind|1}}}}, l'intégrale de cette force par rapport au temps, pendant cette durée, est égale à :
:<math>\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,\mathrm{d}t</math>.
En utilisant la relation fondamentale de la dynamique <math>\vec{F}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{p}(t)}{\mathrm{d}t}</math>, on obtient :
:<math>\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{d}\vec{p}(t)}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = \int_{t_1}^{t_2}\mathrm{d}\vec{p}=\vec{p}_2-\vec{p}_1=\Delta \vec{p}</math>.

L'usage, dérivé de l'appellation anglo-saxonne ''impulse'', est d'appeler cette grandeur « impulsion ». Néanmoins, en toute rigueur, en français ''impulsion'' désigne le moment conjugué, grandeur de la [[mécanique lagrangienne]]. Lorsque la durée d'action de la force est très courte, la grandeur {{Mvar|I}} précédente est appelée '''''[[percussion mécanique]]''''', en raison de son importance dans la théorie des chocs.

=== Définition en mécanique analytique ===
En [[mécanique lagrangienne]], l'état d'un système de ''N'' particules (3''N'' degrés de liberté) est décrit par son [[Lagrangien]] noté <math>L(\vec{q}_i, \dot{\vec{q}}_i,t)\,</math>, où <math>\vec{q}_i</math> et <math>\dot{\vec{q}}_i</math> désigne les coordonnées et vitesses généralisées sous formes vectorielles de la ''i-ème'' particule (''i'' = 1,...,''N'').

==== Notion de moment conjugué ou impulsion généralisée ====
Pour chaque particule il est possible de définir le moment conjugué (ou impulsion généralisée) de <math>\vec{q}_i</math> par la relation<ref group=alpha>Cette notion permet de passer au [[Mécanique hamiltonienne|formalisme hamiltonien]] par [[transformation de Legendre]] sur <math>\dot{\vec{q_i}}\,</math>.</ref>{{,}}<ref group=alpha>La grandeur définie par <math>\vec{Q}_i = \frac{\partial L}{\partial \vec{q}_i}</math> est appelée parfois « force généralisée ». Elle ne correspond ''pas'' en général à la notion de force en mécanique de Newton, sauf en coordonnées cartésiennes.</ref> :
:<math>\vec{p}_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{q}}_i}</math>
Le symbole <math>\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{q}}_i}</math> désignant l'opérateur gradient évalué par rapport aux composantes de la vitesse généralisée <math>\dot{\vec{q}}_i</math> de la ''i''-ème particule.

D'après les [[équations de Lagrange]], qui s'écrivent avec les mêmes notations <math>\frac{\rm d}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{q}}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial \vec{q}_i}=0</math> il vient aussitôt <math>\dot{\vec{p}}_i=\frac{\partial L}{\partial \vec{q}_i}</math>, et si la coordonnée <math>\vec{q}_i</math> est cyclique, c'est-à-dire que le lagrangien <math>L</math> ne dépend pas de celle-ci, alors <math>\dot{\vec{p}}_i = 0</math> et donc le moment conjugué <math>\vec{p}_i</math> est conservé<ref group=alpha>Si seule la composante <math>q_{i,\alpha}\,</math> de cette coordonnée généralisée est cyclique, seule la composante correspondante <math>p_{_i,\alpha}\,</math> du moment se conservera. Voir exemple ci-après.</ref>.

==== Distinction moment conjugué - quantité de mouvement ====
La notion de [[moment linéaire]] ne correspond pas en général à celle de la quantité de mouvement.

Par exemple, dans le cas du mouvement d'un seul point matériel dans un [[Mouvement à force centrale|potentiel central]] {{math|''V''(''r'')}}, ne dépendant que de la distance {{mvar|r}} à une origine {{mvar|O}}, le mouvement est plan (2 degrés de liberté) et le Lagrangien du système peut s'écrire aisément en coordonnées cylindro-polaires sous la forme :
:<math>L(r,\theta,\dot{r},\dot{\theta})= \frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-V(r)</math>,
et le moment conjugué de <math>\theta</math> est donc <math>p_{\theta}= \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^2\dot{\theta}</math> qui est la valeur du [[moment cinétique]] de la particule (qui dans ce cas est conservée car ''L'' ne dépend pas de ''θ'').

Ce n'est que si les coordonnées généralisées coïncident avec les [[coordonnées cartésiennes]] (''i.e.'' {{math|''q{{ind|i}}'' {{=}} (''x{{ind|i}}'', ''y{{ind|i}}'', ''z{{ind|i}}'')}}) et en l'absence de [[champ électromagnétique]] que <math>\vec{p}_i = m_i \, \vec{v}_i</math> et donc que le moment linéaire correspond à la quantité de mouvement de chaque particule. En effet dans ce cas les équations de Lagrange s'identifient avec celles données par la [[Lois du mouvement de Newton|relation fondamentale de dynamique]] appliquée à chaque particule.

Si les coordonnées cartésiennes sont utilisées et que les particules, qui portent une charge {{mvar|Q{{ind|i}}}} sont en présence d'un champ électromagnétique, défini par les [[Potentiel électrique|potentiels scalaire]] et [[Potentiel vecteur du champ magnétique|vecteur]] du champ notés <math>(\phi,\vec{A})</math>, le Lagrangien du système fait intervenir le potentiel généralisé :<math>V(\vec{r}_i,\dot{\vec{v}}_i,t)= \sum_i{(Q_i \, \phi-Q_i \, \vec{v}_i \cdot \vec{A})}</math><ref>Voir notamment {{Goldstein}} à ce sujet.</ref>,
et dans ce cas le [[moment linéaire]] s'écrit du fait des équations de Lagrange
:<math>\vec{p}_i=m_i \, \vec{v}_i+Q_i \, \vec{A}=\vec{\pi}_i+Q_i \, \vec{A}</math>, en notant <math>\vec{\pi}_i = m_i \, \vec{v}_i</math> la quantité de mouvement de la particule.

Le moment conjugué <math>\vec{p}_i</math> est alors dans ce cas désigné sous le nom d'[[Impulsion (physique)|impulsion]] pour le distinguer de la quantité de mouvement <math>\vec{\pi}_i \,</math>.

==== Quantité de mouvement et invariance par translation dans l'espace ====
Une translation infinitésimale du système dans l'espace est définie par la transformation <math>\vec{r}_i\;\to \vec{r}_i+\delta\vec{r}</math> appliquée à chaque particule, <math>\delta\vec{r}</math> étant le vecteur de translation élémentaire. Il est évident puisque <math>\dot{\delta\vec{r}}=\vec{0}</math> que cette translation laisse inchangée les vecteurs vitesses <math>\vec{v}_i</math> des particules, qui coïncident avec les vitesses généralisées pour les coordonnées cartésiennes.

Si le Lagrangien du système est invariant par translation dans l'espace, alors nécessairement sa variation élémentaire <math>\delta L \,</math> correspondante est nulle au premier ordre en <math>\delta\vec{r}</math>.

D'après les équations de Lagrange, et en opérant en coordonnées cartésiennes, cette condition s'écrit sous la forme :
:<math>\delta L = \sum_i{\left( \frac{\partial L}{\partial \vec{r}_i}\cdot\delta\vec{r} \right)}=\sum_i{\left[\frac{\rm d}{\mathrm {d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \vec{v}_i}\right)\cdot\delta\vec{r}\right]}=\frac{\rm d}{\mathrm{d}t}\left(\sum_i m_i\vec{v_i}\right)\cdot\delta\vec{r} = 0</math>,

or la translation élémentaire <math>\delta\vec{r}\,</math> envisagée étant arbitraire, l'invariance par translation du Lagrangien implique que la quantité de mouvement totale du système <math>\vec{\Pi}=\sum_i m_i \, \vec{v}_i</math> est conservée<ref>{{Landau|tome 1}}.</ref>.

Ainsi la quantité de mouvement apparaît naturellement en mécanique analytique comme la grandeur conservée associée à l'invariance par translation du Lagrangien (ou du Hamiltonien), c'est-à-dire à la propriété d'homogénéité de l'espace. Il s'agit d'un cas particulier du [[Théorème de Noether (physique)|théorème de Noether]].

==== Formalisme hamiltonien ====
Dans le [[Mécanique hamiltonienne|formalisme hamiltonien]] la description de l'état du système à ''N'' degrés de liberté se fait en termes des ''N'' coordonnées et impulsions généralisées {{mvar|q{{ind|i}}}} et {{mvar|p{{ind|i}}}}, qui interviennent dans l'expression du Hamiltonien {{math|''H''(''q'', ''p'', ''t'')}} du système.

Il est possible d'introduire le [[crochet de Poisson]] de deux grandeurs arbitraires {{math|''f''(''q'', ''p'')}} et {{math|''g''(''q'', ''p'')}} fonction des coordonnées et impulsions généralisées, défini par :
:<math>\{f,g\}=\sum_i{\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)}</math>.

Dans le cas particulier où {{math|''f'' {{=}} ''q{{ind|i}}''}} et {{math|''g'' {{=}} ''p{{ind|i}}''}}, il vient {{math|{''q{{ind|i}}'', ''p{{ind|i}}''} {{=}} 1}} : ce résultat permet de généraliser la notion de position et de quantité de mouvement en mécanique quantique, en permettant de définir par le [[principe de correspondance]] une [[relation de commutation canonique]] entre les deux opérateurs.

== Mécanique des fluides ==
=== Définition en mécanique des fluides ===
Dans le cadre de la [[description eulérienne]] des fluides, les équations sont généralement présentées sous forme locale (en un point). On s'affranchit alors de la notion de volume en définissant en tout point du fluide le vecteur quantité de mouvement par<blockquote><math>\rho(M,t) \; \vec v(M,t)</math> </blockquote>avec {{mvar|ρ}} la [[masse volumique]] du fluide étudié au point {{mvar|M}} à l'instant {{mvar|t}} et <math>\vec v(M,t)</math> la vitesse de la [[Particule fluide|particule de fluide]] se trouvant au point {{mvar|M}} à l'instant {{mvar|t}}. Si le fluide est incompressible, {{mvar|ρ}} est constant dans le temps et dans l'espace.

=== Théorème de la quantité de mouvement pour un fluide ===
Le théorème de la quantité de mouvement pour un fluide s'écrit :<blockquote><math>\sum \vec F_{\mathrm{(ext/fluide)}} = 
\iiint_V \frac{\partial (\rho \vec v)}{\partial t} \, \mathrm d V
+ \iint_S ( \rho \vec v) \cdot ( \vec v \cdot \vec n ) \, \mathrm d S</math></blockquote>À noter que les forces exercées par l'extérieur sur le fluide sont de deux types : les forces à distance (volumiques) et les forces au contact (surfaciques) :<blockquote><math>\sum \vec F_{\mathrm{(ext/fluide)}} = 
\iiint_V \vec f \, \mathrm d V
+ \iint_S \vec \tau \, \mathrm d S</math></blockquote>Un exemple de force volumique est le poids et un exemple de force surfacique sont les forces de friction (on parle plutôt de [[viscosité]]).

== Mécanique relativiste ==
{{Loupe|Quadri-moment}}

Lorsqu'[[Albert Einstein]] formula sa théorie de la [[relativité restreinte]], il adapta la définition de la quantité de mouvement en un vecteur en quatre dimensions ([[quadrivecteur]]) appelé le [[quadri-moment]], égal à la [[quadrivitesse]] multipliée par la masse du corps. Le quadri-moment reste lui aussi constant au cours du temps en l'absence de force extérieure.

De plus, la norme du quadri-moment est invariante par changement de [[référentiel inertiel]]. Plus précisément, la [[pseudo-norme]] est invariante par les [[transformations de Lorentz]], ce qui traduit l'invariance de la [[masse]] ''m'' du corps (et de son énergie ''au repos'' : [[mc²]]). Par contre, il y a changement des coordonnées du quadri-moment d'un référentiel à l'autre, et cela traduit le fait que la vitesse du corps et son [[énergie cinétique]] sont différentes d'un référentiel à l'autre.

L'expression de la quadri-vitesse d'une particule de vitesse spatiale ''v'' inférieure à ''c'' est :
:<math>u^\alpha=(\gamma c,\gamma \vec{v}),</math>
où <math>\vec{v}</math> représente le vecteur vitesse classique de la particule, et <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math> est un facteur appelé ''gamma relativiste'' ou [[facteur de Lorentz]], {{mvar|c}} étant la [[vitesse de la lumière]]. Le carré de la norme de ce quadrivecteur est donné par <math>u^\alpha\cdot u_\alpha = \gamma^2(c^2-v^2)=c^2</math>.

Le quadrivecteur impulsion-énergie qui généralise en mécanique relativiste la notion de quantité de mouvement s'obtient en considérant {{math|''p{{exp|α}}'' {{=}} ''μ{{exp|α}}''}} par analogie avec la définition classique, ce qui donne <math>p^\alpha = (\gamma \,m \, c,\gamma \, m \, \vec{v})=\left( \frac{E}{c},\vec{p} \right)</math>, avec :
*<math>E = \gamma \, m \, c^2</math>, énergie relativiste de la particule ;
* et <math>\vec{p}=\gamma \, m \, \vec{v}</math>, quantité de mouvement relativiste de la particule et dont la norme classique est l'énergie cinétique.

Le carré de la norme de ce [[quadrivecteur]] est la grandeur qui reste invariante lors d'une transformation de Lorentz, et qui est nécessairement égale au carré de la norme de {{mvar|μ{{exp|α}}}}<math>mu^\alpha</math> soit {{math|''m''{{2}}''c''{{2}}}}, par suite 
:<math>E^2-c^2\mathbf{p}^2=m^2c^4</math>

L'[[Invariance de Lorentz|invariant relativiste]] associé à ce quadrivecteur est donc l'[[énergie de masse]] de la particule (de même que la masse demeure inchangée en [[mécanique newtonienne]] par changement de référentiel).

Les objets de masse nulle, tels que les [[photon]]s, possèdent aussi un 4-moment où la pseudo-norme du quadrivecteur {{math|'''p'''}} est nulle. On a dans ce cas :

:<math>\mathbf{E}^2-p^2 c^2 = m^2 c^4=0</math> d'où {{math|''p'' {{=}} ''E''/''c''}} pour la norme de la quantité de mouvement classique.

== Impulsion du champ électromagnétique ==
La notion de quantité de mouvement n'est pas limitée à un corps matériel, mais peut être étendue à un champ comme le champ électromagnétique, pour lequel elle porte plutôt le nom d'impulsion, pour éviter toute confusion. L'impulsion du [[champ électromagnétique]] correspondant à un volume ''V'' est donnée par :
:<math>\vec{P}_{\rm EM}=\iiint_{V} {\varepsilon_0\left(\vec{E}\wedge\vec{B}\right)\, \mathrm{d}\tau}</math>.

La quantité <math>\vec{g}=\varepsilon_0\vec{E}\wedge\vec{B}</math> correspond à la ''densité d'impulsion électromagnétique'', c'est-à-dire à l'impulsion du champ électromagnétique par unité de volume. Elle est directement liée au [[vecteur de Poynting]] <math>\vec{R}=\frac{\vec{E}\wedge\vec{B}}{\mu_0}</math> puisque <math>\vec{g}=\frac{\vec{R}}{c^2}</math>.

Il est possible de montrer que cette quantité correspond bien à la densité d'impulsion liée au champ électromagnétique en considérant son interaction avec les charges et les courants présents dans un volume ''V'' arbitraire, délimité par la surface fermée {{math|(''S'')}}<ref group=alpha>Le volume {{math|(''V'')}} est considéré comme [[Connexité simple|simplement connexe]].</ref> : de par la conservation de l'impulsion du système global {charges + courants + champ e.m}, la variation des densités d'impulsions des charges et courants et du champ doit être égale au flux de densité d'impulsion à travers la surface {{math|(''S'')}}.

L'interaction entre le champ et les charges et les courants fait intervenir la densité de [[force de Lorentz]] <math>\vec{f}=\rho\vec{E}+\vec{j}\wedge\vec{B}</math>, or d'après les [[équations de Maxwell]], il vient :
* pour la [[densité de charge]] : <math>\rho=\varepsilon_0\operatorname{div}\vec{E}</math> ;
* pour la [[densité de courant]] : <math>\vec{j}=\vec{\operatorname{rot}}\left(\frac{\vec{B}}{\mu_0}\right)-\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}</math>,
ce qui donne par substitution :
:<math>\vec{f}=\left(\varepsilon_0\operatorname{div}\vec{E}\right)\vec{E}+\vec{\operatorname{rot}}\left(\frac{\vec{B}}{\mu_0}\right)\wedge\vec{B}-\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\wedge\vec{B}</math>,
or d'après l'identité <math>\frac{\partial}{\partial t}\left(\varepsilon_0\vec{E}\wedge\vec{B}\right)=\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\wedge\vec{B}+\varepsilon_0\vec{E}\wedge\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}</math>, il vient :
:<math>\vec{f}+\frac{\partial}{\partial t}\left(\varepsilon_0\vec{E}\wedge\vec{B}\right)=\left(\varepsilon_0\operatorname{div}\vec{E}\right)\vec{E}+\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\wedge\vec{B}+\vec{\operatorname{rot}}\left(\frac{\vec{B}}{\mu_0}\right)\wedge\vec{B}</math>,
le terme de droite pouvant être rendu plus symétrique en utilisant les deux équations de Maxwell donnant la structure du champ :
* <math>\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}</math> ;
* <math>\operatorname{div}\vec{B}=0</math>,
ce qui donne finalement :
:<math>\vec{f}+\frac{\partial}{\partial t}\left(\varepsilon_0\vec{E}\wedge\vec{B}\right)=\left(\left(\varepsilon_0\operatorname{div}\vec{E}\right)\vec{E}-\varepsilon_0\vec{E}\wedge\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}\right)+\left((\operatorname{div}\vec{B})\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\frac{\vec{B}}{\mu_0}\wedge\vec{\operatorname{rot}}\vec{B}\right)</math>,
le terme de droite peut alors se mettre sous la forme de la divergence du [[tenseur des contraintes de Maxwell]] :
:<math>\sigma_{i j} = \varepsilon_0 E_i E_j + \frac{1}
{{\mu _0 }}B_i B_j - \frac{1}{2}\left({\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}
{{\mu _0 }}B^2 } \right)\delta _{ij}</math>,

soit finalement :
:<math>\vec{f} + \frac{\partial}{\partial t}\left(\varepsilon_0\vec{E}\wedge\vec{B}\right) = \nabla \cdot \mathbf{\sigma}</math>,
cette dernière équation apparaît bien sous la forme d'une équation locale de bilan, le terme de gauche donnant la variation temporelle de la densité locale d'impulsion du système des charges et courants (<math>\vec{f}</math>) et du champ (terme en <math>\frac{\partial \vec{g}}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial t}\left(\varepsilon_0\vec{E}\wedge\vec{B}\right)</math>), le terme de droite correspondant aux échanges avec le reste. Ainsi, <math>\vec{g}</math> peut être assimilée à la densité d'impulsion du champ électromagnétique.

== Mécanique quantique ==
En [[mécanique quantique]], l'état d'un système à un instant ''t'' est décrit par un [[État quantique|vecteur d'état]] noté <math>|\Psi(t)\rangle</math> appartenant à l'espace des états <math>\mathcal{E}</math> du système (celui-ci possède une structure d'[[espace de Hilbert]]). Les différentes [[Grandeur physique|grandeurs physiques]] usuelles (position, énergie, etc.) sont alors des [[opérateur hermitique|opérateurs hermitiens]], donc à valeurs propres réelles, appelé ''observables''.

La notion d{{'}}''impulsion'' {{Incise|qui est souvent confondue avec la quantité de mouvement}} d'une particule, correspond à un opérateur, un ensemble de trois opérateurs correspondant chacun aux trois composantes d'espaces, dits opérateurs scalaires, qu'il est possible de regrouper, par analogie avec le cas classique en un opérateur dit ''vectoriel'', dit opérateur impulsion, noté <math>\hat{\vec{\mathbf{p}}}</math>.

=== Opérateurs position et impulsion - relations de commutation canoniques ===
Par définition, l'[[opérateur de position]] <math>\hat{\vec{\mathbf{r}}}</math> et l'opérateur impulsion <math>\hat{\vec{\mathbf{p}}}</math> sont des opérateurs vectoriels, dont les trois opérateurs scalaires agissant sur les différentes composantes {{math|''j''{{=}}''x'',''y'',''z''}} correspondent aux diverses directions d'espace et obéissent aux relations de commutation canoniques suivantes :
:<math>\begin{cases}
\left[\hat{\mathbf{x}}_j,\hat{\mathbf{p}}_k\right]=i\hbar \delta_{jk}\hat{1} \\
\left[\hat{\mathbf{p}}_j,\hat{\mathbf{p}}_k\right]= \left[\hat{\mathbf{x}}_j,\hat{\mathbf{x}}_k\right]=0
\end{cases}
</math>

La première relation de commutation se déduit formellement par analogie avec le crochet de Poisson {{math|{''q{{ind|j}}'', ''p{{ind|k}}''} {{=}} ''δ{{ind|jk}}''}} entre coordonnées et impulsions généralisées en mécanique hamiltonienne, en appliquant la prescription (principe de correspondance): <math>[\hat{x}_j,\hat{p}_k] \quad \leftrightarrow \quad i\hbar\{x_j,p_k\}</math>.

La non-commutativité entre <math>\hat{\mathbf{x}}</math> et <math>\hat{\mathbf{p}}_\mathbf{x}</math> (''idem'' pour les autres composantes) implique ''qu'il n'est pas possible de mesurer simultanément la position et la quantité de mouvement (et donc la vitesse) d'une particule''. Il existe donc des inégalités, dites de [[Principe d'incertitude|Heisenberg]], sur les écart-types moyens notés {{math|Δ''x''}} et {{math|Δ ''p{{ind|x}}''}} de la mesure de chacune des deux grandeurs{{note| groupe=alpha| {{refnec|Les relations d'incertitude d'Heisenberg sont la conséquence mathématique du fait que position et impulsion sont, à un facteur constant près, les transformées de Fourier l'une de l'autre : quelle que soit la fonction <math>f()</math> de transformée <math>F()</math>, on a <math>\Delta f()\,\Delta F()\geqslant\frac14</math>.| date=17 avril 2022}}}} : <math>\Delta x\,\Delta p_x\geqslant\frac\hbar2</math>. 

La conséquence de ces relations est que la notion de trajectoire n'existe pas pour une particule quantique.

De façon heuristique, cette situation peut aisément se comprendre. En effet si l'on cherche à localiser avec précision une particule, il faut utiliser une onde de courte [[longueur d'onde]], donc de grande énergie. Or cette énergie va être nécessairement transmise, en tout ou en partie à la particule, modifiant de façon appréciable sa quantité de mouvement. Il sera possible d'utiliser une onde de plus grande longueur d'onde, mais alors l'incertitude sur la mesure de la position augmentera.

=== Expression en représentation position ===
En représentation position, où l'état du système peut être décrit par sa [[fonction d'onde]] <math>\psi\left(\vec{r},t\right)=\langle\vec{r}|\Psi(t)\rangle</math>, l'opérateur position pour une composante ''x'' donnée correspond simplement à la multiplication de la fonction d'onde par celle-ci :
:<math>\hat{\mathbf{x}}\psi=x\cdot\psi</math>,

il est alors facile de vérifier que du fait de la [[relation de commutation canonique]] entre <math>\hat{x}</math> et <math>\hat{p}_x</math> la quantité de mouvement dans la direction <math>x</math>, pour une particule sans [[charge électrique]] et sans spin, est donné par l'opérateur :
:<math>\hat{\mathbf{p}}_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}</math>,
l'opérateur vectoriel de quantité de mouvement <math>\hat{\vec{\mathbf{p}}}</math> s'écrit ainsi sous forme intrinsèque :
:<math>\hat{\vec{\mathbf{p}}}=-i\hbar\vec{\nabla}</math>.

=== Expression en représentation impulsion ===
En représentation impulsion l'état du système est décrit par la fonction d'onde « en impulsion » <math>\psi\left(\vec{p},t\right)=\langle\vec{p}|\Psi(t)\rangle</math>, l'opérateur impulsion pour une composante ''x'' donnée correspond simplement à la multiplication de la fonction d'onde par celui-ci:
:<math>\hat{\mathbf{p}}_\mathbf{x}\psi=p_x\cdot\psi</math>,

il est alors facile de vérifier que du fait de la relation de commutation canonique entre <math>\hat{\mathbf{x}}</math> et <math>\hat{\mathbf{p}}_\mathbf{x}</math> l'expression de l'opérateur position <math>\hat{\mathbf{x}}</math>, pour une particule sans charge électrique et sans spin, est donné par:
:<math>\hat{\mathbf{x}}=i\hbar\frac{\partial}{\partial p_x}</math>,
l'opérateur vectoriel de position <math>\hat{\vec{\mathbf{r}}}</math> s'écrit ainsi dans cette représentation sous forme intrinsèque :
:<math>\hat{\vec{\mathbf{r}}}=i\hbar\vec{\nabla}_{p}</math>.

=== États propres et conservation de l'impulsion ===
Les états propres de l'opérateur quantité de mouvement, c'est-à-dire les états pour lequel la quantité de mouvement de la particule a une valeur déterminée, sont donnés en représentation position à une dimension selon ''x'' par l'équation aux valeurs propres :
:<math>\hat{\mathbf{p}}_x\psi_{px}=p_x\psi_{px}</math> soit <math>-\mathrm{i} \, \hbar\frac{\partial \psi_{px}}{\partial x}=p_x\psi_{px}</math>, il vient aussitôt <math>\psi_{px}(x)=C\exp \left( \mathrm{i} \, \frac{p_x x}{\hbar} \right)</math>.
La valeur de {{mvar|p{{ind|x}}}} n'est pas quantifiée ''a priori'', sauf si des conditions particulières sont imposées à la particule, par exemple si elle confinée dans une [[particule dans une boîte|boîte]].

Ce résultat se généralise aussitôt à trois dimensions sous la forme <math>\psi_p(\vec{r})=C\exp{\left( \mathrm{i} \, \frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{\hbar}\right)}=C\exp{\left(\mathrm{i}\,\vec{k}\cdot\vec{r}\right)}</math>, où <math>\vec{k}=\frac{\vec{p}}{\hbar}</math> est le [[vecteur d'onde]] de la particule. Ces états ne sont pas normalisables au sens usuel (ce ne sont pas des fonctions de [[carré sommable]]), mais il est possible de les normaliser « au sens des distributions » :
:<math>\int{\psi_{p'}(\vec{r})\psi_p(\vec{r}) d^3\vec{r}} = \delta\left(\vec{p}\ '-\vec{p}\right)</math>.
Avec cette condition de normalisation il est possible de montrer que <math>C=\frac{1}{\left(2\pi\hbar\right)^{3/2}}</math>, en prenant pour convention de phase ''C'' réel<ref>{{Landau|tome 3}}, §15.</ref> et les états propres normalisés de l'opérateur impulsion s'écrivent ainsi en représentation position:
:<math>\psi_p(\vec{r})=\frac{1}{\left(2\pi\hbar\right)^{3/2}}\exp{\left(\mathrm{i} \, \frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{\hbar}\right)}</math>.

Pour un système stationnaire, l'opérateur hamiltonien du système s'exprime en fonction de l'opérateur quantité de mouvement : <math>\hat{\mathbf{H}}=\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}+V(\vec{r})</math> (particule sans spin en l'absence de [[champ magnétique]]). En général, du fait de la non-commutation entre opérateur impulsion et position, les états propres de l'impulsion ne sont pas états propres du hamiltonien.

[[File:InfiniteSquareWellAnimation.gif|vignette|redresse=1.2|Quelques états d'une particule libre dans une « boîte » unidimensionnelle : (A) correspond au mouvement classique, (B,C,D) correspondent à des états propres d'énergie croissante, (en bleu, partie réelle de {{mvar|ψ}}, en rouge la partie imaginaire), (E,F) correspondent à des états quelconques, superposition d'états propres.]]

Toutefois, dans le cas d'une particule libre <math>V(\vec{r})=0</math> dans tout l'espace, et les états propres du hamiltonien sont ceux de l'impulsion, car alors <math>\hat{\vec{\mathbf{p}}}</math> et <math>\hat{\mathbf{H}}</math> commutent entre eux. Les états propres d'énergie <math>E=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}</math> ne sont donc pas quantifiés, et sont qualifiés de ''continus''. Ils correspondent chacun à une valeur donnée de l'impulsion<ref group=alpha>Il existe une description alternative, en écrivant l'équation de Schrödinger en coordonnées sphérique et en tenant compte de la séparation radiale-angulaire du fait du caractère « central » de l'absence de potentiel. Dans ce cas les différents états propres sont de la forme {{math|ψ{{exp|''n'', ''l'', ''m''}}(''r'', ''θ'', ''ϕ'') {{=}} ''R''{{exp|''n'', ''l''}}(''r'') ''Y{{ind|lm}}''(''θ'', ''ϕ'')}} où {{math|''Y{{ind|lm}}''(''θ'', ''ϕ'')}} sont les [[harmoniques sphériques]] et {{math|''R{{exp|nl}}''(''r'')}} est la fonction radiale dont l'expression fait intervenir les [[Fonction de Bessel sphérique|fonctions de Bessel sphériques]]. Ces états propres correspondent alors à des valeurs déterminées — et nécessairement quantifiées — du moment cinétique. Il est possible, dans la mesure où ces états à symétrie sphérique forment une base complète, de développer les états propres de l'impulsion sur cette base : ceci est utilisé notamment en théorie de la diffusion quantique. Cf. à ce sujet {{Landau|tome 3}}.</ref>. Cette situation correspond en mécanique quantique à la conservation de la quantité de mouvement classique.

La fonction d'onde « complète » d'un tel système, c'est-à-dire la solution de l'[[équation de Schrödinger]] dépendant du temps, est alors donnée par <math>\Psi(\vec{r},t)=C\exp\left(\pm \mathrm{i} \, \vec{k}\cdot\vec{r}-\mathrm{i} \, \omega t\right)</math><ref group=alpha>Pour rappel, si le hamiltonien est stationnaire, la solution générale de l'équation de Schrödinger dépendante du temps est de la forme <math>\Psi(\vec{r},t)=\psi(\vec{r})\exp\left(-\mathrm{i} \, \frac{E}{\hbar}t\right)</math>, avec <math>\psi(\vec{r},t)</math> solution de l'équation de Schrödinger stationnaire <math>\hat{\mathbf{H}}\psi=E\psi</math>.</ref>, avec <math>\omega=E/\hbar</math>, fréquence associée à l'énergie ''E''. ''Les états propres ont donc la forme d''''ondes progressives''''', traduisant sur le plan quantique le déplacement classique de la particule selon la direction de l'impulsion.

Le caractère continu de ces états propres de l'impulsion disparaît si la particule n'est plus strictement ''libre'', mais ''confinée'' dans une région donnée de l'espace (« [[barrière de potentiel]] infinie »). Du point de vue mathématique, cela revient à imposer des conditions aux limites à la fonction d'onde, qui devra s'annuler sur la « frontière » de la « boîte » dans laquelle est confinée la particule, puisque celle-ci a une probabilité de présence nulle en dehors de cette région. Ces conditions aux limites se traduisent physiquement par une quantification de l'énergie et donc de l'impulsion ({{cf.}} pour plus de détails l'article '''[[Particule dans une boîte]]'''). Les états propres correspondants se mettront sous la forme d'une somme des états propres libres, et correspondront à des '''ondes stationnaires''', traduisant sur le plan quantique le confinement de la particule, {{cf.}} figure ci-contre.

{{clr}}
== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références| groupe=alpha}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets| wikt=quantité de mouvement}}

=== Bibliographie ===
'''Quantité de mouvement en mécanique classique ou relativiste'''
* Perez, ''Cours de physique : mécanique'' - {{4e|édition}}, Masson, Paris, 2001 (pour une introduction au niveau {{1er|cycle}}).
* {{Landau|tome 1}} (niveau avancé, dans le cadre du formalisme de la mécanique analytique, en mettant l'accent sur le lien symétrie / loi de conservation).
* {{Landau|tome 2}} (pour la mécanique relativiste).
* {{Goldstein}} (une référence classique, de niveau {{2e}} à {{3e|cycle}}, qui aborde également la mécanique relativiste).

'''Quantité de mouvement en mécanique quantique'''
* {{Cohen}} (une référence classique pour l'introduction à la mécanique quantique).
* {{Messiah}} (autre référence classique plus ancienne).
* {{Landau|tome 3}} (un très bon ouvrage, à un niveau avancé).
* R. Shankar, ''Principles of Quantum Mechanics'', {{2e}} édition, Plenum Press, New York, 1994.

=== Articles connexes ===
* [[Énergie cinétique]]
* [[Moment cinétique]]
* [[Quantité d'accélération]]
* [[Collision]]
* [[Relativité restreinte#Le quadrivecteur énergie-impulsion|Le quadrivecteur énergie-impulsion en relativité restreinte]]

=== Liens externes ===
* Animations ou vidéos illustrant la conservation de la quantité de mouvement :
** [http://videosphysique.blogspot.fr/2010/06/conservation-de-la-quantite-de_07.html Une animation très intéressante, dans le cas d'une collision inélastique]
** {{en}} [http://videosphysique.blogspot.fr/2010/06/giant-newtons-cradle.html Une démonstration du pendule de Newton]
** {{en}} [http://videosphysique.blogspot.fr/2010/06/conservation-de-la-quantite-de_07.html L'astronaute Richard Garriot illustre la conservation de la quantité de mouvement]

{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Mécanique classique]]
[[Catégorie:Mécanique quantique]]