Voir la source de Règle du parallélogramme

[[Fichier:Color parallelogram.svg|vignette]]
En [[mathématiques]], la forme la plus simple de la '''règle du parallélogramme''' (ou '''identité du parallélogramme''', ou encore '''égalité du parallélogramme''') est celle de [[géométrie]] élémentaire. Elle dit que la somme des [[Carré (algèbre)|carrés]] des longueurs des quatre côtés d'un [[parallélogramme]] est égale à la somme des carrés des longueurs de
ses deux [[diagonale]]s :
{{Retrait|<math>AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2</math>}}

ou encore, puisque deux côtés opposés ont même longueur :
<center><math>2AB^2+2BC^2=AC^2+BD^2.</math></center>

(Dans le cas où le parallélogramme est un [[rectangle]], les diagonales sont de longueurs égales, ce qui ramène cette règle au [[théorème de Pythagore]].)

== Formulation vectorielle ==
[[Fichier:Parallelogram law.svg|vignette|Les vecteurs ''x + y'' et ''x – y'' forment les diagonales du parallélogramme de côtés ''x'' et ''y''.]]
Tout [[espace affine]] dont l'[[espace vectoriel]] associé est [[espace vectoriel normé|muni d'une norme]] hérite de ce fait d'une [[Distance (mathématiques)|distance]]. La règle ci-dessus, sur les distances dans un parallélogramme, se traduit sur la [[Norme (mathématiques)|norme]] par l'identité suivante, pour tous [[vecteur]]s ''x'' et ''y'' :

{{Retrait|<math>2\|x\|^2+2\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2.</math>}}

En effet par le produit scalaire et les identités remarquables on peut écrire :

{{retrait|<math>\|x+y\|^2=(x+y).(x+y)=\|x\|^2+\|y\|^2+2(x.y)</math>
<math>\|x-y\|^2=(x-y).(x-y)=\|x\|^2+\|y\|^2-2(x.y)</math>}}

En faisant la somme le terme 2(x.y) s'annule.

== La règle du parallélogramme dans les espaces préhilbertiens ==
L'identité ci-dessus est valide dans les [[Espace préhilbertien|espaces préhilbertiens]] (en particulier les [[Espace de Hilbert|espaces de Hilbert]]), où la norme est définie à partir du [[produit scalaire]] par
{{Retrait|<math>\|x\|^2=\langle x, x\rangle.</math>}}

== Espaces normés satisfaisant la règle du parallélogramme ==
La formulation vectorielle ci-dessus a un sens dans tout espace vectoriel normé. Un fait remarquable<ref>On peut de plus remarquer que (par changement de variables) l'identité est valide dès que l'inégalité large (dans un sens ou dans l'autre) l'est. Pour des conditions suffisantes encore plus faibles, voir [[Identité de polarisation#Cas réel|« Identité de polarisation », § Cas réel]] ou {{article|langue=en|url=http://www.ams.org/journals/proc/1968-019-06/S0002-9939-1968-0239404-0/S0002-9939-1968-0239404-0.pdf|titre=A characterization of inner product spaces|prénom=David Albert|nom=Senechalle|périodique=Proc. Amer. Math. Soc.|lien périodique=Proceedings of the American Mathematical Society|vol=19|pages=1306-1312|année=1968}}.</ref> est que l'identité reste valide ''seulement si'' la norme se déduit d'un produit scalaire : c'est le [[théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan]] (le produit scalaire qui génère cette norme est alors unique, d'après l'[[identité de polarisation]]).

== Équivalence avec l'identité de la médiane ==
[[Fichier:Parallelogram1.svg|vignette]]
Une norme sur un espace vectoriel {{Mvar|V}} vérifie l'identité du parallélogramme [[si et seulement si]] elle vérifie l'[[identité de la médiane]] : pour tout triangle {{Mvar|ABC}} (dans un espace affine de direction {{Mvar|V}}), en notant {{Mvar|E}} le milieu de [{{Mvar|AC}}]  :

{{Retrait|<math>AB^2+BC^2=\frac12AC^2+2BE^2.</math>}}

Cette équivalence résulte de l'égalité {{Mvar|1=BD = 2BE}}, où {{Mvar|D}} désigne le point tel que {{Mvar|ABCD}} soit un parallélogramme. Elle est tout aussi immédiate en comparant<ref>{{Ouvrage|auteur1=J. Freslon|auteur2=J. Poineau|titre=Mathématiques|sous-titre=Les exercices incontournables [[Math spé|PC-PSI-PT]]|éditeur=[[Dunod]]|année=2010|passage=59|isbn=978-2-10-056032-5|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=ClffyOVTUwkC&pg=PA59}}.</ref> la formulation vectorielle ci-dessus de l'identité du parallélogramme et la réécriture de celle de la médiane (avec <math>x=\overrightarrow{BA}\text{ et }y=\overrightarrow{BC}</math>) sous la forme

{{Retrait|<math>\|x\|^2+\|y\|^2=\frac12\|x-y\|^2+2\left\|\frac{x+y}2\right\|^2.</math>}}

== Identité du parallélogramme généralisée ==
Pour tout espace préhilbertien {{math|''H''}}, on a, plus généralement<ref>Cf. {{Ouvrage|auteur1=Hervé Queffélec|auteur2=Claude Zuily|titre=Analyse pour l'agrégation|éditeur=[[Dunod]]|année=2020|numéro d'édition=5|passage=228 et 239 (ex. 11 et solution)|lire en ligne={{Google Livres|pVn4DwAAQBAJ|page=239}}}} ou {{Note autre projet|Wikiversité|Espaces vectoriels normés/Exercices/Normes#Exercice 1-8|cet exercice corrigé de la leçon « Espaces vectoriels normés »|début=}}</ref> :

{{Retrait|<math>\forall n\in\N^*\quad\forall x_1,\ldots,x_n\in H\quad2^n\sum_{i=1}^n\|x_i\|^2=\sum_{(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)\in\{-1,1\}^n}\left\|\sum_{i=1}^n\varepsilon_ix_i\right\|^2</math>}}

(en développant le membre de droite, [[Raisonnement par récurrence|petit à petit]] ou directement).

Cette identité permet de montrer que la [[distance de Banach-Mazur]] entre [[Espace de suites ℓp|ℓ{{exp|''p''}}(''n'')]] et ℓ{{2}}(''n'') est égale à ''n''{{exp|{{!}}1/''p'' – 1/2{{!}}}}.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Articles connexes ==
* [[Théorème de projection sur un convexe fermé]], dont le présent théorème est un argument clé
* [[Relation d'Euler dans le quadrilatère]] qui en est une généralisation
* [[Théorème de Stewart#Cas du quadrilatère convexe|Relation de Stewart dans le quadrilatère]], autre généralisation

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