Voir la source de Quartile

[[Fichier:Kvartiler.JPG|vignette|Histogramme avec représentation visuelle des quartiles.]]
En [[statistique descriptive]], un '''quartile''' est chacune des trois valeurs qui divisent les données triées en quatre parts égales, de sorte que chaque partie représente 1/4 de l'échantillon de population. Le quartile fait partie des [[quantile]]s.

== Calcul des quartiles ==
Le quartile est calculé en tant que 4-quartiles :
* le {{1er|quartile}} est la donnée de la série qui sépare les 25 % inférieurs des données (notation Q1) ;
* le {{2e|quartile}} est la donnée de la série qui sépare les 50 % inférieurs des données (notation Q2) ;
* le {{3e|quartile}} est la donnée de la série qui sépare les 75 % inférieurs des données (notation Q3) ;
* par extension : le 0<sup>e</sup> quartile est la donnée de la série qui sépare les 0 % inférieurs des données (notation Q0, c'est le minimum) et le 4<sup>e</sup> quartile est la donnée de la série qui sépare les 0 % supérieurs des inférieurs des données (notation Q4, c'est le maximum).

La différence entre le troisième quartile et le premier quartile s'appelle '''''écart interquartile''''' ; c'est un [[critères de dispersion|critère de dispersion]] de la série.

Pour le détail des différentes méthodes de calcul, voir l'article [[quantile]]. 

Dans le cas discret, on range les données par ordre croissant. S'il y a {{mvar|N}} valeurs :
* le quartile zéro (minimum) est celui qui a le rang 1 ;
* le premier quartile est celui qui a le rang <math>(N+3)/4</math> ;
* le deuxième quartile (médiane) est celui qui a le rang <math>(2N+2)/4</math> donc <math>(N+1)/2</math> ;
* le troisième quartile est celui qui a le rang <math>(3N+1)/4</math> ;
* le quatrième quartile est celui qui a le rang {{mvar|N}}.

'''Exemple :'''

Les valeurs dans l'ordre croissant 1, 11, 15, 19, 20, 24, 28, 34, 37, 47, 50, 61, 68.

Le nombre de valeurs est {{mvar|N}} = 13.

'''Calcul de Q1''' : on divise (l'effectif total plus 3) par 4 ('''quart'''ile)

:<math>{N+3 \over 4} = {16 \over 4} = 4</math>

Le {{1er|quartile}} est la 4<sup>e</sup> valeur, c'est-à-dire 19.

'''Calcul de Q3 :''' Pour Q3 on procède de la même façon mais on multiplie le rang obtenu par 3 :

:<math>{3N +1\over 4} = {3 \times 13 +1 \over 4} = {40 \over 4} = 10</math>

La 10<sup>e</sup> valeur est 47 donc Q3 = 47.

'''Calcul de la médiane''' : on divise (l'effectif total plus 1) par 2 ('''quart'''ile)

<math>{N +1  \over 2} = {13 + 1 \over 2} = {14 \over 2} = 7</math><br />La médiane est la 7<sup>e</sup> valeur soit 28 (c'est la valeur du milieu).

'''Les cinq quartiles :''' finalement, les cinq quartiles de la série sont 1, 19, 28, 47 et 68.


'''Quand le rang d'un quartile n'est pas une valeur entière :''' quand les fractions <math>(N+3)/4</math>, <math>(N+1)/2</math> ou <math>(3N+1)/4</math> ne sont pas des valeurs entières, on procède par interpolation linéaire. On fait la moyenne de la valeur située au-dessus du rang et de celle située au-dessous du rang, en affectant chaque valeur d'un coefficient. Plus précisément, on note <math>R_\mathrm{inf}</math> la valeur située en dessous du rang et <math>R_\mathrm{sup}</math> la valeur située au-dessus :
* Si le rang se termine par 0,25, alors le quartile est la moyenne entre <math>R_\mathrm{inf}</math> affectée du coefficient 3 et de <math>R_\mathrm{sup}</math> affectée du coefficient 1.
* Si le rang se termine par 0,5, alors le quartile est la moyenne entre <math>R_\mathrm{inf}</math> et <math>R_\mathrm{sup}</math> (sans coefficient).
* Si le rang se termine par 0,75, alors le quartile est la moyenne entre <math>R_\mathrm{inf}</math> affectée du coefficient 1 et de <math>R_\mathrm{sup}</math> affectée du coefficient 3.


'''Exemple :'''

Les valeurs dans l'ordre ascendant 1, 11, 15, 19, 20, 24, 28, 34, 37, 47, 50, 61.

Le nombre de valeurs est {{mvar|N}} = 12.

'''Calcul de Q1''' : on divise (l'effectif total plus 3) par 4 ('''quart'''ile)

:<math>{N+3 \over 4} = {15 \over 4} = 3.75</math>

Le {{1er|quartile}} est la moyenne entre la valeur 15 affectée du coefficient 1 et la valeur 19 affectée du coefficient 3. 

<math>{15 \times 1 + 19 \times 3 \over 1+3} = {72 \over 4} = 18</math>

Le quartile Q1 est 18.

'''Calcul de Q3 :''' Pour Q3 on procède de la même façon :

:<math>{3N +1\over 4} = {3 \times 12 +1 \over 4} = {37 \over 4} = 9.25</math>

Le 3<sup>e</sup> quartile est la moyenne entre la valeur 37 affectée du coefficient 3 et la valeur 47 affectée du coefficient 1. 

<math>{37 \times 3 + 47 \times 1 \over 3+1} = {158 \over 4} = 39.5</math>

Le quartile Q3 est 39,5.


'''Calcul de la médiane''' : on divise (l'effectif total plus 1) par 2 ('''quart'''ile)

<math>{N +1  \over 2} = {12 + 1 \over 2} = {13 \over 2} = 6.5</math><br />La médiane est la moyenne entre les 6<sup>e</sup> et 7<sup>e</sup> valeurs soit la moyenne entre 24 et 28 et donc Q2 = 26.

'''Les cinq quartiles :''' finalement, les cinq quartiles de la série sont 1 ; 18 ; 26 ; 39,5 et 61.

== Voir aussi ==
* [[Boîte à moustaches]]
* [[Critères de position]]
* [[Centile]]
* [[Décile]]
* [[Quantile]]
* [[Statistique]]

== Liens externes ==
{{Liens}}

{{Palette|Probabilités et statistiques}}

{{Portail|Probabilités et statistiques}}

[[Catégorie:Statistique descriptive]]