Voir la source de Réactivité d'un assemblage de combustible nucléaire

{{à sourcer|date=mars 2014}}

Dans une [[réaction en chaîne (nucléaire)|réaction en chaîne]], la '''[[réactivité nucléaire|réactivité]] d'un système nucléaire''' ou la '''réactivité d'un assemblage de combustible nucléaire'''<ref group="Note">À ne pas confondre avec un [[assemblage de combustible nucléaire]] !</ref> (tel que le cœur d'un réacteur nucléaire) dépend à la fois de la nature des matériaux présents (densité de [[Isotope fissile|matières fissiles]], présence de [[modérateur (nucléaire)|modérateur]]…) et de sa géométrie (taille de l'assemblage, présence de [[réflecteur neutronique|réflecteurs neutroniques]]…) ; un assemblage est en règle générale d'autant moins réactif qu'il est petit, car les neutrons produits dans sa partie réactive se perdent au-delà de sa frontière dans un milieu moins réactif. On calcule donc souvent d'abord le [[facteur de multiplication des neutrons|facteur de multiplication]] d'un milieu supposé infini, qui est le maximum qui puisse être atteint par un milieu de nature donnée, puis on calcule la taille effective qu'il faut lui donner pour avoir une réactivité positive, compte tenu des conditions aux limites de l'assemblage (fuites et présence d'éventuels réflecteurs).

== Réactivité d'un milieu infini ==

On parle de '''facteur de multiplication infini''' (noté <math>k_{\infin}</math>) lorsque le facteur de multiplication des [[neutron]]s est évalué en ne tenant compte que de la composition moyenne du milieu, mais pas de la géométrie de sa frontière (et donc, en particulier, en négligeant les fuites de neutrons) car ceci revient à décrire le processus dans un milieu réactif d’extension infinie. Ce <math>k_{\infin}</math> est défini comme le rapport du nombre de neutrons d'une génération au nombre de neutrons de la génération précédente dans un milieu infini :
:<math>k_{\infty} = \frac{N_{t+1}}{N_{t}}</math>

La [[formule des quatre facteurs]] donne un tour plus concret à <math>k_{\infin}</math> en faisant apparaître les termes principaux qui le composent. <math>k_{\infty}~=~\varepsilon \times p \times f \times \eta</math>

=== Évaluation estimative de <math>k_{\infty}</math> dans le cas d'un réseau combustible type ===

On se propose de retrouver par un calcul estimatif la valeur typique de <math>k_{\infin}</math> dans le cas d'un réseau de réacteur à eau sous pression<ref group="Note">Les réseaux combustibles des réacteurs à eau sous-pression électrogènes sont similaires du point de vue de leurs caractéristiques neutroniques.</ref>.

Une formulation simplifiée de chacun des [[Formule des quatre facteurs|quatre facteurs]] est donnée en fonction des deux caractéristiques primordiales du réacteur à eau pressurisée qui influent sur la réactivité à savoir :
* l''''enrichissement en uranium 235''' noté : <math>e_n</math> pour l'enrichissement en noyaux et <math>e_m</math> pour l'enrichissement massique ;
* le '''rapport de modération molaire (ou atomique)''' : noté <math>R_{m} = \frac{N_{h}}{N_{u}}</math> = Rapport des concentrations volumiques des atomes d'hydrogène et d'uranium = Rapport des nombres d'atomes d'hydrogène et d'uranium<ref group="Note">Il est également possible de définir la concentration relative en hydrogène par rapport à la matière fissile par le rapport <math>R_{m5} = \frac{N_{h}}{N_{u5}}</math>, cependant les deux grandeurs <math>e_n</math> et <math>R_{m5}</math> ne sont pas indépendantes avec <math>R_{m5} = e_n \times R_{m}</math>. Une augmentation de l'enrichissement se traduit, toutes choses égales, par une diminution du rapport <math>R_{m5}</math>. Ceci conduit à préférer le paramètre <math>R_{m}</math> pour paramétrer la modération du cœur.</ref>.

Les évaluations numériques sont celles du réseau combustible d'un réacteur proche du REP {{unité|900|MWe}} à l'état neuf, supposé exempt de poison neutronique.

{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
|
* <math>k_{\infty~REP~chaud}~=~\varepsilon \times \eta \times p \times f \approx~1{,}038 \times 1{,}777 \times 0{,}757 \times 0{,}922~=~1{,}287</math><ref group="Note" name="Approx">Les valeurs à plus de 3 chiffres significatifs sont données, simplement pour éviter un cumul d'erreurs "d'arrondis" sans que ceci veuille dire que le résultat soit précis à mieux que +/- 3 %.</ref>
* valeur à chaud {{unité|292.8|°C}},
* puissance nulle, avec :
: de l'uranium enrichi en masse à 2,28 % et en noyaux à 2,31 %
: un rapport de modération molaire type de 4,34
|}

Les grandeurs numériques précisant la composition du cœur et plus généralement l'ensemble des éléments nécessaires au calcul sont rassemblées dans le tableau ''Notations - données - résultats'' en fin d'article.

On appelle ''combustible'' au sens de l'application de la formule des quatre facteurs : l'oxyde d'uranium (+ le cas échéant d'autres atomes lourds), l'oxygène du combustible en fait partie mais non pas le zirconium des gaines considéré comme matériau de structure<ref group="Note" name="eta">Les définitions des facteurs <math>\eta</math> et <math>f</math> souffrent d'une ambiguïté liée à la définition de ce que l'on entend par « combustible ». Le « combustible » peut comprendre l'ensemble des atomes lourds fissiles et non fissiles ou les seuls atomes fissiles. L'approche consistant à limiter le « combustible » aux seuls atomes fissiles :
* est cohérente avec la définition du facteur <math>\eta</math> donnée dans le tableau ;
* conduit à des relations un peu plus simples que l'autre ;
* élimine l’ambiguïté relative aux atomes de forme chimique et structure du combustible (l'oxygène et le zirconium) ;
* a l'avantage de faire que <math>\eta</math> est indépendant de la géométrie du cœur et ne dépend que des caractéristiques physiques des corps fissiles ;
* rend la formulation du facteur <math>f</math> un peu plus simple.
L'approche « atomes lourds » :
* est plus cohérente avec le fait que des atomes lourds non fissiles en neutrons thermiques le sont en neutrons rapides ;
* est également plus homogène avec le fait que des atomes lourds non fissiles le deviennent (et réciproquement) par capture neutronique dans le cours de l'évolution du cœur ;
* a été semble-t-il historiquement plus utilisée que celle ci-dessus dans les ouvrages de neutronique ; on peut raisonnablement penser que c'est celle qui était en usage en 1942 à Chicago, compte tenu de la nature de la pile au graphite.

Dans tous les cas, le produit <math>\eta \times f</math> est conservé, en revanche le facteur <math>\varepsilon \cdot f</math> dépend de la valeur de <math>f</math> ; même si les écarts restent faibles, il ne s'agit donc pas uniquement d'une question formelle de présentation. Pour analyser un résultat d'étude il est nécessaire de savoir laquelle des deux visions a été mise en œuvre.

Dans le présent article on retient l'approche ''atomes lourds'', donc : « combustible » = « oxyde d'uranium » pour un cœur neuf. L'oxygène, lié chimiquement aux atomes lourds fait nécessairement partie du combustible. En outre le combustible est généralement gainé, il convient de préciser si le gainage est considéré comme faisant partie du ''combustible'' ou des matériaux de structure. Dans le présent article le gainage est considéré comme matériau de structure.</ref>.

==== Évaluation simplifiée du facteur ''η'' ====

<math>\eta =~{\text{Nombre de neutrons issus de fissions thermiques}\over \text{Nombre de neutrons capturés par un atome du combustible}}</math>
<math>\eta</math> = Nombre de neutrons de fission produits par capture de 1 neutron dans le combustible = <math>\nu \times \Sigma_{f5}\over \Sigma_{u5} + \Sigma_{u8} + \Sigma_{ocomb}</math>
On exprime tous les termes en fonction de <math>N_{u5}</math> et <math>e_n</math> :
* <math>\nu</math> = Nombre de neutrons émis par [[Fission nucléaire|fission]] ≈ 2,425 dans le cas de <sup>235</sup>U :
*<math>\Sigma_{f5}</math> = [[Section efficace]] macroscopique de fission de l'uranium 235 = <math>\sigma_{f5} \times N_{u5}</math>
::<math>\sigma_{f5}</math> = Section efficace microscopique de fission des atomes fissiles
::<math>N_{u5}</math> = Concentration volumique des atomes fissiles dans le cœur
* <math>\Sigma_{u5}</math> = Section efficace macroscopique de capture par les atomes fissiles = <math>\sigma_{u5} \times N_{u5}</math> :
::<math>\sigma_{u5}</math> = Section efficace microscopique de capture par les atomes fissiles du combustible
::<math>N_{u5}</math> = Concentration volumique des atomes fissiles dans le cœur
* <math>\Sigma_{u8}</math> = Section efficace macroscopique de capture par les atomes lourds non fissiles = <math>\sigma_{u8} \times N_{u8}</math> :
::<math>\sigma_{u8}</math> = Section efficace microscopique de capture par les atomes lourds non fissiles
::<math>N_{u8}</math> = Concentration volumique des atomes lourds non fissiles dans le cœur
::<math>N_{u8} = N_{u5} \times { 1 - e_n \over e_n }</math>
* <math>\Sigma_{ocomb}</math> = Section efficace macroscopique de capture par les atomes d'oxygène du combustible = <math>\sigma_{o} \times N_{ocomb}</math> :
::<math>N_{ocomb} = 2 \times ( N_{u5} + N_{u8} ) = { 2 \times N_{u5} \over e_n }</math>

<math>\eta =~{\nu \times \sigma_{f5} \times N_{u5} \over \sigma_{u5} \times N_{u5} + \sigma_{u8} \times N_{u8} + \sigma_{ocomb} \times N_{ocomb}}</math>

En remplaçant <math>N_{u8}</math> et <math>N_{ocomb}</math> par leur valeur et en divisant numérateur et dénominateur par <math>N_{u5}</math>, il vient :

{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
| <math>\eta =~{\nu \times \sigma_{f5} \over \sigma_{u5} + \sigma_{u8} \times { 1 - e_n \over e_n } + \sigma_{o} \times { 2\over e_n }} ={ \nu \times \sigma_{f5} \over \sigma_{u5} - \sigma_{u8}} \times {1 \over 1 +{ {\sigma_{u8} + 2\;\sigma_{o} \over\sigma_{u5}-\sigma_{u8} }\over e_n } }</math>
|}

Mis à part l'enrichissement, tous les termes de la relation donnant η sont des constantes physiques. Les grandeurs interviennent en termes relatifs via des rapports et non point en [[valeur absolue]] ce qui confère une robustesse très relative au résultat vis-à-vis des variations de températures, spectre en énergie des neutrons et autres. Les valeurs trouvées pour &eta; sont indépendantes de la concentration en matière fissile du milieu considéré ; elles ne dépendent que des concentrations relatives des corps présents dans le milieu exprimées par l'enrichissement en uranium 235. On pose :
: <math>\mathcal{F}_{u5} = \frac{ \nu \times \sigma_{f5}}{\sigma_{u5} - \sigma_{u8}}</math>
: <math>\mathcal{S}_{u8/u5} = \frac{ \sigma_{u8} + 2\;\sigma_o}{\sigma_{u5} - \sigma_{u8} }</math>
: termes qui ne dépendent que des caractéristiques physiques des corps présents et non de l'enrichissement <math>e_n</math> ou de la modération <math>R_m</math>.

'''Formule simple''' :

{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
| <math>\eta =~\frac{\mathcal{F}_{u5}}{1 + \frac{\mathcal{S}_{u8/u5}}{e_n }}</math>
* avec :
:: <math>\mathcal{F}_{u5} = \frac { \nu \times \sigma_{f5}}{\sigma_{u5} - \sigma_{u8}}</math>
:: <math>\mathcal{S}_{u8/u5} =\frac{ \sigma_{u8} + 2\;\sigma_o} {\sigma_{u5} - \sigma_{u8}}</math>
* Applicable pour
::<math>~0{,}7~\%<~e_n<~7~\%</math>
|}

Le facteur η dépend prioritairement de l'enrichissement et marginalement de la modération.

'''Numériquement''' : (cf. tableau en fin d'article)
* Termes de la formule simplifiée donnant <math>\eta</math> :
: <math>\mathcal{F}_{u5} \approx 2{,}082</math>
: <math>\mathcal{S}_{u8/u5} \approx 3{,}957 \times 10^{-3}</math>
* Résultat :
: Pour, un enrichissement massique moyen typique de 2,283 % soit 2,312 % en noyaux
: ''η'' ≈ 1,777<ref group="Note" name="Approx"/>

;Commentaire
Pour ce qui concerne la capture des neutrons (donc intervenant dans les facteurs η, f et p) du fait de sa très faible section efficace, l'oxygène peut être largement négligé devant les autres corps. En revanche l'oxygène contribue à la diffusion et au ralentissement des neutrons ; c'est même un excellent [[modérateur (nucléaire)|modérateur]].

==== Évaluation simplifiée du facteur ''f'' ====

<math>f =~\frac{ \text{Nombre moyen de neutrons capturés par les atomes du combustible}}{\text{Nombre de neutrons capturés au total}}</math>

<math>f = {\Sigma_{u5}+\Sigma_{u8}+\Sigma_{ocomb} \over \Sigma_{u5}+\Sigma_{u8} + \Sigma_{ocomb}+ \Sigma_m + \Sigma_{z} }</math>;
* on exprime tous les termes en fonction de <math>N_u</math><math>R_m</math>, et <math>e_n</math>
*<math>\Sigma_{u5} = \sigma_{u5} \times e_n \times N_{u}</math>
*<math>\Sigma_{u8} = \sigma_{u8} \times (1 -e_n ) \times N_{u}</math>
*<math>\Sigma_{ocomb} = \sigma_{o} \times 2 \times N_{u}</math>
*<math>\Sigma_m</math> = Section efficace macroscopique de capture dans le modérateur = <math>\sigma_h \times N_h + \sigma_o \times N_{omod}</math>
::<math>N_h = R_{m} \times N_{u}</math>
::<math>N_{omod} = N_h/2 = R_{m} \times N_{u} / 2 =</math>
*<math>\Sigma_{z}</math> = Section efficace macroscopique de capture dans le zirconium et les structures = <math>\sigma_{z} \times N_{z}</math><ref group="Note">Dans le cœur d'un REP il n'y a en fait de structures quasiment que le zirconium des gaines et les tubes guides des assemblages de combustible.</ref>
::Dans le réacteur à eau sous-pression électrogène le rapport entre le volume de zirconium et le volume d'UO{{ind|2}} ne varie que faiblement d'un modèle à l'autre. Il est égal au {{1er|ordre}} au rapport de la section du tube de zirconium à la section de la pastille d'UO{{ind|2}} qui ne change que très peu d'un réseau combustible crayon à l'autre, il en découle que le rapport <math>N_z / N_{u}</math> est constant au {{1er|ordre}} d'un type de réacteur à l'autre. Il dépend toutefois de la température de fonctionnement du fait de la dilatation assez sensiblement différente de l'oxyde d'uranium et du zirconium <ref group="Note">L'oxyde se dilate beaucoup plus que le zirconium ce qui fait que le nombre d'atomes de zirconium présents dans le flux rapporté au nombre d'atomes d'uranium varie avec la température.</ref>. Avec les dimensions typiques des crayons combustibles, tubes guides, grilles de maintien des assemblages 17 × 17 en usage en France ce rapport est proche de 0,66. Si on dispose de la géométrie détaillée du combustible on peut aisément recalculer le facteur, à défaut la valeur de 0,66 donne un ordre de grandeur correct.
::<math>N_z = N_{u} \times 0{,}66</math>

En remplaçant tous les termes par leur valeur et en divisant numérateur et dénominateur par <math>N_{u}</math>, il vient :

{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
| <math>f = {e_n \times \sigma_{u5} + \sigma_{u8} \times (1 -e_n ) + 2 \times \sigma_o \over e_n \times \sigma_{u5} + \sigma_{u8} \times ( 1 -e_n ) + 2 \times \sigma_o + R_m \times ( \sigma_h + \sigma_o/2) + \sigma_{z} \times 0{,}66 }</math>
|}

On peut observer que f varie en fonction de l'enrichissement et de la modération.

;Simplifications
Après division haut et bas par <math>e_n \times \sigma_{u5} + \sigma_{u8} \times (1 -e_n ) + 2 \times \sigma_o </math>, il vient :

:<math>f = { 1 \over 1 + \phi } </math> avec

:<math>\phi = { R_{m} \times ( \sigma_h + \sigma_o/2 ) + \sigma_{z} \times 0{,}66 \over e_n \times \sigma_{u5} + \sigma_{u8} \times (1 -e_n ) + 2\; \sigma_o } </math>

On pose, comme dans le cas du facteur ''&eta;'' :
:: <math>\mathcal{S}_{h/u} = { \sigma_h + \sigma_o / 2 \over \sigma_{u5} - \sigma_{u8} }</math>
:: <math>\mathcal{S}_{z/h} = { \sigma_{z} \times 0{,}66 \over \sigma_h + \sigma_o / 2 }</math>
: termes sans dimension qui ne dépendent que des caractéristiques physiques des corps présents et non de l'enrichissement <math>e_n</math> ou de la modération <math>R_m</math>.

:<math>\phi =  { \sigma_h + \sigma_o / 2 \over \sigma_{u5} - \sigma_{u8} }  \times  { R_{m} + \left({ \sigma_{z} \times 0{,}66 \over \sigma_h + \sigma_o / 2 }\right) \over e_n + \left( { \sigma_{u8} + 2\;\sigma_o \over \sigma_{u5} - \sigma_{u8} }\right) } = \mathcal{S}_{h/u} \times  { R_{m} + \mathcal{S}_{z/h} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} }</math>
;Formule simple
{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
| <math>f = { 1 \over 1 + \phi }</math><br><br><math>\phi = \mathcal{S}_{h/u} \times { R_{m} + \mathcal{S}_{z/h} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} }</math>
* avec :
: <math>\mathcal{S}_{u8/u5} = { \sigma_{u8} + 2\;\sigma_o \over \sigma_{u5} - \sigma_{u8} }</math>
: <math>\mathcal{S}_{h/u} = { \sigma_h + \sigma_o / 2 \over \sigma_{u5} - \sigma_{u8} }</math>
: <math>\mathcal{S}_{z/h} = { \sigma_{z} \times 0{,}661 \over \sigma_h + \sigma_o / 2 }</math>
* Applicable pour
::<math>~2 <~R_{m}< 10</math>
::<math>~0{,}7~\%<~e_n<~7~\%</math>
|}

'''Numériquement :''' (cf. tableau en fin d'article)
* Termes de la formule simplifiée donnant f :
: <math>\mathcal{S}_{h/u} \approx 4{,}901 \times 10^{-4} </math>
: <math>\mathcal{S}_{z/h} \approx 0{,}3624</math>
: <math>\mathcal{S}_{u8/u5} \approx 3{,}957 \times 10^{-3}</math>
: <math>\phi \approx 4{,}901 \times 10^{-4} \times { R_{m} + 0{,}3624 \over e_n + 3{,}957 \times 10^{-3} }</math>
* Résultat :
: Pour un enrichissement moyen typique de 2,283 % en masse soit 2,312 % en noyaux
: un rapport de modération atomique moyen R<sub>m</sub> typique de 4,338,
:: f ≈ 0,9216<ref group="Note" name="Approx"/>

==== Évaluation simplifiée du facteur ''p'' ====
<center><math>p =~{\text{Nombre total de neutrons parvenant au domaine (thermique)}\over\text{Nombre de neutrons candidats au ralentissement}}</math></center>

<math>p \approx \mathrm{e}^\left( -\frac{\sum\limits_{i=1}^{N} N_i I_{r,C,i}}{\left( \overline{\xi} \sigma_p \right)_{mod}} \right)</math>

;Liminaires
La relation générale se simplifie un peu en considérant qu'un seul groupe de noyaux capturant : l'uranium 238 de concentration <math>N_{u8}</math>, ce qui est le cas dans un cœur neuf ne contenant pas de plutonium.
:: <math>I_{\rm{eff,u8}}</math> = Intégrale effective de capture résonnante en ralentissement de l'uranium 238
:: <math>I_{\rm{eff,u8}}=\int\limits_{E_{\rm{th}}}^{E_0} {\sigma_{c,u8} \over 1 + {N_{u8}\over \Sigma_d} \times \sigma_{c,u8} } \times {\mathrm{d}E\over E}</math>

* <math>- \ln(p) = { N_{u8} \times I_{\rm{eff,u8}} \over \xi \times \Sigma_d } </math> exprime la balance entre deux termes :
: Le numérateur, uniquement dépendant de <math>N_{u8}</math> est une fonction croissante de <math>N_{u8}</math> ; plus il y a d'atomes d'uranium 238 plus il y a de captures en ralentissement des neutrons.
: Le dénominateur, uniquement dépendant de <math>R_{m}</math>, est une fonction croissante de <math>R_{m}</math> ; plus il y a d'atomes d'hydrogène moins il y a de chances pour qu'un neutron soit capturé avant qu'il soit thermalisé.

La modélisation de la modération via le terme <math>R_{m} = {N_h \over N_u}</math> préférentiellement à <math>R_{m5} = {N_h \over N_{u5}}</math> rend indépendantes les variables <math>R_{m}</math> et <math>e_n</math>. Ainsi dans le cas typique d'une variation d'enrichissement à rapport volumique de modération constant, façon pratique de réaliser les choses en réacteur à eau, le nombre d'atomes d'uranium total n'est pas changé et le terme <math>R_{m}</math> reste constant.

;Corrélations
On peut alors appliquer les deux relations empiriques suivantes<ref group="Référence" name=NaudetAIEA>Naudet R ''[http://www.iaea.org/Publications/Magazines/Bulletin/Bull171/French/17105192224_fr.pdf Le phénomène d'Oklo]'', AIEA, PDF, 3 pages.</ref>{{,}}<ref group="Référence" name=ReussINSTN>{{pdf}} Reuss P (1996), ''[http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/65/19/53/PDF/3-reuss.pdf Bases de neutronique : coefficients de réactivité dans les réacteurs nucléaires]'', INSTN/UERTI, Saclay, septembre 1996, 32{{nb p.}}.</ref> :
* <math>I_{\rm{eff,u8}} = 4{,}66 \times 10^{11} \times N_{u8}^{- 0{,}478}</math><ref group="Note" name="Approx"/>, avec :
::<math>N_{u8}</math> en at/cm{{3}}, et,
::<math>I_{\rm{eff,u8}}</math> en barn
:: Cette relation rend compte au mieux des corrélations disponibles dans la littérature technique (cf. documents référencés ci-après) dans une large gamme de concentrations en [[uranium 238]].
* <math>\xi \times \Sigma_d = 0{,}0913 \times ( R_{m} + 0{,}01 )</math><ref group="Note" name="Approx"/>, avec
:: <math>R_{m}</math> sans dimension et
:: <math>\xi \times \Sigma_d</math> en cm{{-1}}
:: Cette corrélation rend compte de l'évolution de <math>\ln(p)</math> en fonction de <math>R_m</math>, elle est cohérente avec l'ordre de grandeur des coefficients de température modérateur observés en fonctionnement et la valeur relative de l'optimum de modération par rapport aux conditions nominales de fonctionnement. (Ces valeurs sont fortement dépendantes de l'enrichissement du combustible)
'''Simplifications''' ; on pose :
: <math>\mathcal{Z} = Z \times N_{u8}^{y} \times (R_{m}+0{,}01)^{-x}</math>,
: avec <math>Z = 5{,}104 \times 10^{-12}= \frac{4{,}66 \times 10^{11} \times \times 10^{-24}}{0{,}0913}</math><math>x = 1{,}0 </math> et <math>y = 0{,}522</math>
;Formule simple
{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
|
* <math>\ln(p) = - \mathcal{Z}</math><math>~p = \mathrm{e}^{- \mathcal{Z}}</math>
* <math>\mathcal{Z} = Z \times N_{u8}^{y} \times (R_m+0{,}01)^{-x}</math>,
: avec <math>Z = 5{,}104 \times 10^{-12}</math>, <math>x = 1{,}0</math> et <math>y = 0{,}522 </math>
* avec :
:: <math>N_{u8}</math> en at/cm{{3}}
:: <math>\mathcal{Z}</math>, <math>R_{m}</math> et <math>p</math> sans dim
* Applicable pour
::<math>2~<~R_{m}~<~10</math>
::<math>0{,}7~\%~<~e_n~<~7~\%</math>
::<math>10^{21}~<~N_{u8}~<~10^{22} \; \rm at/cm^3</math>
|}

'''Numériquement :''' (cf. tableau en fin d'article)
: Pour un enrichissement moyen typique de 2,362 % en noyaux, un rapport de modération atomique moyen typique de 4,352
:: <math>p</math> ≈ 0,75<ref group="Note" name="Approx"/>

;Remarque
: Le facteur p est celui qui présente l'incertitude maximale dans ce modèle simplifié.

==== Évaluation simplifiée du facteur ''ε'' ====

<center>
<math>\varepsilon = \frac {\text{Nombre total de neutrons issus des fissions (candidats au ralentissement)}}{\text{Nombre de neutrons issus des fissions induites par des neutrons thermiques}}</math>
</center>

Le facteur <math>\varepsilon</math> s'estime à partir de la formule générale :

<math>\varepsilon = 1 + {1-p \over p} \times {1\over f} \times {u_{\rm R} \times \nu_{\rm R} \times P_{\rm{RCF}} \over \nu_{\rm T} \times P_{\rm{TCF}} \times P_{\rm T} }</math>

avec :

* <math>P_{\rm{TCF}}</math> = Probabilité qu'un neutron thermique capturé dans le combustible fissile en neutrons thermiques génère une fission ;
* <math>P_{\rm{TCF}} = {\sigma_{\rm{TFu5}} \over \sigma_{\rm{TCu5}}}</math> (U 235 est seul fissile en neutrons thermiques) ;
* <math>P_{\rm{RCF}}</math> = Probabilité qu'un neutron rapide capturé dans le combustible fissile en neutrons rapides génère une fission ;
* <math>P_{\rm{RCF}} = {\sigma_{\rm{RF(u5 + u8)}} \over \sigma_{\rm{RC(u5 + u8)}}}</math>(U 235 et 238 sont fissiles en neutrons rapides) ;
* <math>u_{\rm R}</math> = Facteur d'utilisation rapide = Probabilité qu'un neutron rapide soit capturé dans le combustible fissile en neutrons rapides plutôt que dans un autre atome ;
* <math>{\Sigma_{\rm{RC(u5 + u8)}} \over \sigma_{\rm{RC(u5 + u8 + z + o + h)}}}</math> ;
* <math>P_{\rm T}</math> = Probabilité de non-fuite au niveau thermique.

;Remarques liminaires
Dans le cas d'un réacteur à neutrons thermiques, le facteur ''ε'' est un terme correctif exprimant la part de fissions rapides. ε est donc une fonction décroissante de la modération (à l'équilibre de remplacement des générations de neutrons (k effectif = 1), plus le cœur est modéré moins la contribution des fissions rapides est importante pour réaliser l'équilibre).

L'uranium 235, certes préférentiellement fissile en neutrons thermiques, l'est également en neutrons rapides et même il l'est davantage que l'uranium 238 (section efficace en gros 1,5 à 2 fois plus élevée). À priori une augmentation de l'enrichissement doit conduire à une augmentation de ε, ce qui est cohérent avec la proposition ci-dessus puisqu'une augmentation de l'enrichissement implique une diminution de la modération. Cet effet doit cependant rester modéré.

Le terme <math>{1-p \over p} \times { 1 \over f }</math> qui doit rester de l'ordre de 0,3 à 0,5 constitue une ''preuve par neuf'' de cohérence de l'évaluation des facteurs <math>p</math>, <math>f</math>, <math>\varepsilon</math>.

<math>f</math> et <math>p</math> sont déterminés par les relations données ci-dessus.

On note <math>\alpha</math> le terme <math>\alpha = {u_{\rm R} \times \nu_{\rm R} \times P_{\rm{RCF}} \over \nu_{\rm T} \times P_{\rm{TCF}} \times P_{\rm T} }</math>

La relation empirique suivante donne α en fonction de la modération ce qui permet d'estimer &epsilon; connaissant les deux autres facteurs ''p'' et ''f''.
;Formule simple
{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
|
* <math>\alpha = 0{,}137 \times \mathrm{e}^{-0{,}0546 \times R_{m}}</math>
* <math>\varepsilon = 1 + {1-p \over p} \times {1\over f} \times \alpha</math>
**<math>R_{m}</math>, <math>p</math> et <math>f</math> sans dim
** Applicable pour :
::<math>2~<~R_{m}~<~10 .</math>
::<math>0{,}7~\%~<~e_n~<~7~\%</math>
::<math>10^{21}~<~N_{u8}~<~10^{22}~\rm at/cm^3</math>
|}

;Remarques
La formule simple ci-dessus est potentiellement améliorable aux faibles et très fortes valeurs de <math>R_m</math>.

La prise en compte dans le modèle simplifié du rapport <math>\; { \nu_{fission~rapide} \over \nu_{fission~thermique} }</math> qui vaut grossièrement <math>\; \approx { 2{,}47 \over 2{,}42 } = 1{,}021</math> est bien sûr aisément possible. De facto, ce rapport qui n'est qu'une proportionnalité se trouve inclus dans le terme α.

Il pourra être recherché un éventuel terme correctif de la valeur de α en fonction de l'enrichissement du cœur.

'''Numériquement :''' (cf. tableau en fin d'article)
: Pour un rapport de modération atomique moyen typique de 4,338
: &alpha; ≈ 0,1081
: Connaissant f ≈ 0,9216 et p ≈ 0,7572
:: <math>{1-p \over p} \times {1\over f} \approx 0{,}3479</math>
:: &epsilon; ≈ 1,038

=== Évolution de <math>k_{\infty}</math> et <math>k_{eff}</math> en fonction des paramètres principaux du cœur ===
L'appréciation d'une modification de la constitution du réacteur sur la réactivité du cœur s'effectue en appréciant son impact sur chacun des 4 facteurs. Ceci peut être fait en utilisant les formules simplifiées.

==== Effet d'une variation de l'enrichissement sur les valeurs de <math>k_{\infty}</math> et <math>k_{eff}</math> ====
[[Fichier:KinfiniEnrichissement.JPG|thumb|Évolution de <math>k_{\infty}</math> en fonction de l'enrichissement du cœur]]
<math>k_{\infty}</math> varie fortement avec l'enrichissement du cœur, tous les facteurs sont concernés, toutefois les facteurs f et &eta; sont principalement impactés.

;Évolution qualitative des quatre facteurs avec l'enrichissement
La courbe jointe donne par application des formules simplifiées ci-dessus l'évolution de <math>k_{\infty}</math> en fonction de l'enrichissement du cœur entre une teneur entre l'enrichissement naturel (0,7202 % en noyaux) et la valeur maximale pratique des usines d'enrichissement.

* <math>\eta</math> augmente fortement avec l'enrichissement et rejoint une valeur maximale asymptotique pour 100 % d'enrichissement égale à <math>\eta =~{ \mathcal{F}_{u5} \over 1 + \mathcal{S}_{u8/u5} }</math> de l'ordre de 2,07 . (cf. tableau en fin d'article).
: <math>\eta</math> est le facteur prépondérant vis-à-vis de l'enrichissement
* <math>f</math> augmente avec l'enrichissement et rejoint une valeur maximale asymptotique très proche de 1 (comprise entre 0,98 et 1) pour 100 % d'enrichissement.

{{Boîte déroulante/début|align=left|titre=Valeur asymptotique de f pour 100 % d'enrichissement}}

La valeur asymptotique de <math>f</math> à 100 % d'enrichissement (théorique) dépend de <math>R_m</math> suivant une fonction décroissante, mais on peut voir que même pour une valeur très élevée de <math>R_m</math>, cette valeur est proche de 1 :
:: <math>f_{max} = { 1 \over 1 + \phi_{max} }</math>
:: <math>\phi_{max} = \mathcal{S}_{h/u} \times { R_{m} + \mathcal{S}_{z/h} \over 1 + \mathcal{S}_{u8/u5} } = {\mathcal{S}_{h/u}\over 1 + \mathcal{S}_{u8/u5} } \times ( R_{m}+ \mathcal{S}_{z/h} )</math>
:: <math>{\mathcal{S}_{h/u}\over 1 + \mathcal{S}_{u8/u5} } < 6 \times 10^{-4}</math>
:: <math>\mathcal{S}_{z/h} < 0{,}5</math>
:: dans les configurations ordinaires on a certainement <math>R_m < 20</math>
:: <math>\phi_{max} < 0{,}0123</math>
:: <math>f_{max}> 0{,}988</math>

{{Boîte déroulante/fin}}

* <math>p</math> augmente faiblement avec l'enrichissement
* <math>\varepsilon</math> diminue faiblement avec l'enrichissement

En résumé :
* le produit <math>f \times \eta</math> varie et augmente avec l'enrichissement
* le produit <math>p \times \varepsilon</math> ne varie que très faiblement avec l'enrichissement

Aux fortes valeurs d'enrichissement (hors plage d'applicabilité des formules simplifiées) on observe:
* un plafonnement de l'augmentation différentielle de réactivité vers 20 % d'enrichissement (valeur limite des réacteurs expérimentaux)
* une augmentation linéaire de <math>k_{\infty}</math> jusqu'à atteindre la valeur asymptotique à 100 % d'enrichissement.

;Valeur en pcm (pour cent mille) de 1 % d'enrichissement
Une augmentation (resp. diminution) d'enrichissement '''massique''' de 1 % en valeur absolue géométriquement centrée autour de la teneur de 2,433 % massique (soit de 1,984 % à 2,984 % en masse et de 2,009 % à 3,021 % en noyaux) se traduit par une augmentation (resp. diminution) relative de 8,143 (%/%) de la valeur de <math>k_{\infty}</math>. L'augmentation (resp. diminution) de réactivité correspondante est égale à :
: <math>\Delta\rho = 100\,000 \times \ln\left( { 1 + 8{,}143 \; \% \times ( 2{,}984 \;\% - 2{,}464 \; \%) \over 1 - 8{,}143 \; \% \times ( 2{,}464 \;\% - 1{,}984 \; \%) } \right) \approx 8212~\rm pcm/\%</math>

Cette valeur est un ordre de grandeur car outre les incertitudes propres au modèle simplifié la valeur « du % d'enrichissement » varie très fortement avec la valeur de l'enrichissement nominal autour duquel se trouve le % en question.

;Dérivée de <math>k_{\infty}</math> avec l'enrichissement
L'expression plus complète de la variation de <math>k_{\infty}</math> détaillée dans la boîte déroulante en fonction de l'enrichissement est la relation suivante assez lourde:
{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
| <math>{\partial k_{\infty} \over \partial e_n } = k_{\infty} \times \left( f \times \mathcal{S}_{h/u} \times { R_{m} + \mathcal{S}_{z/h} \over ( e_n + \mathcal{S}_{u8/u5})^2 } + \eta \times { \mathcal{S}_{u8/u5} \over \mathcal{F}_{u5} \times h } \times { 1 \over e_n^2 } \right)</math>

Applicable pour
::<math>~0{,}3~\%~<~e_n~<~7~\% </math>
|}

Le terme <math>\mathcal{S}_{u8/u5} < 5 \times 10^{-4}</math> étant petit devant la valeur des enrichissements usuels on voit apparaitre au dénominateur de la dérivée de <math>k_{\infty}</math> l'enrichissement du cœur ''au carré''. Plus l'enrichissement augmente moins le gain relatif en réactivité est important, en revanche la masse de matière fissile est augmentée ce qui reste favorable du point de vue de l'énergie extractible du cœur.

{{Boîte déroulante/début|align=left|titre=Variation de <math>k_{\infty}</math> avec l'enrichissement toutes choses égales d'ailleurs}}

;Liminaires
Expression générale de <math>{ \partial k_{\infty} \over \partial e_n } ={ \partial (\varepsilon \times \eta \times p \times f) \over \partial e_n } \varepsilon \times \eta \times p \times f</math>

: On simplifie la formule générale donnant la dérivée en la divisant par <math>\varepsilon \times \eta \times p \times f</math>. Il vient :
:: <math>{ \partial k_{\infty} \over \partial e_n } \times {1\over k_{\infty}} = { \partial p \over \partial e_n } \times {1\over p} + { \partial f \over \partial e_n } + { \partial \varepsilon \over \partial e_n} \times { 1 \over \varepsilon} +{\partial \eta \over \partial e_n } \times { 1 \over \eta }</math>

On évalue chacun des quatre termes ci-dessus ce qui fait apparaître deux groupes :
:: le premier groupe <math>\varepsilon \times p</math> varie faiblement avec l'enrichissement
:: le second groupe <math>\eta \times f</math> varie fortement

Dans l'exemple typique décrit on montre qu'il est loisible pour décrire qualitativement la variation de <math>k_{\infty}</math> en fonction de l'enrichissement de faire l'hypothèse que le premier groupe <math>\varepsilon \times p</math> est invariant.

;Évaluation de la dérivée de chacun des facteurs
* Facteur ''p''
: <math>\ln(p) = - Z \times N_{u8}^{y} \times (R_m+0{,}01)^{- x } = - Z \times ( N_{u} \times ( 1-e_n))^{y} \times (R_m+0{,}01)^{- x } = - Z \times N_{u}^{y} \times (R_m+0{,}01)^{- x } \times ( 1-e_n)^{y}</math>
: <math>Z\times N_{u}^{y} \times (R_m+0{,}01)^{- x }</math> est constant dans la variation d'enrichissement
: <math>{ \partial p \over \partial e_n } = p \times ( - Z \times N_{u}^{y} \times (R_m+0{,}01)^{- x } ) \times y \times (1-e_n)^{y-1} \times (-1) = p \times (-\ln(p)) \times y \times (1-e_n)^{-1}</math>
: <math>{ \partial p \over \partial e_n } \times {1\over p} = (-\ln(p)) \times y \times (1-e_n)^{-1}</math>
* Numériquement:
:: Cf. tableau de résultats en fin d'article
:: Le facteur p est constant au {{1er|ordre}}, faiblement croissant avec l'enrichissement, au voisinage de <math>e_n = 2{,}464 \; \%</math> et <math>R_m = 4{,}120</math>
:: Une augmentation (resp. diminution) d'enrichissement '''massique''' de 1 % en valeur absolue géométriquement centrée autour de la teneur de 2,433 % (soit de 1,984 % à 2,984 % en masse et de 2,009 % à 3,021 % en noyaux) se traduit par une augmentation (resp. diminution) relative de 0,1539 % de p.
:: En généralisant à un grand nombre de cas potentiels, <math>p~>~0{,}5</math> et <math>e_n~<~7\;\%</math> donc : <math>{ \partial p \over \partial e_n } \times {1\over p} < 0{,}4~(\%/\%)</math>

* Facteur ''f''
: <math>f = { 1 \over 1 + \phi }</math> <math>\phi = \mathcal{S}_{h/u} \times  { R_{m} + \mathcal{S}_{z/h} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} }</math>
: <math>{ \partial f \over \partial e_n } = - \left( { 1 \over 1 + \phi }\right)^2 \times { \partial \phi \over \partial e_n } = - f^2 \times { \partial \phi \over \partial e_n }</math>
: <math>{ \partial \phi \over \partial e_n } = - \mathcal{S}_{h/u} \times { R_{m} + \mathcal{S}_{z/h} \over ( e_n + \mathcal{S}_{u8/u5})^2 }</math>
: <math>{ \partial f \over \partial e_n } = f^2 \times \mathcal{S}_{h/u} \times { R_{m} + \mathcal{S}_{z/h} \over ( e_n + \mathcal{S}_{u8/u5})^2 }</math>
: <math>{ \partial f \over \partial e_n } \times { 1 \over f } = f \times \mathcal{S}_{h/u} \times { ( R_{m} + \mathcal{S}_{z/h} ) \over ( e_n + \mathcal{S}_{u8/u5})^2 }</math>

: pour <math>R_m = 4{,}120</math> et <math>e_n = 2{,}464 \; \%</math>
: <math>{ \partial f \over \partial e_n } = 0{,}929^2 \times 3{,}949 \times 10^{-3} \times { 4{,}120 + 0{,}3641 \over ( 0{,}024\,64 + 4{,}314 \times 10^{-3} )^2 } = 2{,}320</math>
: <math>{ \partial f \over \partial e_n } \times { 1 \over f }= 2{,}498~(\%/\%)</math>
* Numériquement :
:: Cf. tableau de résultats en fin d'article
:: Le facteur f est fortement croissant au voisinage au voisinage de <math>e_n = 2{,}464 \; \%</math> et <math>R_m = 4{,}120</math>
: Une augmentation (resp. diminution) d'enrichissement '''massique''' de 1 % en valeur absolue géométriquement centrée autour de la teneur de 2,433 % (soit de 1,984 % à 2,984 % en masse et de 2,009 % à 3,021 % en noyaux) se traduit par une augmentation (resp. diminution) relative de 2,528 % de f.

* Facteur ''&epsilon;''
: <math>\varepsilon = 1 + {1-p \over p} \times {1\over f} \times \alpha = 1 + \alpha \times \left( {1 \over p \times f } - {1\over f} \right)</math>
: <math>\alpha = 0{,}135 \times \mathrm{e}^{0{,}0535 \times R_{m}} = 0{,}108</math>
: <math>{ \partial \varepsilon \over \partial e_n} = \alpha \times \left( {1\over f^2} \times { \partial f \over \partial e_n} - {1 \over p^2 \times f^2 } \times \left( p \times { \partial f \over \partial e_n} + f \times { \partial p \over \partial e_n} \right) \right)</math>
: <math>{ \partial \varepsilon \over \partial e_n} = \alpha \times \left( {1\over f^2} \times \left( 1 - {1 \over p } \right) \times { \partial f \over \partial e_n} - {1 \over p^2 \times f} \times { \partial p \over \partial e_n} \right)</math>
: <math>{ \partial \varepsilon \over \partial e_n} \times { 1 \over \varepsilon} = { 1 \over \varepsilon} \times \alpha \times \left( {1\over f^2} \times \left( 1 - {1 \over p } \right) \times { \partial f \over \partial e_n} - {1 \over p^2 \times f } \times { \partial p \over \partial e_n} \right)</math>
* Numériquement :
:: Cf. tableau de résultats en fin d'article
:: Le facteur &epilon; est constant au {{1er|ordre}}, faiblement décroissant avec l'enrichissement, au voisinage de <math>e_n = 2{,}464 \; \%</math> et <math>R_m = 4{,}120</math> .
:: Une augmentation (resp. diminution) d'enrichissement '''massique''' de 1 % en valeur absolue géométriquement centrée autour de la teneur de 2,433 % (soit de 1,984 % à 2,984 % en masse et de 2,009 % à 3,021 % en noyaux) se traduit par une diminution (resp. augmentation)relative de 0,1165 % de &epsilon;.

* Facteur ''&eta;''
: <math>\eta =~{ \mathcal{F}_{u5} \over 1 + {\mathcal{S}_{u8/u5} \over e_n } } \times h</math> ; avec <math>h</math> = correctif fonction de R
: <math>{\partial \eta \over \partial e_n } = \mathcal{F}_{u5} \times \left( { 1 \over 1 + {\mathcal{S}_{u8/u5} \over e_n } }\right)^2 \times \mathcal{S}_{u8/u5} \times { 1 \over e_n^2 } \times c = \eta^2 \times { \mathcal{S}_{u8/u5} \over \mathcal{F}_{u5} } \times { 1 \over e_n^2 } \times { 1 \over h }</math>
: <math>{\partial \eta \over \partial e_n } \times {1\over \eta } = \eta \times { \mathcal{S}_{u8/u5} \over \mathcal{F}_{u5} } \times { 1 \over e_n^2 } \times { 1 \over h }</math>
* Numériquement :
:: Cf. tableau de résultats
:: Le facteur &eta; est fortement croissant avec l'enrichissement au voisinage de <math>e_n = 2{,}464 \; \%</math> et <math>R_m = 4{,}120</math> .
:: <math>\eta</math> est le facteur prépondérant vis à vis d'une variation d'enrichissement.
:: Une augmentation (resp. diminution) d'enrichissement '''massique''' de 1 % en valeur absolue géométriquement centrée autour de la teneur de 2,433 % (soit de 1,984 % à 2,984 % en masse et de 2,009 % à 3,021 % en noyaux) se traduit par une augmentation (resp. diminution) relative de 5,68 % de &eta;.

;Bilan en réactivité de chacun des deux groupes

* Produit <math>p \times \varepsilon</math>
: pour <math>R_m = 4{,}120</math> et <math>e_n = 2{,}464 \; \%</math>
: <math>{ \partial \varepsilon \times p \over \partial e_n} \times { 1 \over \varepsilon \times p } = { \partial p \over \partial e_n } \times {1\over p} + { \partial \varepsilon \over \partial e_n}</math>
: Une augmentation (resp. diminution) d'enrichissement '''massique''' de 1 % en valeur absolue géométriquement centrée autour de la teneur de 2,433 % (soit de 1,984 % à 2,984 % en masse et de 2,009 % à 3,021 % en noyaux) se traduit par une augmentation (resp. diminution) relative de 0,0374 % du produit p \times &epsilon;
: L'augmentation (resp. diminution) de réactivité correspondante s'écrit:
: <math>\Delta\rho = 100\,000 \times \ln {\left( \frac{ 1 + ( 0{,}030\,21 - 0{,}024\,64 ) \times 0{,}037\,44}{1 - ( 0{,}030\,21 - 0{,}024\,64 ) \times 0{,}037\,44 } \right)} = 37{,}8~ \rm pcm</math> ce qui est très faible

* Produit ''f × &eta;''
: pour <math>R_m = 4{,}120</math> et <math>e_n = 2{,}464 \; \%</math>
: <math>{ \partial \eta \times f \over \partial e_n} \times { 1 \over \partial \eta \times f } = { \partial f \over \partial e_n } \times { 1 \over f } + { \partial \eta \over \partial e_n} \times { 1 \over \eta }</math>
<math>{\partial \eta \over \partial e_n } \times { 1 \over \eta } = 6{,}048~(\%/\%)</math>
: Une augmentation (resp. diminution) d'enrichissement '''massique''' de 1 % en valeur absolue géométriquement centrée autour de la teneur de 2,433 % (soit de 1,984 % à 2,984 % en masse et de 2,009 % à 3,021 % en noyaux) se traduit par une augmentation (resp. diminution) relative de 8,203 % du produit f \times &eta;
: L'augmentation (resp. diminution) de réactivité correspondante s'écrit:
: <math>\Delta\rho = 100\,000 \times \ln\left( { 1 + 4{,}519 \; \% \over 1 - 3{,}685 \; \% } \right) = 8\,175~\rm pcm</math>
: L'essentiel de la variation de réactivité provient du produit f × &eta; , la variation de p × &epsilon; pouvant être négligée.
;Formule générale de la dérivée de <math>k_{\infty}</math> en fonction de <math>e_n</math>
* <math>k_{\infty} = \left( \varepsilon \times p \right) \times \left(\eta \times f \right)</math>; on retient l'hypothèse d'une invariance de <math>k_{\infty} = \varepsilon \times p</math>
* <math>{\partial k_{\infty} \over \partial e_n } = \left( \varepsilon \times p \right) \times \left( \eta \times { \partial f \over \partial e_n } + f \times { \partial \eta \over \partial e_n} \right)</math>
* <math>{\partial \eta \over \partial e_n } = \eta^2 \times { \mathcal{S}_{u8/u5} \over \mathcal{F}_{u5} } \times { 1 \over e_n^2 } \times { 1 \over h }</math>
* <math>{ \partial f \over \partial e_n } = f^2 \times \mathcal{S}_{h/u} \times { ( R_{m} + \mathcal{S}_{z/h} ) \over ( e_n + \mathcal{S}_{u8/u5})^2 }</math>
* <math>\left( \eta \times { \partial f \over \partial e_n } + f \times { \partial \eta \over \partial e_n} \right) = \left( \eta \times f^2 \times \mathcal{S}_{h/u} \times { ( R_{m} + \mathcal{S}_{z/h} ) \over ( e_n + \mathcal{S}_{u8/u5})^2 } + f \times \eta^2 \times { \mathcal{S}_{u8/u5} \over \mathcal{F}_{u5} } \times { 1 \over e_n^2 } \times { 1 \over h } \right)</math>
* <math>\left( \eta \times { \partial f \over \partial e_n } + f \times { \partial \eta \over \partial e_n} \right) = \eta \times f \times \left( f \times \mathcal{S}_{h/u} \times { ( R_{m} + \mathcal{S}_{z/h} ) \over ( e_n + \mathcal{S}_{u8/u5})^2 } + \eta \times { \mathcal{S}_{u8/u5} \over \mathcal{F}_{u5} \times h } \times { 1 \over e_n^2 } \right)</math>
* <math>{\partial k_{\infty} \over \partial e_n } = \left( \varepsilon \times p \right) \times \left( \eta \times f \times \left( f \times \mathcal{S}_{h/u} \times { ( R_{m} + \mathcal{S}_{z/h} ) \over ( e_n + \mathcal{S}_{u8/u5})^2 } + \eta \times { \mathcal{S}_{u8/u5} \over \mathcal{F}_{u5} \times h } \times { 1 \over e_n^2 } \right) \right)</math>
* <math>{\partial k_{\infty} \over \partial e_n } = k_{\infty} \times \left( f \times \mathcal{S}_{h/u} \times { ( R_{m} + \mathcal{S}_{z/h} ) \over ( e_n + \mathcal{S}_{u8/u5})^2 } + \eta \times { \mathcal{S}_{u8/u5} \over \mathcal{F}_{u5} \times h } \times { 1 \over e_n^2 } \right)</math>
{{Boîte déroulante/fin}}
;Grandeurs invariantes avec l'enrichissement
Les grandeurs suivantes sont invariantes avec l'enrichissement du cœur (valeurs numériques données dans le tableau en fin d'article).
* Volume du cœur
* Volume d'oxyde d'uranium
* Nombre de moles d'uranium dans le cœur
* Concentration volumique des atomes d'uranium
* Volume d'eau primaire dans le cœur
* Température moyenne de l'eau primaire dans le cœur
* Masse volumique de l'eau aux conditions nominales
* Masse d'eau primaire
* Concentration des atomes d'hydrogène
* Rapport molaire de modération

Dans la variation d'enrichissement le nombre total d'atomes d'uranium reste constant, en revanche la masse d'uranium change. Dans le réseau cristallin de l'oxyde d'uranium les atomes d'uranium 238 sont remplacés par des atomes d'uranium 235 en cas d'augmentation de l'enrichissement (et inversement en cas de diminution de l'enrichissement).

L'invariance du nombre d'atomes d'uranium dans la variation d'enrichissement assure complètement l'indépendance des deux variables <math>R_m</math> et <math>e_n</math>

{{Boîte déroulante/début|align=left|titre=Invariance du nombre d'atomes d'uranium dans la variation d'enrichissement }}

Exemple de calcul dans le cas d'une augmentation de 1 % d'enrichissement massique qui passe de 2,433 % à 3,433 %
;Données et notations
* Enrichissement massique en uranium 235 = <math>e_m</math> = 2,433 %
* Enrichissement atomique (en noyaux ou molaire) en uranium 235 = <math>e_n</math>
* <math>M_{uo2}</math> = Masse d'oxyde d'uranium
* <math>\rho_{uo2}</math> = Masse volumique de l'oxyde d'uranium
* <math>V_{uo2}</math>= Volume d'oxyde d'uranium
* <math>N_{u5}, N_{u8}, N_u, N_{uo2}</math>= Nombre de moles d'U5, d'U8, d'oxyde d'uranium
* On note « prime » avec une apostrophe les grandeurs relatives au cas où l'uranium est enrichi à 3,333 %

;Calcul préliminaire : Enrichissement massique et molaire
L'enrichissement en noyaux et l'enrichissement massique sont liés par les relations :
*: <math>e_n = {e_m \over e_m + { \mathcal{M}_{U8} \over \mathcal{M}_{U5}}\cdot (1 - e_m)}</math> et <math>e_m = {e_n \over e_n + { \mathcal{M}_{U5} \over \mathcal{M}_{U8}}\cdot (1 - e_n)}</math>
*: <math>e_n = {2{,}333 \over 2{,}333 + {235{,}043\,93 \over 238{,}050\,78} (100 - 2{,}333)} = 2{,}464\;\%</math>
*: <math>e_n' = 3{,}476\;\%</math>
* Dans l'augmentation de l'enrichissement du cœur '''le volume d'oxyde d'uranium est invariant''' (à même température de fonctionnement, les pastilles d'oxyde d'uranium conservent un diamètre constant et la hauteur combustible est la même) :

La masse atomique de l'uranium varie :
*: <math>\mathcal{M}_{U}= \mathcal{M}_{U5}\cdot e_n + \mathcal{M}_{U8}\cdot (1-e_n)</math>
*: <math>\mathcal{M}_{U} = 235{,}043\,93 \times 2{,}464\;\% + 238{,}050\,78 (1 - 2{,}464\;\%) = 237{,}976\,7\;\rm g/mol</math>
*: <math>\mathcal{M}_{U}' = 237{,}946\,3\;\rm g/mol</math>
* La masse molaire de l'oxyde d'uranium change :
*: <math>\mathcal{M}_{UO2} = \mathcal{M}_{U} + 2 \mathcal{M}_{O} = 237{,}976\,7 + 2 \times 15{,}999\,4 = 269{,}975\,5\;\rm g/mol</math>
*: <math>\mathcal{M}_{UO2}' = 269{,}945\,1\;\rm g/mol</math>

La masse volumique de l'oxyde d'uranium change :
*: <math>\rho_{uo2} \div \mathcal{M}_{UO2}</math>
: <math>{\rho_{uo2}' \over \rho_{uo2}} = {\mathcal{M}_{UO2}'\over \mathcal{M}_{UO2} } = {269{,}945\,1\over 269{,}975\,5} = 0{,}999\,887</math>

La masse d'oxyde d'uranium change :
*: <math>M_{uo2} \div \rho_{uo2}</math>
: <math>{M_{uo2}' \over M_{uo2}} = 0{,}999\,887</math>
* En revanche, le nombre de moles d'uranium (i.e. le nombre d'atomes) '''ne change pas''' ; en effet :
*: <math>{N_{uo2}' \over N_{uo2}} = {{ M_{uo2}' \over \mathcal{M}_{UO2}'} \over { M_{uo2} \over \mathcal{M}_{UO2}}}= {M_{uo2}' \over M_{uo2} } \cdot {\mathcal{M}_{UO2} \over \mathcal{M}_{UO2}'} = { V_{uo2} \times \rho_{uo2}' \over V_{uo2} \times \rho_{uo2}} \cdot {\mathcal{M}_{UO2} \over \mathcal{M}_{UO2}'}</math>
*: <math>{N_{uo2}' \over N_{uo2}} = {\rho_{uo2}' \over \rho_{uo2} } \cdot {\mathcal{M}_{UO2} \over \mathcal{M}_{UO2}'} = {\mathcal{M}_{UO2}' \over \mathcal{M}_{UO2}} \cdot {\mathcal{M}_{UO2} \over \mathcal{M}_{UO2}'} = 1</math>
* Les nombres de moles d'uranium 235 et 238 varient :
*: <math>N_{u5} = N_u \cdot e_n</math>
: <math>{N_{u5}' \over N_{u5}} = {e_n' \over e_n} = {3{,}476\;\% \over 2{,}464\;\%}= 1{,}410\,8</math>
*: <math>N_{u8} = N_u \cdot (1-e_n)</math>
: <math>{N_{u8}' \over N_{u8}} = {1-e_n' \over e_n'} = {100 \; \% - 3{,}476\;\% \over 100\;\% - 2{,}464\;\%}= 0{,}989\,6</math>

{{Boîte déroulante/fin}}

==== Évolution de <math>k_{\infty}</math> avec la modération - Optimum de modération - Coefficient de température modérateur - Condition de stabilité - ''Reprise froid chaud'' ====
Les relations simplificatrices données ci-dessus permettent de fournir une description qualitative de la variation de <math>k_{\infty}~=~\varepsilon \times p \times f \times \eta</math> avec la modération à enrichissement donné du cœur, et notamment les points suivant qui sont déterminant de la conception du cœur :
* Optimum de modération et condition de stabilité;
* Coefficient de température du modérateur et ''reprise froid-chaud''.

===== Optimum de modération et condition de stabilité du cœur =====
[[Fichier:KinfiniModération.JPG|thumb|Évolution des facteurs en fonction de la modération du cœur. Le facteur &eta; qui varie peu avec la modération n'est pas figuré.]]

;Remarque liminaire - Éléments qualitatifs
L'expression générale de <math>{ \partial k_{\infty} \over \partial R_m }</math> est lourde elle se simplifie toutefois légèrement :
:<math>k_{\infty}~=~\varepsilon \times p \times f \times \eta</math> .On remplace &epsilon; par sa valeur
:<math>k_{\infty}~=~(1 + {1-p \over p} \times {1\over f} \times \alpha) \times p \times f \times \eta</math>
:<math>k_{\infty}~=~(~p \times f~+~(1-p) \times \alpha~) \times \eta</math>
:<math>\eta</math> est indépendant au {{1er|ordre}} de la modération (cf. ci-dessus facteur &eta;)
:<math>\alpha</math> est petit ( &alpha; = 0,125 pour R<sub>m</sub> = 1,5 et 0,0605 pour R<sub>m</sub> = 15 )
:<math>(1 - p)</math> ne dépasse pas ≈ 0,5 pour NU8 = {{nb|1,5|e=22| at/cm3}} et R<sub>m</sub> = 1,5 ; donc le produit <math>\alpha \times (1 - p)</math> est petit devant <math>f \times p</math> , on le néglige dans la recherche du maximum de <math>k_{\infty}</math>
:Ces hypothèses reviennent de facto à considérer que <math>\varepsilon</math> et <math>\eta</math> sont invariants avec la modération, ce qui est correctement vérifié avec toutefois une incertitude 0,2 unité de <math>R_m</math>

Ainsi donc au {{1er|ordre}} :
:<math>p</math> est croissant avec <math>R_m</math>
:<math>f</math> est décroissant avec <math>R_m</math>,
:<math>k_{\infty}</math> présente un maximum en fonction de <math>R_m</math>, pour le couple <math>p, \; f</math> tel que :
:<math>{\partial k_{\infty} \over \partial R_m} \approx \eta \times (f \times {\partial p \over \partial R_m} + p \times {\partial f \over \partial R_m}) = 0</math>

;Recherche graphique de l'optimum de modération
Le produit <math>p \times f</math> présente un maximum pour <math>R_{max}</math> voisin de 8 ce qui rend compte de l'effet de maximum.Q

;Recherche analytique de l'optimum de modération
Il est possible de trouver une formulation analytique de l'optimum de modération en fonction des différents paramètres ce qui peut permettre une étude paramétrique simple. <math>R_{max}</math> est donné par la relation <ref group="Note">Du fait de la légère variation de <math>\varepsilon</math> et <math>\eta</math> en fonction de <math>R_{m}</math> l'optimum de modération est trouvé pour une valeur de <math>R_{m}</math> légèrement inférieure (5 % environ)à la valeur du maximum du produit <math>p \times f</math> donné par cette formule.</ref>

{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
| <math>R_{max} \approx \left[ Z \times x \times N_{u8}^{y} \times \left( R_{m0} + \left( { e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} + \mathcal{S}_{h/u} \times \mathcal{S}_{z/h} \over \mathcal{S}_{h/u} } \right) \right) \right]^{1/(1+x)} - 0{,}01</math>
avec <math>R_{m0}</math>; valeur estimée du maximum de modération proche de <math>2 \times R_{m}</math>
|}

Ceci permet de retrouver quelques éléments de tendance importants :

L'optimum de modération augmente avec l'enrichissement :
: Une augmentation (resp. diminution) de 1 % de l'enrichissement autour du point moyen de 2,433 % en masse, augmente (resp. diminue) le rapport <math>{R_{max}\over R_m}</math> d'environ 10 %. Plus le cœur est enrichi plus il est « naturellement » stable, plus il est facile de le rendre auto-stable.

Dans la plage des enrichissements équivalents en usage sur les REP électrogènes donc entre 1,5 et 3,5 % d'enrichissement les ordres de grandeurs usuels sont restitués par le modèle simple.

La plage des faibles enrichissements conduit comme cela est normale à des configurations instables :
:: Un cœur enrichi à moins de 1,27 % en noyaux est stable à chaud mais ne vérifie pas la condition de stabilité à froid.
:: 1,12 % apparaît comme la limite inférieure d'enrichissement autorisant la divergence à chaud avec une marge d'exploitation suffisante (<math>k_{\infty}</math> > 1,05). Mais ceci n'est réalisé que pour un rapport de modération proche de l'optimum, donc dans une configuration non stable.

La plage des forts enrichissements apparait correctement modélisée ; la marge en réactivité importante est utilisable pour décrire le contrôle à l'acide borique.

Ces constats recoupent les dispositions prises sur les [[RBMK]] après l'accident de [[Tchernobyl]] où une augmentation de l'enrichissement utilisé a permis de rendre stable le cœur qui ne l'était pas antérieurement

{{Boîte déroulante/début|align=left|titre=Recherche analytique de l'optimum de modération du cœur}}

* Données - notations : (cf. tableau en fin d'article)
: <math>p = \mathrm{e}^{- \mathcal{Z}}</math>
: <math>\mathcal{Z} = Z \times (R_m+0{,}01)^{-x} \times N_{u8}^{y} </math>,
: <math>\mathcal{S}_{h/u} = { \sigma_h + \sigma_o / 2 \over \sigma_{u5} - \sigma_{u8} }</math>
: <math>\mathcal{S}_{z/h} = { \sigma_{z} \times 0{,}661 \over \sigma_h + \sigma_o / 2 }</math>
: <math>\mathcal{S}_{u8/u5} = { \sigma_{u8} + 2\;\sigma_o \over \sigma_{u5} - \sigma_{u8} }</math>
: <math>{\partial p \over \partial R_m} = p \times Z \times N_{u8}^{y} \times x \times (R_m+0{,}01)^{- (1+x) }</math>
: <math>\ln(p) = - Z \times N_{u8}^{y} \times (R_m+0{,}01)^{- x }</math>
: <math>{\partial p \over \partial R_m} = - p \times \ln(p) \times x \times (R_m+0{,}01)^{- 1}</math>

* <math>f = { 1 \over 1 + \phi }</math>
: <math>\phi = \mathcal{S}_{h/u} \times \left( { R_m + \mathcal{S}_{z/h} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right)</math>

: <math>{\partial f \over \partial R_m} = - \left( {1 \over 1 + \phi} \right)^2 \times {\partial \phi \over \partial R_m} = - f^2 \times {\partial \phi \over \partial R_m}</math>

: <math>{\partial \phi \over \partial R_m} = { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} }</math>

: <math>{\partial f \over \partial R_m} = - f^2 \times { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} }</math>

* <math>f \times {\partial p \over \partial R_m} + p \times {\partial f \over \partial R_m} = 0</math>
: <math>f ( - p ) \ln(p) \times x \times (R_m+0{,}01)^{- 1} + p \times (- f^2 ) \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right) = 0</math>
: <math>- \ln(p) \times x \times (R_m+0{,}01)^{- 1} = f \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right)</math>

: <math>- { (R_m+0{,}01) \over \ln(p) \times x } = ( 1 +\phi ) \times \left( { e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} \over \mathcal{S}_{h/u} } \right)</math>

* <math>{ (R_m+0{,}01) \over \ln(p) \times x } = - { (R_m+1)^{1 +x } \over Z \times x \times N_{u8}^{y} }</math>
* <math>( 1 +\phi ) \times \left( { e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} \over \mathcal{S}_{h/u} } \right) = \left( { e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} \over \mathcal{S}_{h/u} } \right) \times \left[ 1 + \mathcal{S}_{h/u} \times \left( { R_m + \mathcal{S}_{z/h} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right) \right]</math>

: <math>\left[ 1 + \mathcal{S}_{h/u} \times \left( { R_m + \mathcal{S}_{z/h} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right) \right] \times \left( { e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} \over \mathcal{S}_{h/u} } \right) = R_m + \left( { e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} + \mathcal{S}_{h/u} \times \mathcal{S}_{z/h} \over \mathcal{S}_{h/u} } \right)</math>
* soit à résoudre :
: <math>{ (R_m+ 0{,}01)^{1 + x } \over Z \times x \times N_{u8}^{y} } = R_m + \left( { e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} + \mathcal{S}_{h/u} \times \mathcal{S}_{z/h} \over \mathcal{S}_{h/u} } \right)</math>
: <math>{ 1 \over Z \times x \times N_{u8}^{y} } \approx 2</math>
: <math>\left( { e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} + \mathcal{S}_{h/u} \times \mathcal{S}_{z/h} \over \mathcal{S}_{h/u} } \right) \approx 58{,}7</math>

* Le terme : <math>R_m \approx 8</math> est petit devant <math>2 \times (R_m+0{,}01)^{1{,}667}</math> et devant <math>58{,}7</math> ; on le suppose en un premier temps constant et égal à la valeur estimée grossièrement du résultat notée <math>R_{m0}= 7</math> .

: <math>(R_m+0{,}01)^{1 + x } = Z \times x \times N_{u8}^{y} \times \left[ R_{m0} + \left( { e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} + \mathcal{S}_{h/u} \times \mathcal{S}_{z/h} \over \mathcal{S}_{h/u} } \right) \right]</math>

{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
| <math>R_{max} \approx \left[ Z \times x \times N_{u8}^{y} \times \left( R_{m0} + \left( { e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} + \mathcal{S}_{h/u} \times \mathcal{S}_{z/h} \over \mathcal{S}_{h/u} } \right) \right) \right]^{1/(1+x)} - 0{,}01</math>
avec <math>R_{m0}</math>; valeur estimée du maximum de modération proche de <math>2 \times R_{m}</math>
|}

Numériquement :
: {{1re|estimation}} : <math>R_{m1} = 8{,}06</math>
: une itération donne : <math>R_m = 8{,}13</math><br>valeur au {{1er|ordre}} compte tenu des incertitudes existantes sur les équations simplifiées du modèle donnant p et f.
: Suivant les valeurs des différents termes et la précision recherchée, un peu illusoire de toute façon, le calcul itératif ci-dessus est ou non nécessaire.

{{Boîte déroulante/fin}}

;Condition de stabilité du cœur
Le cœur est stable si <math>{ \partial k_{\infty} \over \partial R_m } > 0</math>. En effet toute augmentation de température du cœur provoque une diminution de <math>R_{m}</math> par dilatation de l'eau contenue dans le cœur.

Ceci conduit à la relation :
{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
| <math>x > { (R_m+0{,}01)^{1+x} \over Z \times N_{u8}^{y} } \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} + \mathcal{S}_{h/u} \times ( R_m + \mathcal{S}_{z/h} ) }\right)</math>
|}

Cette inégalité doit être vérifiée sur toute la plage de fonctionnement du réacteur :
* à chaud conditions nominales
:<math>R_m \approx 4{,}14</math>
:<math>x > \approx 0{,}229</math>
* à froid
:<math>R_m \approx 5{,}63</math>
:<math>x > \approx 0{,}373</math>
* durant toute l'exploitation donc avec une consommation de matière fissile équivalent au {{1er|ordre}} à une réduction de l'enrichissement.

Plus l'enrichissement du cœur est élevé, plus la condition de stabilité est aisée à satisfaire. Parmi les modifications apportées aux RBMK pour les rendre stables en toutes circonstances, une a consisté à augmenter l'enrichissement du cœur.

{{Boîte déroulante/début|align=left|titre=Condition de stabilité du cœur}}
* <math>\varepsilon</math> et <math>\eta</math> sont invariants avec <math>R_m</math>
* <math>{ \partial k_{\infty} \over \partial R_m } \approx \eta \times \varepsilon \times \left ( f \times {\partial p \over \partial R_m} + p \times {\partial f \over \partial R_m} \right) > 0</math>

: <math>{\partial p \over \partial R_m} = - p \times \ln(p) \times x \times (R_m+0{,}01)^{- 1}</math>

: <math>{\partial f \over \partial R_m} = - f^2 \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right)</math>

* Condition de stabilité du cœur : <math>f \times {\partial p \over \partial R_m} + p \times {\partial f \over \partial R_m} > 0</math>

: <math>f \times (- p) \times \ln(p) \times x \times (R_m+0{,}01)^{- 1} + p \times ( - f^2 ) \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right) > 0</math>

: <math>\ln(p) \times x \times (R_m+0{,}01)^{- 1} + f \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right)< 0</math>

: <math>\ln(p) \times x \times (R_m+0{,}01)^{- 1} < - f \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right)</math>

: <math>\ln(p) \times x < - f \times (R_m+0{,}01) \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right)</math> ( <math>\ln(p)< 0</math> )

: <math>x > { f \times (R_m+0{,}01) \over (-\ln(p)) } \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right)</math>

* Condition de stabilité première formulation :

{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
| <math>x > { f \times (R_m+0{,}01)\over (-\ln(p)) } \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right)</math>
|}

* En remplaçant : <math>\ln(p)</math> et : <math>f</math> par leur valeur on obtient la relation importante:

: <math>x > { { 1 \over 1 + \phi } \times (R_m+0{,}01) \over Z \times (R_m+0{,}01)^{-x} \times N_{u8}^{y} } \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right)</math>

: <math>x > { (R_m+0{,}01)^{1+x} \over Z \times N_{u8}^{y} } \times { 1 \over 1 + \phi } \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right)</math>

: <math>1 + \phi = 1 + \mathcal{S}_{h/u} \times \left( { R_m + \mathcal{S}_{z/h} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right) = { e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} + \mathcal{S}_{h/u} \times ( R_m + \mathcal{S}_{z/h} ) \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} }</math>

: <math>x > { (R_m+0{,}01)^{1+x} \over Z \times N_{u8}^{y} } \times { e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} + + \mathcal{S}_{h/u} \times ( R_m + \mathcal{S}_{z/h} ) } \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right)</math>

: <math>x > { (R_m+0{,}01)^{1+x} \over Z \times N_{u8}^{y} } \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} + \mathcal{S}_{h/u} \times ( R_m + \mathcal{S}_{z/h} ) }\right)</math>

Condition de stabilité deuxième formulation :

{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
| <math>x > { (R_m+0{,}01)^{1+x} \over Z \times N_{u8}^{y} } \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} + \mathcal{S}_{h/u} \times ( R_m + \mathcal{S}_{z/h} ) }\right)</math>
|}
;Numériquement
<math>x > { (4{,}142+0{,}01)^{1+0{,}425} \over 2{,}148 \times 10^{-12} \times (6{,}59 \times 10^{21})^{0{,}522} } \times \left( { 5{,}482 \times 10^{-4} \over 2{,}464 \; \% + 4{,}314 \times 10^{-3} + 5{,}482 \times 10^{-4} \times (
4{,}142 + 0{,}3244 ) }\right)</math>

<math>x > \approx 0{,}252</math>

La condition dot également être vérifiée réacteur froid donc avec une valeur de <math>R_m</math> plus élevée du fait de la plus grande masse volumique de l'eau <math>R_m \approx 5{,}63</math> et une concentration en atomes d'uranium 238 légèrement plus élevée du fait de la réduction de volume du cœur, ce qui conduit à <math>x > \approx 0{,}376</math>

{{Boîte déroulante/fin}}

===== Coefficient de température modérateur - Reprise de réactivité "froid-chaud" =====
;Coefficient modérateur
La modélisation de la variation de <math>k_{\infty}</math> en fonction de <math>R_{m}</math> permet d'apprécier le coefficient de réactivité de température du modérateur dont l'importance est déterminante pour le fonctionnement puisqu'il autorise ''l'auto-stabilité'' du [[Réacteur à eau pressurisée#Auto-stabilité du réacteur à eau pressurisée|réacteur à eau pressurisée]].

La valeur trouvée avec le modèle simplifié est de - 37,8 pcm/°C.

{{Boîte déroulante/début|align=left|titre=Évaluation du coefficient de réactivité du modérateur}}

* Évaluation de <math>{ \partial k_{\infty} \over \partial R_m }</math>

:<math>{ \partial k_{\infty} \over \partial R_m } \approx \eta \times \varepsilon \times ( f \times {\partial p \over \partial R_m} + p \times {\partial f \over \partial R_m} ) > 0</math><br><br>on a vu ci-avant que:

:: <math>{\partial p \over \partial R_m} = - p \times \ln(p) \times x \times (R_m+0{,}01)^{- 1}</math>
:: <math>{\partial f \over \partial R_m} = - f^2 \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right)</math>

:: <math>{ \partial k_{\infty} \over \partial R_m } \approx \eta \times \varepsilon \times ( f \times ( - p) \times \ln(p) \times x \times (R_m+0{,}01)^{- 1} - p \times f^2 \times \left( { \mathcal{S}_{h/u} \over e_n + \mathcal{S}_{u8/u5} } \right)</math>

:: <math>{ \partial k_{\infty} \over \partial R_m } \approx 1{,}753 \times 1{,}039 \times ( 0{,}922 \times ( - 0{,}75) \times \ln(0{,}75) \times 0{,}425 \times (4{,}142+0{,}01)^{- 1} - 0{,}75 \times 0{,}922^2 \times \left( { 5{,}482 \times 10^{-4} \over 0{,}024\,64 + 4{,}3141 \times 10^{-3} } \right)</math>
:: <math>{ \partial k_{\infty} \over \partial R_m } \approx 1{,}753 \times 1{,}039 \times ( 0{,}922 \times ( - 0{,}75) \times \ln(0{,}75) \times 0{,}425 \times (4{,}142+0{,}01)^{- 1} - 0{,}75 \times 0{,}922^2 \times \left( { 5{,}482 \times 10^{-4} \over 0{,}024\,64 + 4{,}314 \times 10^{-3} } \right) = 0{,}015\,11</math>

: <math>{ \partial k_{\infty} \over \partial R_m } \approx = 0{,}015\,11~(uk_{\infty}/uR_m)</math>

* Évaluation de <math>{ \partial R_m \over \partial T_m }</math> :
: <math>T_m</math> = Température moyenne du modérateur dans le cœur
: <math>\rho_{H2O}</math> = [[Molécule d'eau#L'eau comme fluide thermodynamique|Masse volumique de l'eau]] (L'article [[Molécule d'eau]] fourni une corrélation donnant la masse volumique de l'eau qui peut être utilisée)
: <math>V_{H2O}</math> = Volume d'eau dans le cœur
: <math>R_m ={V_{H2O} \times \rho_{H2O}\over M_{H2O} } \times { \mathcal{N}_A \over N_u }</math>
: <math>{ \partial R_m \over \partial T_m } = {2 \times \mathcal{N}_A \over N_u \times M_{H2O} } \times { \partial ( \mathcal{V_{H2O}} \times \rho_{H2O}) \over \partial T_m }</math>
: On néglige en un premier temps <math>{ \partial \mathcal{V_{H2O}} \over \partial T_m }</math>
: <math>{ \partial \rho_{H2O} \over \partial T_m } \approx - 2{,}2 \; \rm kg/m^3/K = - 2{,}2 \times 10^{-3} g/cm^3</math>
: <math>M_{UO2} = 235{,}0439 \times 0{,}024\,64 + 238{,}0508 \times (1-0{,}024\,64) +2 \times 15{,}9994 = 269{,}976~\rm g/mol</math>
: <math>M_{H2O} = 2 \times 1{,}007\,94 +15{,}9994 = 18{,}0153~\rm g/mol</math>

: <math>{ \partial R_m \over \partial T_m } = {2 \times \mathcal{N}_A \times \mathcal{V_{H2O}} \over N_u \times M_{UO2} } \times { \partial \rho_{H2O} \over \partial T_m }</math>
: <math>{ \partial R_m \over \partial T_m } = { 2 \times 6{,}022 \times 10^{23} \times 15{,}831 \times 10^6
\over 1{,}831\,33 \times 10^{29} \times 18{,}0153 } \times - 2{,}2 \times 10^{-3} = - 0{,}012\,71~(uR_m/K)</math>
: <math>{ \partial R_m \over \partial T_m } = - 0{,}012\,71~(uR_m/K)</math>

Appréciation du coefficient de température modérateur
: <math>{ \partial k_{\infty} \over \partial T_m } = { \partial k_{\infty} \over \partial R_m } \times { \partial R_m \over \partial T_m }</math>
: <math>{ \partial k_{\infty} \over \partial T_m } = - 0{,}015\,11 \times 0{,}012\,71 = - 0{,}000\,192~(uk_{\infty}/K)</math>
: <math>\rho = 100\,000 \times \ln(k_{\infty})</math>
: <math>{ \partial \rho \over \partial T_m }= { 100\,000 \over k_{\infty} } \times { \partial k_{\infty} \over \partial T_m }</math>
: <math>{ \partial \rho \over \partial T_m }= { 100\,000 \over 1{,}260 } \times - 0{,}000\,192 = - 15{,}2~\rm (pcm/K)</math>

{{Boîte déroulante/fin}}

;Reprise ''froid/chaud''
Le réchauffage du réacteur à puissance nulle à partir des conditions d'arrêt froid est consommateur de réactivité. On peut en donner une appréciation à l'aide des formules simples.
* Valeurs influant sur la réactivité à chaud :
::<math>R_m = 4{,}140</math>
::<math>\ln(k_{\infty}) = 1{,}288</math>
* Valeurs influant sur la réactivité à froid :
::<math>R_m = 5{,}631</math>
::<math>k_{\infty} = 1{,}317 \; R_m</math>
::<math>\Delta\rho_{F/C} = 100\,000 \times \ln(k_{\infty}) = 100\,000 \times \ln\left(\frac{1{,}317}{1{,}288}\right) \approx 2\,256\; \rm pcm \; N_{u8}</math> 
;Modération - Aspect pratique
[[Fichier:RapportDeModération.JPG|thumb|Courbe donnant l'allure de l'évolution du rapport de modération atomique.]]
À la conception du cœur il est possible de choisir le rapport de modération c'est-à-dire le rapport entre la concentration volumique des atomes modérateurs et la concentration volumique des atomes fissiles. Par exemple de façon pratique dans le cas des réacteurs à eau pressurisée en faisant varier le pas régulier de disposition des crayons combustibles :
* Si les crayons sont très rapprochés les uns des autres la quantité de modérateur offerte aux neutrons pour être ralentis est insuffisante et le rapport de multiplication en réseau infini <math>k_{infty}</math> diminue.
* Si les crayons sont très éloignés les uns des autres la probabilité qu'un neutron émis dans le combustible et thermalisé dans le modérateur rencontre un autre atome fissile diminue et le rapport de multiplication en réseau infini <math>k_{infty}</math> diminue.
* Entre les deux situations ci-dessus, il s'en trouve une ou le rapport : nombre d'atomes modérateurs / nombre d'atomes fissiles conduit au maximum de <math>k_{infty}</math> ; c'est ''l'optimum de modération''.

Le dessin du réseau combustible détermine au {{1er|ordre}} le rapport atomique (ou molaire de modération). La généralisation des assemblages 17 × 17 ou 15 × 15 pour raison industrielle en usage sur les REP électrogènes encadre ainsi la plage de modération accessible dans la plage où les conditions générales de stabilité du cœur sont satisfaites avec de bonnes marges permettant l'optimisation du cycle du combustible.

=== Comparaison avec les [[Réacteur nucléaire naturel d'Oklo|réacteurs d'Oklo]] ===
Il pourra être tiré du résultat ci-dessus quelques conclusions simples sur les réacteurs de la mine d'[[Réacteur nucléaire naturel d'Oklo|Oklo]] et de Bangombé au Gabon qui présentent un certain nombre de points communs avec les REP électrogènes de puissance. En effet, si on compare le réseau combustible d'un REP {{unité|900|MWe}} à celui des réacteurs de la mine d'Oklo :
* le combustible est de l'oxyde d'uranium dans les deux cas
* le modérateur est de l'eau légère dans les deux cas
* le réacteur REP tel que calculé ci-dessus est chaud, il est sous modéré dans ces conditions
* le réacteur REP est à l'optimum de modération à froid ({{unité|20|°C}})<ref group="Note">La manutention sûre des éléments en piscine est telle que si le pas entre éléments est augmenté en vue des manutentions le <math>k_{\infty}</math> diminue, donc le réseau est proche de l'optimum de modération ; ceci est corroboré par le fait qu'à froid le coefficient de température du REP 900 sans acide borique est pratiquement nul.</ref>
* le rapport atomique (ou molaire) optimal de modération à froid du REP {{unité|900|MWe}} (= rapport des concentrations en hydrogène et uranium 235) vaut sensiblement = 228,6 ; les conditions de criticité dans le cas de Oklo sont évaluées avec la même valeur.
* la valeur de <math>k_{\infty~REP~froid}</math> est égale à <math>k_{\infty~REP~froid} = k_{\infty~REP~chaud} \times \mathrm{e}^{5\,000/100\,000} = k_{\infty~REP~chaud} \times 1{,}051\,27</math> en retenant une ''reprise froid chaud'' de {{nb|5000 pcm}}
* le facteur supplémentaire d'optimum de modération (reprise froid/chaud = 1,051 27) est supposé influer sur le facteur f en ce qui concerne la capture dans l'uranium 238 dont la section efficace microscopique de capture est prise moins élevée qu'à chaud jusqu'à obtenir la valeur de f souhaitée (environ 1,1353 contre 2,72 barn)<ref group="Note">Cette façon de faire fait porter sur la capture dans l'U8 l'intégrale de l'effet de reprise froid chaud est bien sûr contestable mais préserve la constance de ε et de p dans la variation de température, ce qui semble plus acceptable qu'une autre hypothèse.</ref>
* le réacteur d'Oklo diverge à minima à froid <math>k_{\infty~Oklo} = 1</math> à l'optimum de modération <ref group="Note">Il a cependant été établi que les réacteurs d'Oklo ont fonctionné en température jusqu'à une valeur assez élevée, pour autant les conditions minimales de divergence ont forcément été réunies à froid.</ref>
* la gangue du minerai d'Oklo se compare au zirconium du REP 900 <ref group="Note">l'analyse du minerai conduit à constater que la gangue d'Oklo constituée majoritairement d'oxydes est assez faiblement capturante des neutrons.</ref>, en tous les cas on peut admettre que la section efficace macroscopique correspondante ne peut être inférieure à celle du zirconium du REP 900 soit {{nb|0,0008635|cm|-1}}
* la valeur du facteur antitrappe est inchangée
* la valeur du facteur ε est inchangée ; il pourrait toutefois être tenu compte de ce que le facteur ε est grossièrement proportionnel à la proportion d'uranium 238 laquelle est un peu plus élevée dans le REP {{unité|900|MWe}} qu'à Oklo
* l'enrichissement moyen du REP {{unité|900|MWe}} vaut 2,433 % (en noyaux = 2,464 %) ; l'enrichissement du {{1er|réacteur}} d'Oklo qui a fonctionné il y a près de 1,95 milliard d'années est pris égal à 3,61 % en masse (en noyaux = 3,66 %)
* en effectuant le calcul des 4 facteurs par la méthode simple donnée dans la boite déroulante, la concentration en uranium 235 qui rend critique à froid (<math>k_{\infty~Oklo} = 1</math>) à l'optimum de modération le réacteur d'Oklo est trouvée égale à {{nb|2,474|e=18| at/cm3}} (soit une concentration environ 100 fois moindre que celle du REP {{unité|900|MWe}})
* la teneur en uranium du minerai de densité égale à 2,5 correspondante est proche de {{unité|10.7|kg}} d'uranium par tonne de minerai ce qui est élevé mais rencontré dans les gisements en exploitation dans le monde
* la concentration en atomes d'hydrogène est prise égale à celle de l'optimum de modération = {{nb|5,656|e=20|at/cm3}} ; elle correspond à une teneur massique en eau du minerai de {{unité|3.38|kg}}/tonne ce qui semble réaliste
* à simplement remarquer que les évaluations faites du fonctionnement des réacteurs d'Oklo conduisent bien entendu à une contribution du plutonium 239 formé mais la période est très faible devant la durée totale du fonctionnement des réacteurs

{| class="wikitable"
!Grandeur physique
!REP 900 à {{unité|304.5|°C}}
!REP 900 à {{unité|20|°C}}
!Oklo
!Unité
!Commentaire
|- bgcolor=#f8e0f0
| Coefficient <math>k_{\infty}</math> || align="right" | 1,356|| align="right"|1,425||align="right"|1 ||align="center"|sans dim || Valeur minimale à Oklo
|- bgcolor=#f8e0f0
| Rapport de modération atomique || align="right" | 164,1 || align="right"|228,6 || align="right"| 228,6 ||align="center"|sans dim || Valeur minimale à Oklo
|- bgcolor=#f8e0f0
| Enrichissement en noyau en U5 || align="right" | 2,464 % || align="right"|2,464 %|| align="right"| 3,6584 % ||align="center"|at/cm{{3}} || Valeur estimée à Oklo il y a 1,95 milliard d'années
|- bgcolor=#f8e0f0
| Concentration des atomes d'U5 || align="right" | {{nb|1,698|e=20}} || align="right"|{{nb|1,698|e=20}}|| align="right"| {{nb|2,474|e=18}} ||align="center"|at/cm{{3}} || Valeur minimale à Oklo
|- bgcolor=#ffd0d0
| Concentration des atomes d'H || align="right" | {{nb|2,786|e=22}} || align="right"|{{nb|3,881|e=22}}|| align="right"| {{nb|5,656|e=20}} ||align="center"|at/cm{{3}} || Valeur pouvant varier quelque peu à Oklo
|- bgcolor=#f8e0f0
| Section efficace de capture dans l'U8 || align="right" | 2,72 || align="right"|1,1353 || align="right"| 1,1353 ||align="center"|barn|| Moins élevé à froid
|- bgcolor=#f8f8c0
| Coefficient ε = facteur correctif de fissions rapides|| align="right" | 1,07 || align="right"|1,07 || align="right"| 1,0565 ||align="center"|sans dim|| Moins élevé à Oklo du fait de l'enrichissement plus élevé
|- bgcolor=#f8f8c0
| Coefficient η = neutrons de fission || align="right" | 2,105 || align="right"|2,105 || align="right"| 2,105 ||align="center"|sans dim|| Ne dépend que du seul atome fissile = uranium 235
|- bgcolor=#f8e0f0
| Coefficient p = facteur antitrappe || align="right" | 0,75 || align="right"|0,75 || align="right"| 0,75 ||align="center"|sans dim|| Modérateur identique
|- bgcolor=#f8f8c0
| Coefficient f = utilisation thermique || align="right" | 0,8025 || align="right"| 0,8437 || align="right"| 0,5992 ||align="center"|sans dim||
|- bgcolor=#f8e0f0
| Section efficace macroscopique des gaines ou gangue || align="right" | {{nb|0,0008635}} || align="right"| {{nb|0,0008635}} || align="right"| {{nb|0,0008635}} ||align="center"|cm{{-1}}|| Valeur minimale à Oklo
|- bgcolor=#f8f8c0
| Densité moyenne du minerai || align="right" | || align="right"| || align="right"|2,5 ||align="center"|sans dim|| Valeur classique
|- bgcolor=#f8e0f0
| Teneur massique en uranium du minerai || align="right" | || align="right"| || align="right"|10,69 ||align="center"|kg/t|| Valeur minimale à Oklo pour diverger <ref group="Note">Les teneurs mesurées et estimées à Oklo sont plus élevées.</ref>
|- bgcolor=#f8f8c0
| Teneur massique en eau du minerai || align="right" | || align="right"| || align="right"|3,38 ||align="center"|kg/t|| Valeur ayant fluctué à Oklo
|- bgcolor=#f8e0f0
| Puissance thermique || align="right" | {{nb|104,2|e=6}} || align="right"| || align="right"| 100 ||align="center"|W/m{{3}}|| Valeur ayant largement fluctué à Oklo
|- bgcolor=#f8f8c0
| Durée de fonctionnement || align="right" | 1 || align="right"| || align="right"|{{nb|500000}} ||align="center"|ans|| En moyenne
|}

== Réactivité d'un milieu limité ==
Le '''facteur de multiplication effectif''' (noté <math>k_\mathrm {eff}</math>) est évalué en prenant en compte le fait que la zone réactive est d'extension finie, et qu'une partie des neutrons sont perdus par effet de fuite. La proportion de neutrons qui fuient dépend de la taille et de la forme du milieu considéré.

Le rapport entre <math>k_{\infin}</math> et <math>k_\mathrm {eff}</math> vaut <math>k_\mathrm {eff} = \frac{k_{\infin}}{1+M^2 \times B_g^2}</math>

où :
* <math>k_{\infin}</math> est le coefficient de multiplication en milieu infini des neutrons
* <math>M^2</math> est l’aire de migration des neutrons
* <math>B_g^2</math> est le [[laplacien#Approche géométrique|laplacien géométrique]] des neutrons.

À titre d'exemple, pour un cœur de géométrie cylindrique, <math>B_g^2</math> est donné par la relation suivante :
:<math>B_g^2 = \left({\pi\over H+2 \times \lambda_z}\right)^2 + \left({2{,}404\,83 \over R+\lambda_r}\right)^2</math>
où :
* 2,404 83 est le premier zéro de la [[fonction de Bessel]] de {{1er|rang}} noté <math>J_o</math>
* <math>H</math> est la hauteur du cœur
* <math>\lambda_z</math> est la distance axiale d'extrapolation
* <math>R</math> est le rayon du cœur
* <math>\lambda_r</math> est la [[distance radiale]] d'extrapolation.

En pratique, <math>\lambda_r=\lambda_z</math> pour un grand cœur proche de l'ortho-cylindre.

=== Forme du cœur minimisant les fuites ===
Pour un volume donné du cœur (un volume ''V'' donné de combustible), le dessin minimisant les fuites est bien entendu celui d'une [[sphère]]. Cependant le réacteur sphérique est malcommode de construction et d'exploitation. En pratique la majorité des réacteurs sont de forme cylindrique à axe vertical (ce qui permet d'avoir des éléments unitaires - sûrement sous-critiques - identiques, une manutention commode de ces éléments pour la constitution du cœur et le rechargement du combustible et qui rend possible la manœuvre gravitaire des absorbants de contrôle de la réactivité)<ref group="Note">Il existe cependant des réacteurs à cœur cylindrique à axe horizontal comme les réacteurs [[CANDU]].</ref>. On peut alors s'intéresser à la forme du cylindre qui minime les fuites à volume donné de combustible.

La probabilité de non-fuite s'écrit :
<math>{1 \over 1 + M^2 \times B_g^2 }</math>
avec :
* <math>M^2</math> = aire de migration ;
* <math>B_g^2 = \left( {\pi \over H + 2 \times \lambda_z } \right)^2 + \left( {J_o \over R+\lambda_r}\right)^2</math> ;
* <math>\lambda_r = \lambda_z = \lambda</math> = Économie de réflecteur = Constante qui dépend du réflecteur.

À volume ''V'' de cœur donné, la probabilité de non-fuite est maximale lorsque <math>B_g^2</math> est minimal.

La recherche analytique du minimum de <math>B_g^2</math> est malaisée du fait de la lourdeur de la fonction dérivée (polynôme du {{6e|degré}}). En revanche, si on néglige les effets de bords (par exemple s'il n'y a pas de réflecteur), ce qui revient à prendre <math>\lambda = 0</math>, on peut aisément donner une solution analytique à la recherche du minimum de <math>B_g^2</math>
{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
|
<math>{D \over H} = { J_o \times \sqrt{2}\over \pi } = 1{,}0826</math><br />
<math>D = 2\; \left ( \frac {J_o}{\sqrt{2} \times \pi^2 } \right )^{1/3} \times V^{1/3} = 1{,}1129 \times V^{1/3}</math><br />
<math>H = \pi^{1/3} \times \left({\sqrt{2} \over J_o}\right)^{2/3} \times V^{1/3} = 1{,}0280 \times V^{1/3}</math>
|}
Dans le cas général où <math>\lambda</math> ne peut être négligé, on effectue la recherche du rapport optimal <math>{D \over H }</math> en deux temps :
* Une première estimation consiste à appliquer les relations ci-dessus au cœur non extrapolé qui donnent ''d'' et ''h'' (valeurs intermédiaires) :
:: <math>d = 1{,}1129 \times V^{1/3}</math>
:: <math>h = 1{,}0280 \times V^{1/3}</math>
:: on en déduit le volume extrapolé du cœur<ref group="Note">Il est également possible d'évaluer le volume extrapolé du cœur à partir de dimensions intermédiaires <math>\scriptstyle d'\simeq h'</math> proches de l'ortho-cylindre et qui respectent bien sûr la relation <math>\scriptstyle h'* { \pi \over 4 } \times d'^2 = V</math>.</ref>. <math>V_e = \pi \times ( d + 2\;\lambda )^2 \times (h + 2\;\lambda)</math>.
* Une bonne approximation du dessin à fuites minimales est alors obtenue en appliquant les relations ci-dessus au volume et dimensions extrapolés du cœur, soit donc pour finir :
{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
|<math>D = 1{,}1129 \times V_e^{1/3} - 2\;\lambda</math> <br><math>H = 1{,}0280 \times V_e^{1/3} - 2\;\lambda</math><br>avec :
* <math>V_e</math> = volume extrapolé du cœur
* <math>\lambda</math> = distance d'extrapolation
|}

* Numériquement : (cf. Tableau en fin d'article)
:: <math>V = 26{,}671 \times \rm m^3</math> = Valeur proche du cas d'un [[Réacteur à eau pressurisée|REP]] {{unité|900|MWe}}
:: <math>d = 1{,}1129 \times V^{1/3} = 332{,}1 \rm cm</math>
:: <math>h = 1{,}0280 \times V^{1/3} = 306{,}8 \rm cm</math>
:: <math>\lambda = 8{,}3 \; \rm cm</math>
:: <math>V_e = { \pi \over 4 } \times (d + 2\;\lambda)^2 \times ( h + 2 \times \lambda ) = 30\,860\,500\;\rm cm^3</math>
:: <math>D = 1{,}1129 \times V_e^{1/3} - 2\;\lambda = 332{,}5 \; \rm cm</math>
:: <math>H = 1{,}0280 \times V_e^{1/3} - 2\;\lambda = 305{,}9\; \rm cm</math>

En étudiant pas à pas le signe de la fonction dérivée au voisinage des valeurs ci-dessus on montre que le cas d'un cœur de volume proche de celui d'un REP {{unité|900|MWe}}, la valeur minimale de <math>B_g^2</math> est obtenue pour R = {{unité|166.4|cm}}, soit '''D = {{unité|332.8|cm}}''' et '''H = {{unité|305.4|cm}}''' et un rapport diamètre / hauteur égal à '''1,0895''', donc un cylindre de forme légèrement plus aplatie que l'[[Cylindre|orthocylindre]] dans lequel D = H = {{unité|323.40|cm}} et de hauteur moindre que la hauteur réelle du cœur égale à {{unité|366|cm}}. Ce résultat ne dépend pas de la valeur de l'aire de migration.

{| class="wikitable centre mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"
|+ Démonstration
|-
|
;Cas général avec une économie de réflecteur non négligeable
* Probabilité de non-fuite <math>= {1 \over 1 + M^2 \times B_g^2 }</math>
* <math>B_g^2 = \left( {\pi \over H + 2\;\lambda_z } \right)^2 + \left( {J_o\over R+\lambda_r}\right)^2</math>
* <math>\lambda_r = \lambda_z = \lambda</math> = Constante qui dépend du réflecteur = {{unité|8.27|cm}} environ dans le cas de l'eau à la température de fonctionnement d'un [[Réacteur à eau pressurisée|REP]]
* Volume du cœur = V = {{unité|26.671|m|3}} = Constante = Valeur proche du cas d'un [[Réacteur à eau pressurisée|REP]] {{unité|900|MWe}}
:<math>V = \pi \times R^2 \times H</math>
:<math>H = { V \over \pi \times R^2}</math>
* La probabilité de non-fuite est maximale lorsque <math>B_g^2</math> est minimal
* <math>B_g^2 = \left( {\pi \over H + 2\;\lambda_z } \right)^2 + \left( {J_o \over R+\lambda_r}\right)^2 = \left( {\pi \over ( {V \over \pi \times R^2 } ) + 2\;\lambda } \right)^2 + \left({J_o\over R+\lambda}\right)^2</math>
* Il n'est pas aisé de donner une solution analytique à la recherche du minimum de <math>B_g^2</math>. La dérivation par rapport à <math>R</math> débouche en effet sur la résolution -aléatoire- d'un polynôme du {{6e|degré}}. Pour simplifier le problème on s’intéresse en un premier temps au cas où <math>\lambda = 0</math>

;Cas simplifié où l'économie de réflecteur est égale à zéro
:<math>B_g^2 = \left( {\pi \over H } \right)^2 + \left( {J_o \over R }\right)^2</math>

:<math>H = { V \over \pi \times R^2}</math> où ''V'' = volume du cœur = constante

:<math>B_g^2 = {\pi^4 \times R^4 \over V^2 } + {J_o^2 \over R^2 }</math>

:<math>{dB_g^2 \over dR } = {4 \times \pi^4 \over V^2 } \times R^3 - { 2 \times J_o^2 \over R^3 }= 0</math>

:<math>R^6 = {J_o^2 \times V^2 \over 2 \times \pi^4 }</math>

:<math>V^2 = \pi^2 \times R^4 \times H^2</math>

:<math>R^6 = J_o^2 \times {\pi^2 \times R^4 \times H^2 \over 2 \times \pi^4} = {J_o^2 \over 2 \times \pi^2 } \times R^4 \times H^2</math>

:<math>\left( {R \over H} \right)^2 = {J_o^2 \over 2 \times \pi^2 }</math>

:<math>{R \over H } = {J_o \over \sqrt{2} \times \pi} = { J_o \times \sqrt{2} \over \ 2 \times \pi} = { J_o \times \sqrt{2} \over \ 2 \times \pi}</math>

Par ailleurs :

<math>R^6 = {J_o^2 \times V^2 \over 2 \times \pi^4 }</math>

<math>R^3 = {J_o \times V \over \sqrt{2} \times \pi^2 }</math>, d'où <math>D = 2\;\left({J_o \over \sqrt{2} \times \pi^2 }\right)^{1/3} \times V^{1/3}</math>

<math>H = { \pi \over J_o \times \sqrt{2} } \times D = { \pi \over J_o \times \sqrt{2} } \times 2\;\left({J_o \over \sqrt{2} \times \pi^2 }\right)^{1/3} \times V^{1/3} = \pi^{1/3} \times \left({\sqrt{2} \over J_o}\right)^{2/3} \times V^{1/3}</math>

En résumé :
{|class="wikitable" style="background:#FFFFFF;"
|
<math>{D \over H} = { J_o \times \sqrt{2}\over \pi } = 1{,}0826</math><br>
<math>D = 2\; \left( \frac{J_o} {\sqrt{2} \times \pi^2 }\right)^{1/3} \times V^{1/3} = 1{,}1129 \times V^{1/3}</math><br>
<math>H = \pi^{1/3} \times \left({\sqrt{2} \over J_o}\right)^{2/3} \times V^{1/3} = 1{,}0280 \times V^{1/3}</math>
|}
|}

La forme qui minimise les fuites est donc celle d'un orthocylindre légèrement aplati.

Toutefois, dans l'exemple ci-dessus les fuites calculées avec une aire de migration M{{2}} = {{unité|46.06|cm|2}} valent {{nb|1338 pcm}} avec la hauteur combustible réelle du cœur du REP {{unité|900|MWe}} égale à {{unité|366|cm}} et {{nb|1303 pcm}} avec la hauteur de {{unité|305.5|cm}}. L'écart est donc faible (Il représente cependant sensiblement {{tmp|1|°C}} de température de fonctionnement).

Ces résultats sont surtout intéressants dans le cas des petits cœurs où les fuites sont importantes. Par exemple, si le volume du cœur vaut {{unité|1|m|3}} (donc pour une puissance de l'ordre de {{unité|100|MWth}}) et en tenant compte de l'économie de réflecteur :

{| class="wikitable alternance" style="text-align:left"
|+ Fuites dans un cœur de {{unité|1|m|3}}
|-
| scope="col" |
! scope="col" |Cœur à fuites minimales
! scope="col" |Cœur orthocylindrique
! scope="col" |Cœur élancé
! scope="col" |Cœur aplati
! scope="col" |Unité
|-
| scope="row" | Hauteur
| align="right" | '''102,0'''
| align="right" | '''108,4'''
| align="right" | '''127,3'''
| align="right" | '''80,0'''
| cm
|-
| scope="row" | Diamètre
| align="right" | '''111,7'''
| align="right" | '''108,4'''
| align="right" | '''100,0'''
| align="right" | '''126,2'''
| cm
|-
| scope="row" | Fuites
| align="right" | '''-9508'''
| align="right" | '''-9534'''
| align="right" | '''-9822'''
| align="right" | '''-9899'''
| pcm
|-
| scope="row" | Température <br>de fonctionnement
| align="right" | Nominale
| align="right" | '''-1'''
| align="right" | '''-10'''
| align="right" | '''-12'''
| °C
|}

Dans le cas des [[réacteur à eau pressurisée|réacteurs à eau sous-pression]] on doit également tenir compte de ce que le diamètre du cœur détermine aussi celui de la cuve ce qui peut inciter à avoir un cœur plus élancé que celui qui minimise les fuites.

En dépit de cela, le cœur de l'EPR augmente sensiblement le nombre d'assemblages par rapport au cœur N4 sans accroitre la hauteur combustible pour de multiples raisons industrielles ce qui ne nuit pas aux fuites totales hors du cœur comme démontré ci-dessus et la cuve est de diamètre augmenté. Comme souvent les choix d’ingénierie sont à compromis multiples et les optimums sont plats.

== Autres paramètres du réseau influant sur la réactivité ==
=== Échantillonnage du combustible ===
Suivant la forme géométrique suivant laquelle le combustible est disposé pour une même puissance spécifique, la température à cœur du combustible peut varier de façon importante. On montre que pour une même densité de puissance, l'écart de température entre les températures moyennes et maximales à cœur du combustible et la température du réfrigérant varie au {{1er|ordre}} comme le [[Flux thermique|carré du diamètre des pastilles combustibles]] et partant, l'anti-réactivité d'effet Döppler se trouve augmentée en rapport dans le cours du fonctionnement et les sollicitations thermomécaniques du combustible accrues.

== Notations, données et résultats ==
Le présent article utilise un assez grand nombre de données numériques qui pour raison de commodité sont regroupées les tableaux déroulants ci-dessous.

Sont données dans l'ordre :
* les caractéristiques géométriques typiques d'un cœur de réacteur à eau sous pression électrogène proches de celles d'un réacteur du palier {{p.|4}}/P'4
* les données fonctionnelles principales
* les sections efficaces intervenant dans la modélisation simplifiée
* les autres données.

Avertissement : les valeurs sont données en général avec 4 chiffres significatifs pour éliminer les erreurs d'arrondis de calcul, toutefois la précision de l'estimation n'est pas meilleure que +/- 5 % ; soit donc l'inégalité :
: 0,95 × Valeur estimée par le calcul '''<''' Valeur exacte '''<''' 1,05 × Valeur estimée par le calcul

{| class="wikitable alternance mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"
|+ Caractéristiques typiques d'un réacteur à eau sous-pression
! scope="col" |Grandeur physique
! scope="col" |État<br>réacteur
! scope="col" |Notation
! scope="col" |Valeur
! scope="col" |Unité
! scope="col" |Source
! scope="col" |Commentaire
|-
| scope="row" |'''Puissance thermique <br>du cœur'''
|
| <math>W</math>
| align="right" | {{formatnum:3797}}
|MWth
|[[Liste des réacteurs nucléaires en France|Réacteurs <br>nucléaires <br>en France]]
|Puissance chaudière = Puissance cœur + puissance thermique des pompes primaires
|-
| scope="row" |'''Température moyenne de <br>l'eau primaire dans le cœur'''
|
| <math>T_m</math>
| align="right" | 292,8
|°C
|[[Réacteur à eau pressurisée|REP]]
| Conditions d'arrêt chaud critique
|-
| rowspan="2" |'''Masse volumique moyenne de <br>l'eau primaire dans le cœur'''
|'''C'''
| <math>\rho</math>
| align="right" | 740,84
|kg/m{{3}}
|[[Molécule d'eau|Molécule <br>d'eau]]
|Corrélation donnée à l'article [[Molécule d'eau#L'eau comme fluide thermodynamique|molécule d'eau]]
|-
|'''F'''
| <math>\rho</math>
| align="right" | 998,3
|kg/m{{3}}
|
|
|-
| rowspan="3" |'''Dilatabilité de l'eau~.'''
|'''C'''
|
| align="right" | -1,980
|kg/m{{3}}/K
|[[Molécule d'eau|Molécule <br>d'eau]]
|Grandeur utile pour évaluer le coefficient de température modérateur
|-
|'''{{tmp|100|°C}}<br>30 bar'''
|
| align="right" | -0,7177
|kg/m{{3}}/K
|
|Corrélation donnée à l'article [[Molécule d'eau#L'eau comme fluide thermodynamique|molécule d'eau]] - La valeur donnée est cependant issue directement des tables
|-
|'''{{tmp|20|°C}}<br>6 bar'''
|
| align="right" | -0,1992
|kg/m{{3}}/K
|
|La corrélation (dérivable) permet d'évaluer la dilatabilité de l'eau - La valeur donnée est cependant issue directement des tables
|-
| rowspan="2" |'''Volume du cœur'''
|'''C'''
|
| align="right" | 38,703
| {{m3}}
|[[Centrale nucléaire en France|Centrales <br>en France]]
|La situation C (à chaud) s'entend réacteur à l'arrêt chaud critique à puissance nulle
|-
|'''F'''
|
| align="right" | 38,107
|m{{3}}
|
|
|-
| rowspan="2" |'''Hauteur combustible'''
|'''C'''
|
| align="right" | 4,270
|m
|
|
|-
|'''F'''
|
| align="right" | 4,229
|m
|
|
|-
| rowspan="2" |'''Diamètre équivalent'''
|'''C'''
|
| align="right" | 3,387
|m
|
|
|-
|'''F'''
|
| align="right" | 3,371
|m
|
|
|-
| scope="row" |'''Flux neutronique <br>thermique'''
|
| <math>\phi</math>
|
|{{nb|n/cm2/s}}
|
|
|-
| scope="row" |'''[[Flux neutronique]] <br>thermique à l'équilibre'''
|
| <math>\phi_o</math>
| align="right" |{{nb|3,2|e=13}}
| {{nb|n/cm2/s}}
|
|<ref group="Note">En toute rigueur la valeur du flux thermique donnée dans l'article flux neutronique serait à augmenter de 7 % pour tenir compte de ce que le flux thermique est évalué dans cet article en tenant compte d'un flux rapide responsable de 7 % des fissions.</ref>
|-
| scope="row" |'''Masse d’uranium'''
|
| <math>M_U</math>
| align="right" |{{nb|103801}}
|kg
|[[Centrale nucléaire en France|Centrales <br>en France]]
|La masse d'uranium varie légèrement avec l'enrichissement du cœur
|-
| rowspan="2" |'''Enrichissement moyen <br>en uranium 235'''
| '''M'''
| <math>e_m</math>
| align="right" | 2,283 %
|sans dim
|[[Réacteur à eau pressurisée|REP]]
| Valeur cohérente avec la référence<ref group="Référence" name="ReussINSTN" />
|-
|'''A'''
| <math>e_n</math>
| align="right" | 2,312 %
|sans dim
|
|
|-
| scope="row" |'''Masse d’uranium 235'''
|
| <math>M_{U5}</math>
| align="right" | {{formatnum:2370}}
|
|[[Réacteur à eau pressurisée|REP]]
|
|-
| rowspan="2" |''' Masse de zirconium <br>dans le cœur '''
|'''C'''
|
| align="right" | {{nb|26070}}
|kg
|
|
|-
|'''F'''
|
| align="right" | {{nb|25952}}
|kg
|
|La dilatation plus importante de l'oxyde d'uranium fait qu'une quantité plus importante de zirconium se trouve dans le réseau combustible à chaud qu'à froid
|-
| rowspan="2" |'''Masse d'eau primaire <br>dans le cœur'''
|'''C'''
|
| align="right" | {{nb|17044}}
|kg
|[[Réacteur à eau pressurisée|REP]]
|
|-
|'''F'''
|
| align="right" | {{nb|22147}}
|kg
|
| <ref group="Note" >Dans la variation "froid/chaud" de la masse d'eau présente dans le cœur, outre l'aspect prépondérant de la dilatation de l'eau, le "jeu" pastille gaine présent à froid est annulé à chaud par la pression primaire qui plaque le zirconium sur l'oxyde.</ref>
|-
| scope="row" |''' Masse molaire de l'hydrogène '''
|
| <math>\mathcal{M}_H</math>
| align="right" | 1,007 94
|g/mol
|CODATA
|<ref group="Note" name="Masse">Les masses molaires utilisées sont celles de la littérature scientifique, la mention faite dans le tableau défini la notation utilisée dans l'article.</ref>La composition isotopique protium / deutérium est la composition naturelle
|-
| scope="row" |''' Masse molaire de l'oxygène '''
|
| <math>\mathcal{M}_O</math>
| align="right" | 15,9994
|g/mol
|CODATA
| <ref group="Note" name="Masse"/>
|-
| scope="row" |''' Masse molaire de l'uranium 235 '''
|
| <math>\mathcal{M}_{U5}</math>
| align="right" | 235,0439
|g/mol
|CODATA
|<ref group="Note" name="Masse"/>
|-
| scope="row" |''' Masse molaire de l'uranium 238 '''
|
| <math>\mathcal{M}_{U5}</math>
| align="right" | 238,0508
|g/mol
|CODATA
| <ref group="Note" name="Masse"/>
|-
| scope="row" |''' Masse molaire de l'uranium enrichi à 2,283 % massique'''
|
| <math>\mathcal{M}_{U}</math>
| align="right" | 237,977
|g/mol
|Calcul
|
|-
| scope="row" |''' Masse molaire de l'oxyde d'uranium enrichi à 2,283 % massique'''
|
| <math>\mathcal{M}_{UO2}</math>
| align="right" | 269,980
|g/mol
|Calcul
|
|-
| scope="row" |'''Nombre de moles <br>d'uranium <br>dans le cœur'''
|
| <math>N_U</math>
| align="right" | {{nb|4,362|e=5}}
|sans dim
|Calcul
|
|-
| scope="row" |'''Nombre de moles <br>d'uranium 235 <br>dans le cœur'''
|
| <math>N_{U5}</math>
| align="right" | {{nb|1,008|e=4}}
|sans dim
|Calcul
|L'uranium 234 est bien sûr négligé et inclus, ipso facto, dans l'uranium 238
|-
| scope="row" |'''Nombre de moles <br>d'uranium 238 <br>dans le cœur'''
|
|
| align="right" | {{nb|4,261|e=5}}
|sans dim
| align="left" |Calcul
|
|-
| rowspan="2" |'''Concentration des atomes d'uranium'''
|'''C'''
| <math>N_u</math>
| align="right" | 11,270<br>{{nb|6,787|e=21}}
|mol/L<br>at/cm{{3}}
|Calcul
| <ref group="Note" name="Temp">Les valeurs des concentrations en atomes sont susceptibles de variations avec la température de fonctionnement qui modifie la géométrie du cœur : la hauteur combustible du fait de la dilatation de l'oxyde d'uranium et le diamètre du fait de la dilatation de l'acier inoxydable des structures de maintien) et la quantité d'eau présente dans le cœur ; bien que faibles ces variations affectent les résultats du calcul.</ref>
|-
|'''F'''
| <math>N_u</math>
| align="right" | 11,446 <br>{{nb|6,892|e=21}}
|mol/L<br>at/cm{{3}}
|Calcul
|
|-
| rowspan="2" |'''Nombre de moles <br>d'hydrogène dans le cœur'''
|'''C'''
|
| align="right" | {{nb|1,892|e=6}}
|sans dim
|
|-
|'''F'''
|
| align="right" | {{nb|2,459|e=6}}
|sans dim
|
|
|-
| rowspan="2" |'''Concentration des atomes <br>d'hydrogène dans le cœur'''
|'''C'''
|
| align="right" | 48,89<br>{{nb|2,944|e=22}}
|mol/L<br>at/cm{{3}}
|
| <ref group="Note" name="Temp"/>
|-
|'''F'''
|
| align="right" | 64,52<br>{{nb|3,885|e=22}}
|mol/L<br>at/cm{{3}}
|
| <ref group="Note" name="Temp"/>
|-
| rowspan="2" |'''Nombre total de moles <br>d'oxygène dans le cœur'''
|'''C'''
|
| align="right" | {{nb|1,818|e=6}}
|sans dim
|Calcul
| 2 \times U + H / 2
|-
|'''F'''
|
| align="right" | {{nb|2,102<!--|e=6-->|e=5}}
|sans dim
|Calcul
| Quasiment autant d'atomes d'oxygène que d'hydrogène dans le cœur
|-
| rowspan="2" |'''Rapport de modération <br>molaire (ou atomique)'''
| '''C'''
| <math>R_m</math>
| align="right" | 4,338
|sans dim
|Calcul
| <ref group="Note" name="Temp"/>{{,}}<ref group="Note" name="Approx"/>
|-
| '''F'''
| <math>R_m</math>
| align="right" | 5,637
|sans dim
|Calcul
|
|-
| rowspan="2" |'''Rapport de modération <br>volumique'''
| '''C'''
|
| align="right" | 1,970
|sans dim
|Calcul
|= Volume eau / Volume UO{{ind|2}} - Valeur cohérente avec la référence<ref group="Référence" name="ReussINSTN" />
|-
| '''F'''
|
| align="right" | 1,936
|sans dim
|Calcul
| <ref group="Note">Un jeu existe à froid entre les pastilles d'UO{{ind|2}} et la gaine en zirconium, rattrapé à chaud par plaquage de la gaine en zirconium sur l'oxyde. Le rapport volumique de modération varie en conséquence.</ref>
|-
| rowspan="2" |'''Rapport de modération <br>massique'''
| '''C'''
|
| align="right" | 0,1447
|sans dim
|Calcul
| = Masse eau / Masse UO2
|-
| '''F'''
|
| align="right" | 0,1881
|sans dim
|Calcul
|
|-
| rowspan="2" |''' Nombre de moles <br>de zirconium dans le cœur'''
| '''C'''
|
| align="right" | {{nb|2,858|e=5}}
|sans dim
|
| <ref group="Note" name="zirconium">La quantité de zirconium effectivement présente dans le cœur varie avec la température du fait de la dilatation différentielle de l'oxyde d'uranium et des différentes structures en zirconium (gaine et systèmes de maintien). Ce faible effet est imparfaitement rendu par la modélisation simplifiée qui fait l'hypothèse d'un rapport constant entre le nombre d'atomes d'uranium et le nombre d'atomes de zirconium.</ref>
|-
| '''F'''
|
| align="right" | {{nb|2,845|e=5}}
|sans dim
|
|
|-
| rowspan="2" |''' Concentration <br>du zirconium dans le cœur'''
| '''C'''
|
| align="right" | {{nb|4,447|e=21}}
|at/cm{{3}}
|
| <ref group="Note" name="zirconium" />
|-
| '''F'''
|
| align="right" | {{nb|4,496|e=21}}
|at/cm{{3}}
|
|
|-
| rowspan="2" |''' Rapport des concentrations <br>du zirconium/uranium dans le cœur'''
| '''C'''
|
| align="right" | 0,6522
|sans dim
|
| <ref group="Note" name="zirconium" />
|-
| '''F'''
|
| align="right" | 0,6552
|sans dim
|
|
|-
|}
<br>
{| class="wikitable alternance mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"
|+ Les 4 facteurs - Variation avec l'enrichissement
! scope="col" |Grandeur physique
! scope="col" |État<br>réacteur
! scope="col" |Notation
! scope="col" |Valeur
! scope="col" |Unité
! scope="col" |Source
! scope="col" |Commentaire
|-
| rowspan="2" |''' Coefficient multiplicatif infini <math>k_{\infty}</math>'''
|'''chaud'''
| <math>k_{\infty}</math>
| align="right" | 1,287
|sans dim
|Calcul
|Cœur neuf, sans poison, aux conditions nominales d'arrêt chaud - Puissance nulle. pour <math>e_m = 2{,}283~\%</math> et <math>R_m = 4{,}338</math>
|-
|'''froid'''
| <math>k_{\infty}</math>
| align="right" | 1,304

|sans dim
|Calcul
|
|-
| rowspan="2" |''' Facteur de reproduction <math>\eta</math>'''
|'''chaud'''
| <math>\eta</math>
| align="right" | 1,777
|sans dim
|Calcul
|Cœur neuf, sans poisons, aux conditions nominales de fonctionnement à chaud, à puissance nulle.
|-
|'''froid'''
| <math>\eta</math>
| align="right" | 1,777
|sans dim
|Calcul
| La valeur de <math>\eta</math> à puissance nulle ne dépend pas des conditions de température
|-
| scope="row" |''' Valeur asymptotique de <math>\eta</math> <br>à 100 % d'enrichissement '''
|
|
| align="right" | 2,073
|sans dim
|Calcul
| Évaluation théorique donnant l'allure de la variation de <math>\eta</math> avec <math>e_n</math>
|-
| rowspan="2" |''' Facteur d'utilisation thermique <math>f</math> '''
|'''à chaud'''
| <math>f</math>
| align="right" | 0,9216
|sans dim
|
|
|-
|'''froid'''
| <math>f</math>
| align="right" | 0,9021
|sans dim
|
|L'augmentation de <math>R_m</math> fait diminuer <math>f</math> à froid
|-
| scope="row" |''' Valeur asymptotique de <math>f</math> <br>à 100 % d'enrichissement '''
|
|
| align="right" | ≈0,998
|sans dim
|Calcul
|Calcul théorique "de tendance" destiné à illustrer le sens de variation du facteur <math>f</math>
|-
| rowspan="2" |''' Facteur anti-trappe <math>p</math>'''
|'''chaud'''
| <math>p</math>
| align="right" | 0,7572
|sans dim
|Calcul
| En cours de consolidation
|-
|'''froid'''
| <math>p</math>
| align="right" | 0,7902
|sans dim
|Calcul
|
|-
| rowspan="2" |''' Facteur de fissions rapides '''
|'''chaud'''
| <math>\varepsilon</math>
| align="right" | 1,039
|sans dim
|
|
|-
|'''froid'''
| <math>\varepsilon</math>
| align="right" | 1,028
|sans dim
|
|
|-
| scope="row" |''' Dérivée: <math>{\partial k_{\infty} \over \partial e_n } \times {1\over k_{\infty}}</math> '''
|'''C'''
| <math>{\partial k_{\infty} \over k_{\infty} \times \partial e_n}</math>
| align="right" | 9,239
|%/%
|
| La valeur à chaud est seule donnée. L'effet de température sur <math>{\partial k_{\infty} \over \partial e_n } </math> n' a pas d'importance pratique.
|-
| scope="row" |''' Dérivée: <math>{\partial \eta \over \partial e_n } \times {1\over \eta}</math> '''
|'''C'''
| <math>{\partial \eta \over \eta \times\partial e_n }</math>
| align="right" | 6,322
|%/%
|
|Pour l'enrichissement nominal de 2,283 % en masse et 2,312 % en noyaux
|-
| scope="row" |''' Dérivée: <math>{\partial f \over \partial e_n } \times {1\over f}</math> '''
|'''C'''
| <math>{\partial f \over f \times \partial e_n }</math>
| align="right" | 2,896
|%/%
|
|
|-
| scope="row" |''' Dérivée: <math>{\partial p \over \partial e_n } \times {1\over p}</math> '''
|'''C'''
| <math>{\partial p \over p \times \partial e_n }</math>
| align="right" | 0,1486
|%/%
|
| <math>p</math> est faiblement croissant avec <math>e_n </math>
|-
| scope="row" |''' Dérivée: <math>{\partial \varepsilon \over \partial e_n } \times {1\over \varepsilon}</math> '''
|'''C'''
| <math>{\partial \varepsilon \over \varepsilon \times \partial e_n }</math>
| align="right" | -0,1272
|%/%
|
|<math>\varepsilon </math> est légèrement décroissant avec <math>e_n </math>
|-
| scope="row" |''' Dérivée: <math>{\partial \varepsilon \times p \over \partial e_n } \times {1\over \varepsilon \times p}</math> '''
|'''C'''
|
| align="right" | 0,037 44
|%/%
|
|Le produit <math>p \times \varepsilon</math> est très faiblement croissant avec <math>e_n </math>. Sa variation peut être négligée devant celle du produit <math>f \times \eta </math>
|-
| scope="row" |''' Valeur en réactivité de 1 % d'enrichissement massique '''
|'''C'''
|
| align="right" | {{nb|8212}}
|pcm
|
|Variation centrée géométriquement autour du point 2,433 % soit de 1,984 à 2,984 % en masse et de 2,009 à 3,021 % en noyaux. Cette valeur dépend fortement de l'enrichissement au point central.
|}
<br>
{| class="wikitable alternance mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"
|+ Variation des facteurs avec la modération
! scope="col" |Grandeur physique
! scope="col" |État<br>réacteur
! scope="col" |Notation
! scope="col" |Valeur
! scope="col" |Unité
! scope="col" |Source
! scope="col" |Commentaire
|-
| rowspan="2" |''' Dérivée: <math>{\partial k_{\infty} \over \partial R_m }</math> '''
|'''C'''
| <math>{\partial k_{\infty} \over \partial R_m}</math>
| align="right" | 0,033 44
|sans dim
|Calcul
|
|-
|'''F'''
| <math>{\partial k_{\infty} \over \partial R_m}</math>
| align="right" | 0,012 62
|sans dim
|Calcul
| Malgré ses imperfections, le modèle simplifié rend compte de la stabilité du cœur
|-
| rowspan="2" |''' Dérivée: <math>{\partial R_m \over \partial T_m }</math> '''
|'''à chaud'''
| <math>{\partial R_m \over \partial T_m }</math>
| align="right" | -0,011 13
|sans dim
|Calcul
| <ref group="Note">Valeur légèrement inférieure à celle qu'on peut déduire de la dilatabilité de l'eau du fait de la variation du volume du cœur.</ref>
|-
|'''F'''
| <math>{\partial R_m \over \partial T_m }</math>
| align="right" | {{nb|-6,827|e=−4}}
|sans dim
|Calcul
|
|-
| rowspan="2" |''' Dérivée: <br><math>{\partial k_{\infty} \over \partial T_m}</math> '''
|'''C'''
| <math>{\partial k_{\infty} \over \partial T_m}</math>
| align="right" | {{nb|-4,865|e=−4}}
|sans dim
|Calcul
| Avec l'enrichissement retenu le cœur est stable en eau claire à toute température
|-
|'''F'''
| <math>{\partial k_{\infty} \over \partial T_m}</math>
| align="right" | {{nb|-1,467|e=−5}}
|sans dim
|Calcul
| La stabilité du cœur à froid, avec des marges faibles, est décrite par le modèle simplifié.
|}
<br>
{| class="wikitable alternance mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"
|+ Grandeurs fonctionnelles principales
! scope="col" |Grandeur physique
! scope="col" |État<br>réacteur
! scope="col" |Notation
! scope="col" |Valeur
! scope="col" |Unité
! scope="col" |Source
! scope="col" |Commentaire
|-
| scope="row" | <ref group="Note" name="Approx"/>'''Reprise "froid/chaud" de réactivité du cœur '''
|
| <math>\Delta\rho</math>
| align="right" | 1348
|pcm
|
|Le modèle simplifié rend grossièrement compte de la reprise de réactivité en eau claire - Valeur cependant sous estimée par rapport au constat en exploitation des réacteurs.
|-
| rowspan="2" |''' Coefficient de température modérateur '''
|'''à chaud'''
| <math>{\partial \rho \over \partial T_m}</math>
| align="right" | -28,91
|pcm/°C
|
|L'eau primaire est supposée exempte d'acide borique, son utilisation fait baisser le coefficient de température modérateur en valeur absolue. À basse température et en eau borée le coefficient peut devenir positif
|-
|'''à froid'''
| <math>\varepsilon</math>
| align="right" | -0,66
|pcm/°C
|
|Pour des températures inférieures à {{tmp|100|°C}} et dès lors que l'intégrale reste modérée (< 100 pcm), on peut admettre un coefficient de température légèrement positif
|}
<br>
{| class="wikitable alternance mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"
|+ Formules et coefficients de détermination des 4 facteurs - Sections efficaces
! scope="col" |Grandeur physique
! scope="col" |État<br>réacteur
! scope="col" |Notation
! scope="col" |Valeur
! scope="col" |Unité
! scope="col" |Source
! scope="col" |Commentaire
|-
| scope="row" |''' Nombre de neutrons émis par fission thermique <math>\nu</math>'''
|
| <math>\nu</math>
| align="right" | 2,425
|sans dim
|[[Fission nucléaire]]
| <ref group="Référence" name="ReussINSTN" />{{,}}<ref group="Référence">[[Formule des quatre facteurs]].</ref>
|-
| scope="row" |''' Terme <math>\mathcal{F}_{5}</math>'''
|
| <math>\mathcal{F}_{5}</math>
| align="right" | 2,082
|sans dim
|Calcul
|<math>\mathcal{F}_{u5} =\left( { \nu \times \sigma_{f5} \over \sigma_{u5} - \sigma_{u8}} \right)</math> <br>Les valeurs à froid et à chaud sont égales
|-
| scope="row" |''' Terme <math>\mathcal{S}_{u8/u5}</math>'''
|
| <math>\mathcal{S}_{u8/u5}</math>
| align="right" | {{nb|3,949|e=−3}}
|sans dim
|Calcul
|<math>\mathcal{S}_{u8/u5} =\left( { \sigma_{u8} + 2\;\sigma_o \over \sigma_{u5} - \sigma_{u8} }\right)</math> <br>Les valeurs à froid et à chaud sont égales
|-
| scope="row" |''' Facteur <math>f</math> <br>Terme <math>\mathcal{S}_{h/u}</math>'''
|
| <math>\mathcal{S}_{h/u}</math>
| align="right" | {{nb|4,902|e=−4}}
|sans dim
|Calcul
|<math>\mathcal{S}_{h/u} = \left( { \sigma_h + \sigma_o / 2 \over \sigma_{u5} - \sigma_{u8} } \right)</math> Invariant avec la température
|-
| rowspan="2" |'''Facteur <math>f</math> <br>Terme <math>\mathcal{S}_{z/h}</math> '''
|'''à chaud'''
| <math>\mathcal{S}_{z/h}</math>
| align="right" | 0,3641
|sans dim
|Calcul
|<math>\mathcal{S}_{z/h} = \left( { \sigma_z \times 0661 \over \sigma_{h} \times \sigma_{o}/2 } \right)</math>
|-
|'''à froid'''
| <math>\mathcal{S}_{z/h}</math>
| align="right" | 0,3626
|sans dim
|Calcul
| Faible variation du fait de la variation de la quantité de zirconium présente dans le flux neutronique entre les situations cœur chaud/cœur froid
|-
| scope="row" |''' Facteur anti-trappe <br>Terme <math>Z</math> '''
|
| <math>Z</math>
| align="right" | {{nb|3,0140|e=−12}}
|sans dim
|
| En cours de consolidation
|-
| scope="row" |''' Facteur anti-trappe <br>Exposant <math>x</math> '''
|
| <math>x</math>
| align="right" | 0,667
|sans dim
|
| En cours de consolidation
|-
| scope="row" |''' Facteur anti-trappe <br>Exposant <math>y</math> '''
|
| <math>y</math>
| align="right" | 0,522
|sans dim
|
|
|-
| scope="row" |''' Facteur <math>\varepsilon</math> <br>Relation donnant <math>\alpha</math> '''
|
|
| align="right" |
|sans dim
|
|<math>\alpha = 0{,}137 \times \mathrm{e}^{-0{,}0546 \times R_m}</math><br>Il pourra être recherché un terme fonction de l'enrichissement du cœur dans la formule donnant <math>\alpha </math>
|-
| rowspan="2" |''' Facteur <math>\varepsilon</math> <br>Terme <math>\alpha</math> '''
|'''C'''
| <math>\alpha</math>
| align="right" | 0,1081
|sans dim
|
|<math>\alpha = (\varepsilon - 1 ) \times { p \times f \over ( 1- p)} </math>
|-
|'''F'''
| <math>\alpha</math>
| align="right" | 0,1007
|sans dim
|
|
|-
| rowspan="2" |'''Section efficace microscopique<br>de fission thermique <br>de l'uranium 235 '''
|'''C'''
| <math>\sigma_{f5}</math>
| align="right" |419,3
|barn
|[[Fission nucléaire]]
| 1 barn = {{nb|e=-24|cm2}}
|-
|'''à froid'''
| <math>\sigma_{f5}</math>
| align="right" | 582,6
|barn
|
| <ref group="Référence">[http://www.nndc.bnl.gov/atlas/atlasvalues.html].</ref>
|-
| rowspan="2" |'''Section efficace microscopique <br>de capture de l'uranium 235 '''
|'''à chaud'''
| <math>\sigma_{u5}</math>
| align="right" | 490,4
|barn
|
|On entend par absorption le total fission + capture par l'uranium 235
|-
|'''F'''
| <math>\sigma_{u5}</math>
| align="right" | 681,4
|barn
|
|Les sections efficaces varient comme l'inverse de la racine carrée de la température absolue du corps considéré
|-
| rowspan="2" |'''Section efficace microscopique <br>de capture d'un neutron thermique <br>par le zirconium'''
|'''à chaud'''
| <math>\sigma_z</math>
| align="right" | 0,1324
|barn
|HBCP
| <ref group="Référence">[http://environmentalchemistry.com/yogi/periodic/crosssection.html].</ref>
|-
|'''à froid'''
| <math>\sigma_z</math>
| align="right" | 0,1840
|barn
|HBCP
| La température à laquelle sont données les sections efficaces est dans la littérature technique est de {{tmp|20|°C}}
|-
| rowspan="2" |'''Section efficace microscopique <br>de capture d'un neutron thermique <br>par l'hydrogène'''
|'''à chaud'''
| <math>\sigma_h</math>
| align="right" | 0,2393
|barn
|HBCP
|La section efficace est la section pondérée protium/deutérium. Cette valeur a un grand impact sur le résultat de la modélisation
|-
|'''à froid'''
| <math>\sigma_h</math>
| align="right" | 0,3326
|barn
|HBCP
|
|-
| rowspan="2" |'''Section efficace microscopique <br>de capture d'un neutron thermique <br>par l'uranium 238 '''
|'''à chaud'''
| <math>\sigma_8</math>
| align="right" | 1,933
|barn
|
|
|-
|'''à froid'''
| <math>\sigma_8</math>
| align="right" | 2,685
|barn
|
|
|-
| scope="row" |'''Section efficace microscopique <br>de capture d'un neutron thermique <br>par l'oxygène'''
|
| <math>\sigma_o</math>
| align="right" | {{nb|0,2|e=-3}}
|barn <br>cm{{2}}
|
|Valeur "forfaitaire" sans grande importance sur le résultat<ref group="Note">L'oxygène est l'élément chimique le moins capturant ce qui a rendu possible et attractive la technologie des réacteurs à eau et oxyde d'uranium.</ref>
|}

== Notes ==
{{Références|groupe=Note|colonnes=2}}

== Références ==
{{Références|groupe=Référence|colonnes=2}}
{{Références|colonnes=2}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Neutronique]]
* [[Formule des quatre facteurs]]
* [[Réaction en chaîne (nucléaire)]]
* [[Criticité (nucléaire)]]

=== Bibliographie ===
* {{pdf}} Reuss P (1996), ''[http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/65/19/53/PDF/3-reuss.pdf Bases de neutronique : coefficients de réactivité dans les réacteurs nucléaires]'', INSTN/UERTI, Saclay, {{date-|septembre 1996}}, 32{{nb p.}}
* Théorie de la réaction de fission en chaîne par A. Blaquière

=== Liens externes ===
* {{Ouvrage|auteur1=Naudet R|auteur2=Filip A|année=1975|
lire en ligne=http://www.iaea.org/inis/collection/NCLCollectionStore/_Public/07/233/7233255.pdf#page=541 |titre=Étude du bilan neutronique des réacteurs naturels d'Oklo|format=pdf}}
* {{Ouvrage|lire en ligne=http://www.iaea.org/Publications/Magazines/Bulletin/Bull175/French/17505004447_fr.pdf |titre=Le Phénomène D'Oklo|éditeur=IAEA|lieu=Vienna|pp.=527-540|format=pdf}}

{{Portail|physique|énergie|nucléaire}}

[[Catégorie:Technologie nucléaire]]
[[Catégorie:Physique nucléaire]]