Voir la source de Règle de Cauchy

{{Voir homonymes|Cauchy}}
{{Confusion|Critère de Cauchy}}
[[Fichier:Decision diagram for the root test.svg|vignette|Diagramme de décision pour l'application de la règle de Cauchy]]
En [[mathématiques]], la '''règle de Cauchy''', qui doit son nom au [[mathématicien]] [[France|français]] [[Augustin Louis Cauchy|Augustin Cauchy]], est un critère de [[Série convergente|convergence]] pour une [[Série (mathématiques)|série]] à termes [[Nombre réel|réels]] ou [[Nombre complexe|complexes]], ou plus généralement à termes dans un [[espace vectoriel normé]].

Cette ''règle'' est parfois confondue avec le « critère de Cauchy » selon lequel, dans un [[espace complet]] comme ℝ ou ℂ, toute [[suite de Cauchy]] [[Limite d'une suite|converge]].

== Énoncé ==

La règle de Cauchy<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Série numérique/Séries à termes positifs#Règles de D'Alembert et de Cauchy|« Règle de Cauchy » dans la leçon sur les séries numériques|début=Pour une démonstration, voir par exemple}}</ref> donne un critère de convergence pour une [[Série (mathématiques)|série]] de terme général {{math|''x{{ind|n}}''}} dans un espace vectoriel normé, en fonction de la [[limite supérieure]]<ref>{{Ouvrage|auteur=Augustin Louis Cauchy|titre=Cours d'analyse de l'École royale polytechnique, 1re partie. Analyse algébrique|date=1821|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8626657t/f158.item|page=132}}.</ref>
<center><math>p=\limsup_{n \to +\infty}\sqrt[n] {\left\|x_n\right\|}</math>.</center>

La série est :

*[[convergence absolue|absolument convergente]] si {{math|''p'' < 1}}, donc convergente si l'espace est [[espace de Banach|de Banach]] c'est-à-dire complet ;
*grossièrement divergente si {{math|''p'' > 1}}, c'est-à-dire que la suite {{math|(''x{{ind|n}}'')}} ne tend même pas vers 0.
Si {{math|1=''p'' = 1}}, il y a indécidabilité à défaut d'informations supplémentaires.

La règle s'applique en particulier pour des séries dans ℝ (où la norme est la [[valeur absolue]]) ou dans ℂ (où la norme est le [[Module d'un nombre complexe|module]]) ou même dans ℝ<sup>''n''</sup> ou ℂ<sup>''n''</sup>, [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie#Complétude et fermeture|complets pour n'importe quelle norme]].

== Cas ''p'' = 1 ==

La [[Série harmonique#La série harmonique diverge|série harmonique]] qui diverge et la [[Série alternée|série harmonique alternée]] qui converge vers {{math|ln(2)}} sont deux exemples pour lesquels la limite des {{math|║''x{{ind|n}}''║{{exp|1/''n''}}}} — et pas seulement la limite supérieure — vaut 1, car {{math|(1/''n'')ln(1/''n'')}} tend vers 0.

On montre encore que les réciproques des deux premières propriétés sont fausses :
* la [[série de Dirichlet]] de terme général {{math|1=''x{{ind|n}}'' = ''n''}}{{-2}} est absolument convergente vers [[fonction zêta de Riemann|{{math|ζ(2)}}]] alors que pour elle, la limite vaut 1 ;
* la série de terme général {{math|1=''x{{ind|n}}'' = (–1){{exp|''n''}}}} diverge grossièrement alors que pour elle, la limite vaut aussi 1.

== Lien avec la règle de d'Alembert ==
{{Voir|Règle de d'Alembert}}
Ce critère de convergence est très proche de celui de d'Alembert, qui spécifie dans sa forme la plus précise que la série de terme général {{math|''x{{ind|n}}''}} :
* converge absolument dès que {{math|lim sup (║''x''{{ind|''n''+1}}║/║''x{{ind|n}}''║) < 1}} ;
* diverge grossièrement dès que {{math|lim inf (║''x''{{ind|''n''+1}}║/║''x{{ind|n}}''║) > 1}}.

La règle de Cauchy lui est légèrement supérieure de deux points de vue :

* ''{{Langue|la|stricto sensu}}'', le critère de d'Alembert ne s'applique qu'à une série sans terme nul. On peut toujours sans problème se ramener à ce cas, mais il n'est pas nécessaire de prendre cette précaution avec celui de Cauchy ;
* le cas douteux de la [[règle de d'Alembert]] est légèrement plus vaste que celui de celle de Cauchy : chaque fois que la règle de d'Alembert conclut quelque chose, celle de Cauchy arrive à la même conclusion, puisqu'il est vrai en général que{{Retrait|<math>\liminf\tfrac{\|x_{n+1}\|}{\|x_n\|}\le\limsup \sqrt[n]{\|x_n\|}\le\limsup\tfrac{\|x_{n+1}\|}{\|x_n\|}.</math>}}En revanche, il existe des exemples pour lesquels la règle de Cauchy conclut, mais pas celle de d'Alembert<ref>Gilles Costantini, {{Lien archive|url=http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/prepas_fichiers/alembert_cauchy.pdf|titre=Règles de d'Alembert et de Cauchy pour les séries à termes réels positifs|horodatage archive=20150402185225}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Articles connexes ==
*[[Règle de Raabe-Duhamel]]
*[[Théorème de Cauchy-Hadamard]]

{{Palette|Augustin Louis Cauchy}}
{{portail|analyse}}

[[Catégorie:Série (mathématiques)|Regle de Cauchy]]
[[Catégorie:Augustin Louis Cauchy]]

[[pl:Kryteria zbieżności szeregów#Kryterium Cxnxauchy'ego]]