Voir la source de Réciprocité de Frobenius

{{à sourcer|date=décembre 2015}}
[[Image:GeorgFrobenius.jpg|thumb|right|Ferdinand Georg Frobenius, fondateur de la théorie des caractères.]]
En [[mathématiques]], et plus précisément dans le cadre de la théorie des [[représentations d'un groupe fini]], la '''formule de réciprocité de Frobenius''' est une reformulation, en matière de [[fonction centrale sur un groupe fini|fonctions centrales]], de la situation d'[[Foncteur adjoint|adjonction]] entre l'[[représentation induite d'un groupe fini|induction]] et la {{Lien|trad=Restricted representation|Représentation restreinte|texte=restriction}} pour les représentations d'un [[groupe fini]] et d'un [[sous-groupe]].

Si χ est le [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractère d'une représentation]] d'un groupe fini ''G'', Res(χ) désignera sa restriction au sous-groupe ''H''. De même, si ψ est le caractère d'une représentation de ''H'', on notera Ind(ψ) le caractère de la représentation de ''G'' induite par celle de ''H''. Si < | > désigne la [[Fonction centrale sur un groupe fini#Fonctions centrales et caractères|forme bilinéaire canonique sur l'espace des fonctions centrales]], alors la formule de réciprocité de Frobenius est :
<center><math>\langle\mathrm{Ind}(\psi)~|~\chi\rangle=\langle\psi~|~\mathrm{Res}(\chi)\rangle</math>.</center>
Elle doit son nom à [[Ferdinand Georg Frobenius]], qui l'établit en [[1898 en science|1898]].

== Énoncé ==
Soient ''G'' un [[groupe fini]] et ''H'' un [[sous-groupe]] de ''G'', et soit ''K'' un [[Corps commutatif|corps]] fixé, dont la [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] ne divise pas l'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] de ''G''.

Soient θ une [[Théorie des représentations d'un groupe fini|représentation ''K''-linéaire]] de ''H'', ψ son [[caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractère]], Ind(θ) la représentation de ''G'' [[représentation induite d'un groupe fini|induite]] par θ et Ind(ψ) son caractère.

Soient d'autre part ρ une représentation ''K''-linéaire de ''G'', χ son caractère, Res(ρ) la restriction de ρ à ''H'' et Res(χ) son caractère.

La [[Fonction centrale sur un groupe fini#Fonctions centrales et caractères|forme bilinéaire canonique sur l'espace des fonctions centrales]] est notée < | ><sub>''H''</sub> ou < | ><sub>''G''</sub> selon le groupe utilisé.

Ces notations permettent d'exprimer la propriété suivante, appelée formule de réciprocité de Frobenius :<center><math>\langle\mathrm{Ind}(\psi)~|~\chi\rangle_G=\langle\psi~|~\mathrm{Res}(\chi)\rangle_H.</math></center>

== Démonstration ==
Par définition de la représentation induite,
<center><math>\hom_G(\mathrm{Ind}(\theta),\rho)~\text{et}~\hom_H(\theta,\mathrm{Res}(\rho))~\text{sont isomorphes}.</math></center>
Leurs dimensions sont donc égales, et a fortiori les images dans ''K'' de ces dimensions, [[Algèbre d'un groupe fini#Orthogonalité|qui sont exactement les « produits scalaires » des différents caractères]].

== Applications ==
Dans le cas particulier où ''K'' est de caractéristique nulle, la loi de réciprocité de Frobenius possède un intérêt à la fois théorique et pratique :
* de nombreux théorèmes se démontrent, sous cette hypothèse, à l'aide de cette loi, par exemple le [[critère d'irréductibilité de Mackey]] en caractéristique nulle ; 
* elle est aussi utilisée pour déterminer la décomposition d'une représentation induite en somme directe de [[Représentation irréductible|représentations irréductibles]]. En voici un exemple, avec une représentation induite du [[groupe symétrique]] ''S''{{ind|3}} :
{{Démonstration/début|titre=Exemple}}
Soit ''G'' le groupe ''S''{{ind|3}}, engendré par un 3-cycle ''c'' et une transposition ''t'', ''K'' le sous-groupe {1,''t''}, ψ{{ind|''K''}} le caractère de ''K'' de degré 1 dont les valeurs sur 1 et ''t'' sont respectivement 1 et –1, χ le [[Représentations du groupe symétrique#Les trois représentations irréductibles de S3|caractère irréductible de S{{ind|3}}]] de degré 2, dont les valeurs sur 1 et ''t'' sont 2 et 0, et σ le caractère irréductible de S{{ind|3}} dont ψ{{ind|''K''}} est restriction. Alors Ind(ψ{{ind|''K''}}) est de degré 3,<center><math>\langle\mathrm{Ind}(\psi_K)~|~\chi\rangle_G=\langle\psi_K~|~\mathrm{Res}(\chi)\rangle_K=\frac12\left(1\times2+(-1)\times0\right)=1</math></center>et<center><math>\langle\mathrm{Ind}(\psi_K)~|~\sigma\rangle_G=\langle\psi_K~|~\mathrm{Res}(\sigma)\rangle_K=\frac12\left(1^2+(-1)^2\right)=1,</math></center>donc la représentation induite est la somme directe des représentations associées à χ et σ.
{{Démonstration/fin}}

== Généralisation aux fonctions centrales ==
La formule qui permet de calculer le [[Représentation induite d'un groupe fini#Caractère|caractère induit]] s'étend linéairement aux fonctions centrales par la définition suivante :
* Soient ''f'' une fonction centrale sur ''H'' à valeurs dans ''K'' et ''C'' une [[Transversale d'un sous-groupe|transversale à gauche]] de ''H'' dans ''G'', alors la fonction''' Ind''<sub>H</sub><sup>G</sup>'' (''f'' )''' est définie par :
<center><math>\forall t\in G\quad\mathrm{Ind}_H^G f(t)=\sum_{c\in C\atop c^{-1}tc\in H}f(c^{-1}tc).</math></center>
Cette définition permet de généraliser la formule de réciprocité de Frobenius :
* ''Soient f une fonction centrale sur H et g une fonction centrale sur G, alors l'égalité suivante est vérifiée :
<center><math>\langle\mathrm{Ind}_H^Gf~|~g\rangle_G=\langle f~|~\mathrm{Res}_H^Gg\rangle_H.</math></center>
On peut le vérifier par un calcul explicite<ref>{{Serre2}}, {{p.|II-8}}.</ref>, ce qui redémontre en particulier la réciprocité de Frobenius pour les caractères. Une autre méthode, sous l'hypothèse supplémentaire que le polynôme ''X<sup>e</sup>'' - 1, où ''e'' désigne l'[[Exposant d'un groupe|exposant]] de ''G'', est scindé sur ''K'', est d'utiliser qu'alors, les caractères de représentations forment une [[famille génératrice]] de l'espace des fonctions centrales.

==Référence==
{{Références}}

{{Palette|Représentations des groupes finis}}

{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des représentations]]
[[Catégorie:Théorème d'algèbre linéaire|Réciprocité de Frobenius]]
[[Catégorie:Théorème de la théorie des groupes|Réciprocité de Frobenius]]