Voir la source de Règle 68-95-99,7

{{ébauche|statistiques}}
[[Fichier:Empirical rule histogram.svg|vignette|Illustration de la règle 68-95-99.7 (à partir d'une expérience réelle, ce qui explique l'asymétrie par rapport à la [[loi normale]]).]]
En [[statistique]], la '''règle 68-95-99,7''' (ou '''règle des trois sigmas'''{{Référence nécessaire|date=mars 2024}} ou '''règle empirique'''{{Référence nécessaire|date=mars 2024}}) indique, pour une [[loi normale]], la proportion des valeurs se trouvant dans des intervalles centrés autour de la [[moyenne]]. Plus précisément, 68 %, 95 % et 99,7 % des valeurs se situent respectivement à moins d'un, de deux et de trois [[écart type|écarts types]] de la moyenne.

En [[Notation (mathématiques)|notation mathématique]], ces faits peuvent être exprimés comme suit. On note <math>\mathbb P(.)
</math> la mesure de probabilité, ''X'' une [[variable aléatoire]] qui suit une loi normale, μ est la [[moyenne]] de la distribution, et σ est son écart-type :
:<math>\begin{align}
  \mathbb{P}(\mu-\;\,\sigma \le X \le \mu+\;\,\sigma) &\approx 0,6827 \\
  \mathbb{P}(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma)       &\approx 0,9545 \\
  \mathbb{P}(\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma)       &\approx 0,9973
\end{align}
</math>


La règle des trois sigmas exprime une heuristique fréquemment utilisée : la plupart des valeurs se situent à moins de trois fois l'écart-type de la moyenne. Pour de nombreuses applications pratiques, ce pourcentage de 99,7 % peut être considéré comme une quasi-certitude. L'usage de cette heuristique dépend cependant du domaine : ainsi en [[sciences sociales]], un résultat est considéré comme significatif si son [[intervalle de confiance]] est au moins de 95 %, soit de l'ordre de deux sigmas, alors qu'en [[physique des particules]], le seuil de significativité se situe autour de cinq sigmas (soit un intervalle de confiance à {{unité|99,99994 %}}).

Il existe des règles similaires à celles des trois sigmas pour d'autres distributions que la loi normale. En effet, l'[[inégalité de Bienaymé-Tchebychev]] permet d'affirmer que pour toute [[variable aléatoire]], au moins 88,8 % des réalisations se situent dans un intervalle de trois sigmas.

Ces valeurs numériques (68 %, 95 % et 99,7 %) proviennent de la [[fonction de répartition]] de la loi normale.

== Test de normalité ==
{{Article principal|Test de normalité}}
[[Fichier:Standard score and prediction interval.png|vignette|Pourcentage de l'[[intervalle de confiance]] (axe des [[ordonnée]]s, sur une [[échelle logarithmique]] en base 10) en fonction de la [[Cote Z (statistiques)|cote Z]] (axe des [[abscisse]]s).]]
La règle 68-95-99,7 est souvent utilisée comme approximation de la probabilité d'un phénomène à partir de l'[[écart-type]], sous l’hypothèse que la [[variable aléatoire]] sous-jacente suit une [[loi normale]]. On peut également l'utiliser pour éliminer des [[Donnée aberrante|données aberrantes]] (sous l’hypothèse de normalité) ou inversement comme [[test de normalité]] si l'on suspecte que la variable aléatoire ne suit pas la loi normale.

Pour une réalisation donnée, on calcule la différence par rapport à l'[[Espérance mathématique|espérance]] si elle est connue, ou bien par rapport à une estimation de celle-ci, puis on divise par l'écart-type (ou un de ses estimateurs). Sur un échantillon, on peut ainsi calculer la distance de chaque valeur par rapport à la moyenne en nombre de sigmas. Les valeurs éloignées de plus de trois sigmas sont vraisemblablement aberrantes (sauf si l'échantillon est suffisamment grand pour que les chances d'obtenir de telles valeurs deviennent significatives ). À l'inverse, un grand nombre de valeurs éloignées de plus de trois sigmas laissent à penser que la distribution des valeurs ne suit pas une loi normale.

Par exemple, une réalisation à six sigmas de la moyenne correspond à environ une chance sur 500 millions. En d'autres termes, sur un événement à fréquence journalière, on s'attend en moyenne à une telle réalisation tous les {{nobr|1,4 million}} d'années. En conséquence, si l'on constate une telle valeur en moins d'un million d'années, soit cette valeur est aberrante, soit la distribution sous-jacente n'est pas une distribution normale.

== Valeurs numériques ==
Étant donné la [[décroissance exponentielle]] des queues de la distribution normale, les chances des déviations élevées décroissent très rapidement. Ces valeurs sont données pour une distribution normale, avec les fréquences moyennes des événements hors intervalle données pour un événement aléatoire à réalisation journalière.
{|class="wikitable" style="text-align:center"
|-bgcolor="#CCCCCC"
! Intervalle !! Proportion de la population dans l'intervalle
! Probabilité approximative d'apparition d'un événement hors de l'intervalle
! Fréquence approximative pour une réalisation journalière
|-
|{{nobr|&mu; ± 0,5 &sigma;}} || {{gaps|0,382|924|922|548|026}}|| 2 sur 3 || Environ quatre fois par semaine
|-
|&mu; ± &sigma; || {{gaps|0,682|689|492|137|086}}|| 1 sur 3 || Deux fois par semaine
|-
|&mu; ± 1,5 &sigma; || {{gaps|0,866|385|597|462|284}}|| 1 sur 7 || Une fois par semaine
|-
|&mu; ± 2 &sigma; || {{gaps|0,954|499|736|103|642}}|| 1 sur 22 || Une fois toutes les trois semaines
|-
|&mu; ± 2,5 &sigma; || {{gaps|0,987|580|669|348|448}}|| 1 sur 81 || Une fois par trimestre
|-
|&mu; ± 3 &sigma; || {{gaps|0,997|300|203|936|740}}|| 1 sur 370 || Une fois par an
|-
|&mu; ± 3,5 &sigma; || {{gaps|0,999|534|741|841|929}}|| 1 sur 2149 || Une fois tous les six ans
|-
|&mu; ± 4 &sigma; || {{gaps|0,999|936|657|516|334}}|| 1 sur {{val|15787}}|| Une fois tous les 43 ans (une à deux occurrences dans une vie)
|-
|&mu; ± 4,5 &sigma; || {{gaps|0,999|993|204|653|751}}|| 1 sur {{val|147160}}|| Une fois tous les 403 ans (une occurrence durant l'[[époque moderne]])
|-
|&mu; ± 5 &sigma; || {{gaps|0,999|999|426|696|856}}|| 1 sur {{val|1744278}}|| Une fois tous les 4776 ans (une occurrence depuis l'[[invention de l'écriture]])
|-
|&mu; ± 5,5 &sigma; || {{gaps|0,999|999|962|020|875}}|| 1 sur {{val|26330254}}|| Une fois tous les {{val|72090}} ans (quatre occurrences depuis l'apparition d'[[Homo sapiens]])
|-
|&mu; ± 6 &sigma; || {{gaps|0,999|999|998|026|825}}|| 1 sur {{val|506797346}}|| Une fois tous les 1,38 million d'années (deux occurrences depuis [[Lucy (australopithèque)|Lucy]])
|-
|&mu; ± 6,5 &sigma; || {{gaps|0,999|999|999|919|680}}|| 1 sur {{val|12450197393}}|| Une fois tous les 34 millions d'années (deux occurrences depuis la [[disparition des dinosaures]])
|-
|&mu; ± 7 &sigma; || {{gaps|0,999|999|999|997|440}}|| 1 sur {{val|390682215445}}|| Une fois tous les 1,07 milliard d'années (quatre occurrences depuis la [[Formation et évolution du Système solaire|formation du Système solaire]])
|-
|&mu; ± {{math|<math>x</math>}} &sigma; || [[Fonction d'erreur|<math>\operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)</math>]] || 1 sur <math>\tfrac{1}{1-\operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}</math>|| Une fois tous les <math>\tfrac{1}{1-\operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}</math> jours
|}

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|68–95–99.7 rule|527433391}}

{{Palette Lois de probabilités}}
{{Portail|probabilités et statistiques}}

{{DEFAULTSORT:Regle 68-95-99.7}}
[[Catégorie:Analyse des données]]
[[Catégorie:Statistiques]]
[[Catégorie:Règle empirique]]

[[pl:Odchylenie standardowe#Dla rozkładu normalnego]]