Voir la source de Racine carrée de deux

{{En-tête label|BA|année=2007}}
{{Redirect confusion|Constante de Pythagore|Nombre de Pythagore|Nombre premier de Pythagore}}
La '''racine carrée de deux''', notée <math>\sqrt{2}</math> (ou parfois <math>2^{1/2}</math>), est le seul [[nombre réel]] [[Nombre positif|positif]] qui, lorsqu’il est multiplié par lui-même, donne le nombre [[2 (nombre)|2]], autrement dit <math>\sqrt 2 \times \sqrt 2 = 2</math>. C’est un [[nombre irrationnel]], dont une [[valeur approchée]] à {{Unité||e=-9}} près est :
: <math>\sqrt 2 \approx 1,414\ 213\ 562 </math>.

[[Fichier:Square root of 2 triangle.svg|vignette|L’[[hypoténuse]] d’un [[triangle rectangle]] isocèle de côté 1 vaut <math>\sqrt 2</math>.]]
Le calcul d’une valeur approchée de <math>\sqrt 2</math> a été un problème mathématique pendant des siècles. Ces recherches ont permis de perfectionner les [[Algorithmique|algorithmes]] de calculs d’extraction de [[Racine carrée|racines carrées]]. En informatique, ces recherches se sont poursuivies afin d’optimiser ces algorithmes en réduisant les [[temps de calcul]] et la consommation de [[Mémoire (informatique)|mémoire]].

Géométriquement, <math>\sqrt 2</math> est le rapport de la [[diagonale]] d'un [[carré]] sur son côté, c'est-à-dire le rapport de l’[[hypoténuse]] d’un [[triangle rectangle]] isocèle sur l'un des côtés de l'angle droit, ce qui est un cas particulier du [[théorème de Pythagore]].

Le nombre <math>\sqrt 2</math> est connu depuis longtemps : en [[Mathématiques mésopotamiennes|Mésopotamie]], les [[scribe]]s savaient déjà en calculer une valeur approchée très précise, dans le premier tiers du [[IIe millénaire av. J.-C.|second millénaire avant notre ère]]. Vraisemblablement vers le {{-s-|V}}, les [[Mathématiques grecques|mathématiciens grecs]] ont montré que la diagonale d'un carré et son côté étaient [[commensurabilité (mathématiques)|incommensurables]], ce qui revient à dire que <math>\sqrt 2</math> est un [[nombre irrationnel|irrationnel]]. L'étude de l'incommensurabilité a joué un rôle important dans le développement des mathématiques grecques. Pour les Grecs, ni les fractions, ni les irrationnels ne sont des nombres. Ce pas est franchi par les [[Mathématiques arabes|mathématiciens arabes]] à l'origine de l'[[algèbre]].

Ce nombre intervient dans des applications de la vie courante :
* les feuilles de papier au [[Format de papier#Norme internationale : formats A, B et C|format international]] ([[ISO 216]]) ont une [[Notion de module|proportion]] longueur/largeur approchée à <math>\sqrt 2</math> ;
* en [[musique]], le rapport des fréquences de la [[Quarte (musique)|quarte]] augmentée de la [[gamme tempérée]] vaut <math>\sqrt 2</math> ;
* en [[électricité]], la [[tension électrique|tension]] maximale du [[courant alternatif]] [[monophasé]] domestique vaut <math>\sqrt 2</math> fois la [[tension efficace]] indiquée (généralement 110 ou {{nombre|230|[[Volt|V]]}}) ;
* en photographie, la suite des valeurs d’[[Ouverture (photographie)|ouverture]] du [[Diaphragme (optique)|diaphragme]] sont les valeurs approchées d’une [[suite géométrique]] de [[Raison d'une suite|raison]] <math>\sqrt 2</math>.

== Dénomination ==
[[Image:Structure of a root.svg|vignette|droite| Légende : 1. Indice ; 2. Radical ; 3. Radicande]]
L’expression « [[racine carrée]] » est issue de la notation géométrique européenne qui prévalait avant la notation [[algèbre|algébrique]], et plus particulièrement de l’une des constructions de <math>\sqrt 2</math> qui sera présentée à la [[#Histoire|section consacrée à l'historique]] ; en effet, les problèmes mathématiques ont souvent été présentés sous forme géométrique avant d’être ramenés à des expressions algébriques.

Le nombre 2 ayant exactement deux [[Racine carrée#Définition algébrique d'une racine carrée|racines carrées réelles]], <math>\sqrt 2</math> et <math>-\sqrt 2</math>, <math>\sqrt 2</math> pourrait se lire ''racine carrée positive de 2'', ou [[Détermination d'une fonction multivaluée#Racine carrée complexe|racine carrée principale]] de 2. On le prononce simplement ''racine carrée de 2'', voire ''racine de 2'' pour simplifier. Une autre expression correcte, faisant référence au symbole <math>\sqrt{\quad } </math>, est « radical de deux », mais elle est peu courante.

On trouve parfois <math>\sqrt 2</math> appelé '''constante de Pythagore''', peut-être à cause d'une légende attribuant la découverte de l'irrationalité de <math>\sqrt 2</math> à l'[[école pythagoricienne]]<ref>Voir {{MathWorld|nom_url=PythagorassConstant|titre=Pythagoras’s Constant}}.</ref>.

Le symbole a été vu pour la première fois en version imprimée sans la barre horizontale au-dessus des nombres à l’intérieur de la racine en 1525 dans ''Die Coss'' de [[Christoff Rudolff]], un mathématicien allemand.

== {{racine|2}} dans la vie courante ==
=== Format de papier ===
 {{article détaillé|format de papier}}
[[Fichier:A size illustration.svg|vignette|Le rapport longueur/largeur d’une feuille de format A est une bonne approximation de <math>\sqrt 2</math>.]]
Les formats de papier A, B et C de la norme [[ISO 216]], d’emploi courant hors de l’[[Amérique du Nord]], ont été conçus pour vérifier une propriété remarquable : une feuille coupée en deux parties égales par la largeur, produit deux feuilles [[similitude (géométrie)|semblables]] à l’original ; c’est-à-dire avec le même rapport longueur/largeur. L’aire étant diminuée d’un facteur 2, ceci n’est possible que si ce rapport vaut <math>\sqrt 2</math> ; dans la pratique, les dimensions sont arrondies<ref>On peut cependant remarquer que pour le format A4, et si le petit côté vaut exactement 21 cm, le grand côté (29,7 cm) ne diffère de 21 {{racine|2}} cm que de 15 [[micron]]s.</ref>.

Ci-dessous sont données les valeurs approximatives des formats A0 à A5 en fonction de <math>\sqrt 2</math>.
::{| class="wikitable centre"
|+ ''Valeurs approximatives des dimensions des formats A0 à A5 exprimées en fonction de <math>\sqrt 2</math>. Dans la pratique, les dimensions sont arrondies.''
|-
! scope="col"| format !! scope="col"| longueur (m) !! scope="col"| largeur (m) !! scope="col"| aire (m{{exp|2}})
|-
| A0 || <math>\sqrt{\sqrt{2}}</math>|| <math>\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt 2}</math>|| <math>1</math>
|-
| A1 || <math>\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt 2}</math>|| <math>\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}}}{ 2}</math>|| <math>\dfrac 1 2</math>
|-
| A2 || <math>\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}}}{ 2}</math>|| <math>\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}}}{ 2\sqrt 2}</math>|| <math>\dfrac 1 4</math>
|-
| A3 || <math>\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}}}{ 2\sqrt 2}</math>|| <math>\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}}}{ 4}</math>|| <math>\dfrac 1 8</math>
|-
| A4 || <math>\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}}}{ 4}</math>|| <math>\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}}}{ 4\sqrt{2}}</math>|| <math>\dfrac{1}{16}</math>
|}
Les séries B et C diffèrent de la série A respectivement d’un facteur <math display=inline>\sqrt{\sqrt{2}}</math> (<math>\sim 1,19</math>) et <math display=inline>\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}</math> (<math>\sim 1,09</math>).

Les facteurs d’agrandissement de <math>200\%, 141\%, 71\%, 50\% </math> proposés par les [[photocopieuse]]s sont des approximations de <math>(\sqrt 2)^n</math> qui permettent le passage à des formats de papier supérieurs ou inférieurs — que ce soit physiquement ou par impression de <math>2^n</math> pages par feuille.

En mathématiques, on note plus volontiers <math display=inline>\sqrt{\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2} = 2^{1/4}</math> et <math display=inline>\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} = \sqrt[8]{2} = 2^{1/8}</math>.

=== Musique ===
{{article détaillé|gamme tempérée}}
La gamme du tempérament égal se construit ainsi : le rapport de [[fréquence]]s entre les notes extrêmes de l’[[octave (musique)|octave]] est 2 ; et la gamme est divisée en douze demi-tons de rapports de fréquence égaux <math>f</math>. Le rapport de fréquences entre la note la plus haute et la plus basse est donc <math>f^{12}</math>, qui vaut, comme indiqué précédemment, 2. Le [[demi-ton]] a ainsi un rapport <math>f=2^{1/12}</math>.
::{| class="wikitable"
|+ ''Rapports de fréquences des notes de la gamme tempérée par rapport à la note la plus basse.''
|-
|style="width: 3em"| ''do''
|style="width: 3em"| ''do''♯
|style="width: 3em"| ''ré''
|style="width: 3em"| ''ré''♯
|style="width: 3em"| ''mi''
|style="width: 3em"| ''fa''
|style="width: 3em"| ''fa''♯
|style="width: 3em"| ''sol''
|style="width: 3em"| ''sol''♯
|style="width: 3em"| ''la''
|style="width: 3em"| ''la''♯
|style="width: 3em"| ''si''
|style="width: 3em"| ''do''
|-
|<math>1</math>
|<math>2^{1/12}  </math>
|<math>2^{1/6}  </math>
|<math>2^{1/4}  </math>
|<math>2^{1/3}  </math>
|<math>2^{5/12}  </math>
|<math> \sqrt 2  </math>
|<math>2^{7/12}  </math>
|<math>2^{2/3}   </math>
|<math>2^{3/4}  </math>
|<math>2^{5/6}  </math>
|<math>2^{11/12}   </math>
|<math>2 </math>
|}
Dans ce système, la [[quarte (musique)|quarte]] augmentée (''do''–''fa''♯) et la [[quinte]] diminuée (do-sol♭) sont égales et valent six demi-tons ; elles ont un rapport de fréquences de <math>\sqrt 2</math>. Le [[chant grégorien]] utilise cet intervalle, le [[triton (musique)|triton]], mais à la fin du [[Moyen Âge]] celui-ci est systématiquement évité car jugé trop dissonant. Il reçoit alors le surnom de « {{langue|la|''Diabolus in Musica''}}».

=== Électricité ===
[[Fichier:sin.svg|vignette|Tension sinusoïdale : valeur efficace.]]

{{article détaillé|tension efficace}}

En [[électricité]], la [[tension efficace]] {{math|U<sub>eff</sub>}} d’un [[courant alternatif]] [[Signal sinusoïdal|sinusoïdal]] [[monophasé]] — par exemple les {{nombre|110|V}} ou {{nombre|220|V}} du courant domestique — est reliée à l’amplitude de la tension <math>\mathrm{U_{\text{max}}}</math> par
:<math>\mathrm{U}_\max = \mathrm{U}_\mathrm{eff}\sqrt{2}</math>, noté aussi <math>\widehat{\mathrm{U}} = \mathrm{U}\sqrt{2}</math>,
soit, dans la plupart des applications courantes :
:<math> \mathrm{U}_\mathrm{eff} = 0,7\, \mathrm{U}_\max\sqrt{2}.</math>

Cela est valable plus généralement pour la valeur efficace des grandeurs linéaires d’une [[onde]] sinusoïdale.
On remarquera aussi que
:<math>20 \log (\mathrm{U}/\sqrt{2}) = 20 \log \mathrm{U} - 20 \log\sqrt{2} = 20 \log \mathrm{U} - \log(\sqrt{2}^{20}) = 20 \log \mathrm{U} - \log(2^{10}) = 20 \log \mathrm{U} - \log(1024) \simeq  20 \log \mathrm{U} - 3.</math>
On parle de [[bande passante]] à {{nombre|-3|décibels}}.

{{clr}}

=== Photographie ===
[[Fichier:Jdd diaphragme photo.jpg|vignette|Diaphragme contrôlant l’ouverture d’un appareil photo.]]
{{article détaillé|Ouverture (photographie)}}
Les [[ouverture (photographie)|ouvertures]] des [[appareil photographique|appareils photographiques]] suivent la séquence normalisée <math>\dfrac{f}{1{,}4}\, ;\dfrac{f}{2}\,;\dfrac{f}{2{,}8}\,;\dfrac{f}{4}\,;\dfrac{f}{5{,}6}\,;\dfrac{f}{8} \,;\dfrac{f}{11}\,;\dfrac{f}{16}\,;\dfrac{f}{22}\,;\dfrac{f}{32}\,; \text{etc}  </math>. Le rapport entre deux ouvertures consécutives est une valeur proche de <math>\sqrt 2</math>, qui a été choisie de sorte que le rapport de [[flux lumineux]] soit dans un rapport 2 (flux = diamètre{{2}}). En diminuant d’un « cran » l’ouverture on double le [[temps de pose]] nécessaire ou diminue d’un {{nobr|facteur 2}} la sensibilité de la [[pellicule photographique|pellicule]] requise<ref>{{Lien web|langue=en|url=http://www.uscoles.com/fstop.htm|titre=A Tedious Explanation of the f/stop|auteur=Matthew Cole|année=2005}}<!--(visité le 29 août 2006)-->.</ref>.

Dans la pratique, l’ouverture indiquée est un arrondi ; l’ouverture réelle peut coller au plus proche de <math>\sqrt 2</math><ref>{{Lien web|langue=en|url=http://tangentsoft.net/fcalc/help/|titre=ƒ/Calc Manual}}.</ref>. Il existe des subdivisions sur les appareils modernes, souvent dans des rapports <math>\sqrt{\sqrt{2}}</math> ou <math>\sqrt{2}^{1/3} </math>.

{{clr}}
::{| class="wikitable" style="text-align: center"
|+ ''Lien entre ouverture, diamètre du diaphragme et flux lumineux reçu à pose et sensibilités fixés.''
! style="text-align: left" | Ouverture
| <math>\dfrac{f}{1{,}4} </math>|| <math>\dfrac{f}{2} </math>|| <math>\dfrac{f}{2{,}8} </math>|| <math>\dfrac{f}{4} </math>|| <math>\dfrac{f}{5{,}6} </math>|| <math>\dfrac{f}{8} </math>|| <math>\dfrac{f}{11} </math>|| <math>\dfrac{f}{16} </math>|| <math>\dfrac{f}{22} </math>|| <math>\dfrac{f}{32} </math>
|-
! style="text-align: left" | Diamètre
| <math>d </math>|| <math>\dfrac{d}{\sqrt 2} </math>|| <math>\dfrac{d}{2} </math>|| <math>\dfrac{d}{2\sqrt 2} </math>|| <math>\dfrac{d}{4} </math>|| <math>\dfrac{d}{4\sqrt 2} </math>|| <math>\dfrac{d}{8} </math>|| <math>\dfrac{d}{8\sqrt 2}  </math>|| <math>\dfrac{d}{16} </math>|| <math>\dfrac{d}{16\sqrt 2} </math>
|-
! style="text-align: left" | Flux
| <math>I</math> || <math>\frac{I}{2}</math> || <math>\frac{I}{4}</math>|| <math>\frac{I}{8}</math> || <math>\frac{I}{16}</math> || <math>\frac{I}{32}</math> || <math>\frac{I}{64}</math> || <math>\frac{I}{128}</math> || <math>\frac{I}{256}</math> || <math>\frac{I}{512}</math>
|}

== Dupliquer un carré ==
[[Fichier:DoublingTheSquareV1.svg|vignette|gauche|Construction d'un carré d'aire 2.]]
La question de la duplication d'un carré correspond à la construction d'un carré d'aire double de celle d'un carré donné. On suppose que l'on dispose d'un carré d'aire 1 et l'on cherche à construire un carré d'aire 2. Par définition, le carré d'aire 1 possède un côté de longueur 1 et le carré d'aire 2 possède la même aire que celle de deux carrés d'aire 1.

Il existe deux méthodes simples pour s'en persuader. La plus directe consiste à étudier la figure de gauche<ref>Cette démonstration est proposée par Socrate dans Platon, ''Ménon'' 82.</ref>. Le carré de côté 1 est composé de deux triangles, celui de côté noté <math>\sqrt 2</math> est formé d'exactement quatre triangles du même type, il est donc d'aire double. Une autre manière de se rendre compte du rapport deux entre les aires des carrés de la figure est l'usage du [[théorème de Pythagore]]. Un triangle [[Triangle isocèle|isocèle]] [[triangle rectangle|rectangle]] de petit côté de longueur 1 possède une [[hypoténuse]] de carré égal à <math>1+1=2</math>. Cette hypoténuse est la diagonale d'un carré de côté de longueur 1.
[[Fichier:DoublingTheSquarev2.svg|vignette|Duplication du carré grâce au cercle|droite]]
L'aire d'un carré s'obtient par multiplication de la longueur du côté par lui-même. La longueur du côté du carré d'aire 2 multiplié par lui-même est donc égal à 2. Par définition de <math>\sqrt 2</math>, la longueur de ce côté est <math>\sqrt 2</math>.

Il est en outre possible, à l'aide d'un cercle, de dupliquer le carré sans en changer l'orientation. Dans la figure ci-contre le grand carré a une surface double du petit carré. Il suffit pour s'en convaincre de faire pivoter le petit carré d'un huitième de tour. Le rapport des côtés des deux carrés est donc de <math>\sqrt 2</math>. La figure de gauche illustrera, pour les mathématiciens futurs la présence de la racine carrée de deux dans le sinus et le cosinus du huitième de tour.
:<math>\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}</math>

Plus tard, ce tracé séduit de nombreux architectes comme [[Andrea Palladio]] dans sa [[Villa Rotonda]] ou dans l’''Église ronde'' de [[Preslav]]. On le retrouve dans le cloître de la [[cathédrale de Cahors]] où la surface de la cour intérieure est égale à la surface de la galerie qui l'entoure<ref>Guillaume Reuiller, ''[http://www.palais-decouverte.fr/fileadmin/fichiers/infos_sciences/mathematiques/textes/formes_matematiques_revue/351_oct_2k7.pdf L'aire de RIEN]'', Palais de la découverte, mesure vérifiable sur un [http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http://www.mairie-cahors.fr/patrimoine/inventaire/imagcen/img06/ple/1_0560_P.jpg&title=plan%20de%201841 plan de 1841].</ref> ou dans les carnets de [[Villard de Honnecourt]]<ref>{{citation|Par ce moyen on fait un cloître, en donnant autant aux voies qu’au jardin}} in {{Article|auteur1=[[Dominique Raynaud]]|périodique=Arquitetura Revista|volume=1|année=2008|pages=15-32|url=http://halshs.archives-ouvertes.fr/docs/00/37/65/72/PDF/Scheme_operateur2-AR.pdf|titre=Le schème, opérateur de la conception architecturale}}, {{p.|23}}.</ref>.

== Preuves d'irrationalité ==
Il existe de nombreuses démonstrations<ref>{{Lien web|langue=en|url=http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml|titre=Square root of 2 is irrational|auteur=Alexander Bogomolny|site=[[Cut The Knot]]}} en recense 27.</ref> du fait que <math>\sqrt 2</math> est [[Nombre irrationnel|irrationnel]]. Plusieurs d'entre elles n'utilisent que des connaissances arithmétiques très minimales, d'autres se généralisent en remplaçant <math>\sqrt 2</math> par <math>\sqrt n</math> où l'[[entier naturel]] <math>n</math> n'est pas un [[carré parfait]] (voir l'article « [[Irrationnel quadratique]] »). Certaines sont des reformulations, avec les concepts et le langage mathématiques actuels, de preuves antiques ou supposées telles ({{cf.}} [[#Histoire|§ Histoire]]).

Elles procèdent souvent en utilisant simplement la [[Négation logique|définition de la négation]]{{Note|texte=Contrairement à ce qu’on lit souvent, il ne s’agit pas d’un véritable [[raisonnement par l’absurde]] ; se reporter à cet article pour une analyse soignée de la différence.}}, en supposant que <math>\sqrt 2</math> est, au contraire, [[Nombre rationnel|rationnel]], c'est-à-dire qu'il peut s'écrire sous la forme <math>\dfrac{p}{q}</math> pour certains [[Entier naturel|entiers]] <math>q>0</math> et <math>p</math>, puis en déduisant une contradiction de cette hypothèse <math>\sqrt 2 =\dfrac p q</math>, qui s'écrit aussi <math>p^2=2q^2</math>.

=== Par parité ===
Soit <math>p</math> [[Raisonnement par récurrence#Bon ordre|le plus petit entier]] strictement positif tel que <math>p^2</math> soit le double d'un carré, et soit <math>q</math> l'entier positif tel que <math>p^2=2q^2</math>. Alors, <math>p>q</math> (puisque <math>p^2>q^2</math>) et <math>p</math> est [[Parité (arithmétique)#Produit|pair (puisque son carré l'est)]]. En notant <math>p=2r</math> et en simplifiant par 2, l'équation se réécrit <math>q^2=2r^2</math>, avec <math>0<q<p</math>, ce qui contredit la minimalité dans le choix de <math>p</math>.

Une variante consiste à pratiquer une [[descente infinie]] à partir d'une (hypothétique) solution <math>p^2=2q^2</math> : on construit <math>r</math> comme ci-dessus, puis <math>s,t</math>{{etc.}} tels que <math>p^2=2q^2</math>, <math>q^2=2r^2</math>, <math>r^2=2s^2</math>, … et <math>p>q>r>s>\ldots</math>, ce qui est absurde puisqu'il n'existe pas de [[Suite (mathématiques)|suite infinie]] [[Suite monotone|strictement décroissante]] d'entiers positifs.

=== Par soustractions réciproques ===
Soient à nouveau <math>p</math> et <math>q</math> entiers strictement supérieurs à <math>0</math> tels que <math>\dfrac{p}{q }=\sqrt 2</math> avec <math>pq</math> le plus petit possible ou, ce qui revient au même, <math>q</math> le plus petit possible. On déduit de <math>p^2=2q^2</math> que <math>p(p-q)=p^2-pq=2q^2-pq=(2q-p)q</math>, d'où en posant<ref>{{harvsp|Gardner|2001|p=16}}. A. Bogomolny, sur ''Cut The Knot'' (Proof 8), signale également la note, dès l'édition de 1920, de {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Edmund Taylor Whittaker|E. T. Whittaker]]|auteur2=[[George Neville Watson|G. N. Watson]]|titre=A Course of Modern Analysis|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=1996|pages totales=608|passage=5|isbn=978-0-521-58807-2|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=ULVdGZmi9VcC&pg=PA5}}.</ref>
:<math>r=p-q</math> et <math>s=2q-p</math> :
<math>\dfrac{p}{q}=\dfrac{s}{r}</math>, ce qui contredit la minimalité de <math>q</math>, puisque <math>0<r<q</math>.

En résumé : soit <math>q</math> le plus petit entier strictement supérieur à <math>0</math> tel que <math>q\sqrt 2</math> est entier, alors <math>q\sqrt 2-q</math> est encore un tel entier qui est strictement inférieur à <math>q</math>, d'où une contradiction<ref>{{harvsp|Gardner|2001|p=18}}, présente cette reformulation pour la variante 2''r''/''s'' (égale à 2/{{racine|2}} = {{racine|2}} et dont le dénominateur ''s'' vérifie ''r'' < ''s'' < ''q'').</ref>.

(On peut, comme précédemment, transformer ce raisonnement en une descente infinie.)

=== Par un argument géométrique ===
[[Fichier:Sqrt2 is irrational.svg|vignette|Si le triangle <math>ABC</math> est isocèle rectangle avec ses côtés de longueurs entières, alors c'est aussi le cas du triangle <math>A'B'C</math>, qui est de dimensions plus petites.]]
Démontrer l'irrationalité de <math>\sqrt 2</math> revient à démontrer que, pour une unité donnée, il n'existe pas de [[triangle isocèle rectangle]] dont les côtés sont chacun de longueur un nombre entier d'unité.

Si un tel triangle existe, alors il en existe nécessairement un plus petit dont les côtés sont aussi de longueur entière (sa construction est donnée sur le dessin ci-contre et détaillée ci-dessous). Or si un tel triangle existe, il en existe nécessairement un minimal ayant cette propriété (celui dont le côté de l'angle droit, par exemple, est [[élément minimal|minimal]]) d'où une contradiction.

Soit <math>ABC</math> un triangle isocèle rectangle en <math>B</math> et de côtés entiers. Alors, le [[cercle]] centré en <math>A</math> de rayon la longueur du petit côté <math>AB</math> coupe l'hypoténuse <math>[AC]</math> en un point <math>B'</math> tel que <math>B'C</math> soit encore de longueur entière, puisque <math>AC</math> et <math>AB'</math> le sont. La perpendiculaire menée en <math>B'</math> à l'hypoténuse <math>[AC]</math> coupe le côté <math>[BC]</math> en <math>A'</math>. Le triangle <math>A'B'C</math> est isocèle rectangle en <math>B'</math>, puisque l'angle en <math>B</math> est droit et l'angle en <math>C</math> est celui du triangle d'origine. Les droites <math>(A'B)</math> et <math>(A'B')</math> sont les tangentes issues de <math>A'</math> au cercle de centre <math>A</math> et de rayon <math>AB = AB' </math>, et donc <math>A'B = A'B' </math>, donc <math>A'B = A'B' = B'C</math>, et <math>A'C</math> est de longueur entière<ref>Cette démonstration, reprise de {{harvsp|Apostol|2000}}, est inspirée selon lui d'une preuve géométrique de l'époque grecque classique. On la trouve sous une forme proche dans un manuel russe de géométrie dû à A. P. Kiselev dans de 1892 et très utilisé selon [http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml Alexander Bogomolny - Cut the Knot]. Une variante est donnée dans {{harvsp|Gardner|2001|p=12}}.</ref>. On peut aussi interpréter la construction comme le pliage du triangle <math>ABC</math> dans lequel on ramène le côté <math>[AB]</math> sur l'hypoténuse<ref>La démonstration par pliage, menée en partant d'un carré est proposée par {{Ouvrage|auteur1=J. H. Conway|auteur2=R. K. Guy|titre=The Book of Numbers|éditeur=Copernicus|année=1996}} {{p.|183-184}}.</ref>.

On peut, en explicitant les calculs des côtés du triangle, donner une version purement arithmétique de cette preuve qui est alors celle du paragraphe précédent (prendre <math>p = AC</math> et <math>q = AB = BC</math>).

=== Par le lemme de Gauss ===
{{article détaillé|Lemme d'Euclide}}
Soit <math>q</math> [[Minimum|le plus petit]] entier strictement supérieur à <math>0</math> tel que le nombre <math>p:= q\sqrt 2</math> soit entier, alors <math>q</math> est [[premier avec]] <math>p</math>, or il divise <math>p^2</math>. Il est donc égal à 1, et <math>p^2 = 2</math>, ce qui est impossible. C'est, particularisé à 2, un argument général qui montre que la racine carrée d'un entier qui n'est pas un [[carré parfait]] est irrationnelle.

=== Par le théorème fondamental de l'arithmétique ===
{{article détaillé|Théorème fondamental de l'arithmétique}}
Le couple <math>(p, q)</math> tel que <math>p^2 = 2q^2</math> étant cette fois arbitraire (i.e. <math>q</math> non nécessairement minimum), la contradiction vient de ce que dans la [[décomposition en produit de facteurs premiers]], <math>p^2</math> a un nombre pair de facteurs et <math>2q^2</math> un nombre impair. Une variante est de compter seulement les facteurs égaux à 2. Cet argument, là encore, s'adapte immédiatement à la racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré parfait.

=== Par les congruences ===
{{article détaillé|Congruence sur les entiers}}
Avec <math>p</math> et <math>q</math> premiers entre eux comme plus haut, donc non tous deux [[divisible]]s par <math>3</math>, <math>p^2 - 2q^2 </math> ne peut pas être nul puisque<ref name="CtK14'">{{lien web |lang=en |auteur=A. Bogomolny |titre=Square root of 2 is irrational |url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml |site=Cut The Knot}} Proof 14'.</ref> modulo <math>3</math>, il est congru à <math>0^2 - 2 \times  (\pm 1)^2</math> ou <math>(\pm 1)^2 - 2 \times  0^2</math> ou <math>(\pm1)^2-2\times (\pm 1)^2</math>, c'est-à-dire à <math>\pm 1</math>. (En utilisant la notion d'[[inverse modulaire]], on peut, dans cette méthode, remplacer<ref name="CtK14'"/> <math>3</math> par n'importe quel [[nombre premier]] <math>P</math> tel que 2 n'est pas un [[Résidu quadratique|carré modulo]] <math>P</math>, [[Symbole de Legendre|{{càd}} ''P'' congru à 3 ou 5 modulo 8]]).

== Constructions géométriques ==
=== Construction de {{racine|2}} à la règle et au compas ===
[[Fichier:Square root of two with ruler and compass.svg|vignette|Construction à la règle et au compas]] Comme toute racine carrée de nombre entier, <math>\sqrt 2</math> est [[nombre constructible|constructible à la règle et au compas]] ; ''a contrario'', ce n’est pas le cas de la [[racine cubique]] de 2 (c'est le problème de la [[duplication du cube]].

Étant donné un [[Segment (mathématiques)|segment]] <math>AB </math> de longueur unité, voici les différentes étapes pour construire un segment de longueur <math>\sqrt 2</math> avec une [[règle (instrument de géométrie)|règle non graduée]] et un [[compas (géométrie)|compas]] :
# Tracer le symétrique <math>B' </math> de <math>B </math> par rapport à <math>A </math>
#* Tracer le cercle <math>C_1 </math> de centre <math>A </math> et de rayon <math>AB </math>, il coupe la [[demi-droite]] <math>[BA) </math> en <math>B' </math>
# Tracer la médiatrice <math>(AH)  </math> de <math>[BB'] </math>
#* Tracer le cercle <math>C_2 </math> de centre <math>B </math> et de rayon <math>r > AB </math>
#* Tracer le cercle <math>C_3 </math> de centre <math>B' </math> et de rayon <math>r </math>, il coupe <math>C_2 </math> en deux points, <math>H </math> et <math>H' </math>
#* Tracer le segment <math>[AH] </math> il intersecte <math>C_1 </math> en un point <math>C </math>.

À cette étape le segment <math>[BC] </math> de longueur <math>\sqrt 2</math> est construit.

=== Construction de {{racine|2}} au compas seul ===
[[Fichier:Square root of two with compass only.svg|vignette|Construction au compas seul de <math>\sqrt 2</math>]]
Comme tout nombre constructible à la règle et au compas, <math>\sqrt 2</math> est [[Théorème de Mohr-Mascheroni|constructible au compas seul]].
Les étapes d’une construction possible sont :
# Tracer quatre sommets consécutifs <math>B, G, H, I  </math> de l’hexagone régulier de centre <math>A </math> et de sommet <math>B </math> ; ceci permet de construire <math>\sqrt 3 </math>, l’unité étant la longueur <math>AB </math>.
#* Tracer le cercle <math>C_1 </math> de centre <math>A </math> et de rayon <math>AB </math> ;
#* Tracer le cercle <math>C_2 </math> de centre <math>B </math> et de rayon <math>AB </math>, il coupe <math>C_1 </math> en deux points, soit <math>G </math> l’un d’entre eux ;
#* Tracer le cercle <math>C_3 </math> de centre <math>G </math> et de rayon <math>AB </math>, il coupe <math>C_1 </math> en <math>B </math> et <math>H </math>;
#* Tracer le cercle <math>C_4 </math> de centre <math>H </math> et de rayon <math>AB </math>, il coupe <math>C_1 </math> en <math>G </math> et <math>I </math> ;
# Construire un triangle rectangle <math>ABC </math> d’hypoténuse <math>BC = \sqrt 3 </math> (<math>AB = 1 </math>) ; <math>C </math> est l’un des deux points tel qu'<math>IC = IG </math> et <math>BC = BH </math> (sachant que <math>IG=BH=\sqrt 3>\dfrac{IB}{2}=1 </math>).
#* Tracer le cercle <math>C_5 </math> de centre <math>I </math> et de rayon <math>IG </math> ;
#* Tracer le cercle <math>C_6 </math> de centre <math>B </math> et de rayon <math>BH </math> (<math>= IG </math>), il coupe <math>C_5 </math> en <math>C </math>.

À cette étape le segment <math>[AC] </math> de longueur <math>\sqrt 2</math> est construit.

{{Démonstration |titre=Éléments de démonstration |contenu=<math>IC = IG = \sqrt 3 </math>, car d’après le [[théorème de Pythagore]], les hauteurs en <math>I </math> et <math>G </math> des triangles équilatéraux de côté <math>1 </math>, <math>IHA </math> et <math>HAG </math>, qui sont portées par la médiatrice de <math>(H, A) </math>, ont pour longueur <math>\dfrac{\sqrt 3}{2} </math>. Par construction (<math>A </math> et <math>C </math> sur la médiatrice de <math>BI </math>) <math>(AC) </math> est perpendiculaire à <math>(AI) </math> et le [[théorème de Pythagore]] dans <math>IAC </math> donne <math>AC^2 = 2 </math>.}}

== Histoire ==
=== La période paléo-babylonienne ===
[[Fichier:YBC 7289 sketch.svg|vignette|Schéma de la tablette [[YBC 7289]].]]
{{article détaillé|YBC 7289}}
La culture mathématique de la [[période paléo-babylonienne]] est avant tout algorithmique. Elle dispose d'un système de [[Numération mésopotamienne|numération]] en [[notation positionnelle]]<ref>{{Article|prénom=Christine|nom=Proust|lien auteur=Christine Proust|url=http://www.math.ens.fr/culturemath/histoire%20des%20maths/pdf/chrono_mesopotamie.pdf|titre=Mathématiques en Mésopotamie|revue=CultureMath|éditeur=[[École normale supérieure (Paris)|éditeur=ENS Ulm]]/DGESCO|année=2006}}.</ref>. Certaines tablettes, comme celle notée [[BM 13901]], montrent une bonne connaissance des [[équation du second degré|questions du second degré]], probablement traitées à partir de méthodes géométriques simples, par copié-collé d'aires rectangulaires<ref>Cette conclusion est émise par [[Jens Høyrup]]. Des éléments de traduction de la tablette sont disponibles à : ''[http://akira.ruc.dk/~jensh/Selected%20themes/Mesopotamian%20mathematics/Handout.PDF La pensée algébrique]'', {{12e}} Colloque Inter-[[IREM]], 1998.</ref>. En plus de disposer de méthodes de résolution, les Babyloniens savent calculer des approximations de racines carrées. La tablette [[YBC 7289]], rédigée dans le premier tiers du second millénaire avant notre ère, donne une approximation de <math>\sqrt 2</math>, interprétée comme le rapport de la diagonale du carré au côté, sous la forme suivante{{sfn|Fowler|Robson|1998}} :
<center>
{{Nombre babylonien|1|24|51|10}}
</center>
Cette écriture correspond à la meilleure approximation possible de <math>\sqrt 2</math> avec quatre [[Chiffre significatif|chiffres significatifs]] en numération babylonienne ([[Base (arithmétique)|base]] <math>60</math>). L'approximation est précise au millionième. Elle dénote la connaissance d'un [[algorithme d'approximation]] de racine carrée, mais on ignore lequel. Il pourrait être de type [[méthode de Héron]]{{sfn|Fowler|Robson|1998}}, encore aujourd'hui l'une des plus efficaces<ref name=RittaudBibnum>{{Lien web|auteur=Benoît Rittaud|url=http://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/RITTAUD_YBC7289.pdf|titre=À un mathématicien inconnu !|site=[[Bibnum]]}}.</ref>.

=== L'Inde védique ===
Les [[Śulba-Sūtras]], des textes rituels [[inde|indiens]] de l'[[époque védique]] énoncent des règles géométriques pour la construction d'autels sacrificiels. La date de leur composition est difficile à déterminer, les plus anciens pourraient avoir été composés entre 800 et 500 {{av JC}}<ref>{{harvsp|Plofker|2009|p=17-18}}.</ref>. Ils donnent un énoncé de ce que nous appelons maintenant le [[théorème de Pythagore]], y compris le cas particulier de la diagonale du carré, qui permet de doubler son aire<ref name=plofker2021>{{harvsp|Plofker|2009|p=20-21}}.</ref>. Ils fournissent également une règle pour le calcul de la longueur de cette diagonale en fonction du côté, qui équivaut à une approximation [[nombre rationnel|rationnelle]] de <math>\sqrt 2</math> remarquablement précise :
:<math>\sqrt{2} \simeq 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3 \times 4} - \dfrac{1}{3 \times 4 \times 34}</math><ref name=plofker2021/>,
soit environ <math>1{,}4142157</math>, une valeur précise à un peu plus de 2 millionièmes près. L'un des Śulba-Sūtras, celui de Kātyāyana, précise qu'il ne s'agit que d'une valeur approchée<ref>{{harvsp|Plofker|2009|p=21}}.</ref>.
Les traités ne donnent aucune indication sur la façon dont a été dérivée cette formule<ref>{{harvsp|Plofker|2009|p=28}}.</ref>, même si plusieurs méthodes ont été proposées par les historiens<ref>{{harvsp|Plofker|2009|p=28}} qui donne des références pour certaines d'entre elles note 16 de la même page. Voir aussi l'une de ces reconstructions dans le rapport sur les recherches en éducations de la fédération Wallonie-Bruxelles de 2004 « [http://www.enseignement.be/index.php?page=25074 Pour une culture mathématique accessible à tous] », chapitre 20 [http://www.enseignement.be/download.php?do_id=3020&do_check= La Diagonale du carré], p.549-551.</ref>.

=== Grèce antique ===
Les mathématiciens de la Grèce antique ont découvert et démontré l'irrationalité de <math>\sqrt 2</math> à une époque qu'il est difficile de déterminer, au plus tard dans les premières décennies du {{-s|IV}}, et vraisemblablement pas avant le {{-s|V}}<ref name="Caveing75">{{harvsp|Caveing|1998|p=75}}</ref>. Ils ne l'exprimaient pas de cette façon : pour eux il n'est pas question d'un nombre <math>\sqrt 2</math>, mais de rapport (au sens d'une relation) entre la diagonale et le côté du carré, et ils montrent que ceux-ci sont ''incommensurables'', c'est-à-dire que l'on ne peut trouver de segment unité, aussi petit soit-il avec lequel mesurer de façon exacte ces deux longueurs.

La découverte de l'irrationalité, sa date, les circonstances qui ont amené à celle-ci, ses conséquences, la nature des premières démonstrations… tout ceci a suscité beaucoup de travaux chez les historiens<ref name="Caveing75"/>, sans pour autant que ceux-ci arrivent à un consensus<ref>{{harvsp|Berggren|1984|}}</ref>.

On ne possède pas de témoignages archéologiques analogues aux [[tablette d'argile|tablettes d'argile]] des Babyloniens, pour les mathématiques de la [[Grèce antique]], mais de textes transmis par la tradition, par copie et recopie. Les premiers à nous être parvenus datent du {{-s-|IV}}, dans des œuvres dont les mathématiques ne sont pas l'objectif premier, les écrits de [[Platon]], puis ceux d'[[Aristote]].

==== Platon et Aristote ====
Dans un passage très connu du ''[[Ménon]]'', [[Platon]] met en scène [[Socrate]] faisant découvrir à un jeune esclave la [[#Dupliquer un carré|duplication du carré]], par la construction d'un carré sur la diagonale. Socrate veut convaincre Ménon que le jeune esclave retrouve une connaissance qui est déjà en lui. Mais, pour [[David Fowler]] qui date le texte de 385 {{av JC}}, c'est aussi le premier témoignage substantiel direct de la pratique des mathématiques grecques<ref>{{Harvsp|Fowler|1999|p=7-8}}, une traduction en français du {{s-|XIX}} est [http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/platon/cousin/menon.htm accessible en ligne], voir {{p.|173-191}}.</ref>.

La première mention connue de l'incommensurabilité est également due à Platon, dans une œuvre plus tardive, le ''[[Théétète (Platon)|Théétète]]''{{sfn|Fowler|1999|p=359}}, où il décrit [[Théodore de Cyrène]] exposant ce qui correspond à l'irrationalité des racines carrées des nombres de <math>3 </math> à <math>17 </math> qui ne sont pas des carrés parfaits{{sfn|Knorr|1975|p=64}}{{,}}<ref>Une édition bilingue du {{s-|XIX}} est [http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/platon/cousin/theetete2.htm accessible en ligne]. Une traduction de ce passage dont les choix sont longuement discutés et justifiés {{harvsp|Caveing|1998|p=172-176}}, est donnée par {{harvsp|Caveing|1998|p=176-177}}, qui discute ensuite son interprétation {{harvsp|Caveing|1998|p=177-186}}.</ref>. On déduit de ce passage que l'irrationalité de <math>\sqrt 2</math> est bien connue à l'époque où Platon écrit, voire à celle où Théodore est censé enseigner<ref>{{harvsp|Caveing|1998|p=133}}.</ref>, soit les premières décennies du {{-s|IV}}.

Dans l{{'}}''[[Organon]]'', [[Aristote]] prend pour exemple de [[apagogie|raisonnement par contradiction]] celui qui conduit à l'incommensurabilité de la diagonale<ref name="Fowler302">{{harvsp|Fowler|1999|p=302}} remarque qu'Aristote, alors qu'il cite souvent cet exemple de l'incommensurabilité de la diagonale au côté, ne précise jamais de quel polygone il s'agit.</ref>, et précise (à deux endroits) que l'hypothèse de la commensurabilité conduit à ce qu'un nombre pair soit égal à un nombre impair<ref>Aristote, ''[[Analytiques postérieurs]]'', I,23,41 a 26-32 et I,44,50 a 36-38 cité d'après {{harvsp|Caveing|1998|p=132}}, une édition bilingue du {{s-|XIX}} est accessible en ligne [http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Aristote/analyt1994.htm I, 23] et [http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Aristote/analyt144.htm I, 44].</ref>. L'indication est imprécise, mais c'est la plus ancienne que l'on ait d'une démonstration. Aristote prend par ailleurs régulièrement pour exemple dans ses œuvres l'incommensurabilité de la diagonale au côté<ref name="Fowler302"/>{{,}}<ref>Par exemple dans la ''[[Métaphysique (Aristote)|Métaphysique]]'', A, 2, ''Métaphysique, Livres A à E'', trad. Bernard Sichère, Paris, Pocket, 2007, {{p.|35}} : {{citation|[les hommes] s'étonnent [...] de ce qu'on ne peut mesurer la diagonale du carré, puisqu'il semble tout à fait merveilleux à tous ceux qui n'en ont pas encore envisagé la raison qu'une chose ne puisse pas être mesurée par la plus petite unité.}} Mais cette traduction ajoute forcément des précisions à l'original, cf. la note citée précédemment, et note 18 de la traduction [http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Aristote/metaphysique1pierron.htm#18 Pierron et Zevort], voir aussi [http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Aristote/metaphysique1fr.htm la traduction plus littérale de Victor Cousin] du même passage qui ne mentionne pas de carré.</ref>.

==== Euclide ====
Dans les ''[[Éléments d'Euclide|Éléments]]'' d'[[Euclide]] — le premier traité mathématique qui nous soit parvenu, écrit vers -300 — le traitement de l'incommensurabilité est déjà très élaboré. L'incommensurabilité est définie et traitée au [[Livre X des Éléments d'Euclide|livre X]], et la proposition 2 en donne une caractérisation par un procédé de soustractions alternées, l'[[anthyphérèse]], analogue à ce que nous appelons aujourd'hui [[algorithme d'Euclide]] en [[Entier naturel|arithmétique]] (une division peut être vue comme une suite de soustractions) et [[fraction continue]] pour les [[nombre réel|nombres réels]]<ref>{{harvsp|Caveing|1998|p=219-223}}, voir aussi l'entrée fraction continue dans l'index.</ref> (les grandeurs sont incommensurables s'il y a toujours un reste, le procédé continue indéfiniment). La proposition 9 permet le rapport avec les propriétés arithmétiques traitées aux [[Livre VII des Éléments d'Euclide|livre VII]] et [[Livre VIII des Éléments d'Euclide|livre VIII]]<ref>{{harvsp|Caveing|1998|p=245-253}}, section 3.2 ''Y a-t-il une preuve générale dans les livres Arithmétiques ?''.</ref>. Certaines éditions anciennes du livre X donnent bien en appendice une proposition (parfois numérotée 117) qui traite directement l'irrationalité de <math>\sqrt 2</math> (l'incommensurabilité de la diagonale du carré et de son côté) par un argument de parité et une descente infinie. Mais celle-ci ne s'intègre pas au reste du texte, elle a pu être ajoutée pour son intérêt historique, et très possiblement après Euclide<ref>{{harvsp|Knorr|1975|p=22}} et note 15 {{p.|52}}. La proposition est rejetée en annexe de l'édition Heilberg, édition de référence des Éléments, et donc absente du livre X, dans les traductions réalisées à partir de celle-ci.</ref>. Elle semble être postérieure<ref>Voir {{harvsp|Fowler|1999|p=294-295}} et {{harvsp|Knorr|1975}} VII.3 pour le détail de l'argumentation : la démonstration d'Alexandre d'Aphrodise utilise les Éléments, pourtant bien que reposant sur le même principe, elle est différente de la proposition X,117.</ref> d'une autre démonstration, toujours reposant sur un argument de parité, donnée en commentaire de l'un des passages d'Aristote cité ci-dessus par [[Alexandre d'Aphrodise]] au {{s-|II}} ({{ap JC}})<ref>{{harvsp|Knorr|1975|p=52}} note 15.</ref>, la plus ancienne complète et vraiment datable qui nous soit parvenue (pour l'incommensurabilité de la diagonale du carré et de son côté)<ref>{{harvsp|Fowler|1999|p=294-295}}.</ref>.

==== Hypothèses et reconstructions ====
Ce que l'on peut savoir au sujet de la découverte de l'irrationalité dépend, en plus de ces éléments, de fragments de textes anciens chez des auteurs plus tardifs, en particulier ceux d'une histoire (perdue) d'un élève d'Aristote, [[Eudème de Rhodes]], et plus généralement de textes historiques tardifs, dont la fiabilité n'est pas évidente.

Aussi existe-t-il plusieurs thèses tant pour, le contexte, et les causes de la découverte de l'incommensurabilité, que pour sa ou ses premières démonstrations, les historiens en étant réduits à reconstituer celles-ci, de façon cohérente avec les connaissances (supposées) de l'époque. Ces reconstructions spéculatives développées à la fin du {{s-|XIX}} et au {{s-|XX}}<ref name="Saito189">{{harvsp|Saito|2004|p=189}}.</ref>, sont loin d'être convergentes et font toujours l'objet de débats<ref>{{harvsp|Saito|2004|p=187-189}} ; pour un historique très synthétique, voir aussi {{harvsp|Berggren|1984}}, et {{harvsp|Caveing|1998}}.</ref>.
===== Le pair et l'impair =====
Le plus souvent, <math>\sqrt 2</math> (la diagonale du carré) tient le premier rôle, en particulier car une démonstration par parité (le principe en est celui de la première démonstration d'irrationalité ci-dessus) demande pour seule connaissance arithmétique la dichotomie entre nombres pairs et impairs, et peut se reconstituer à partir des connaissances arithmétiques que les historiens jugent pouvoir être celles des mathématiciens grecs du {{-s-|V}}<ref>Une telle reconstitution a été donnée par [[Oskar Becker]] en 1957, décrite par {{harvsp|Caveing|1998|p=134-135}}, elle s'appuie sur une représentation géométrique des nombres, en l'occurrence des quadrillages ou des points disposés en carré, arithmétique des [[nombre figuré|nombres figurés]] attribuée aux pythagoriciens, dont il faut alors admettre qu'elle est pratiquée par des mathématiciens grecs du {{-s-|V}}, [[école pythagoricienne|pythagoriciens]] ou autres, cf. Caveing.</ref>. Ce serait alors à celle-ci que fait allusion Aristote.

===== L'anthyphérèse =====
Une autre possibilité est de s'appuyer sur la proposition X,2 d'Euclide (citée ci-dessus) qui pourrait témoigner d'anciennes démonstrations particulières d'irrationalité par [[anthyphérèse]]<ref>{{harvsp|Caveing|1998|p=111-112}}.</ref> (soustractions alternées à la façon de l'algorithme d'Euclide). Cependant de telles démonstrations n'apparaissent pas dans Euclide, ni dans aucun texte grec ancien qui nous soit parvenu<ref>{{harvsp|Knorr|1975|p=31}}.</ref>. Mathématiquement le principe en est celui exposé ci-dessus à la [[#Par soustractions réciproques|seconde (version arithmétique)]] et la [[#Par un argument géométrique|troisième démonstration (version géométrique)]]<ref>À la différence de la figure ci-dessus, celles des historiens font apparaître explicitement les carrés, par exemple {{harvsp|Caveing|1998|p=124}}.</ref>. Le fait de retrouver la même figure dans la version géométrique, montre que le procédé de soustractions réciproques continue indéfiniment donc de conclure par la proposition X,2. Il faut cependant admettre qu'un segment est divisible à l'infini, et pour cela Euclide appuie sa proposition X,2 sur la proposition X,1 (qui traite de la [[Méthode de dichotomie|dichotomie]]), et utilise l'« [[axiome d'Archimède]] », attribué à [[Eudoxe de Cnide|Eudoxe]] et présent dans les Éléments<ref>{{harvsp|Caveing|1998|p=229}}.</ref>. Une telle répétition se produit pour tout [[irrationnel quadratique]], elle correspond au [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique|développement périodique de sa fraction continue]]. Cette périodicité rend la caractérisation d'Euclide opératoire pour les rapports correspondant à ces nombres<ref>{{harvsp|Caveing|1998|p=230}} et {{p.|157-164}}.</ref>. Dans le cas de <math>\sqrt 2</math>, elle est immédiate, en une étape, et s'illustre facilement géométriquement. C'est le cas aussi pour la proportion en extrême et moyenne raison (notre [[nombre d'or]]), qui est le rapport entre une diagonale et le côté du [[pentagone]], ce qui a conduit certains historiens à envisager que ce rapport, plutôt que <math>\sqrt 2</math>, ait conduit à la découverte de l'irrationalité<ref>[[Kurt von Fritz]] s'appuie pour cette hypothèse et sur des auteurs tardifs comme [[Jamblique]] et sur la figure du [[pentagramme]], dans un article paru en 1945, ''The discovery of irrationality by Hippasus of Metapontum''. L'article a fait date, même si ses conclusions sont depuis contestées {{harvsp|Saito|2004|p=189}}, voir pour des discussions à ce sujet {{harvsp|Knorr|1975|p=29-36}}, {{harvsp|Caveing|1998|p=99-119}}.</ref>.

Ces possibilités ne sont pas nécessairement contradictoires, la découverte de l'irrationalité ayant pu se faire à propos de la diagonale du carré et/ou de celle du pentagone par un procédé semblable à l'anthyphérèse et la ou les premières démonstrations procéder par le pair et l'impair<ref>{{harvsp|Caveing|1998|p=145}}.</ref>.

=== Vers le nombre {{racine|2}} ===
[[Fichier:Dedekind.jpeg|vignette|[[Richard Dedekind]] propose une construction ''rigoureuse'' des [[nombre réel|nombres réels]] à la fin du {{s-|XIX}}.]]
L'histoire de la racine de deux se confond alors avec celle de la racine carrée et plus généralement des irrationnels, en quelques lignes :
* les Grecs, avec le livre V des ''Éléments'', conçoivent ce que nous appelons les rationnels ou les réels comme des proportions, et non pas des nombres<ref>Pour se faire une idée des concepts que les Grecs utilisaient, voir {{harvsp|Knorr|1975|p=14-17}} (Introduction, §III. ''Indispensable definitions'') en particulier [https://books.google.fr/books?id=K1kK9zsD3LMC&pg=PA15 {{p.|15}}].</ref>, théorie « subtile mais non directement opératoire »<ref>{{Harvsp|DahanPeiffer|p=101}}.</ref> ;
* alors que la tradition arithmético-algébrique, de [[Diophante]] à [[Al-Khawarizmi]], au début du {{s-|IX}}, est restreinte aux [[nombre rationnel|nombres rationnels positifs]], les mathématiciens du monde arabo-musulman comme [[Abu Kamil]] dès le {{s-|X}}, puis [[Al-Karaji]] et [[Al-Samaw'al]], développent une algèbre et un calcul qui comprend les nombres irrationnels, ce dernier et [[Al-Kashi]] utilisent des approximations décimales dans le cas des irrationnels<ref>{{Harvsp|DahanPeiffer|p=102}}.</ref> ;
* [[Omar Khayyam]] développe au {{s-|XI}} une théorie des proportions où celles-ci sont des nombres, même si les incommensurables sont encore appelées impropres, travail que prolonge [[Nasir al-Din al-Tusi]] au {{s-|XIII}}<ref>{{Harvsp|DahanPeiffer|p=102-103}}.</ref> ;
* L'Europe n'assimile ces notions que tardivement, les travaux des mathématiciens du monde arabo-musulman, en particulier ceux d'Al-Tusi, sont connus en Europe au {{s-|XVI}}, qui est une période de polémique pour savoir si les irrationnels méritent le statut de nombre<ref>{{Harvsp|DahanPeiffer|p=103}}.</ref>, c'est à cette époque que l'usage du symbole <math>\sqrt{\quad }</math> se répand<ref>le signe √ est introduit, sous une forme proche, par [[Christoff Rudolff]] en 1525 : {{Harvsp|DahanPeiffer|p=104}}.</ref> ;
* même si le débat se poursuit au {{s-|XVII}}, il finit par se régler avec le développement du [[calcul algébrique]] et du [[calcul infinitésimal]], le cadre théorique ne sera cependant défini que dans la seconde moitié du {{s-|XIX}}, concurremment par plusieurs mathématiciens, [[Richard Dedekind|Dedekind]], [[Weierstrass]], [[Georg Cantor|Cantor]] et [[Charles Méray|Méray]] (voir [[construction des nombres réels]])<ref>{{Harvsp|DahanPeiffer|p=103-104}}.</ref>.
Dedekind pourra ainsi affirmer en 1872 quand il publiera son traité sur la construction des réels, que jusqu'alors, jamais l'égalité <math>\sqrt 2 \times \sqrt 3 =\sqrt 6</math> n'avait été démontrée rigoureusement<ref>Dans {{Ouvrage|langue=de|auteur1=[[Richard Dedekind]]|titre=Stetigkeit und irrationale Zahlen|année=1872|lire en ligne=https://archive.org/stream/stetigkeitundir00dedegoog#page/n30/mode/2up}} {{p.|27}}, voir {{harvsp|Fowler|1992}}.</ref>.

== Autres propriétés ==

=== Normalité ===
La [[nombre normal|normalité]] est un concept se basant sur la distribution des chiffres du [[développement décimal]] d’un nombre irrationnel, à savoir si tous les chiffres de 0 à 9 apparaissent dans ce développement et avec la même fréquence. En ce qui concerne <math>\sqrt 2</math>, on ignore s’il est normal dans le [[système décimal]] ou dans toute autre [[base (arithmétique)|base de numération]].

=== Degré algébrique et degré d'irrationalité ===
<math>\sqrt 2</math> est un [[nombre algébrique]] de degré 2, dit [[entier quadratique]], car solution de l’équation [[polynôme|polynomiale]] du second degré à coefficients entiers <math>x^2-2=0</math> et de monôme dominant de coefficient égal à 1, mais d’aucune de degré 1 de par son irrationalité. On sait ainsi qu’il est difficilement approchable par une suite rationnelle <math>\dfrac{p_n}{q_n} </math> ; l’erreur est au mieux en
:<math>\left|\sqrt{2}-\frac{p_n}{q_n}\right|\sim\frac{1}{{q_n}^2}</math>

[[Théorème de Roth|Comme pour tout nombre algébrique irrationnel]], sa [[mesure d'irrationalité]] est 2.

=== Développement en fraction continue ===
La [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]] de <math>\sqrt 2</math> est <math>1</math> et sa partie décimale est donc <math>\sqrt 2 -1</math>, soit encore <math>\dfrac{1}{1+\sqrt 2}</math>. On peut écrire ce résultat sous la forme :
<center><math>\sqrt 2 = 1 + \frac 1{1+\sqrt2}</math></center>
En remplaçant <math>\sqrt 2</math> dans le membre de droite par <math>1+\dfrac{1}{1+\sqrt 2}</math>, on obtient successivement
<center><math>\sqrt 2 = 1+\frac {1}{{\color{red}2} + \frac 1{1+\sqrt2}} = 1+\frac {1}{{\color{red}2} + \frac 1{{\color{red}2} + \frac 1{1+\sqrt2}}} = 1+\frac {1}{{\color{red}2} + \frac 1{{\color{red}2} + \frac 1{{\color{red}2} + \frac 1{1+\sqrt2}}}}= \cdots </math></center>

Ceci fournit le développement en fraction continue périodique de <math>\sqrt 2</math>
<center><math>\sqrt2=[1 ;2,2,2\ldots],</math></center>
[[Fichier:FB-Visual sequence of ratios approximating √2.png|centré|sans_cadre|800x800px|Visualisation de la suite des ratios approximant {{racine|2}} (selon la fraction continue)]]
ainsi que quelques valeurs approchées de ce nombre : <math>\dfrac{3}{2}, \dfrac{7}{5}, \dfrac{17}{12}</math>

<math>\sqrt 2</math> est relié à un certain nombre de développements en [[fraction continue|fractions continues]] périodiques, par propriété des [[entier quadratique|entiers quadratiques]].

Pour <math>a, b</math> entiers strictement positifs tels que <math>a^2-2b^2=-1</math>, on a le développement suivant
:<math>b\sqrt2-a=\cfrac1{2a+ \cfrac1{2a+ \cfrac1{2a+ \cdots}}}\,</math>
Ce développement se note couramment de manière plus concise :
:<math>b\sqrt 2 = [a; 2a, 2a, 2a,\ldots]</math>.
On en tire les valeurs suivantes de <math>\sqrt 2</math> :
:<math>\sqrt 2 = \dfrac{1}{5} \times [7; 14,14,14 ,\ldots] </math>,
:<math>\sqrt 2 = \dfrac{1}{29}\times [41;82,82,82,\ldots] </math>.

Plus généralement, pour <math>a, b</math> entiers strictement positifs tels que <math>a^2-2b^2=k</math>, on a la [[fraction continue généralisée]] suivante :
:<math>b\sqrt2-a=\cfrac{-k}{2a+ \cfrac{-k}{2a+\cfrac{-k}{2a+ \cdots}}}\,</math>
que l'on note sous forme plus concise
: <math>b\sqrt 2 = [a; -k, 2a; -k, 2a; -k, 2a;\ldots]</math>
On en déduit les quelques développements de <math>\sqrt 2</math> suivants :
:<math>\sqrt{2}  = \dfrac{1}{2} \times [3;-1,6;-1,6; -1,6;\ldots]</math>  
:<math>\sqrt{2}  = \dfrac{1}{12} \times [17;-1,34;-1,34;-1,34 ;\ldots]</math>
:<math>\sqrt{2}  = \dfrac{1}{70} \times [90;-1,180;-1,180; -1,180;\ldots]</math> 

Éléments de démonstration : soit la suite <math>(u_n)</math> définie par la relation de récurrence <math>u_{n+1}=\dfrac{-k}{2a+u_n} </math> et soit <math>\varepsilon_n=|u_n-(b\sqrt 2-a)|</math>. Alors on peut montrer que <math>\varepsilon_{n+1}<K \varepsilon_n</math>, avec <math>\dfrac{1}{\left|1+\dfrac{2a}{b\sqrt 2 -a}\right|}<K<1</math> si <math>u_n</math> est suffisamment proche de <math>b\sqrt 2 -a</math>.

=== Développements en série et produit infini ===
==== Produits infinis ====
L’identité <math>\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt 2}</math> et la représentation en [[produit infini]] du [[Fonction trigonométrique|sinus]] et du [[Fonction trigonométrique|cosinus]] mènent aux développements suivants
:<math>\sqrt 2 = 2\prod_{k=0}^\infty
\frac{(4k+1)(4k+3)}{(4k+2)^2} = 
2
\left(1-\frac{1}{4}\right)
\left(1-\frac{1}{36}\right)
\left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots</math>
:<math>\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} =
\left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right)
\left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right)
\left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right)
\left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots</math>

Le dernier produit peut s’écrire de manière équivalente :
:<math>\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\left(1+\frac{1}{4k+1}\right)
\left(1-\frac{1}{4k+3}\right)
=
\left(1+\frac{1}{1}\right)
\left(1-\frac{1}{3}\right)
\left(1+\frac{1}{5}\right)
\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.</math>

==== Séries ====
Le nombre peut aussi être évalué sous forme de [[Série (mathématiques)|série]] en utilisant le [[développement de Taylor]] d’une fonction trigonométrique en <math>\left(\dfrac{\pi}{4}\right)</math> :
:<math>\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac\pi4\right)^{2k}}{(2k)!}.</math>
:<math>\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac\pi4\right)^{2k+1}}{(2k+1)!}.</math>

On peut aussi utiliser la [[Racine carrée#Fonction réelle|fonction {{racine|1 + ''x''}}]] en <math>1</math> :
:<math>\sqrt{2} =1+\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{\prod_{0<n<k} (2n-1)}{\prod_{n=1}^{n=k}(2n)} = 
1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} -
\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots.</math>

La convergence de la dernière série peut être accélérée par le biais d’une [[Transformation d'Euler|transformation d’Euler]] pour donner :
:<math>\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{(k!)^2 2^{3k+1}} = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} +
\frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.</math>

==== Développement en série de Engel ====
Le [[développement en série de Engel]] est : 
:<math>\sqrt2=1+\frac13+\frac1{3\times5}+\frac1{3\times5\times5}+\cdots</math>, voir la {{OEIS|A028254}}.

==== Développement en cotangente continue de Lehmer ====
Le [[développement en cotangente continue de Lehmer]] est : 
:<math>\sqrt{2} = \cot(\arccot(1) - \arccot(5) + \arccot(36)-\arccot(3406)+\arccot(14694817)-\dots)</math>, voir la {{OEIS|A002666}}.

== Méthodes numériques d'approximation ==
<math>\sqrt 2</math> vaut approximativement 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737. Pour plus de décimales, voir la {{OEIS|id=A002193}}.

Le calcul d’une valeur approchée de <math>\sqrt 2</math> a été un problème mathématique pendant des siècles. Ces recherches ont permis de perfectionner les [[Algorithmique|algorithmes]] de calculs d’extraction de racines carrées. En informatique, ces recherches se sont poursuivies afin d’optimiser ces algorithmes en réduisant les temps de calcul et la consommation de mémoire<ref name="appro">{{refnec|La plupart des logiciels mathématiques, sur ordinateurs ou sur machines à calculer, utilisent des approximations préétablies de cette constante, au moins jusqu’à un certain rang.}}</ref>.

À l'exclusion de l'[[algorithme de la potence]], les [[calcul numérique|méthodes numériques]] d’approximation présentées ci-dessous sont destinées au calcul d’un nombre important de décimales. Elles se basent généralement sur une [[suite (mathématiques)|suite]] convergente de [[nombre rationnel|nombres rationnels]] ; ainsi l’itération s’affranchit du coût de calcul sur des [[nombre à virgule flottante|nombres à virgule flottante]] — dont il faudrait en plus connaître la précision ''a priori''. Les meilleures approximations par une suite rationnelle <math>\dfrac{p_n}{q_n}</math> donnent une erreur en <math>\dfrac{1}{q_n^2}</math>, une propriété de l’[[approximation diophantienne]] des [[entier quadratique|entiers quadratiques]].

=== Méthodes à convergence linéaire ===
==== Algorithme de la potence ====
{{article détaillé|Algorithme de la potence}}
Cette méthode ancienne (on la trouve en [[Chine]] dans ''[[Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique]]''<ref>{{ChemlaShuchun}}, {{p.|322-329}}</ref> au {{s-|III}} et en Inde dans l'''[[Āryabhaṭīya]]''<ref>W. E. Clark, Aryabatha, ''Aryabhatiya of Aryabhata'', {{p.|24}} et suivantes, [https://archive.org/stream/The_Aryabhatiya_of_Aryabhata_Clark_1930#page/n53/mode/2up lire en ligne]</ref> au {{s-|V}}) permet de déterminer ''à la main'' les décimales successives d'une racine carrée, mais les divisions à effectuer augmentent rapidement de taille. Ci-dessous, l'algorithme de la potence pour le calcul des cinq premières décimales de <math>\sqrt 2</math>.

{|border ="0" cellspacing = "0"
|- style="text-align:center"
| ||<math>2</math>|| || || || || || || || || || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|1,41421
|- style="text-align:center"
|<math>-</math>||<math>1</math>|| || || || || || || || || || ||style="text-align:left;border-top:thin solid black;border-left:thin solid black"|{{rouge|1}}×{{rouge|1}}=1
|- style="text-align:center"
| ||<math>1</math>||<math>0</math>||<math>0</math>|| || || || || || || || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|&nbsp;
|- style="text-align:center"
| ||<math>-</math>||<math>9</math>||<math>6</math>|| || || || || || || || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|2{{rouge|4}}×{{rouge |4}}=96
|- style="text-align:center"
| || || ||<math>4</math>||<math>0</math>||<math>0</math>|| || || || || || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|&nbsp;
|- style="text-align:center"
| || ||<math>-</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>1</math>|| || || || || || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|28{{rouge|1}}×{{rouge |1}}=281
|- style="text-align:center"
| || || ||<math>1</math>||<math>1</math>||<math>9</math>||<math>0</math>||<math>0</math>|| || || || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|&nbsp;
|- style="text-align:center"
| || ||<math>-</math>||<math>1</math>||<math>1</math>||<math>2</math>||<math>9</math>||<math>6</math>|| || || || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|282{{rouge|4}}×{{rouge |4}}=11296
|- style="text-align:center"
| || || || || ||<math>6</math>||<math>0</math>||<math>4</math>||<math>0</math>||<math>0</math>|| || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|&nbsp;
|- style="text-align:center"
| || || || ||<math>-</math>||<math>5</math>||<math>6</math>||<math>5</math>||<math>6</math>||<math>4</math>|| || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|2828{{rouge|2}}×{{rouge |2}}=56564
|- style="text-align:center"
| || || || || || ||<math>3</math>||<math>8</math>||<math>3</math>||<math>6</math>||<math>0</math>||<math>0</math>|| style="text-align:left;border-left:thin solid black" |&nbsp;
|- style="text-align:center"
| || || || || ||<math>-</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>4</math>||<math>1</math>|| style="text-align:left;border-left:thin solid black" |28284{{rouge|1}}×{{rouge |1}}=282841
|- style="text-align:center"
| || || || || || ||<math>1</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>7</math>||<math>5</math>||<math>9</math>|| style="text-align:left;border-left:thin solid black" |&nbsp;
|}

==== Méthode de Théon de Smyrne ====
On doit à [[Théon de Smyrne]] ces deux suites <math>(p_n) </math> et <math>(q_n) </math> définies par récurrence :
: <math>p_{n + 1} = p_n + 2q_n,\quad  p_0 = 1 </math> ;
: <math>q_{n+1}=p_n+q_n,\quad q_0=1  </math>.
Ces suites sont à valeur entière strictement positive, donc strictement croissantes par récurrence, et vérifient
:<math>p_n^2 - 2q_n^2 = (-1)^n(p_0^2  - 2q_0^2)  </math>
de sorte que <math>\dfrac{p_n}{q_n} </math> tend vers <math>\sqrt 2</math>.

On ne sait pas si l’intention de Théon de Smyrne était de calculer une valeur approchée de <math>\sqrt 2</math>.

==== Solutions de l'équation diophantienne ''a''²− 2''b''² <nowiki>=</nowiki> ''k'' ====
Les solutions entières de l’équation <math>a^2 - 2b^2 = k </math> sont engendrées par récurrence
:<math>a_{m + 1} = 3a_m + 4b_m </math>
:<math>b_{m + 1} = 2a_m + 3b_m </math>
à partir des valeurs initiales <math>(a_0, b_0) = (1, 1) </math> pour <math>k = -1 </math> et <math>(3, 2) </math> pour <math>k = 1 </math>.

Cette méthode se déduit de celle de Théon : chaque itération de la présente correspond à deux itérations de celle-là. Ainsi, <math>\dfrac{a_n}{b_n} </math> tend linéairement vers <math>\sqrt 2</math>.

Les premières solutions sont :
* <math>k = -1: (1, 1), (7, 5), (41, 29), (239, 169), (1393,985) </math>,
* <math>k = 1 : (3, 2), (17, 12), (99, 70), (577, 408), (3363, 2378) </math>.

==== Méthode de Théon généralisée ====

On se donne <math>(a, b) </math>, obtenu par la méthode de Théon, qui est donc solution de l’une des deux [[équation diophantienne|équations diophantiennes]] précédentes <math>2b^2 = a^2 -  k = K </math>, avec <math>k = \pm 1 </math> et <math>K > 1 </math>. On peut alors écrire
: <math>\sqrt 2=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{K}{K+k}} </math>
Les suites <math>p_n </math> et <math>q_n </math> définies par
: <math>p_{n + 1} = (2K + k)p_n + 2Kq_n,\quad p_0 = 1 </math> ;
: <math>q_{n + 1} = (2K + 2k)p_n + (2K + k)q_n,\quad  q_0 = 1 </math>.
vérifient
: <math>(K+k)_{n+1}^2-Kq_{n+1}^2=(K+k)p_n^2-Kq_n^2=\ldots = k </math>,
et donc, de la même façon que ci-dessus, la suite <math>\dfrac{p_n}{q_n} </math> converge vers <math>\sqrt{\dfrac{K}{K+k}}=\dfrac{b}{a}\sqrt 2  </math>. De plus, si <math>k = 1 </math>, cette suite est croissante donc approche cette valeur par défaut, et si <math>k = -1 </math>, elle est décroissante donc approche cette valeur par excès.

On peut utiliser cette relation pour estimer l’erreur :
: <math>\varepsilon_{n + 1} \simeq \varepsilon_n (4K + 3k)^{-2} </math>
et c’est une majoration si <math>k = 1 </math>.
La [[Limite d'une suite|convergence]] est donc [[Vitesse de convergence|linéaire]] : elle fait gagner un nombre à peu près constant de décimales à chaque itération.

Cette méthode correspond à une généralisation de la méthode du paragraphe précédent au radical <math>\sqrt{\dfrac{K}{K+k}} </math>. Pour <math>K </math> plus grand, la suite <math>(q_n) </math> croit plus rapidement, donc la convergence est accélérée.

::{| class="wikitable"
|+ ''Premières approximations de'' <math>\sqrt 2 =\dfrac{17}{12}\sqrt{\dfrac{288}{289}} </math> ''par approximation linéaire de'' <math>\sqrt{\dfrac{288}{289}} </math>''. Les paramètres sont'' <math>a = 17, b = 12, K = 288, k = 1 </math>''. On a <br>'' <math>\varepsilon_{n+1}<7,5\times 10^{-7}\varepsilon_n </math> ''(avant approximation décimale des quotients).''
|-style="text-align: center"
| itération || valeur fractionnaire || décimales exactes
|-
| 0 || <math>1 </math>|| <math>1 </math>
|-
| 1 || <math>\dfrac{19\ 601}{13\ 860} </math>|| <math>1,414\ 213\ 56 </math>
|-
| 2 || <math>\dfrac{22\ 619\ 537}{15\ 994\ 428} </math>|| <math>1,414\ 213\ 562\ 373\ 09 </math>
|-
| 3 || <math>\dfrac{26\ 102\ 926\ 097 }{18\ 457\ 556\ 052} </math>|| <math>1,414\ 213\ 562\ 373\ 095\ 048\ 80 </math>
|-
| 4 || <math>\dfrac{30\ 122\ 754\ 096\ 401}{21\ 300\ 003\ 689\ 580} </math>|| <math>1,414\ 213\ 562\ 373\ 095\ 048\ 801\ 688\ 72 </math>
|}

==== Développement en fraction continue ====

Une autre méthode consiste à approcher <math>b\sqrt 2 - a </math> par sa [[fraction continue]] généralisée pour <math>(a, b) </math> solution de l’équation diophantienne <math>2b^2 = a^2 - k </math>, avec <math>k = \pm 1 </math> :
:<math>b\sqrt 2 - a = [0; -k, 2a; -k, 2a; -k, 2a;\ldots] </math> est approximé à l’aide de la suite <math>\left(\dfrac{p_n}{q_n}\right)  </math> déterminée par la relation de récurrence
: <math>p_{n + 1} = q_n </math>
: <math>q_{n + 1} = 2aq_n + kp_n </math>
L’erreur vérifie [[asymptote|asymptotiquement]]
:<math>\varepsilon_{n + 1} < \dfrac{|b\sqrt 2 - a|}{2a - 1} \varepsilon_n </math>

::{| class="wikitable"
|+ ''Premières approximations de <math>\sqrt 2</math> par approximation linéaire de'' <math>169\sqrt 2 - 239 </math>''. Les paramètres sont'' <math>b = 169, a = 239, k = 1, \varepsilon_{n+1} \sim 4 \times 10^{-6} \varepsilon_n  </math>''.''
|-style="text-align: center"
| itération || valeur fractionnaire || décimales exactes
|-
| 0 || <math>1 </math>|| <math>1 </math>
|-
| 1 || <math>\dfrac{114\ 243}{80\ 782} </math>|| <math>1,414\ 213\ 562 </math>
|-
| 2 || <math>\dfrac{54\ 608\ 393}{38\ 613\ 965} </math>|| <math>1,414\ 213\ 562\ 373\ 09 </math>
|-
| 3 || <math>\dfrac{26\ 102\ 926\ 097}{18\ 457\ 556\ 052} </math>|| <math>1,414\ 213\ 562\ 373\ 095\ 048\ 80 </math>
|-
| 4 || <math>\dfrac{12\ 477\ 253\ 282\ 759}{8\ 822\ 750\ 406\ 821} </math>|| <math>1,414\ 213\ 562\ 373\ 095\ 048\ 801\ 688\ 7 </math>
|}

==== Développement en série entière ====

On se donne <math>(a, b) </math> solution de l’[[équation diophantienne]] <math>2b^2 = a^2 - k = K </math>, avec <math>k = \pm 1 </math>. On peut alors écrire <math>\sqrt{\dfrac{K}{K + k}} </math> comme somme d'une [[série (mathématiques)|série]] via le développement en [[série entière]] de <math>(1+z)^{-\frac{1}{2}}  </math> (ou la [[formule du binôme généralisée]], simple variante d'exposition).
: <math>\sqrt{ \frac{\mathrm{K}}{\mathrm{K}+k} } = 1-\frac{1}{2} \frac{k}{\mathrm{K}}+\frac{1\times 3}{2\times 4} \left(\frac{k}{\mathrm{K}}\right)^2
-\frac{1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6} \left(\frac{k}{\mathrm{K}}\right)^3 + \dots</math>
et utiliser <math>\sqrt 2 =\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{K}{K+k}} </math>.

Avec <math>a = 7, b = 5  </math> (soit <math>K = 50, k = -1  </math>) et donc <math>\sqrt 2 =\dfrac{7}{5}\sqrt{\dfrac{50}{49}} </math>, les premiers termes de la série sont particulièrement simples, comme l’a fait remarquer [[Leonhard Euler]] en [[1755]]<ref>{{Ouvrage|langue=la|nom1=Euler|titre=Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum|volume=II|passage=292|lire en ligne=http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E212sec2ch4.pdf|numéro chapitre=4|titre chapitre=De conversione functionum in series}}.</ref> :
: <math>\sqrt{2} = \frac{7}{5} \left( 1 + \frac{1}{100} + \frac{1\times 3}{1 \times 2} 10^{-4} + \frac{1\times 3\times 5}{1\times 2\times 3} 10^{-6} + \dots \right)=1,4+0,014+0,00021+0,0000035+\dots </math>

::{| class="wikitable"
|+ ''Approximation'' <math>\sqrt 2 = \dfrac{239}{169}\sqrt{\dfrac{57122}{57121}} </math> ''par le développement en série entière du radical fractionnaire. Les paramètres sont'' <math>b = 239, a = 169, K = 57122, k = -1 </math>''.''
|-style="text-align: center"
| itération || valeur fractionnaire || décimales exactes
|-
| 0 || <math>1 </math>|| <math>1 </math>
|-
| 1 || <math>\dfrac{239}{169}  </math>|| <math>1,414\  2 </math>
|-
| 2 || <math>\dfrac{6\ 238\ 763\ 163\ 557}{4\ 411\ 471\ 739\ 168} </math>|| <math>1,414\ 213\ 562\ 373\ 09 </math>
|-
| 3 || <math>\dfrac{712\ 741\ 258\ 857\ 407\ 100}{503\ 984\ 177\ 369\ 509\ 000} </math>|| <math>1,414\ 213\ 562\ 373\ 095\ 048 </math>
|-
| 4 || <math>\dfrac{325\ 705\ 649\ 507\ 622\ 468\ 308\ 893}{230\ 308\ 673\ 437\ 608\ 741\ 128\ 192 }  </math>|| <math>1,414\ 213\ 562\ 373\ 095\ 048\ 801\ 688 </math>
|}

==== Dichotomie ====

Il est possible d’approcher <math>\sqrt 2</math> par [[méthode de dichotomie|bissection]]. Cette méthode est de convergence linéaire lente : on gagne trois décimales à chaque dizaine d’itérations.

=== Méthode à convergence quadratique ===
La [[méthode de Newton]] appliquée à la fonction racine carrée permet de calculer une valeur approchée de <math>\sqrt 2</math> de manière itérative avec une convergence quadratique, c’est-à-dire doublant le nombre de décimales à chaque itération. La récurrence a la forme
:<math>u_{n + 1} = \dfrac{u_n}{2} + \dfrac{1}{u_n} </math>

Cet algorithme s’appelle [[méthode de Héron]] ou méthode babylonienne car il semble que ce soit celle utilisée par les Babyloniens pour trouver des valeurs approchées de racines carrées.

Si l’on s’intéresse aux fractions successives à partir d’une valeur initiale <math>p_0 </math> et <math>q_0 </math>, la récurrence sur le numérateur et le dénominateur sont
:<math>p_{n + 1} = p_n^2 + 2q_n^2 </math>
:<math>q_{n + 1} = 2p_nq_n </math>

::{| class="wikitable"
|+ ''Premières approximations de <math>\sqrt 2</math> données par la méthode de Newton''.
|-style="text-align: center"
| itération || valeur fractionnaire || décimales exactes
|-
| 0 || <math>1 </math>|| <math>1 </math>
|-
| 1 || <math>\dfrac{3}{2} </math>|| <math>1 </math>
|-
| 2 || <math>\dfrac{17}{12} </math>|| <math>1,41 </math>
|-
| 3 || <math>\dfrac{577}{408} </math>|| <math>1,414\ 21 </math>
|-
| 4 || <math>\dfrac{665\ 857}{470\ 832} </math>|| <math>1,414\ 213\ 562\ 37 </math>
|-
| 5 || <math>\dfrac{886\ 731\ 088\ 897}{627\ 013\ 566\ 048} </math>|| <math>1,414\ 213\ 562\ 373\ 095\ 048\ 801\ 68 </math>
|}

=== Méthodes cubiques ===

==== Méthode de Halley ====

La [[méthode de Halley]] est un exemple de méthode cubique. Elle cherche le zéro de <math>f(x) = x^2 - 2 </math> en utilisant les deux premières [[dérivée]]s. La solution itérative est
:<math>x_{n + 1} = x_n \times \dfrac{x_n^2 + 6}{3x_n^2 + 2} </math>
soit en posant <math>x_n = \dfrac{p_n}{q_n} </math> :
:<math>p_{n + 1} = p_n(p_n^2 + 6q_n^2) </math>
:<math>q_{n + 1} = q_n(3p_n^2 + 2q_n^2) </math>
Cette méthode est de convergence cubique : le nombre de décimales exactes triple à chaque itération.

::{| class="wikitable"
|+ ''Premières approximations de <math>\sqrt 2</math> données par la méthode cubique''.
|-style="text-align: center"
| itération || valeur fractionnaire || décimales exactes
|-
| 0 || <math>1 </math>|| <math>1 </math>
|-
| 1 || <math>\dfrac{7}{5} </math>|| <math>1,4 </math>
|-
| 2 || <math>\dfrac{1393}{985} </math>|| <math>1,414\ 213 </math>
|-
| 3 || <math>\dfrac{10\ 812\ 186\ 007}{7\ 645\ 370\ 045} </math>|| <math>1,414\ 213\ 562\ 373\ 095\ 048 </math>
|-
| 4 || — || <math>1,414\ 213\ 562\ 373\ 095\ 048 </math><br><math>801\ 688\ 724\ 209\ 698\ 078\  569 </math><br><math>671\ 875\ 376\ 948\ 073\ 176\ 679\ 7 </math>
|}

==== Méthode de Householder ====

L’[[itération de Householder]] appliquée à <math>f(x) = \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{\sqrt  2} </math> donne une suite convergeant vers <math>\dfrac{1}{\sqrt 2}  </math> :
: <math>x_{n + 1} = x_n + \dfrac{x_n}{8} \times (2x_n^2 - 1)(6x_n^2 - 7) </math>

=== Méthodes d'ordre supérieur ===

On utilise une [[méthode de Newton]] modifiée<ref name="GOU01a">{{en}} [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Algorithms/newton.html {{langue|en|''Newton's method and high order iterations''}}], Xavier Gourdon et Pascal Sebah, 2001<!--, visité le 24 août 2006-->.</ref> pour trouver le zéro de <math>f(x) = \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{2} </math>. Cela donne la suite récurrente :
: <math>x_{n +1} = x_n + \dfrac{x_n}{16} \times  (8h_n + 6h_n^2 + 5h_n^3) </math>
avec
: <math>h_n = 1 - \dfrac{x_n^2}{2} </math>
Cette méthode est de [[Vitesse de convergence des suites|convergence quartique]], c’est-à-dire d’ordre <math>4 </math> : le nombre de chiffres significatifs corrects quadruple (asymptotiquement) à chaque itération.

::{| class="wikitable"
|+ ''Premières approximations de <math>\sqrt 2</math> données par la méthode quartique''.
|-style="text-align: center"
| itération || valeur fractionnaire || décimales exactes
|-
| 0 || <math>\dfrac{3}{2} </math>|| <math>1 </math>
|-
| 1 || <math>\dfrac{23169}{2^{14}} </math>|| <math>1,414 </math>
|-
| 2 || <math>\dfrac{57367317478181003155381859082363}{2^{105}} </math>|| <math>1,414\ 213\ 562\ 373\ 09</math>
|-
| 3 || — || <math>1,414\ 213\ 562\ 373\ 09 </math><br><math>5\ 048\ 801\ 688\ 724\ 209 </math><br><math>698\ 078\ 569\ 671\ 875\ 3 </math><br><math>76\ 948\ 073\ 176\ 679\  737 </math>
|}

Il existe des méthodes d’ordre supérieur<ref name="GOU01b">{{Lien web|langue=en|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html|titre=Pythagoras’ Constant √2|auteur=Xavier Gourdon et Pascal Sebah|année=2001}}<!--, visité le 24 août 2006-->.</ref>, notamment parmi les méthodes de Householder.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Bibliographie ==
* {{Article|langue=en|lien auteur=Tom M. Apostol|nom=Apostol|prénom=Tom M.|date=novembre 2000|titre=Irrationality of The Square Root of Two — A Geometric Proof|périodique=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=107|numéro=9|pages=841-842|url=http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~marin/une_autre_crypto/articles_et_extraits_livres/irationalite/Apostol_T._irationality...-.pdf}}
* {{DahanPeiffer}}
* {{Article|langue=en|auteur1=[[David Fowler]]|titre=Dedekind's theorem {{nobr|1={{racine|2}} × {{racine|3}} = {{racine|6}}}}|périodique=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=99|numéro=8|année=1992|pages=725-733|url=https://books.google.fr/books?id=WwFMjsym9JwC&pg=PA185}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Martin Gardner]]|titre=A Gardner's Workout|sous-titre=Training the Mind and Entertaining the Spirit|éditeur=[[A K Peters]]|année=2001|pages totales=319|passage=9-19|isbn=978-1-56881-120-8}}.
* {{Ouvrage|prénom1=Benoît|nom1=Rittaud|titre=Le Fabuleux Destin de √2|éditeur=[[Le Pommier]]|année=2006|ISBN=2746502755|pages totales=456}}

=== Mathématiques en Mésopotamie ===
* {{Article|langue=en|auteur1=[[David Fowler]]|auteur2=[[Eleanor Robson]]|url=http://www.hps.cam.ac.uk/people/robson/fowler-square.pdf|titre=Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context|périodique=[[Historia Mathematica]]|volume=25|année=1998|pages=366-378}}

=== Mathématiques indiennes ===
* {{Chapitre|langue=en|auteur1=David Henderson|titre=Square Roots in the Sulbasutra|titre ouvrage=Geometry at Work: Papers in Applied Geometry|auteurs ouvrage=C. A. Gorini|collection=MAA Notes|numéro dans collection=53|page=39-45|année=2000}}, [http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html en ligne] sur le site de l’auteur
* {{ouvrage|lang=en|prénom1=Kim|nom1=Plofker|lien auteur1=Kim Plofker|titre=Mathematics in India|éditeur= Princeton University Press (Princeton)|année=2009|isbn=978-0-691-12067-6}}.

=== Mathématiques grecques ===
* {{article|auteur1=[[John Lennart Berggren|J. L. Berggren]]|titre=History of Greek mathematics: A survey of recent research|date=novembre 1984|revue=[[Historia Mathematica]]|volume=11|numéro=4|lang=en|doi=10.1016/0315-0860(84)90024-7|pages=394-410}}
* {{Ouvrage|auteur=[[Maurice Caveing]]|titre=La constitution du type mathématique de l'idéalité dans la pensée grecque|volume=3|titre volume=L’irrationalité dans les Mathématiques grecques jusqu’à Euclide|éditeur=[[Presses universitaires du Septentrion]]|année=1998|pages totales=343|isbn=2-85939-539-3|bnf=36971590m|présentation en ligne={{Google Livres|ZycSoMNgL2YC}}}}
* Denis Daumas, « Sur la démonstration de l’irrationalité chez les grecs », in ''La démonstration mathématique dans l’histoire'', [[Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques|IREM]] de Lyon
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[David Fowler]]|titre=The Mathematics of Plato’s Academy|sous-titre=A New Reconstruction|lieu=Oxford|éditeur=Clarendon Press (Oxford Science Publications)|année=1999|numéro d'édition=2|pages totales=441|isbn=0-19-850258-3}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Wilbur Knorr]]|titre=The Evolution of the Euclidean elements|sous-titre=a study of the theory of incommensurable magnitudes and its significance for early Greek geometry|lieu=Dordrecht/Boston|éditeur=D. Reidel Publishing Company|année=1975|pages totales=374|isbn=90-277-0509-7|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=K1kK9zsD3LMC}}
* {{chapitre|auteur1=Ken Saito|année=2004|langue=en|titre=Studies on proportion theory and incommensurability (introduction)|passage=187-189|titre ouvrage=Classics in the History of Greek Mathematics|auteur ouvrage=Jean Christianidis (ed.)|éditeur=Springer|isbn=978-90-481-5850-8}}.
* {{en}} Árpád Szabó, ''[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics The Beginnings of Greek Mathematics]'', Springer, 1978 {{ISBN|978-9027708199}}.

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Livre X des Éléments d'Euclide|Livre X des Éléments d’Euclide]]
* [[Duplication du cube]], [[racine cubique de deux]]
* [[Proportion d'argent]] (<math>1+\sqrt2</math>)
* [[Racine douzième de deux]]
* [[Racine carrée d'un entier naturel]]

=== Liens externes ===
{{Liens}}
* {{Lien web|url=http://www.math.univ-paris13.fr/~rittaud/RacineDeDeux|titre=Racine de 2|prénom1=Benoît|nom1=Rittaud|site=université Paris 13|consulté le=24 août 2006}} (ressources en ligne autour du livre ''Le Fabuleux Destin de √2'')
* {{MathWorld|nom_url=PythagorassConstant|titre=Pythagoras’s Constant}}<!-- (consulté le 23 août 2006)-->

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|auteur1=Ludmila Duchêne|auteur2=Agnès Leblanc|titre=Rationnel mon Q|lieu=Paris|éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]]|année=2009|présentation en ligne=http://a.leblanc5.free.fr/}} (démonstrations de l'irrationalité de √{{Surligner|2}})

{{Palette|Notion de nombre}}

{{Portail|nombre}}
{{Bon article|vote=BA|oldid=15994985|date=19 avril 2007}}

[[Catégorie:Racine carrée|2]]
[[Catégorie:2 (nombre)]]
[[Catégorie:Constante mathématique]]