Voir la source de Rapidité (relativité)

{{Voir homonymes|Rapidité}}
En [[relativité restreinte]], la '''rapidité'''{{sfn|Semay|Silvestre-Brac|2021|loc={{nobr|sect. 2.1}}|p=30}}{{,}}{{note| groupe=alpha| En [[anglais]] : ''{{langue|en|texte=rapidity}}''{{sfn|Woodhouse|2014|loc={{§|3.2.4}}|p=45, {{col.|2}}}}.}} ou '''pseudo-vitesse'''{{sfn|Semay|Silvestre-Brac|2021|loc={{nobr|sect. 2.1}}|p=30}}{{,}}{{note| groupe=alpha| En anglais : ''{{langue|en|texte=pseudo-velocity}}''{{sfn|Woodhouse|2014|loc={{§|3.2.4}}|p=45, {{col.|2}}}}.}} est une mesure du mouvement. À faible vitesse, la rapidité et la vitesse sont égales (au coefficient multiplicateur [[vitesse de la lumière|{{mvar|c}}]] près), mais contrairement à la vitesse qui tend [[asymptote|asymptotiquement]] vers la vitesse de la lumière, la rapidité continue à augmenter linéairement à l'infini. L'intérêt de la rapidité vient du fait que, de par son caractère linéaire, elle préserve la relation de la mécanique classique entre vitesse et accélération (un voyageur peut donc calculer sa rapidité en [[intégration (mathématiques)|intégrant]] dans le temps, une mesure fournie par un [[accéléromètre]]). La rapidité permet aussi d'exprimer les [[transformations de Lorentz]] comme [[rotation hyperbolique]] dans l'[[espace de Minkowski]].

La rapidité est une quantité [[Grandeur sans dimension|sans dimension]]{{sfn|Pérez|2016|loc={{chap.|2}}, {{§|I.3}}, b)|p=24}}{{,}}{{sfn|Semay|Silvestre-Brac|2016|loc={{chap.|2}}, {{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} 2.1}}|p=30}}.

La rapidité est rarement utilisée dans les calculs car elle est moins pratique que la [[quadrivitesse]] dans les formules d'invariance de l'[[Quantité de mouvement|impulsion]]. De plus, elle nécessite de choisir un [[Référentiel (physique)|référentiel]] qui isole le [[vecteur]] vitesse ou de la différence des vitesses sur un seul axe.

== Définition ==
La rapidité <math>\ \varphi</math> d'un objet par rapport à un [[référentiel galiléen]] est l'[[Fonction hyperbolique#Applications réciproques|argument hyperbolique]] défini par{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{§|6.5.3}}|p=204 (6.80)}} :
:<math>\varphi=\operatorname{artanh}{\left(\frac vc\right)}=\frac12\ln\left(\frac{1+\dfrac vc}{1-\dfrac vc}\right)</math>
ou par{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{§|6.5.3}}|p=204 (6.81)}} :
:<math>\varphi=\operatorname{arcosh}{\left(\gamma\right)}=\ln\left(\gamma+\sqrt{\gamma^2-1}\right)</math>
où :
*{{mvar|v}} est la vitesse dans ce référentiel ;
*{{mvar|c}} la [[vitesse de la lumière]] ;
*{{mvar|γ}} est le [[facteur de Lorentz]]{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{§|6.5.3}}|p=204}} ;
*{{math|[[Fonction hyperbolique#Argument cotangente hyperbolique|artanh]]}} la [[bijection réciproque|fonction réciproque]] de la [[tangente hyperbolique]] ;
*{{math|[[Fonction hyperbolique#Argument cosinus hyperbolique|arcosh]]}} est la fonction réciproque du [[cosinus hyperbolique]] ;
*{{math|ln}} est la fonction [[logarithme népérien]].

== Détails ==
Soit un corps se déplaçant à la vitesse <math>w\,</math> par rapport à un référentiel R, qui lui-même se déplace à la vitesse <math>v\,</math> par rapport à un autre référentiel R', en supposant que <math>\vec w // \vec v</math>. La vitesse du corps par rapport à ce second référentiel est <math>w'\,</math>, calculée par :
:<math>w'=\frac{w+v}{1+\dfrac{w\,v}{c^2}}</math>.

En posant <math>\frac{w}{c} = \operatorname{tanh} \left(\theta\right) \, , \frac{w'}{c} = \operatorname{tanh} \left(\theta'\right) \, ,\frac{v}{c} = \operatorname{tanh} \left(\varphi\right) \, ,</math> on obtient, avec l'hypothèse que <math>\vec w // \vec v</math> et avec les formules de trigonométrie hyperbolique :
:<math>\theta'=\theta+\varphi</math>.

== Histoire ==
La rapidité est une des notions introduites dès {{date|1908|en science}}{{sfn|Minkowski|1908}} par [[Hermann Minkowski]] ({{date-|1864|en science}}-{{date-|1909|en science}}){{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{§|6.5.3}}, {{n.|historique}}|p=206}}. Mais celui-ci préfère employer le [[Produit (mathématiques)|produit]] {{formule|§=iφ}} plutôt que {{formule|§=φ}}{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{§|6.5.3}}, {{n.|historique}}|p=206}}. Le produit {{formule|§=iφ}} est aussi employé en {{date|1909|en science}} par [[Arnold Sommerfeld]] ({{date-|1868}}-{{date-|1951}}) afin de réduire les [[transformations de Lorentz]] spéciales à de la [[trigonométrie]] ordinaire au moyen des angles imaginaires{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{§|6.5.3}}, {{n.|historique}}|p=206}}. En {{date|1910|en science}}, la rapidité apparaît chez [[Vladimir Varićak]] ({{date-|1865|en science}}-{{date-|1942|en science}}){{sfn|id=Varićak_1910a|texte=Varićak 1910a}}{{,}}{{sfn|id=Varićak_1910b|Varićak 1910b}} et [[Edmund Taylor Whittaker|Edmund T. Whittaker]] ({{date-|1873|en science}}-{{date-|1956|en science}}){{sfn|Whittaker 1910}}. Le terme « rapidité » a été proposé en {{date|1911}}{{sfn|Robb|1911}} par [[Alfred Robb|Alfred A. Robb]] ({{date-|1873|en science}}-{{date-|1936|en science }}){{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{§|6.5.3}}, {{n.|historique}}|p=206}}.

== Notes et références ==

=== Notes ===
{{Références| groupe=alpha}}

=== Références ===
{{Références}}

== Bibliographie ==
* {{Article | langue=de | prénom=Hermann | nom=Minkowski | lien auteur=Hermann Minkowski | titre=Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern | traduction titre=Les équations fondamentales des phénomènes électromagnétiques dans les corps en mouvement | périodique=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-physikalische Klasse | année=1908 | pages=53-111 | wikisource=de:Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern | lire en ligne=https://archive.org/stream/nachrichten09klasgoog#page/n60/mode/1up | libellé=Minkowski 1908}}.
* {{Article | langue=de | prénom=Vladimir | nom=Varićak | lien auteur=Vladimir Varićak | titre=Anwendung der Lobatschefskijschen Geometrie in die Relativtheorie | périodique=[[Physikalische Zeitschrift]] | volume=11 | année=1910 | pages=93-96 | wikisource=de:Anwendung der Lobatschefskijschen Geometrie in der Relativtheorie | id=Varićak_1910a | libellé=Varićak 1910a}}.
* {{Article | langue=de | prénom=Vladimir | nom=Varićak | lien auteur=Vladimir Varićak | titre=Die Relativtheorie und die Lobatschefskijsche Geometrie | wikisource=de:Die Relativtheorie und die Lobatschefskijsche Geometrie | périodique=[[Physikalische Zeitschrift]] | volume=11 | année=1910 | pages=287-293 | id=Varićak_1910b | libellé=Varićak 1910b}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Edmund T. | nom=Whittaker | lien auteur=Edmund Taylor Whittaker | titre=A history of the theories of aether and electricity from the age of Descartes to the close of the nineteenth century | lieu=Londres et Dublin | éditeur=Longmans, Green and C° et Hodge, Figgis and C° | collection=Dublin University Press Series | année=1910 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XIII}}-475 | format livre={{unité|22|cm}} | oclc=493623032 | sudoc=089168348 | lire en ligne=https://archive.org/details/historyoftheorie00whitrich | consulté le=19 décembre 2021 | libellé=Whittaker 1910}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Alfred A. | nom=Robb | lien auteur=Alfred Robb | titre=Optical geometry of motion | sous-titre=a new view of the theory of relativity | traduction titre=Géométrie optique du mouvement : une nouvelle vision de la théorie de la relativité | lieu=Cambridge | éditeur={{nobr|{{abréviation discrète|W.|Williams}} Heffer}} | année=1911 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, [{{II}}]-32 | format livre={{unité|23|cm}} | oclc=12875850 | lire en ligne=https://archive.org/details/opticalgeometryo00robbrich | consulté le=25 août 2020 | libellé=Robb 1911}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Éric | nom1=Gourgoulhon | lien auteur1=Éric Gourgoulhon | préface=[[Thibault Damour]] | titre=Relativité restreinte | sous-titre=des particules à l'astrophysique | lieu=Les Ulis et Paris | éditeur=[[EDP Sciences]] et [[CNRS Éditions]] | collection=Savoirs actuels | série=Physique | date=mai 2010 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XXVI}}-776 | format livre={{unité|23|cm}} | isbn=978-2-7598-0067-4 | isbn10=2-7598-0067-9 | ean=9782759800674 | oclc=690639994 | bnf=414117131 | sudoc=14466514X | présentation en ligne=https://laboutique.edpsciences.fr/produit/5/9782759809233 | lire en ligne={{Google Livres|id=aHCY6CaHtWsC}} consulté le=27 janvier 2020 | libellé=Gourgoulhon 2010}}.
* {{Article | langue=en | prénom1=Jean-Marc | nom1=Lévy-Leblond | lien auteur1=Jean-Marc Lévy-Leblond | prénom2=Jean-Pierre | nom2=Provost | titre=Additivity, rapidity, relativity | traduction titre=Additivité, rapidité, relativité | périodique=[[American Journal of Physics|Am. J. Phys.]] | volume=47 | numéro=12 | mois={{date-|décembre|compact=oui}} | année=1979 | pages=1045-1049 | oclc=4660591626 | doi=10.1119/1.11972 | bibcode=1979AmJPh..47.1045L | résumé=https://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.11972 | libellé=Lévy-Leblond et Provost 1979}}.
* {{Article | langue=en | prénom=Jean-Marc | nom=Lévy-Leblond | lien auteur=Jean-Marc Lévy-Leblond | titre=Speed(s) | traduction titre=Vitesse(s) | périodique=[[American Journal of Physics|Am. J. Phys.]] | volume=48 | numéro=5 | date=05/1980 | pages=345-347 | oclc=4660605214 | doi=10.1119/1.12093 | bibcode=1980AmJPh..48..345L | résumé=https://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.12093 | libellé=Lévy-Leblond 1980}}.
* James H. Smith, ''Introduction à la relativité'', InterEditions (1968). {{2e|édition}} avec exercices corrigés (1979) {{ISBN|2-7296-0088-4}}. Réédité par Masson (Dunod - {{3e|édition}} - 1997), {{ISBN|2225829853}}.
* [http://www.phys.ens.fr/cours/notes-de-cours/jmr/relativite.pdf Notes de cours{{pdf}}] du professeur J.M. Raimond du Département de Physique de l’Ecole normale supérieure(ENS), {{nobr|pages 88 à 90}}.

=== Manuels d'enseignement supérieur ===
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=José-Philippe | nom=Pérez |champ libre=avec la {{abréviation discrète|collab.|collaboration}} d'Éric Anterrieu | titre=Relativité | sous-titre=fondements et applications | lieu=Paris | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]], hors {{coll.}} / sciences et techniques | date=05/2016 | réimpression={{date-|octobre 2017|compact=oui}} | numéro d'édition=3 | année première édition={{date-|septembre 1999|compact=oui}} | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{XXIII}}-439 | format livre={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{abréviation discrète|fig.|figure(s)}} et {{abréviation discrète|tabl.|table(s)}}, {{dunité|17,7|24|cm}}, {{abréviation discrète|br.|broché}} | isbn10=2-10-074717-7 | isbn1=978-2-10-077295-7 | isbn2=978-2-10-074717-7 | ean=9782100747177 | oclc=949876980 | bnf=450330711 | sudoc=193153297 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-fondements-et-applications-avec-150-exercices-et-problemes-resolus-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=qeA3DAAAQBAJ}} | consulté le=1 avril 2021 | libellé=Pérez 2016}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Claude | nom1=Semay | prénom2=Bernard | nom2=Silvestre-Brac | titre=Relativité restreinte | sous-titre=bases et applications | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences sup | date=11/2021 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|10/2005}} | pages totales={{X}}-309 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-10-082836-3 | isbn=978-2-10-082836-4 | ean=9782100828364 | oclc=1286364270 | sudoc=258655097 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-restreinte-bases-et-applications-cours-et-exercices-corriges-1 | lire en ligne={{Google Livres|id=wmFMEAAAQBAJ}} | consulté le=19 décembre 2021 | libellé=Semay et Silvestre-Brac 2021}}.

=== Dictionnaires et encyclopédies ===
* {{Chapitre | langue=en | prénom=Nick M. J. | nom=Woodhouse | titre=Relativity today | auteurs ouvrage=Abhay Ashtekar et Vesselin Petkov (éd. et préf.) | titre ouvrage=Springer handbook of spacetime | lieu=Berlin et Heidelberg | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | collection=Springer handbook | date=7/2014 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XXVI}}-887 | format livre={{unité|25|cm}} | isbn10=3-642-41991-7 | isbn=978-3-642-41991-1 | ean=9783642419911 | oclc=894030364 | doi=10.1007/978-3-642-41992-8 | bibcode=2014shst.book.....A | sudoc=181485206 | présentation en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-41992-8 | lire en ligne={{Google Livres|id=Gi9nBAAAQBAJ}} | consulté le=19 décembre 2021 | partie={{nobr|part. A}}, {{chap.|3}} | passage=39-60 <small>(</small>{{OCLC|7327008730|nu=}}, {{doi|10.1007/978-3-642-41992-8_3}}, {{Bibcode|2014shst.book...39W}}, {{lien web | description=résumé | url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-41992-8_3}}, {{lien web | description=lire en ligne | url={{Google Livres|Gi9nBAAAQBAJ|page=39}}}} | libellé=Woodhouse 2014}}).

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[[pl:Pospieszność]]