Voir la source de Racine cubique

{{à sourcer|date=mars 2008}}
[[Fichier:Cube-root function.svg|vignette|[[Courbe représentative]] de la fonction racine cubique sur '''R'''.]]
En [[mathématiques]], la '''racine cubique''' d'un [[nombre réel]] <math>y</math> est l'unique nombre réel <math>x</math> dont le [[Cube (algèbre)|cube]] (c'est-à-dire la [[Puissance d'un nombre|puissance {{3e}}]]) vaut <math>y</math> ; en d'autres termes, <math>y = x^3=x\times x\times x</math><ref>{{Lien web |auteur= |titre=Racines cubiques |url=https://fr.khanacademy.org/math/fr-v2-seconde-s/x16338c0e47eff42b:nombres-et-calculs-manipuler-reels/x16338c0e47eff42b:racines-cubiques/a/cube-roots-review |site=Khan Academy |consulté le=27 décembre 2024}}</ref>. La racine cubique de <math>y</math> est notée <math>\sqrt[3]{y}</math>.

On peut également parler des racines cubiques d'un [[nombre complexe]].
== {{ancre|Racine cubique d'un nombre}}Définition ==
De façon générale, on appelle racine cubique d'un nombre (réel ou complexe) <math>y</math> tout nombre <math>x</math> solution de l'[[équation]] :

{{retrait|<math>x^3 = y.</math>}}

Si <math>y</math> est réel, cette équation a dans '''R''' une unique solution, qu'on appelle ''la'' racine cubique du réel <math>y</math> : <math>x = \sqrt[3]{y}</math>.

Dans '''C''', cette équation a trois solutions distinctes, qui sont ''les'' racines cubiques du complexe <math>y</math>. Lorsque ce complexe <math>y</math> est un réel, ces trois solutions sont : <math>\sqrt[3]y</math>, <math>{\rm j}\sqrt[3]y</math> et <math>\overline{\rm j}\sqrt[3]y</math>, où <math>\sqrt[3]y</math> est ''la'' racine cubique réelle de <math>y</math> et {{math|1}}, {{math|j}} et {{surligner|{{math|j}}}} sont les trois [[#Racines cubiques d'un nombre complexe|racines cubiques de l'unité dans '''C''']].

== Racine cubique d'un nombre réel ==
=== Exemples ===
La racine cubique de 8 est 2 car 2×2×2 = 8. La racine cubique tient son nom du [[cube]] : la racine cubique est la longueur de l'arête d'un cube dont est donné le [[volume]]. On a un volume de 8 et une arête de 2 ; on écrit :

:<math>\sqrt[3]8=2</math>.

La racine cubique de –27 est –3 car (–3)×(–3)×(–3) = –27

:<math>\sqrt[3]{-27}=-3</math>.

=== Fonction racine cubique ===

Sur '''R''', la [[Fonction (mathématiques)|fonction]] racine cubique, notée <math>\sqrt[3]{~}</math>, est celle qui associe à un nombre réel son unique [[#Définition|racine cubique]] réelle.

Sur l'ensemble des réels strictement positifs, la fonction racine cubique est égale à la [[fonction puissance]] un tiers<ref group=Note>Comme toute fonction puissance définie en tant que fonction réelle, la fonction puissance 1/3 n'est définie que sur '''R'''{{ind|+}}* : pour tout réel ''y'' > 0, ''y''{{exp|1/3}} est l'[[Exponentielle de base a|exponentielle de base ''y'']] du réel 1/3.</ref> :
:<math>\forall y \in\R_+^*\quad\sqrt[3]y= y^{1\over3}</math>.

=== Propriétés ===
{{...}}
* La racine cubique est associative avec les exposants, [[Distributivité|distributive]] avec la multiplication et la division, mais pas avec l'addition et/ou la soustraction.
* D'après le [[théorème de Wantzel]], la racine cubique d'un [[nombre rationnel]] n'est pas [[Nombre constructible|constructible à la règle et au compas]], sauf bien sûr si elle est rationnelle. C'est pourquoi le problème de la [[duplication du cube]] n'a pas de solution<ref>{{Lien web |titre=Théorème de Wantzel |url=https://agreg.skyost.eu/pdf/developpements/theoreme-de-wantzel.pdf |site=agreg.skyost.eu |consulté le=27 décembre 2024}}</ref>.

== Racines cubiques d'un nombre complexe ==
Tout nombre complexe non nul admet trois [[#Racine cubique d'un nombre|racines cubiques]] complexes distinctes<ref>{{Lien web |titre=Racines cubiques d'un nombre complexe |url=https://wims-paris-saclay.math.cnrs.fr/wims/wims.cgi?session=4V11802CC3.1&+lang=fr&+module=U1%2Falgebra%2Fdoccomplex.fr&+cmd=reply&+job=read&+doc=1&+block=degresup |site=CNRS |consulté le=27 décembre 2015}}</ref>, [[Relations entre coefficients et racines#Exemples|de somme nulle]]. Si ''Z'' est l'une d'elles, les deux autres sont {{math|j}}''Z'' et {{math|j{{2}}}}''Z'', où

{{retrait|<math>1,\quad{\rm j}=\frac{-1+{\rm i}\sqrt3}2={\rm e}^{{\rm i}\frac{2\pi}3}\quad{\rm et}\quad{\rm j}^2=\overline{\rm j}=\frac{-1-{\rm i}\sqrt3}2={\rm e}^{-{\rm i}\frac{2\pi}3}</math>}}

sont les trois [[Racine de l'unité|racines cubiques de l'unité]].

== Symbole Unicode ==
{{Unichar|221B|Racine cubique|nlink=Table des caractères Unicode/U2200|html=}}

== Note ==
<references group="Note"/>

==Voir aussi==
{{Autres projets|commons=Category:Cubic root}}
* [[Racine carrée]]
* [[Racine d'un nombre]]
* [[Racine cubique de deux]]
* [[Algèbre]]
* [[Fonction exponentielle]]
* [[Algorithme de calcul de la racine n-ième|Algorithme de calcul de la racine ''n''-ième]]

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Racine nième|cubique]]
[[Catégorie:3 (nombre)]]
[[Catégorie:Fonction de référence]]