Voir la source de Régression quantile

{{Infobox Méthode scientifique}}

Les '''régressions quantiles''' sont des outils [[statistiques]] dont l’objet est de décrire l’impact de variables explicatives sur une variable d’intérêt. Elles permettent une description plus riche que les [[Régression (statistiques)|régressions]] linéaires classiques, puisqu’elles s’intéressent à l’ensemble de la distribution conditionnelle de la variable d’intérêt et non seulement à la moyenne de celle-ci. En outre, elles peuvent être plus adaptées pour certains types de données (variables censurées ou tronquées, présence de valeurs extrêmes, modèles non linéaires...)<ref>{{Lien web |auteur=Pauline Givord, Xavier D’Haultfœuille |titre=La régression quantile en pratique |url=https://www.insee.fr/fr/statistiques/fichier/1381107/doc_regression_quantile.pdf}}</ref>

== Historique ==

{{...}}

[[Roger Koenker]] et George Bassett ont développé le modèle de régression quantile en 1978. Dans leur approche, ils font l'hypothèse que les quantiles conditionnels ont une forme linéaire<ref>{{article
 | langue=en
 | prénom1=Roger|nom1=Koenker
 | prénom2=G.|nom2=Bassett
 | titre=Regression quantiles
 | périodique=Econometrica | lien périodique=Econometrica
 | volume=|numéro=|jour=|mois=
 | année=1978
 | pages=33-50
 | issn=|url=|consulté le=01/07/2011
}}</ref>{{,}}<ref>{{harvsp|Angrist|Pischke|2008|p=272}}</ref>.

En 1986, James Powell généralise la régression quantile aux variables censurées<ref>{{article
 | langue=en
 | prénom1=James|nom1=Powell
 | titre=Censored quantile regression
 | périodique=Journal of Econometrics | lien périodique=Journal of Econometrics
 | volume=32
 | numéro=1
 | mois=juin | année=1986
 | pages=143-155
 | url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304407686900163
 | consulté le=15 mars 2012
}}</ref>{{,}}<ref>{{article
 | langue=en
 | prénom1=Moshe|nom1=Buchinsky
 | titre=Recent Advances in Quantile Regression Models : A Practical Guideline for Empirical Research
 | périodique=The Journal of Human Resources | lien périodique=The Journal of Human Resources
 | volume=33
 | numéro=1
 | mois=hiver | année=1998
 | pages=88-126
 | url=https://www.jstor.org/stable/10.2307/146316
 | consulté le=15 mars 2012
}}</ref>{{,}}<ref group = "Note">En statistiques et en économétrie, une variable censurée est une variable pour laquelle on n'observe pas les valeurs en dessous ou au-dessus d'un certain seuil. Par exemple, dans certaines enquêtes pour des raisons de confidentialité, on ne demande pas aux individus gagnant plus d'un certain seuil de revenu le montant exact de leur revenu. Dans ce cas, la variable obtenue est une variable censurée : on a la valeur du revenu pour tous les individus gagnant moins que le seuil et pour les autres, on sait simplement que leur revenu est supérieur à ce seuil {{harv|Buchinsky|1998}}.</ref>.

== Applications ==

{{...}}

En économie, Moshe Buchinsky utilise les régressions quantiles pour étudier l'évolution des inégalités salariales aux [[États-Unis]]<ref>{{article
 | langue=en
 | prénom1=Moshe | nom1=Buchinsky
 | titre=Changes in the U.S. Wage Structure 1963-1987: Application of Quantile Regression
 | périodique=Econometrica
 | volume=62
 | numéro=2
 | mois=mars | année=1994
 | pages=405-458
 | url=https://www.jstor.org/stable/10.2307/2951618
 | consulté le=14 mars 2012
}}</ref>.

== Le modèle ==

On définit la fonction quantile conditionnelle de la variable aléatoire ''y'' conditionnellement au vecteur de variables explicatives ''x'' pour le quantile {{serif|τ}} comme
: la plus petite valeur de ''y'' telle que la fonction de distribution de ''y'' conditionnellement à ''x'' soit au moins égale à {{serif|τ}}.
Formellement, on adopte la notation suivante<ref>{{Ouvrage
 | langue=en
 | prénom1=Joshua
 | nom1=Angrist
 | lien auteur1=Joshua Angrist
 | prénom2=Jörn-Steffen
 | nom2=Pischke
 | titre=Mostly Harmless Econometrics
 | sous-titre=An Empiricist's Companion
 | éditeur=[[Princeton University Press]]
 | année=2008
 | numéro d'édition=1
 | pages totales=392
 | passage=270
 | isbn=978-0-691-12035-5
}}</ref> :
: <math>
Q_{\tau} (y_i | x_i ) = \inf\left\{ y : F_y(y|x_i) \geqslant \tau\right\}
</math>

Si on se restreint au cas où les quantiles conditionnels sont des fonctions linéaires du vecteur de variables explicatives ''x'', on définit<ref>{{harvsp|Angrist|Pischke|2008|p=271}}, équation 7.1.2</ref> : 
: <math>
\beta_\tau = \text{argmin}_{b} \mathbb E\left[ \rho_\tau (y_i - x_i'b)\right]
</math>
avec<ref group = "Note">On note <math>\mathbb I()</math> la [[fonction indicatrice (théorie des ensembles)|fonction indicatrice]] qui vaut 1 ou 0 selon que l'expression à l'intérieur des parenthèses est vraie ou fausse</ref> 
: <math>
\rho_\tau(u) = (\tau - \mathbb I(u\leqslant 0))u
</math>


L'estimateur des paramètres de la régression quantile est alors obtenu en minimisant l'équivalent empirique de la fonction objectif<ref>{{harvsp|Angrist|Pischke|2008|p=271-272}}</ref> : 
: <math>
\hat{\beta}_{\tau} = \text{argmin}_{b}  \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left[ \rho_\tau (y_i - x_i'b)\right]
</math>

== Notes et références ==

=== Notes ===

{{Traduction/Référence|en|Quantile regression|457892800|type=note}}
<references group="Note"/>

=== Références ===

{{Références|colonnes = 2}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Roger|nom1=Koenker|lien auteur1=Roger Koenker|titre=Quantile Regression|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=2005|isbn=}} 

=== Articles connexes ===
* [[Méthode médiane-médiane]]
* [[Fonction quantile]]

=== Liens externes ===
* {{Lien web
 | url=http://www.econ.uiuc.edu/~roger/research/rq/rq.html
 | titre=Quantile Regression
 | langue=en
 | auteur=Roger Koenker | lien auteur=Roger Koenker
 | site=Econometrics at the University of Illinois
 | en ligne le=|consulté le=14 mars 2012
}}

{{Portail|économie|probabilités et statistiques}}

{{DEFAULTSORT:Regression quantile}}
[[Catégorie:Exploration de données]]
[[Catégorie:Estimation (statistique)]]
[[Catégorie:Économétrie]]
[[Catégorie:Régression|quantile]]