Voir la source de Résistance des matériaux

{{Voir homonymes|Résistance}}{{Sources à lier|date=septembre 2023}}[[Fichier:Concrete Compression Testing.jpg|vignette|[[Essai de compression]] sur une [[Éprouvette (matériau)|éprouvette]] de [[béton]], une pression croissante est appliquée verticalement sur l'échantillon pendant que deux appareils mesurent les déformations longitudinales et transversales de l'éprouvette.]]
[[Fichier:Failed Concrete Cylinder.jpg|vignette|À l'issue du test, l'éprouvette s'est rompue. Notez la cassure longitudinale.]]

La '''résistance des matériaux''' (RDM) (ou '''résistance mécanique des matériaux et des structures''') est une discipline particulière de la [[mécanique des milieux continus]], permettant le calcul des [[Contrainte (mécanique)|contraintes]] et déformations dans les structures des différents matériaux ([[machine]]s, [[génie mécanique]], [[bâtiment (construction)|bâtiment]] et [[génie civil]]).

La RDM permet de ramener l'étude du comportement global d'une structure (relation entre sollicitations — [[Force (physique)|forces]] ou [[moment de force (mécanique)|moments]] — et déplacements) à celle du comportement local des [[matériaux]] le composant (relation entre [[Contrainte (mécanique)|contraintes]] et [[Déformation d'un matériau|déformations]]). L'objectif est de concevoir la structure suivant des critères de résistance, de déformation admissible et de coût financier acceptable.

Lorsque l'intensité de la contrainte augmente, il y a d'abord [[déformation élastique]] (le matériau se déforme proportionnellement à l'effort appliqué et reprend sa forme initiale lorsque la sollicitation disparaît), suivie parfois (en fonction de la [[ductilité]] du matériau) d'une [[déformation plastique]] (le matériau ne reprend pas sa forme initiale lorsque la sollicitation disparaît, il subsiste une déformation résiduelle), et enfin [[Rupture (matériau)|rupture]] (la sollicitation dépasse la résistance intrinsèque du matériau).

== Définition ==
La résistance des matériaux est désignée aussi ''résistance mécanique des matériaux et des structures'' pour préciser le champ de cette discipline<ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=Pierre-Alain Boucard, François Hild, Jean Lemaître|titre=Résistance mécanique des matériaux et des structures|lieu=Malakoff|éditeur=Dunod|date=2020|isbn=978-2-10-081475-6}}</ref>.  

== Histoire ==

{{images| hauteur=200| image1=File:Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno à due nuoue scienze di Galileo Galilei (Leida, 1638).tif| légende1=Discours concernant deux sciences nouvelles, de [[Galilée (savant)|Galilée]].| image2=Illustration from Galileis Two new sciences.png| légende2=Illustration extraite du livre de Galilée.}}

En 1638, [[Galilée (savant)|Galilée]] publie ''{{lang|it|Discorsi e Dimostrazioni matematiche intorno à due nuove scienze attenenti alla mecanica e i movimenti locali}}'' ([[Discours concernant deux sciences nouvelles]]). Dans ce discours, Galilée étudie la résistance des matériaux et le mouvement des corps 
et est le premier à théoriser ceux-ci.

Il s'intéresse à la résistance d'une poutre en [[Console (architecture)|console]] soumise à l'action d'un poids situé à son extrémité. Il montre que le fonctionnement de la poutre-console peut être assimilée à un [[Levier (mécanique)|levier]] coudé s'appuyant au droit de l'encastrement. L'action de la partie du levier comprise entre la section d'encastrement et la charge est équilibrée par la partie du levier correspondant à la section d'encastrement. Cette approche va permettre de changer la manière d'aborder les problèmes de résistance des structures.

Cependant, Galilée commet une erreur, car il admet que la contrainte de [[Tension mécanique|traction]] dans toute la hauteur de la section d'encastrement est uniforme<ref>{{Lien web|langue = fr|url = https://www.dmoz.fr/references/histoire/histoire-des-essais-mecaniques/|titre = Histoire des Essais mécaniques|site = Dmoz.fr|date = |consulté le = 14 juillet 2017}}.</ref>.

En 1678, [[Robert Hooke]] énonce la loi qui porte son nom ([[loi de Hooke]]) qui indique que la déformation d'un corps sous une contrainte inférieure à la [[limite d'élasticité]] est proportionnelle à l'[[Théorie des poutres|effort]] exercé.

[[Edme Mariotte]] reprend les études de [[Flexion (matériau)|flexion]] des poutres. Il montre que la résistance estimée à partir de la théorie de Galilée pour une poutre en console était exagérée. Il montre dans ses essais que la fibre inférieure de la poutre en console est comprimée, que la fibre supérieure est tendue et que la [[valeur absolue]] des forces exercées en compression et en traction sont identiques. Cette étude de la flexion des poutres est publiée en 1686 après la mort de Mariotte par [[Philippe de La Hire]].

[[Jacques Bernoulli]] étudie la déformation de l{{'}}''elastica'', ligne élastique qui se déforme en flexion sans contraction ni extension et montre que le moment de flexion est proportionnel à la courbure correspondante de la tige{{Quoi|date=26 septembre 2023}}. Vers 1750, [[Leonhard Euler]] émet la première [[théorie des poutres]]. [[Daniel Bernoulli]] écrit l'[[équation différentielle]] pour l'analyse vibratoire. L'étude de l’élasticité le conduit à énoncer la {{quoi|théorie de la stabilité élastique}}{{refsou}}.

[[Charles-Augustin Coulomb]], appliquant la loi de Hooke pour une section finie de poutre, propose une théorie de la flexion.

[[Thomas Young]] met en évidence que le cisaillement produit une déformation élastique et remarque que la résistance élastique au cisaillement était différente de la résistance élastique à la traction-compression pour une même substance. Il introduit le concept de [[module d'élasticité]] d'une substance, devenu le [[module de Young]].

Le {{date-|14 mai 1821}}, [[Henri Navier]] présente le ''Mémoire sur les lois de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques''<ref>[http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gallica&O=NUMM-3222 Lire en ligne : ''Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France. 1816-1949'', tome VII, {{p.}}375, 1827].</ref> à l'[[Académie des sciences (France)|Académie des sciences]] dans lequel il présente les [[Équation|équations]] d'équilibre des solides élastiques en utilisant une « théorie de [[mécanique moléculaire]] ». En supposant le milieu isotrope, il aboutit à des équations d'équilibre pour des solides élastiques. Il ne fait intervenir qu'une seule constante semblable au module de Young.

Navier est professeur suppléant de mécanique appliquée à l'[[école des ponts et chaussées]] en 1819 et est devenu professeur titulaire en 1831. [[Siméon Denis Poisson]] s'est opposé à la théorie de Navier entre 1828 et 1829.

En 1822, [[Augustin Louis Cauchy]], dans une communication à l'Académie des sciences, introduit le concept de contrainte et explicite la notion de déformation décrite par ses six [[Composantes d'une force|composantes]] ou par les axes principaux des déformations et les extensions principales qui leur correspondent.

Cauchy écrit les équations d'équilibre en contraintes et souhaite aboutir aux déplacements correspondant à cet état d'équilibre d'un solide supposé élastique. Il suppose que les matériaux sont [[Isotropie|isotropes]] et ont une relation contrainte-déformation, que les directions principales des contraintes et des déformations coïncident. Il introduit deux constantes matérielles pour écrire les équations d'équilibre d'un corps élastique exprimées en déplacements.

[[George Green (physicien)|George Green]] introduit une approche énergétique pour écrire les équations d'équilibre.

[[Adhémar Barré de Saint-Venant]] présente à l'Académie des sciences plusieurs mémoires sur la résistance, la flexion et la torsion des corps solides.

La théorie mathématique de l'élasticité des corps solides a été développée par [[Siméon Denis Poisson]] (1812), [[Augustin Louis Cauchy]] (1823), [[Gabriel Lamé]] (1833-1852).

Le premier cours de ''résistance des Matériaux'' est donné par [[August Wöhler]] à l'[[université de Göttingen]] en 1842<ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Pierre-Richard|nom1=Crocy|titre=De la Déroute à l'Accomplissement: Humanisme & Science Authentiques|éditeur=crossworlds|date=2022-01-01|isbn=978-2-9573031-4-4|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=F3FWEAAAQBAJ&pg=PA74&lpg=PA74&dq=1842+wohler+resistance+materiaux&source=bl&ots=zISp49amSU&sig=ACfU3U3TjJptFRTj1nTWIG2VIRpJAJczVA&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwjQ6MDnzMr1AhVNz4UKHeg_BlI4ChDoAXoECBMQAw#v=onepage&q=1842%20wohler%20resistance%20materiaux&f=false|consulté le=2022-01-24}}</ref>. À la suite d'expériences, Wöhler montre l'influence des charges répétées et alternées sur la résistance des matériaux.

[[Karl Culmann]] va développer le principe du calcul des systèmes réticulaires dans l'hypothèse des nœuds articulés en 1852 pour aboutir à la [[statique graphique]]. [[Maurice Lévy (mathématicien)|Maurice Lévy]] développe cette méthode de calculs.

[[Émile Clapeyron]], à partir de la [[théorie de l'élasticité]] établit les équations de Clapeyron pour le calcul des poutres continues en 1857 et écrit en 1858 son mémoire sur le travail des forces élastiques. 

En 1864, [[James Clerk Maxwell]] énonce le principe de réciprocité des déplacements des points d'application des [[forces intérieures et forces extérieures|forces extérieures]], cas particulier du [[théorème de réciprocité de Maxwell-Betti]].

[[Emil Winkler]] développe la méthode de calcul des lignes d'influence et le calcul des efforts secondaires dans les systèmes réticulaires (1860-1867).

[[Luigi Federico Menabrea|Menabrea]] établit le principe du travail élastique minimum, en 1868.

[[Christian Otto Mohr]] établit le calcul des systèmes articulés à barres surabondantes par application du travail virtuel (1874).

[[Carlo Alberto Castigliano|Castigliano]] démontre le théorème des dérivées du travail (1875).

La théorie de l'arc élastique{{Quoi|date=27 septembre 2023}} est développée à partir de la théorie de Culmann{{Laquelle|date=27 septembre 2023}} et des équations de [[Jacques Antoine Charles Bresse|Bresse]].

Avec le développement de l'informatique et celui de la [[méthode des éléments finis]], la discipline s'est vu ouvrir au {{XXe siècle}} des champs d'études basés sur une approche probabiliste permettant de mieux prendre en considération les variations de caractéristiques des matériaux, ainsi qu'un grand nombre de sollicitations<ref name=":0" />.

== Démarche générale ==
[[Fichier:Demarche calcul rdm.svg|thumb|Démarche de calcul manuel selon la théorie des poutres.]]

La résistance des matériaux est utilisée pour concevoir des systèmes (structures, mécanismes) ou pour valider l'utilisation de matériel. On se place dans le cas d'une déformation réversible : une déformation irréversible ([[déformation plastique]] ou [[Rupture (matériau)|rupture]]) rendrait la pièce inopérante. Il faut donc vérifier deux choses :
# Que l'on reste bien dans le domaine élastique, par l'application d'un critère de ruine : c'est la vérification de l'état limite ultime (ELU) ;
# Que la déformation élastique sous charge est compatible avec la fonction de la pièce : c'est la vérification de l'état limite en service (ELS).
Pour effectuer les calculs de validation, il faut passer par une étape de modélisation :
* étude [[Statique du solide|statique]] : détermination des efforts extérieurs auxquels est soumise la pièce étudiée ;
* modélisation du matériau : cela consiste à déterminer des valeurs caractéristiques du matériau par des [[essai mécanique|essais mécaniques]], en particulier l'[[essai de traction]] ; on s'intéresse en général à la [[limite d'élasticité]] <math>R_{e}</math> pour l'ELU, et au [[module de Young]] <math>E</math> pour l'ELS ;
* modélisation de la pièce : pour des calculs à la main, on utilise des modèles simples (poutre pour des pièces élancées, plaques ou coques pour des pièces minces) ; le calcul par ordinateur ([[éléments finis]]) utilise un modèle numérique de la structure (dans un logiciel de [[Conception assistée par ordinateur|CAO]]).

L'application des lois de l'élasticité permet de déterminer le [[tenseur des contraintes]]. On compare ensuite les valeurs des contraintes avec les limites d'élasticité du matériau, en utilisant un « critère de ruine », pour valider ou invalider à l'ELU.

Les lois de l'élasticité permettent également de déterminer le champ de déplacement, ce qui permet de valider ou d'invalider à l'ELS.

== Hypothèses de la résistance des matériaux ==
Dans son utilisation courante, la RDM fait appel aux hypothèses suivantes :

Le matériau est :
* '''élastique''' (le matériau reprend sa forme initiale après un cycle chargement / déchargement),
* '''linéaire''' (les déformations sont proportionnelles aux contraintes),
* '''homogène''' (le matériau est de même nature dans toute sa masse),
* '''isotrope''' (les propriétés du matériau sont identiques dans toutes les directions).

Le problème est :
* en '''petits déplacements''' (les déformations de la structure résultant de son chargement sont négligeables et n'affectent pratiquement pas sa géométrie),
* '''quasi statique''' (pas d'effet dynamique),
* '''quasi isotherme''' (pas de changement de température).

Ces simplifications permettent de faire des calculs simples et rapides, automatisés (par ordinateur) ou à la main. Elles sont toutefois parfois inadaptées, en particulier :
* on utilise fréquemment des matériaux fortement hétérogènes ou anisotropes, comme les [[matériau composite|matériaux composites]], le [[bois]], le [[béton armé]] ;
* certaines applications impliquent des déformations élastiques importantes, notamment avec des matériaux souples (matériaux composites, [[polymère]]s), on n'est alors plus dans le domaine linéaire ni dans celui des petits déplacements.

Notons enfin que la déformation plastique est un « mécanisme de protection » contre la rupture, en dissipant l'énergie de déformation. Sa prise en compte dans les aciers permet de concevoir des structures métalliques plus légères (par exemple Annexe 80 des Règles de [[calcul des constructions]] en [[acier]] CM66) ; ceci appartenant encore au cadre non linéaire et des grands déplacements.

La déformation reste néanmoins toujours limitée ; le domaine des très grandes déformations appartient plutôt au cadre de la [[rhéologie]].

== Notion de poutre ==
{{Article détaillé|Théorie des poutres}}

Le [[Ingénierie|concepteur]] utilise la résistance des matériaux avant tout pour déterminer les dimensions des éléments de construction et vérifier leur résistance et leur déformation. L'un des éléments structurels le plus fréquent est la poutre, c'est-à-dire un objet de grande longueur par rapport à sa section, chargée dans son plan moyen de [[symétrie]].

== Sollicitations ==
=== Sollicitations élémentaires ===
{| class="wikitable"
!Type
!Commentaire
!Exemple
|-
| [[force (physique)|Traction]] || Allongement longitudinal, on ''tire'' de chaque côté || Barre de remorquage
|-
| [[Compression (physique)|Compression]] || Raccourcissement, on ''appuie'' de chaque côté || Poteau supportant un plancher
|-
| [[Contrainte de cisaillement|Cisaillement]] || Glissement relatif des sections || Goujon de fixation
|-
| [[Torsion]] || Rotation par glissement relatif des sections droites || Arbre de transmission d'un moteur
|-
| [[Flexion (matériau)|Flexion]] simple || Fléchissement sans allongement des fibres contenues dans le plan moyen || Planche de plongeoir
|-
| [[Flexion (matériau)|Flexion]] pure ou circulaire || Fléchissement sans effort tranchant dans certaines zones || Partie de poutre entre deux charges concentrées ou soumise à un couple
|}

== Principes fondamentaux de la théorie des poutres ==
Deux des dimensions de la poutre sont petites par rapport à la troisième. En d'autres termes, les dimensions de la section droite sont petites par rapport à la longueur de la poutre. Ce principe permet d'approximer la poutre par une ligne (droite ou courbe) et des sections droites.

En général, une longueur ou une distance de l'ordre de deux à trois fois la plus grande dimension de la section droite est considérée suffisante pour appliquer le modèle RDM.

Le '''principe de Saint-Venant''' précise que le comportement en un point quelconque de la poutre, pourvu que ce point soit suffisamment éloigné des zones d'applications des forces et des liaisons, est indépendant de la façon dont sont appliquées les forces et de la façon dont sont physiquement réalisées les liaisons ; le comportement dépend alors uniquement du [[Torseur statique|torseur]] des forces internes en ce point. La conséquence est que les contraintes produites par un système de forces dans une section éloignée du point d'application de ces forces ne dépendent que de la résultante générale et du moment résultant du système de forces appliquées à gauche de cette section<ref name="albigès">M. Albigès & A. Coin, Résistance des matériaux, Éditions Eyrolles, 1969.</ref>.

Le modèle RDM n'est plus valide lorsque le principe de Saint Venant n'est pas satisfait, c'est-à-dire à proximité des liaisons, des appuis ou des points d'application des forces. Dans ces cas particuliers, il faut appliquer les principes de la [[mécanique des milieux continus]].

Le '''principe de Navier-Bernoulli''' précise que les sections droites le long de la fibre moyenne<ref>Ce principe est aussi valable pour les plaques et coques, la fibre moyenne est remplacée par plan moyen.</ref> restent planes après déformation. Les déformations dues à l'effort tranchant montrent que les sections droites ne peuvent pas rester planes, mais subissent un gauchissement. Pour tenir compte de ce fait l'énoncé de ce principe peut prendre la forme suivante : deux sections droites infiniment voisines deviennent après déformation deux sections gauches superposables par déplacement. Comme ce déplacement est petit, on peut considérer que les allongements ou raccourcissements de tout tronçon de fibre sont des fonctions linéaires des coordonnées de la fibre dans le plan de la section<ref name="albigès"/>.

La '''[[loi de Hooke]]''' précise que, dans le domaine élastique du matériau, les déformations sont proportionnelles aux contraintes.

Le '''principe de superposition''' permet de décomposer toute sollicitation complexe en une somme de sollicitations élémentaires dont les effets sont ensuite additionnés. Ce principe est directement lié à l'hypothèse de linéarité de la loi de Hooke.

L{{'}}'''équilibre statique''' d'un système exige que :
* la somme des [[Force (physique)|forces]] extérieures en tout point est égale au [[vecteur nul]] :<center><math>\sum \vec{F}_\text{ext} = \vec{0}</math>.</center>
* la somme des [[moment de force (mécanique)|moments]] calculés en tout point est égale au vecteur nul :<center><math>\sum \vec{M}_\text{ext} = \vec{0}</math>.</center>

Le '''théorème de Castigliano''' définit le déplacement du point, lieu d'application d'une force, par la dérivée du potentiel élastique par rapport de cette force.

== Quelques notations et définitions ==
La terminologie employée suivant la grandeur étudiée dépend du point de vue par rapport à la pièce étudiée.

{| class="wikitable"
! Grandeur
! Point de vue extérieur
! Point de vue intérieur
|-
| Mécanique || Efforts || Contraintes
|-
| Géométrique || Déplacements<ref name="déplacement">Pour l'utilisateur de la structure, le mot déplacement sera le plus souvent remplacé, à juste titre pour lui, par le mot déformation.</ref> || Déformations
|}

Les efforts (ou chargement) regroupent les forces (en multiples du [[Newton (unité)|newton (N)]]) et les moments (en multiples du [[Newton mètre|newton mètre (N m)]]). Les déplacements sont l'ensemble des translations (en unités de longueur compatibles avec celles utilisées pour les moments) et des rotations (en radians).

=== Contraintes mécaniques élémentaires ===
Des contraintes mécaniques particulières sont associées à chaque type de sollicitation élémentaire:<br />[[force (physique)|traction]], [[Compression (physique)|compression]], [[Flexion (matériau)|flexion]], [[Contrainte de cisaillement|cisaillement]] et [[torsion]]. 

==== Loi de Hooke simplifiée à une seule dimension ====
La contrainte normale <math>\sigma</math> est proportionnelle à l’allongement relatif <math>\varepsilon</math> et un facteur constant <math>E</math> désigné sous le nom de module d'élasticité ou encore [[module de Young]] (valable uniquement pour les petits déplacements) :

<center><math>\sigma = E \, {\varepsilon} </math></center>
* <math>\sigma</math> est une contrainte qui s'exprime le plus souvent en [[pascal (unité)|MPa]] ou {{nb|N/mm2}} ;
* <math>E</math> est homogène à une contrainte ;
* <math>\varepsilon</math> est sans dimension.

L’[[allongement à la rupture|allongement]] relatif <math>\varepsilon </math> est le rapport entre l'allongement (<math> \ell </math> - <math> \ell_0 </math>) et la longueur initiale <math> \ell_0 </math> :

<center><math>\varepsilon = \frac{\ell - \ell_0 }{\ell_0} = \frac \ell \ell_0 - 1</math></center>

==== Traction et compression ====
Cette contrainte est dite contrainte normale due à la force de traction. <math>\sigma</math> est égale à l'intensité de la force <math>F</math> divisée par l'aire <math>S</math> de la [[Surface (physique)|surface]] normale à cette force :

<center><math>\sigma = \frac{F}{S} </math></center>
avec <math>S</math> la section initiale (avant déformation). <math>\sigma</math> est aussi appelée contrainte PK1.

Le critère de résistance est rempli lorsque la contrainte maximale reste inférieure à la contrainte limite. La première correspond à la contrainte calculée ci-dessus, éventuellement multipliée par divers facteurs tels que :
* un [[facteur de concentration]] de contraintes <math>K_t</math> qui dépend de la géométrie de la poutre (ex. : pour une vis à filets triangulaires <math>K_t=2{,}5</math>) ;
* un facteur d'amplification dynamique ;
* divers autres facteurs de sécurité (sur les sollicitations).
La contrainte limite correspond généralement à la limite élastique <math>R_e</math>, éventuellement divisée par des facteurs de sécurité (sur la résistance) <math>s_i</math> (ex : pour les gaines d'un ascenseur <math>s = 12</math>).

==== Flexion ====
Sous l'effet du moment de flexion <math>M_3</math> (en {{nb|N m}}), la contrainte de flexion à une distance <math>x_2</math> (en m) de la fibre neutre s'exprime en fonction du moment quadratique <math>I_3</math> (en m{{exp|4}}) de la section étudiée par la relation :

<center><math>\sigma_\text{flexion}= -\frac{M_3 \, x_2}{I_3}</math></center>

avec
<center><math>I_3 = \int_S { x_2^2 \,\mathrm dS}</math>,</center>
le [[moment quadratique]], qui est habituellement désigné par '''inertie''' de la section par rapport à l'axe du moment de flexion.
* Pour une section ''rectangulaire'' de base <math>b</math> et de hauteur <math>h</math> : <center><math>I_3 = \frac{b \, h^3}{12}</math>.</center>
* Pour une section ''circulaire'' de diamètre <math>D</math> : <center><math>I_3 = \frac{\pi \, D^4}{64}</math>.</center>

Le ''[[théorème de Huygens]]'' permet de calculer le moment quadratique d'une section coupée en plusieurs morceaux. Pour chaque morceau, son moment par rapport à un axe arbitraire <math>A</math> dépend de son moment par rapport à l'axe de gravité <math>G</math> parallèle à <math>A</math>, à sa section <math>S</math> et la distance entre les axes <math>A</math> et <math>G</math> selon l'expression :

<center><math>I_A = I_G +S \, d^2</math>.</center>

==== Cisaillement ====
<center><math>\tau_\text{moy} = \frac{F_\text{cisaillement}}{S} = G \, \gamma </math></center>

avec le [[module de cisaillement]] (homogène à une contrainte)
<center><math>G = \frac{E}{2 \, (1+\nu)}</math>.</center>

Pour avoir la contrainte tangentielle maximale :
* pour une section rectangulaire : <center><math>\tau_\text{max} = \frac{3}{2} \, \tau_\text{moy} </math></center>
* pour une section circulaire : <center><math>\tau_\text{max} = \frac{4}{3} \, \tau_\text{moy} </math></center>

==== Torsion ====
Ce qui suit concerne uniquement les poutres à ''sections circulaires''.
<center><math>\theta = \frac{M_\text{t}}{G \, I_0}</math></center>
où <math>\theta</math> est l'angle unitaire de torsion (en {{nb|rad/m}}). La rotation de la barre en un point d’abscisse <math>L</math> est donc <math>\theta L</math>.

Le moment quadratique polaire <math>I_0</math> de la section est donné par : <center><math>I_0 = \frac{\pi \, D^4} {32}</math>.</center>

La contrainte de cisaillement maximale <math> \tau</math> est
<center><math> \tau = \frac{M_\text{t} \, R}{I_0}</math>.</center>

==== Étude de la déformation d'une poutre fléchie ====
On peut obtenir l'allure de la déformée de la poutre en flexion à partir de l'équation différentielle

<center><math>y''(x)=-\frac{M_\text{fz}(x)}{E \, I_\text{gz}}</math></center>

En intégrant deux fois, et en déterminant les constantes selon les conditions aux limites, il est possible de trouver la forme de la déformée de la poutre en flexion.

'''Références théoriques'''
* La contrainte normale <math>\sigma </math> : [[Contrainte (mécanique)|contrainte]]
* L’allongement relatif <math>\varepsilon </math> : [[tenseur des déformations]]
* Le déplacement latéral relatif <math>\gamma</math> : [[tenseur des déformations]]
* Le module d’élasticité longitudinal <math>E</math> ou module de Young : [[module de Young]]
* Le module de cisaillement <math>G</math> ou le module d’élasticité tangentiel ou encore module de glissement : [[module de cisaillement]]
* Le coefficient de Poisson <math>\nu</math> : [[coefficient de Poisson]]

Dans la résistance des matériaux, les contraintes normales ne sont dues qu'à l'effort normal et aux [[Flexion (matériau)|moments de flexion]]. Dans la [[théorie des poutres]], les contraintes normales dans une section droite sont calculées dans un repère Gxyz où G est le [[centre de gravité]] de la section droite, l'axe Gx est tangent à la [[fibre neutre]] de la poutre, les repères Gy et Gz sont les axes principaux d'inertie.

Les contraintes normales dans ce repère peuvent être ramenées à des calculs simples ne faisant intervenir que les caractéristiques géométriques de la section droite :
[[Fichier:Superposition contraintes flexion deviee.svg|vignette|redresse=1.5|<center>Superposition des contraintes de flexion en flexion déviée.</center>]]
* la surface de la section droite, notée S ;
* les inerties <math>I</math> calculées par rapport aux deux axes principaux Gy et Gz : [[Moment quadratique]] plus couramment appelé moment d'inertie ou inertie calculé dans chaque axe principal d'inertie, notés I{{ind|G''y''}} ou I{{ind|''y''}} et I{{ind|G''z''}} ou I{{ind|''z''}}.

Pour une section droite symétrique par rapport à un axe principal d'inertie Gy, l'axe Gy est en général l'axe vertical. Il est possible de calculer les contraintes maximales en ne faisant intervenir que les distances maximales du contour de la section droite aux axes principaux d'inertie du repère Gyz.
:<center><math>\sigma_{x} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{S}} - \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{f}z}}{\mathrm{I}_{\mathrm{G}z}} \cdot y + \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{f}y}}{\mathrm{I}_{\mathrm{G}y}} \cdot z</math></center>

=== Contraintes mécaniques composées ===
{| class="wikitable"
!Type
!Commentaire
!Exemple
|-
| Flexion et torsion || || Arbre de transmission
|-
| Flexion et traction || || Vis
|-
| Flexion et compression || Le [[flambage]] provoque les mêmes effets|| Poteau d'angle
|-
| Cisaillement et compression || || Pile de pont en rivière navigable
|-
| Cisaillement et traction || || Boulon précontraint
|}

[[Fichier:Sollicitations poutre isostatique uniformément chargée.svg|vignette|Cas simple d'une poutre uniformément chargée : réactions aux appuis, efforts tranchants (''V(x)'') et moments fléchissants (''M(x)'').]]

La poutre est généralement composée d'un [[matériau]] [[isotrope]] [[Homogénéité (matériau)|homogène]] et chargée dans son plan moyen, vertical le plus souvent. Dans ces conditions, l'ensemble des efforts extérieurs appliqué d'un côté d'une section droite quelconque se ramène à :
* un effort longitudinal de compression ou traction : l'effort ''normal'' ;
* un effort normal de cisaillement : l'effort ''tranchant'' ;
* un moment ''fléchissant''.

Ce sont les éléments de réduction des charges extérieures au droit de la section considérée.

Un cas simple est constitué par une poutre droite, horizontale, de section constante, chargée uniformément et reposant sur deux appuis simples. Si on désigne par <math>p</math> la charge constante et linéaire, et par <math>\ell</math> la longueur de la poutre, la détermination des éléments de réduction des efforts tient en quelques formules simples :
* la réaction à chaque appui est une force verticale, égale à la moitié de la charge totale, soit <math>\tfrac{p \, \ell}2</math> ;
* l'effort tranchant varie linéairement de <math>+ \tfrac{p \, \ell}{2 }</math> à <math>-\tfrac{p \, \ell}{2}</math> avec une valeur nulle en milieu de travée. On doit vérifier que la contrainte de cisaillement au voisinage de l'appui reste inférieure à la résistance au cisaillement du matériau ;
* le moment fléchissant est nul sur appui et maximum en milieu de travée où il vaut <math>\tfrac{p \, \ell^2 }8</math>. On doit vérifier que les contraintes dans la section à mi-travée ne dépassent ni la [[résistance à la compression]], ni la [[résistance à la traction]] du matériau.

== Notion de plaque ==
{{Article détaillé|Théorie des plaques}}

== Notes et références ==
{{Références}}

== Annexes ==
{{Autres projets
| wikiversity = Résistance des matériaux
}}
{{catégorie principale}}

=== Bibliographie ===
* [[Henry Lossier]], « Les progrès des théories de la résistance des matériaux et leur application à la construction des ponts », ''Le Génie civil'', numéro spécial du Cinquantenaire 1880-1930, {{date-|novembre 1930}}, {{p.|183-189}} ([https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6488555j/f189.item.zoom lire en ligne]).
* [[Albert Caquot]], « Idées actuelles sur la résistance des matériaux », ''Le Génie civil'', numéro spécial du Cinquantenaire 1880-1930, {{date-|novembre 1930}}, {{p.|189-192}} ([https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6488555j/f195.item.zoom lire en ligne]).
* {{en}} [[Stephen Timoshenko]], ''History of strength of materials'', [[Dover Publications|Dover publications]], New York, 1983, {{p.|452}} {{ISBN|0-486-61187-6}}.

=== Articles connexes ===
* [[Mécanique (industrie)]]
* [[Matériau]]
* [[Essai mécanique]]
* [[Statique du solide]]
* [[Mécanique statique]]
* [[Mécanique des milieux continus]]
* [[Indicateurs de volume et de déplacement d'une structure architecturale]]
* [[Résistographe]]

=== Liens externes ===
{{Liens}}
* [http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/histoire.html Dates clef de l'histoire de la RdM], Y. Debard.
* [http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00594957/fr/ Introduction à la résistance des matériaux].
* [http://www.raymondnicolet.ch/resmat/resistancemateriaux.pdf], Cours résistance des matériaux G. R. Nicolet.

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[[Catégorie:Résistance des matériaux|*]]