Voir la source de Racine carrée

{{Autre|l'album de Stromae|Racine carrée (album)}}
{{à sourcer|date=mars 2008}}
{{Infobox Fonction mathématique
| nom = Fonction racine carrée
| image = Squareroot-0-9-metapost.svg
| légende = [[Courbe représentative]] de la fonction racine carrée.
| notation = <math>{\sqrt{x}}</math>
| réciproque = <math>x^2</math>
| dérivée = <math>{1 \over 2\sqrt{x}}</math>
| primitives = <math>{2 \over 3}x^{3 \over 2}+ C</math>
| ensemble de définition = <math>\left[ 0,+\infty \right[</math>
| ensemble image = <math>\left[ 0,+\infty \right[</math>
| zéro = 0
| plusinf = <math>+\infty</math>
| minima = 0
| zéros = 0
| points fixes = 0 et 1
}}
{{Infobox Caractère Unicode
| titre=Racine carrée
| image=Root symbol.svg
| code=221A
| nom=Racine carrée (ou radical)<ref>{{lien web|titre=Opérateurs mathématiques - standard unicode, version 15.1|lien=https://www.unicode.org/charts/fr/PDF/U2200.pdf|site=www.unicode.org}}, 221A</ref>
| bloc=[[Table des caractères Unicode/U2200|Symboles mathématiques]]<br /><small>(U+2200 à U+22FF)</small>
| voir=
| latex    =
| html     =
| windows  = 
| symétrie=
| trait=
}}

En [[mathématiques élémentaires]], '''la racine carrée''' d'un nombre réel positif {{math|''x''}} est l'unique réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne {{math|''x''}}, c'est-à-dire le nombre positif dont le [[carré (algèbre)|carré]] vaut {{math|''x''}}. On le note {{racine|''x''}} ou {{math|''x''{{exp|1/2}}}}. Dans cette expression, {{math|''x''}} est appelé le '''radicande''' et le signe <math>\sqrt{\quad}</math> est appelé le '''radical'''<ref>Collection Mistral, ''Mathématiques {{3e}}'', 1985, {{p.|20}}.</ref>. La [[fonction (mathématiques)|fonction]] qui, à tout réel positif, associe sa racine carrée s'appelle la '''fonction racine carrée'''.

En [[algèbre]] et [[analyse (mathématiques)|analyse]], dans un [[anneau  (mathématiques)|anneau]] ou un [[corps commutatif|corps]] {{math|''A''}}, on appelle '''racine carrée''' de {{math|''a''}} ''tout'' élément de {{math|''A''}} dont le carré vaut {{math|''a''}}. Par exemple, dans le [[nombre complexe|corps des complexes]] ℂ, on dira de {{math|i}} (ou de {{math|− i}}) qu'il est ''une'' racine carrée de {{math|− 1}}. Selon la nature de l'anneau et la valeur de {{math|''a''}}, on peut trouver 0, 1, 2 ou plus de 2 racines carrées de {{math|''a''}}.

La recherche de la racine carrée d'un nombre, ou extraction de la racine carrée, donne lieu à de nombreux algorithmes. La nature de la racine carrée d'un [[entier naturel]] qui n'est pas le carré d'un entier est à l'origine de la première prise de conscience de l'existence de [[nombre irrationnel|nombres irrationnels]]. La recherche de racines carrées pour des [[Nombre négatif|nombres négatifs]] a conduit à l'invention des [[nombre complexe|nombres complexes]].

== Histoire ==
{{Section vide ou incomplète}}{{Article détaillé|Histoire de la racine carrée}}
[[Fichier:Ybc7289-bw.jpg|thumb|Photographie de la tablette [[YBC 7289]] avec des annotations traduisant les nombres écrits dans le système babylonien (crédits : Bill Casselman).]]

La plus ancienne racine carrée connue apparaît vers 1700 {{av JC}} sur la tablette [[YBC 7289]]. Il s'agit de la représentation d'un [[carré]] avec, sur un côté, le nombre 30 et, le long de la diagonale, une [[valeur approchée]] de {{racine|2}}.

== Construction géométrique de la racine carrée ==
[[Fichier:construction racine carree.png|thumb|AO = 1, OB = a, OH = {{racine|''a''}}.]]
{{article détaillé|Théorème de la moyenne géométrique}}
La construction géométrique suivante se réalise à la [[règle (instrument de géométrie)|règle]] et au [[Compas (géométrie)|compas]] et permet, étant donné un [[Segment (mathématiques)|segment]] OB de longueur {{mvar|a}} et un segment de longueur 1, de construire un segment de longueur {{racine|''a''}} :
* construire le [[Segment (mathématiques)|segment]] [AB] de longueur {{math|1 + ''a''}} et contenant le point O avec AO = 1 ;
* construire le cercle {{mvar|c}} de [[diamètre]] [AB] ;
* construire la droite {{mvar|d}} perpendiculaire à (OB) et passant par O ;
* nommer H le point d’intersection du cercle {{mvar|c}} et de la droite {{mvar|d}}.
Le segment [OH] est de longueur {{racine|''a''}}.

La preuve consiste à [[Triangle rectangle#Hauteur|remarquer]] que les triangles OAH et OHB sont [[Triangles semblables|semblables]], d'où l'on déduit que {{math|''OH''{{2}} {{=}} ''AO'' × ''OB'' {{=}} ''a''}}, et donc {{math|''OH'' {{=}} {{racine|''a''}}}}.

Cette construction montre que la racine carrée d'un [[nombre constructible]] (par exemple un nombre rationnel positif) est encore un nombre constructible.

== Fonction réelle ==
{{Voir|Fonction puissance#Racines n-ièmes{{!}}Fonction racine ''n''-ième}}
[[Fichier:Mplwp sqrt.svg|thumb|upright=2|[[Représentation graphique d'une fonction mathématique|Représentation graphique]] de la fonction racine carrée.]]
L’application <math>x\mapsto x^2</math> est une [[bijection]] de ℝ{{ind|+}} sur ℝ{{ind|+}} dont la réciproque est notée <math>x\mapsto\sqrt x</math>. Cette fonction s’appelle la ''fonction racine carrée''. Géométriquement, on peut affirmer que la racine carrée de l’aire d’un [[carré]] du [[plan euclidien]] est la longueur de l'un de ses côtés.

La fonction racine carrée vérifie les propriétés élémentaires suivantes valables pour tous nombres réels positifs ''x'' et ''y'' :
:<math>\sqrt x=x^{\frac12}</math>

:<math>\sqrt{x\times y}=\sqrt x\times\sqrt y</math>
:<math>\sqrt{\frac xy}=\frac{\sqrt x}{\sqrt y}</math> (sous la condition {{math|''y'' > 0}})
:<math>\sqrt{x^2}=|x|</math>.

* Elle est strictement [[Fonction croissante|croissante]], comme réciproque d'une bijection croissante sur ℝ{{ind|+}}.
* Elle est [[condition de Hölder|{{sfrac|1|2}}-höldérienne]]<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Fonction racine carrée|« Fonction racine carrée »|début=Pour une preuve élémentaire, voir par exemple}}.</ref> donc [[Continuité uniforme|uniformément continue]].
* Elle est [[dérivée|dérivable]] en tout réel strictement positif {{mvar|x}}, mais elle n’est pas dérivable en {{math|''x'' {{=}} 0}}. En ce point, la courbe représentative admet une demi-[[tangente (géométrie)|tangente]] verticale. Sa [[Dérivée|fonction dérivée]] est donnée par :
*:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sqrt{x}={1 \over 2\sqrt{x}}</math><ref>{{Note autre projet|wikiversité|Fonction dérivée/Dérivées usuelles#Fonction racine carrée|chapitre « Dérivées usuelles » de la leçon « Fonction dérivée »|début=Pour une démonstration, voir par exemple le}}.</ref>.
* Elle est de [[classe de régularité|classe]] {{math|''C''{{exp|∞}}}} sur ℝ{{ind|+}}* :{{retrait|<math>\forall n\in\N\quad\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\sqrt{x}={(-1)}^{n+1} {(2n)! \over n! 2^{2n}(2n-1)}\frac1{x^{n-1/2}}.</math>}}
* Son développement en [[série de Taylor]] au point 1 est donc, pour tout réel {{math|''h''}} tel que |{{math|''h''}}| ≤ 1 :<center><math>\sqrt{1 - h} =1 - \sum_{n=1}^\infty a_n h^n\text{ avec }a_n ={(2n)! \over (n!)^22^{2n}(2n-1)}>0,</math></center>avec [[convergence normale]] sur [–1, 1] (voir le [[Racine d'un nombre#Développement en série entière|§ « Développement en série entière » de l'article « Racine d'un nombre »]]). Les coefficients s'expriment comme quotients de [[Nombre de Catalan|nombres de Catalan]] par des [[Puissance de deux|puissances de 2]] :<center><math>a_n=\frac{C_{n-1}}{2^{2n-1}}.</math></center>Les premières valeurs sont{{retrait|<math>a_1=\frac12, a_2=\frac18, a_3=\frac1{16}, a_4=\frac5{128}.</math>}}

== Extraction de racines carrées ==
{{loupe|Extraction de racine carrée}}
Le calcul de la racine carré d'un nombre positif n'est pas toujours évident, notamment pour de grands nombres. Ainsi, plusieurs algorithmes ont été développés au cours de l'histoire afin d'obtenir ce nombre. Parmi les méthodes d'extraction de racine carrée, on peut citer notamment la [[méthode de Héron]], qui est une méthode historique qui peut être vue d'un point de vue moderne comme un cas particulier de la [[méthode de Newton]]. D'autres méthodes sont basées sur des [[Théorème des suites adjacentes|suites adjacentes]], sur des [[fraction continue|fractions continues]] ou sur un principe de dichotomie.

== Racines carrées particulières ==
=== Nombre d'or ===
{{Voir|Radical imbriqué}}
Si ''p'' est un [[nombre réel]] strictement positif,
:<math>\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\cdots}}}} = \frac{1+\sqrt{4p+1}}2</math>.
Pour ''p'' = 1, on obtient le [[nombre d'or]] : 
:<math>\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}</math>.

=== Nombres [[Entier naturel|entiers]] supérieurs à 1 sous forme de racines carrées ===
{{Voir|Radical imbriqué#Radicaux infinis de Ramanujan{{!}}Radicaux infinis de Ramanujan}}
[[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]] a découvert les formules suivantes :
:<math>\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\dots}}}=3</math> et <math>\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+\dots}}}=4</math>.

Ces formules se généralisent, ce qui donne en particulier, pour tout ''[[Nombre réel|réel]]'' <math>n\ge0</math> :
:<math>n+2=\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt\dots}}}</math> et <math>n+3=\sqrt{n+5+(n+1)\sqrt{n+6+(n+2)\sqrt{n+7+\dots}}}</math>.

=== [[Pi]] ===
Le nombre [[Pi|π]] s’exprime sous la forme d’une [[itération]] infinie de racines carrées :
:<math>\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt2}}}}} \right )</math> , où ''k'' est le nombre de racines carrées emboitées
Ou encore :
:<math>\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt3}}}}}} \right )</math>
(formules qui se démontrent par calcul trigonométrique direct : le terme de droite de la première, par exemple, vaut <math>2^k\sin(\pi/2^k)</math>).

== Notion algébrique générale ==
=== Définition algébrique d'une racine carrée ===
Soient {{mvar|x}} et {{mvar|a}} deux éléments d’un [[anneau unitaire|anneau]] {{mvar|A}}, tels que {{math|''x''{{2}} {{=}} ''a''}}. L'élément {{mvar|x}} est alors une racine carrée de {{mvar|a}}. La notation {{racine|''a''}} est néanmoins souvent déconseillée car il peut exister plusieurs tels éléments {{mvar|x}}.

En général (si l'anneau n'est pas [[anneau intègre|intègre]] ou s'il n'est pas commutatif), un élément peut avoir plus de deux racines carrées. Par exemple dans l'[[anneau ℤ/nℤ|anneau ℤ/9ℤ]]<!-- (commutatif mais non intègre)-->, les racines carrées de {{surligner|0}} sont {{surligner|0}}, {{surligner|3}} et –{{surligner|3}}, et dans le [[corps gauche]] des [[quaternion]]s, tout réel strictement négatif possède une infinité de racines carrées.

Dans le cas des nombres réels, un auteur parlant d''''une''' racine carrée de 2, traite d'un des deux éléments {{racine|2}} ou bien –{{racine|2}}. En revanche, l'expression '''la''' racine carrée de deux évoque toujours la solution positive. Comme l'expression {{racine|2}} est toujours positive et le terme ''fonction racine'' définie sur les réels positifs désigne toujours la valeur positive, on évite cette confusion dans les enseignements un peu élémentaires des mathématiques en ne faisant usage que de l'expression : '''la''' racine carrée, alors toujours positive.

=== Racines carrées de nombres complexes ===
{{article connexe|Racine d'un nombre complexe}}
La racine carrée sur ℝ est définie seulement pour les nombres positifs. Dans la résolution effective des [[Équation polynomiale|équations polynomiales]], l’introduction d’une racine carrée formelle d’un nombre négatif dans les calculs intermédiaires donne des résultats exacts. C’est ainsi que le corps des [[nombre complexe|nombres complexes]] a été introduit<ref>Dans la résolution de l'[[équation cubique|équation du troisième degré]], la [[méthode de Cardan]] s'applique formellement et donne des résultats réels, si l'on accepte d'introduire dans certains cas des racines carrées « imaginaires » de réels négatifs. Pour plus de détails, voir [[Nombre complexe#Historique|histoire des nombres complexes]], et aussi la [[équation cubique#Raphaël Bombelli|description des résultats de Bombelli]].</ref>
{{énoncé|2=Pour tout nombre complexe non nul {{math|1=''z = a'' + i''b''}} (avec {{mvar|a}} et {{mvar|b}} réels), il existe exactement deux nombres complexes {{mvar|w}} tels que {{math|1=''w''{{2}} = ''z''}}. Ils sont opposés l'un de l'autre.
* Si {{mvar|b}} est non nul, ils sont donnés par :
*:<math>w=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}2}+ \mathrm i\ \operatorname{signe}(b)\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}2}\right)</math>,<br>avec <math>\operatorname{signe}(b)=\frac b{|b|}</math>.
* Si {{mvar|b}} est nul et {{mvar|a}} est négatif, cette formule se simplifie en :
*:<math>w=\pm\mathrm i\sqrt{|a|}</math>.
* Par ailleurs, si {{mvar|z}} n'est pas un réel négatif ({{c.-à-d.}} si {{mvar|b}} est non nul ou si {{mvar|a}} est positif),
*:<math>w=\pm\frac{z+|z|}{\sqrt{2(a+|z|)}}</math>.
}}

{{démonstration|titre=Méthode de calcul des racines carrées {{mvar|w}} d'un nombre complexe {{math|''z'' {{=}} ''a'' + i''b''}}|contenu=
Pour trouver {{math|''w'' {{=}} ''x'' + i''y''}} tel que {{math|''w''{{2}} {{=}} ''a'' + i''b''}}, on pose le système suivant :
:<math>\begin{cases}w^2=z\\|w|^2=|z|\end{cases}</math>
:<math>\begin{cases}(x+\mathrm iy)^2=a+\mathrm ib\\x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}\end{cases}</math>
:<math>\begin{cases}x^2-y^2+\mathrm i2xy=a+\mathrm ib\\x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}\end{cases}</math>
Par identification de la partie réelle et imaginaire, on obtient :
:<math>\begin{cases}x^2-y^2=a\\2xy=b\\x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}.\end{cases}</math>
On en déduit alors {{math|''x''{{2}}}} et {{math|''y''{{2}}}} en ajoutant et soustrayant les première et troisième équations. Le signe du produit {{mvar|xy}} est celui de {{mvar|b}}, d'où la première expression des deux couples de solutions pour {{mvar|x}} et {{mvar|y}}.

Mais une manière moins traditionnelle de résoudre ce système est de faire dans un premier temps seulement la somme (des première et troisième équations) :
:<math>2x=\pm{\sqrt{2(a+|z|)}}</math>,
ce qui, si ''z'' n'est pas un réel négatif, mène à la dernière formule.
}}

{{Exemple|1=[[Image:Imaginary2Root.svg|thumb]]
Les deux racines carrées de [[Unité imaginaire|{{math|i}}]] sont
:{{sfrac|1 + i|[[Racine carrée de deux|{{sqrt|2}}]]}} = <math>\mathrm e^\frac{\mathrm i\pi}4=\cos\frac\pi4+\mathrm i\sin\frac\pi4</math> ≈<ref>Suite {{OEIS2C|A010503}} de l'[[OEIS]].</ref> {{math|0,707 + 0,707 i}}
et son opposé.
{{clr}}
}}

Pour des raisons de nature topologique, il est impossible<ref>Cependant, on trouvera à l'article « [[Surface de Riemann]] » une façon de contourner cette difficulté.</ref> de prolonger la fonction racine carrée, de ℝ{{ind|+}} dans ℝ{{ind|+}}, en une fonction continue <math>f:\Complex\rightarrow\Complex</math> vérifiant {{math|''f''(''z''){{2}} {{=}} ''z''}}.

On appelle ''[[Détermination d'une fonction multivaluée|détermination]]'' de la racine carrée sur un ouvert ''U'' de ℂ toute fonction continue <math>f:U\rightarrow\Complex</math> vérifiant <math>f(z)^2=z</math>.

La [[Détermination d'une fonction multivaluée|détermination principale]] de la racine carrée est la fonction de ℂ dans ℂ ainsi définie :
si {{mvar|z}} s’écrit sous forme trigonométrique {{math|''z'' {{=}} ''r'' e{{exp|i ''φ''}}}} avec {{math|–π < ''φ'' ≤ π}}, alors on pose {{math|''f''(''z'') {{=}} {{racine|''r''}} e{{exp|i ''φ''/2}}}}. Cette détermination principale n’est continue en aucun point de la [[demi-droite]] des réels strictement négatifs, et est holomorphe sur son complémentaire.

Quand le nombre est dans sa forme algébrique {{math|''z'' {{=}} ''a'' + i''b''}}, cette définition se traduit par :
:<math>f(a+\mathrm{i}b)=\sqrt{\frac{\left|a+\mathrm{i}b\right|+a}2}\pm\mathrm{i}\sqrt{\frac{\left|a+\mathrm{i}b\right|-a}2}</math>
où le signe de la partie imaginaire de la racine est
* si {{math|''b'' ≠ 0}} : le signe de {{mvar|b}}
* si {{math|''b'' {{=}} 0}} et {{math|''a'' < 0}} : le signe +
* si {{math|''b'' {{=}} 0}} et {{math|''a'' ≥ 0}} : pas de signe (le nombre est nul).

Notons qu’à cause de la nature discontinue de la détermination principale de la racine carrée dans le plan complexe, la relation <math>\sqrt{zz'} = \sqrt{z}\sqrt{z'}</math> devient '''fausse''' en général.

=== Racines carrées de matrices et d’opérateurs ===
{{Article détaillé|Racine carrée d'une matrice}}

Si ''A'' est une [[matrice autoadjointe positive]] ou un [[Endomorphisme autoadjoint|opérateur autoadjoint]] positif en dimension finie, alors il existe exactement une matrice autoadjointe positive ou un opérateur autoadjoint positif ''B'' tel que ''B''{{2}} = ''A''. On pose alors : {{racine|''A''}} = ''B''.

Plus généralement, pour toute [[matrice normale]] ou tout opérateur normal en dimension finie ''A'', il existe des opérateurs normaux ''B'' tels que ''B''{{2}} = ''A''. Cette propriété se généralise à tout [[opérateur borné]] normal sur un [[espace de Hilbert]].

En général, il y a plusieurs tels opérateurs ''B'' pour chaque ''A'' et la fonction racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d’une façon satisfaisante (continue par exemple). Les opérateurs positifs sont apparentés à des nombres réels positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés à des nombres complexes. Les articles sur la théorie des [[opérateur (mathématiques)|opérateurs]] développent davantage ces aspects.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Square root|755244|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Racine carrée|Racine carrée}}
{{Autres projets|v=Étude et tracé d'une fonction/Annexe/Fonction racine carrée|wikiversity titre=Fonction racine carrée}}

=== Articles connexes ===
{{colonnes|taille=20|
* [[Équation du second degré]]
* [[Racine carrée de deux]]
* [[Racine carrée de trois]]
* [[Racine carrée de cinq]]
* [[Racine cubique]]
* [[Racine d'un nombre complexe]]
* [[Racine n-ième]]
* [[Nombre d'or|Nombre d’or]]
* [[Nombre irrationnel]]
* [[Nombre algébrique]]
* [[Nombre réel]]
* [[Nombre complexe]]
* [[Fonction exponentielle]]
* [[Résidu quadratique]]
}}

=== Lien externe ===
{{en}} [http://oeis.org/search?q=square+root Suites concernant la racine carrée] dans l'[[encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers]] (entre autres : développements décimaux des racines carrées des entiers de 2 à 99)

=== Bibliographie ===
* {{en}} [[David Eugene Smith]], ''History of Mathematics'', [https://books.google.fr/books?id=uTytJGnTf1kC vol. 2]
* {{en}} George Gheverghese Joseph, ''The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics'', {{2e}} éd., [[Penguin Books]], London, 2000 {{ISBN|0-691-00659-8}} {{commentaire biblio|1=[https://books.google.fr/books?id=c-xT0KNJp0cC&dq=isbn:9780691135267 {{3e}} éd. augmentée] : [[Princeton University Press]], 2010 {{ISBN|978-0-691-13526-7}}}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=P A J Lewis|titre=Essential Mathematics|éditeur=Ratna-Sagar|année=2008|pages totales=440|isbn=978-81-8332-367-3|lire en ligne={{Google Livres|KjMVx6ljh6YC|page=24}}|numéro chapitre=3|titre chapitre=Irrational numbers}} (ce chapitre, malgré son titre, porte sur les racines carrées)
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=A V Vijaya|titre=Figuring Out Mathematics|éditeur=[[Dorling Kindersley]]|année=2007|passage=15|isbn=978-81-317-0359-5|lire en ligne={{Google Livres|xAwukpHCqH0C|page=15}}}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Racine carrée|*]]
[[Catégorie:Fonction de référence|Racine carree]]