Voir la source de Racine numérique d'un entier naturel

Le '''racine numérique<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Michael Marshall Smith]]|traducteur=B. Domis|titre=Le Livre des nombres irrationnels|éditeur=[[Bragelonne]]|année=2012|pages totales=15|isbn=978-2-8205-0601-6|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=IS2JAQAAQBAJ&pg=PT3}} — titre original de l'anthologie : ''{{Lang|en|{{Lien|More Tomorrow & Other Stories}}}}''.</ref>''' (''{{lang|en|digital root}}'') '''d’un [[entier naturel]]''' (ou '''résidu'''<ref>{{ouvrage|auteur=Collectif|titre=Les Olympiades académiques de mathématiques 2009|éditeur=[[Association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public]]|année=2010|volume=190|lire en ligne= https://www.apmep.fr/IMG/pdf/DEF09-2.pdf}}, {{page|186}}</ref>)  est le nombre obtenu en additionnant tous les [[chiffre]]s du nombre initial (pour la notation usuelle en [[base (arithmétique)|base]] 10), puis en additionnant les chiffres du résultat, et ainsi de suite jusqu’à l’obtention d’un nombre à un seul chiffre.

Par exemple, dans le cas du nombre 65 536, le résultat est 7 car 6 + 5 + 5 + 3 + 6 = 25, puis 2 + 5 = 7.

Elle est utilisée, sous le nom de '''réduction théosophique''', dans des contextes non scientifiques comme l'[[occultisme]] ou la [[numérologie]]<ref>[http://www.zetetique.fr/index.php/dossiers/72-numerologie Observatoire Zététique : la numérologie] ''La réduction théosophique (...) : réduction de tout nombre en un seul chiffre (de 1 à 9), par addition successive de ses chiffres jusqu'à ce qu'il n'en reste plus qu'un''.</ref>.

La racine numérique fournit un moyen pour calculer le reste de la division d'un nombre par 9, donc un [[critère de divisibilité]] par 9 ou par 3, et peut servir de « [[somme de contrôle]] » pour les opérations compatibles avec la relation de congruence modulo 9, dans le cas de la [[preuve par neuf]].

== Propriétés ==
=== Existence ===
Pour tout entier naturel <math>n</math>, la [[somme des chiffres|somme de ses chiffres]] <math>F(n)</math> est toujours plus petite que  <math>n</math>. Elle est même strictement plus petite si ce nombre a plus d'un chiffre.

{{Démonstration|déroulante=oui|contenu=
Pour tout entier naturel non nul <math> n</math>, il existe <math>k+1</math> entiers <math> a_0, a_1, \cdots a_k</math> avc <math> a_k</math> non nul tels que 
: <math> n=\sum_{j=0}^k a_j10^j</math>
La somme de  ses chiffres est alors 
: <math>F(n)=\sum_{j=0}^k a_j</math>
et la différence entre ce nombre et la somme de ces chifres est 
:<math>n-F(n)=\sum_{j=0}^k a_j(10^j-1)</math>
Cette quantité est toujours positive. elle est même strictement positive dès que <math> k \ge 1</math>, donc dès que <math> n</math> a au moins deux chiffres.
}}

Cette propriété assure qu'en réitérant l'opération, tant que le résultat a plus d'un chiffre, on crée une suite strictement décroissante. qui ne peut aboutir qu'à un nombre à un chiffre.

=== Persistance additive ===
La  [[persistance d'un nombre|persistance]] additive  d'un nombre <math>n</math> est le nombre de fois où l'on doit sommer les chiffres pour atteindre sa racine numérique.

Par exemple la persistance additive de 65 535 en base 10 est de 2, puisque l'on passe par deux étapes (24 et 6) pour atteindre sa racine numérique.

Cette persistance additive est très faible comparée à la taille du nombre. Elle est inférieure ou égale à 2 pour les entiers jusqu'à 198, et inférieure ou égale à 3 pour les entiers jusqu'à <math> 2.10^{22}-2</math> ({{OEIS|id=A006050}}).

=== Congruence modulo 9 ===
Le nombre 10 et ses puissances successives (100, 1000, etc.) étant congrus à 1 modulo 9, un nombre écrit en base 10 est congru à la somme de ses chiffres ([[Congruence sur les entiers#Propriétés algébriques|propriétés algébriques des congruences]]). Ainsi, dans le cas d'un nombre à trois chiffres qui s'écrit abc, comme 10 ≡ 1 (mod 9) et 10{{exp|''2''}} ≡ 1{{exp|''2''}} ≡ 1(mod 9)
{{indente|<math>\overline{abc}^{10} = 10^2a+10b+c\equiv a+b+c\pmod{9}.</math>}}
Le procédé itératif se termine sur un nombre à un seul chiffre, non nul dès que l'entier initial est non nul. Celui-ci caractérise la classe de congruence puisqu'il y a exactement 9 chiffres différents de 0 et 9 classes de congruences<ref>{{en}} F. M. Hall: ''An Introduction into Abstract Algebra''. 2nd edition, CUP ARchive 1980, {{ISBN|978-0-521-29861-2}}, p.&nbsp;101 ({{Google books|qqs8AAAAIAAJ|lire en ligne|page=101}})</ref>. On en déduit le reste de la division par 9 du nombre initial, appelé aussi résidu modulo 9 de ce nombre<ref>Par exemple {{Ouvrage|auteur1=[[Jacques Stern (cryptologue)|Jacques Stern]]|titre=La science du secret|éditeur=[[Éditions Odile Jacob|Odile Jacob]]|année=1998|passage=154|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=jl87AgAAQBAJ&pg=PA154}}.</ref>.
* si la somme des chiffres itérée de ''n'' est 9, le reste de la division de ''n'' par 9 est 0 ;
* sinon, la somme des chiffres itérée de ''n'' égale le reste de la division de ''n'' par 9.
=== Quelques exemples ===
Toujours en utilisant la caractérisation des classes de congruence modulo 9 par la somme des chiffres itérée, on obtient par exemple que 

* la somme des chiffres itérée d'un [[carré (algèbre)|carré]] parfait est 1, 4, 7, ou 9 ;
* la somme des chiffres itérée d'un [[multiple (mathématiques)|multiple]] de 3 est 3, 6, ou 9 ;
* la somme des chiffres itérée d'un nombre qui n'est pas multiple de 3, comme par exemple un [[nombre premier]] différent de 3, est donc  1, 2, 4, 5, 7, ou 8 ;
* la somme des chiffres itérée d’une [[Puissance d'un nombre|puissance]] de 2 est 1, 2, 4, 5, 7, ou 8 ;
* la somme des chiffres itérée d’un [[nombre parfait]] pair (excepté 6) est 1 ;
* la somme des chiffres itérée d'un [[nombre étoilé]] est 1 ou 4.

== Utilisations ==
=== Critères de divisibilité ===
Puisque la racine numérique d'un entier a même reste dans la division par 9 que le nombre de départ, elle offre un [[critère de divisibilité]] par 3 ou par 9 rapide :
* un entier non nul est divisible par 3 si et seulement si sa racine numérique est 3, 6, ou 9;
* un entier non nul est divisible par 9 si et seulement si sa racine numérique est 9; 
=== Preuve par 9 ===
{{article détaillé|Preuve par neuf}}
Des propriétés de compatibilité des [[Congruence sur les entiers|congruences sur les entiers]] avec l'addition et la multiplication, on déduit
* la somme des chiffres itérée de la somme de deux entiers est la somme des sommes des chiffres itérées de chacun de ses termes ;
* la somme des chiffres itérée du produit de deux entiers est le produit des sommes des chiffres itérées de chacun de ses termes ;
et donc un procédé qui permet de contrôler le résultat de ces opérations sur les entiers (il permet de repérer certaines erreurs mais pas de garantir que le résultat est correct).

Par exemple : {{formatnum:1234}} + {{formatnum:5678}} = {{formatnum:6912}} et {{formatnum:1234}} × {{formatnum:5678}} = {{formatnum:7006652}}.

La somme des chiffres itérée de {{formatnum:1234}} est 1. Celle des chiffres de {{formatnum:5678}} est 8.

La somme des chiffres itérée de {{formatnum:6912}} est bien 9 = 1 + 8.

La somme des chiffres itérée de {{formatnum:7006652}} est bien 8 = 1 × 8.

=== Code détecteur d'erreur ===
Les numéros figurant sur les billets de banque utilisent un code de détection d'erreur fondé sur la racine numérique (ou la congruence modulo 9)<ref>{{lien web|auteur=Olivier Lascar|titre=À quoi correspond le numéro d'un billet de banque|site=Sciences et Avenir|date=25/11/2014|url=https://www.sciencesetavenir.fr/fondamental/mathematiques/a-quoi-correspond-le-numero-inscrit-sur-un-billet-de-banque_37229}}</ref>
* pour les billets dont l'émission est antérieure  à 2013, le numéro est composé d'une  lettre et de 11 chiffres. En remplaçant la lettre par son rang dans l'alphabet, on obtient un nombre à 12 ou 13 chiffres dont la racine numérique est 8
* pour les billets émis après 2013, le numéro est constitué de 2 lettres et 10 chiffres. En remplaçant les lettres par leur rang dans l'alphabet et en recherchant sa racine numérique, on doit obtenir 7

=== Tours de magie mathématiques ===
Les congruences offrent des outils intéressants dans les tours de magie mathématiques. La racine numérique par sa simplicité de calcul donne un place privilégiée à la congruence modulo 9 et est donc l'outil principal de tours de magie dont l'objet est de deviner un objet parmi 9.

[[Martin Gardner]] signale un tour de carte fondé sur les racines numériques. Ce jeu consiste à prélever dans un jeu de 52 cartes une série de neuf cartes 1, 2, ..., 9 rangées dans cet ordre, le 1 placé sur le haut du paquet face cachée. Le prestidigitateur coupe le paquet de telle sorte que le 7 passe en haut du paquet.
Un spectateur déplace alors autant de cartes qu'il le souhaite du haut du petit paquet vers le haut du gros paquet restant. Le gros paquet est alors mélangé, coupé en deux parties de taille aléatoire. Le spectateur compte le nombre de cartes de chacune de ces deux parties et en donne la racine numérique. La racine numérique de la somme est alors la valeur de la carte restant sur le haut du petit paquet laissé de côté<ref>{{lien web|langue=en|url=https://maa.org/community/maa-columns/past-columns-card-colm/in-his-own-words-mathematical-card-tricks-from-martin-gardner-1914-2010 |titre= In His Own Words: Mathematical Card Tricks From Martin Gardner (1914-2010)|date=juin 2010|site=maa.org}} chapitre: Remembering the Future (Stewart James)</ref>.

Un autre tour utilise les propriétés de symétries des racines numériques d'une [[suite de Fibonacci]]. Un spectateur choisit deux entiers entre 1 et 9 et construit la suite de Fibonacci commençant par ces deux entiers en s'arrêtant au 14{{e}} terme. Le magicien se fait fort de déterminer le 1{{er}} terme si on lui donne seulement le 13{{e}} terme ou le second terme si on lui donne seulement le 14{{e}} terme. Il lui suffit de prendre la racine numérique du terme qu'on lui donne. Le terme choisi par le spectateur est le complément à 9 (ou à 18) de la racine obtenue<ref>{{ouvrage|auteur=Laurence de Conceicao|titre=Maths Magiques|sous-titre=astuces, énigmes, curiosités, défis et tours de Mathé-magie pour affronter les calculatrices|année=2023|éditeur=Ellipses|passage=136-137}}</ref>

{{démonstration|titre=Principe|déroulante=oui|contenu=Si les entiers choisis sont <math>a</math> et <math>b</math>, la suite U obtenue est liée à la suite de Fibonacci F commençant par 0 et 1 par la relation suivante
: <math>U_n=aF_{n+1} + (b-a)F_n</math>
il suffit donc de connaitre les congruences modulo 9 des 13{{e}}, 14{{e}} et 15{{e}} termes de la suite F pour en déduire les congruence modulo 9 des 13{{e}} et 14{{e}} termes de la suite U
: <math>F_{12}=144\equiv 0 \pmod 9;\quad F_{{13}}=233 \equiv 8 \pmod 9;\quad F_14=377\equiv 8 \pmod 9</math>
: <math>U_{12}\equiv 8a \equiv -a \pmod 9;\quad U_{13}\equiv 8a + 8(b-a)\equiv -b \pmod 9</math>
}} 
=== Numérologie ===
En [[numérologie]], le calcul de la racine numérique d'un nombre s'appelle la réduction théosophique (de théos= dieu  et sophia=sagesse faisant référence à la sagesse du divin)<ref>{{lien web|titre=La science des nombres chez Pythagore|url=
https://geo-numerologie.com/numerologie-de-pythagore.html |site=géo-numérologie}}</ref>. Souvent attribuée à Pythagore pour lequel {{citation|tout est arrangé par le nombre}}, cette technique consiste à attribuer aux nombres de 1 à 9 des vertus particulières<ref>{{lien web|auteur1=Géraldine Fabre et Renaud Lachaize|id=FabreLachaize|titre= La numérologie
« Tout est arrangé d’après le nombre » (Pythagore)|url= https://fr.scribd.com/document/49980339/Numerologie |site=fr.scrib.com|série=Les dossier de l'[[Observatoire zététique]]}}, p. 2</ref> puis à réduire les autres nombres à leur racine numérique pour leur attribuer des propriétés analogues{{sfn|Fabre|Lachaize|p=1}}.
 
Cette pratique s'applique également aux mots en remplaçant chaque lettre par la racine numérique de son rang dans l'alphabet. On peut alors travailler sur le mot comme sur un nombre et lui attribuer des qualités particulières.

Le prénom ALICE par exemple est codé en 13935 et réduit à sa racine numérique 3.

On peut ainsi définir à partir du prénom d'une personne son ''nombre actif'', à partir de son nom, son ''nombre héréditaire'' et à partir de sa date de naissance son ''chemin de vie'' . Selon les numérologues, on en déduirait  alors des éléments de sa personnalité et de sa destinée{{sfn|Fabre|Lachaize|p=3}}.

=== Carré védique et arabesques ===
Un carré védique est un tableau de 9 × 9 chiffres obtenu à partir de la table de multiplication des nombres de 1 à 9 en remplaçant le résultat de chaque multiplication par sa racine numérique. Les cases remplies d'un même nombre sont réparties en formant des figures symétriques suivant la diagonale<ref name=Ghannam59>{{ouvrage|langue=en|auteur=Talal Ghannam|titre=The mystery of Numbers|sous-titre=Revealed through their digital root|éditeur=Talal Ghannam|année=2012|page 59-62}}</ref>.

<div align="center">
{|class="wikitable" style="text-align:center; width:270px; height:270px" border="1"
! <math>\circ</math> !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9
|-
! 1
|style="background-color:#fbb"|1||style="background-color:#EFD7FF"|2||style="background-color:#ffa"|3||style="background-color:#EAFFEF"|4||style="background-color:#A4F0B7"|5||style="background-color:#BBDAFF"|6||style="background-color:#CEFFFD"|7||style="background-color:#EEEEFF"|8||style="background-color:#2FAACE"|9
|-
!2
|style="background-color:#EFD7FF"|2||style="background-color:#EAFFEF"|4||style="background-color:#BBDAFF"|6||style="background-color:#EEEEFF"|8||style="background-color:#fbb"|1||style="background-color:#ffa"|3||style="background-color:#A4F0B7"|5||style="background-color:#CEFFFD"|7||style="background-color:#2FAACE"|9
|-
!3
|style="background-color:#ffa"|3||style="background-color:#BBDAFF"|6||style="background-color:#2FAACE"|9||style="background-color:#ffa"|3||style="background-color:#BBDAFF"|6||style="background-color:#2FAACE"|9||style="background-color:#ffa"|3||style="background-color:#BBDAFF"|6||style="background-color:#2FAACE"|9
|-
!4
|style="background-color:#EAFFEF"|4||style="background-color:#EEEEFF"|8||style="background-color:#ffa"|3||style="background-color:#CEFFFD"|7||style="background-color:#EFD7FF"|2||style="background-color:#BBDAFF"|6||style="background-color:#fbb"|1||style="background-color:#A4F0B7"|5||style="background-color:#2FAACE"|9
|-
!5
|style="background-color:#A4F0B7"|5||style="background-color:#fbb"|1||style="background-color:#BBDAFF"|6||style="background-color:#EFD7FF"|2||style="background-color:#CEFFFD"|7||style="background-color:#ffa"|3||style="background-color:#EEEEFF"|8||style="background-color:#EAFFEF"|4||style="background-color:#2FAACE"|9
|-
!6
|style="background-color:#BBDAFF"|6||style="background-color:#ffa"|3||style="background-color:#2FAACE"|9||style="background-color:#BBDAFF"|6||style="background-color:#ffa"|3||style="background-color:#2FAACE"|9||style="background-color:#BBDAFF"|6||style="background-color:#ffa"|3||style="background-color:#2FAACE"|9
|-
!7
|style="background-color:#CEFFFD"|7||style="background-color:#A4F0B7"|5||style="background-color:#ffa"|3||style="background-color:#fbb"|1||style="background-color:#EEEEFF"|8||style="background-color:#BBDAFF"|6||style="background-color:#EAFFEF"|4||style="background-color:#EFD7FF"|2||style="background-color:#2FAACE"|9
|-
!8
|style="background-color:#EEEEFF"|8||style="background-color:#CEFFFD"|7||style="background-color:#BBDAFF"|6||style="background-color:#A4F0B7"|5||style="background-color:#EAFFEF"|4||style="background-color:#ffa"|3||style="background-color:#EFD7FF"|2||style="background-color:#fbb"|1||style="background-color:#2FAACE"|9
|-
!9
|style="background-color:#2FAACE"|9||style="background-color:#2FAACE"|9||style="background-color:#2FAACE"|9||style="background-color:#2FAACE"|9||style="background-color:#2FAACE"|9||style="background-color:#2FAACE"|9||style="background-color:#2FAACE"|9||style="background-color:#2FAACE"|9||style="background-color:#2FAACE"|9
|}
</div>

Les nombres d'une même rangée permettent de définir un algorithme de construction de figures cycliques ressemblant à des arabesques<ref name=Ghannam59/>. On peut définir d'autres algorithmes de constructions de figures s'appuyant sur la racine numérique d'une suite de Fibonacci<ref>{{article|langue=en|auteur=Lesley Jones|titre=Mathematics and Islamic Art|date=septembre 1989|périodique=Mathematics in School|numéro=4|volume=18|passage=32-35|jstor=30214622}}</ref>.

Ces figures seraient utilisées en décoration dans la civilisation arabe<ref>{{ouvrage|auteur= A. Paccard|titre=Le Maroc et l'artisanat traditionnel islmique dans l'architecture|année=1983|éditeur=édition atelier 74|page= 146-147}}</ref>.

== Généralisation à une base quelconque ==
La notion peut se généraliser à une base quelconque<ref>{{lien web|langue=en|auteur=Meimaris Antonios|titre=On the additive persistence of a number in base p|url=https://www.academia.edu/11654065/On_the_additive_persistence_of_a_number_in_base_p|date=14 mars 2015|page=1}}</ref>.

Soit <math>n</math> un entier naturel. Pour une [[Base (arithmétique)|base]] <math>b > 1</math> donnée on définit la somme des chiffres de <math>n</math> en base <math>b</math>, notée <math>F_b(n) : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> par 

<math>F_b(n) = \sum_{i=0}^{k-1} d_i</math>

où <math>k = \lfloor \log_{b}{n} \rfloor + 1</math> est le nombre de chiffres de <math>n</math> base <math>b</math>, et

<math>d_i = \frac{n \bmod{b^{i+1}} - n \bmod b^i}{b^i}</math> 

est la valeur du ''i''<sup>ème</sup> chiffre. <math>n</math> est un '''résidu''' si c'est un [[point fixe]] de <math>F_{b}</math>, c'est-à-dire si <math>F_{b}(n) = n</math>.

En base <math>b</math> les seuls résidus possibles sont les nombres de 0 à <math>b-1</math>. En effet si <math>n \geq b</math> on a nécessairement <math>F_{b}(n) < n</math> car <math>k > 1</math> et donc

<math> \sum_{i=0}^{k-1} d_i  < \sum_{i=0}^{k-1} d_i b^i</math>.

En revanche, si <math>n < b</math>  on a <math>F_{b}(n) = n</math>.

Les seuls résidus possibles sont donc compris entre 0 et <math>b-1</math> ; de plus, il n'y a pas de [[Cycle (théorie des graphes)|cycle]] en dehors des points fixes, ce qui garantit que l'application répétée de la fonction <math>F_{b}</math> aboutit nécessairement au résidu en un nombre fini d'étapes.
== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Digital root|528539170|type=note}}
{{Références}}
{{Portail|nombre}}

[[Catégorie:Arithmétique élémentaire]]

[[de:Quersumme#Einstellige (oder iterierte) Quersumme]]