Voir la source de Radian

{{confusion| Radiant (homonymie){{!}}Radiant}}
{{Redirect|Rad|homonymie=RAD}}
{{Infobox Unité
 | unité         = Radian
 | image         = Circle_radians.gif
 | légende       = Définition de l'angle en radians.
 | système       = [[Unités dérivées du Système international]]
 | quantité      = [[Angle plan]]
 | symbole       = rad
 | unités1       = 2[[Pi|π]] rad
 | en unités1    = [[Tour (angle)|tour complet]]
}}
Le '''radian''' (symbole : '''rad''') est l'[[unité d'angle]] ([[angle plan|plan]] ou [[angle dièdre|dièdre]]) du [[Système international d'unités|Système international]].  

Par définition, un angle ayant son sommet au centre d'un cercle a une mesure d'un radian s'il intercepte, sur la circonférence de ce cercle, un arc d'une longueur égale à celle du rayon du cercle.

Bien que le mot « radian » ait été inventé au cours des années 1870 par [[Thomas Muir (mathématicien)|Thomas Muir]] et [[James Thomson (ingénieur)|James Thomson]]<ref>{{Article|prénom1 = A.R.|nom1 = Crathorne|titre =The Word "Radian"|périodique = [[The American Mathematical Monthly]]|volume = 19|numéro=10-11|date = octobre-novembre 1912|doi = 10.2307/2971878|jstor=2971878|consulté le = 2015-09-07|pages = 166|langue = anglais}}.</ref>{{,}}<ref>{{article|langue=en|volume=32|numéro=7|doi=10.1119/1.2344073|date=juin 1998|titre=Whence the ‘‘Radian’’?|périodique={{lien|The Physics Teacher}}|pages=444–445|auteur1=Robert J. Whitaker}}.</ref>, les mathématiciens mesuraient depuis longtemps les angles en prenant pour unité le rapport entre la circonférence et la longueur du rayon.

== Définition ==
Considérons un secteur angulaire, formé de deux [[Droite (mathématiques)|droites]] concourantes distinctes, et un [[cercle]] de rayon ''r'' tracé dans un plan contenant ces deux droites, dont le centre est le point d'intersection des droites. Alors, la valeur de l'angle en radians est le rapport entre la longueur ''L'' de l'[[longueur d'un arc|arc]] de cercle intercepté par les droites et le rayon ''r''.
[[Fichier:Radian definition.png|vignette|Mesure d'un angle <math>\alpha</math> en radian]]
Un angle d'un radian intercepte sur la [[circonférence]] de ce cercle un arc d'une longueur égale au rayon. Un cercle complet représente un angle de 2[[pi|π]] radians, appelé ''angle plein''.

L'utilisation des radians est impérative lorsque l'on [[dérivée|dérive]] ou [[intégration (mathématiques)|intègre]] une [[fonction trigonométrique]] ou encore lorsque l'on utilise un [[développement limité]] de cette fonction trigonométrique : en effet, l'angle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens. De ce fait, le calcul des [[fonction trigonométrique|fonctions]] trigonométriques par une [[série de Taylor]] suppose l'expression des angles en radians, tout comme l'application de la [[formule d'Euler]], qui l'a posée en spécifiant que les angles devaient être mesurés par la longueur en rayons de l'arc qu'ils interceptent, plus d'un siècle avant l'invention du terme ''radian''.

== Petits angles ==
{{énoncé|Pour les petits angles exprimés en radians, sin ''x'' ≈ tan ''x'' ≈ ''x''.}}
* Pour un angle de valeur inférieure à 0,17 radian (soit ~10°), l'erreur est de moins de 1 % ;
* Pour un angle  de valeur inférieure à 0,05 radian (soit ~3°), l'erreur est de moins de 0,1 %{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2013|p=39}}.

Dans le domaine de la [[topographie]], où on traite d'angles faibles, on utilise le ''[[mil angulaire]]'', une unité pratique, définie comme l'angle qu'intercepte une longueur de {{unité|1|mm}} à une distance de {{unité|1|m}}. Elle sert, par exemple, à déterminer la distance d'une mire de hauteur connue par la mesure de sa [[taille apparente]]. Dans les conditions où elle sert, cette unité s'identifie avec un ''milliradian''.

== Relations entre grades, degrés  et radians ==
[[Fichier:Degree-Radian Conversion.svg|vignette|Diagramme pour la conversion entre degrés et radians.]]
{{énoncé|Un tour complet équivaut à 2[[Pi|π]] radians, 360 degrés, 400 grades.}}
Par conséquent,
* Un radian vaut environ 57,3° ou 57° 18' (360°÷2π) ;
* un degré vaut approximativement {{unité|17.5}} milliradians.
Les formules de conversion entre les degrés et les radians sont :
:<math>\theta_{deg} = \theta_{rad} \cdot {180 \over \pi}</math>
:.
:<math>\theta_{rad} = \theta_{deg} \cdot {\pi \over 180}</math>.

Les formules de conversion entre les grades et les radians sont :
:<math>\theta_{gra} = \theta_{rad} \cdot {200 \over \pi}</math>
:.
:<math>\theta_{rad} = \theta_{gra} \cdot {\pi \over 200}</math>.

{|class="wikitable"
|+ Quelques angles particuliers en radians, degrés, tours et grades :
|-----
!nom de l'angle
!valeur en radians (rad)
!valeur en degrés (°)
!valeur en tours (tr)
!valeur en grades (gon)
|-----
|angle nul||0 rad||0°||0 tr||0 gon
|-----
|milliradian||0,001||0,0573° ou 0° 3′ 26″ 16‴  ||0,00015915494 tr||0,063 661 977 gon
|-----
|||π/6 rad||30°||0,08333 tr (1/12 tr)||33,333 333 gon
|-----
|||π/4 rad||45°||0,125 tr (1/8 tr)||50 gon
|-----
|radian||1 rad||57° 17′ 44″ 48‴||0,1591549430919 tr (1/π/2 tr)||63,661 980 gon
|-----
|||π/3 rad||60°||0,1666 tr (1/6 tr)||66,666 666 gon
|-----
|angle droit||π/2 rad||90°||0,25 tr||100 gon
|-----
|||2π/3 rad||120°||0,333 tr||133,333 333 gon
|-----
|||3π/4 rad||135°||0,375 tr||150 gon
|-----
|angle plat||π rad||180°||0,5 tr||200 gon
|-----
|||5π/4 rad||225°||0,625 tr||250 gon
|-----
|||3π/2 rad||270°||0,75 tr||300 gon
|-----
|||7π/4 rad||315°||0,875 tr||350 gon
|-----
|angle plein||2π rad||360°||1 tr||400 gon
|}

== Éponymie ==
L'[[astéroïde]] {{PM1|206265|Radian}} [[éponymie|porte le nom]] de l'unité. À l'arrondi à l'unité près, 206265 est le nombre de [[secondes d'arc]] dans un radian et, par conséquent, également le nombre d'[[unité astronomique|unités astronomiques]] dans un [[parsec]] (valeur exacte : {{formatnum:648000}}/π)<ref>{{article|titre=(206265) Radian = {{PM2|2002 XP|115}}|périodique=[[WGSBN Bulletin]]|volume=4|numéro=13|page=20|date=23 septembre 2024|url=https://www.wgsbn-iau.org/files/Bulletins/V004/WGSBNBull_V004_013.pdf}}.</ref>.

== Voir aussi ==
{{Autres projets |wiktionary=radian |wiktionary2=rad }}

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|auteur1=Richard Taillet|auteur2=Loïc Villain|auteur3=Pascal Febvre|titre=[https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique Dictionnaire de physique]|lieu=Bruxelles|éditeur=[[De Boeck]]|année=2018|pages=976|isbn=9782807307445|titre chapitre=Radian}}<!-- cf. https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique -->

=== Articles connexes ===
* [[Angle]]
* [[Mil angulaire]]
* [[Degré (angle)]]
* [[Grade (angle)]]

=== Notes et références ===
{{Références}}

{{palette Système international}}
{{Portail|géométrie|physique}}

[[Catégorie:Unité dérivée du SI]]
[[Catégorie:Unité d'angle]]
[[Catégorie:Unité de mécanique]]
[[Catégorie:Trigonométrie]]
[[Catégorie:Éponyme d'un objet céleste]]