Voir la source de Rectangle

{{Voir homonymes|Rectangle (homonymie)}}
{{Infobox Polytope
 | nom = Rectangle
 | image = Rectangle Geometry Vector.svg
 | légende =
 | type = [[Polygone]]
 | arêtes = 4
 | sommets = 4
 | symbole de schläfli         = {4}
 | angle interne               = 90°
 | périmètre                   = {{math|''2L + 2l''}}
 | aire                        = {{math|''L * l''}}
 | propriétés=[[Construction à la règle et au compas|Constructible]]
}}

En [[géométrie]], un '''rectangle''' est un [[quadrilatère]] dont les quatre [[angle]]s sont [[angle droit|droits]].

== Définition et propriétés ==
Un [[quadrilatère]] est un [[polygone]] (donc une figure [[Plan (mathématiques)|plane]]) constitué de quatre [[point (géométrie)|points]] (appelés ''sommets'') et de quatre [[Segment (mathématiques)|segments]] (ou ''côtés'') liant ces sommets deux à deux de manière à délimiter un contour fermé.

{{Théorème|Définition|Un ''rectangle'' est un quadrilatère qui possède quatre angles droits.|style=display:table}}
<gallery>
Fichier:Six Quadrilaterals.svg|Quadrilatères. Les deux situés en haut à gauche (vert et marron) sont des rectangles.
Fichier:Rectangle 2.svg|Un rectangle, ses deux diagonales et un [[angle droit]] codé.
</gallery>
=== Démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle ===
[[Fichier:LambertQuad.svg|vignette|droite|Un quadrilatère avec trois angles droits.]]
Différentes propriétés caractéristiques permettent d'affirmer qu'un quadrilatère est un rectangle.

Il suffit qu'un quadrilatère possède trois angles droits pour être un rectangle.

Tout quadrilatère [[Polygone équiangle|équiangle]] (c'est-à-dire dont les quatre angles sont égaux) est un rectangle.

Si un quadrilatère est un [[parallélogramme]], alors il est un rectangle si l'une des propriétés suivantes est vérifiée :
* il possède deux côtés consécutifs perpendiculaires (autrement dit : il possède un angle droit) ;
* ses deux [[Polygone#Médianes et diagonales principales d'un polygone|diagonales]] ont la même [[longueur]].<!--L'expression "ont même longueur" est correcte et courante, merci de ne pas la "rectifier" sans cesse, cf. historique de l'article.-->

=== Propriétés ===
Un rectangle est un cas particulier de parallélogramme, donc :
* ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur ;
* ses deux diagonales se coupent en leur milieu ;
* ce milieu est un centre de [[symétrie]] du rectangle.
Il possède des propriétés supplémentaires :
* ses diagonales sont de même longueur ;
* il possède deux axes de symétrie, qui sont les [[médiatrice]]s de ses côtés ;
* les diagonales étant de même longueur et sécantes en leur milieu ''O'', les quatre sommets du rectangle sont équidistants de ''O'', ce qui signifie qu'il existe un [[cercle]] de centre ''O'' passant par ces quatre sommets, appelé [[cercle circonscrit]] au rectangle, qui est lui-même dit [[Quadrilatère inscriptible|inscrit dans ce cercle]].

Tout rectangle peut servir à constituer un [[pavage]] du plan. Cela signifie qu'il est possible, avec des rectangles identiques, de recouvrir tout le plan sans superposer deux rectangles. Des droites perpendiculaires partagent le plan en zones rectangulaires.

<gallery>
Fichier:Pattern brick 32.png
Fichier:Herringbone pattern as hexagonal tiling.svg
</gallery>

=== Mesures ===
[[Fichier:Rectangle 4x5.svg|vignette|gauche|Ce rectangle a pour largeur 4 et pour longueur 5. Son [[périmètre]] est égal à 18 et son [[aire (géométrie)|aire]] à 20.]]
{|class="wikitable" style="float:right"
|-
| Périmètre
| 2&nbsp;×&nbsp;(''a''&nbsp;+&nbsp;''b'')
|-
| Aire 
| ''a''&nbsp;×&nbsp;''b''
|-
| Diagonale
| {{sqrt|''a''{{2}} + ''b''{{2}}}}
|}

Les côtés d'un rectangle étant deux à deux de même longueur ''a'' et ''b'', il est d'usage d'appeler ''dimensions'' du rectangle ces deux nombres. Le plus grand est la ''longueur'' du rectangle, le plus petit sa ''largeur''.

Un rectangle de côtés ''a'' et ''b'' possède une [[aire (géométrie)|aire]] égale à ''a''&nbsp;×&nbsp;''b'', et un [[périmètre]] de 2&nbsp;×&nbsp;(''a''&nbsp;+&nbsp;''b''). La somme ''a''&nbsp;+&nbsp;''b'' est parfois appelée ''demi-périmètre'' du rectangle.

L'application du [[théorème de Pythagore]] permet de constater que les diagonales du rectangle sont égales et mesurent <math>\sqrt{a^2+b^2}.</math>

Ces mesures sont résumées dans le tableau ci-contre.

Deux rectangles qui ont même longueur ''a'' et même largeur ''b'' sont [[isométrie|isométriques]]. Cela signifie qu'ils sont superposables : l'un des deux peut être transformé en l'autre par une succession de [[Translation (géométrie)|translations]], [[Rotation plane|rotations]] ou [[symétrie axiale|retournements]]. 

=== Format d'un rectangle ===
Le [[Fraction (mathématiques)|quotient]] {{sfrac|''a''|''b''}} ( longueur/largeur) est appelé ''format'' du rectangle. Tous les rectangles de formats égaux sont [[similitude (géométrie)|semblables]] : il existe un agrandissement (ou une réduction) permettant de passer de l'un à l'autre. Autrement dit, ils ont « la même forme ». Comme la longueur est supérieure ou égale à la largeur, le format est un nombre supérieur ou égal à 1. Un format égal à 1 est caractéristique d'un [[carré]]. Plus le format est grand, plus le rectangle est « allongé ».
{{clr}}

== Rectangles remarquables ==
=== Carré  ===
{{Article détaillé|Carré}}
Un [[carré (géométrie)|carré]] est un rectangle particulier dont les [[Losange|quatre côtés ont la même longueur]].

=== Rectangle d'or ===
{{Article détaillé|Rectangle d'or}}
Un rectangle d'or est un rectangle dont le format est égal au [[nombre d'or]].
[[Fichier:Root_rectangles_up_to_6.png|vignette|300x300px]]

=== Rectangles de format la racine carrée d'un entier ===
Le rectangle de format égal à <math>\sqrt n</math> pour <math>n</math> entier > 0 peut être [[Construction à la règle et au compas|construit à la règle et au compas]] par la méthode illustrée ci-contre.

Pour <math>n=2</math>, il s'agit du [[format A4]].

Pour <math>n=3</math>, voir [[Racine_carrée_de_trois#En_géométrie]].

Pour <math>n=7</math>, voir la [[Racine carrée de sept#En dehors des mathématiques|particularité du billet de un dollar]].

=== Autres formats remarquables ===
Voir les divers formats d'[[écran de télévision]] et [[écran d'ordinateur|d'ordinateur]].

== Une illustration de la notion de distance de Hausdorff ==
{{Pertinence section|date=janvier 2018|texte=pertinence de cette section dans un article de maths élémentaire}}
C'est ce qu'offre dans le cadre de la géométrie élémentaire le rectangle<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Michael F.Barnsley|titre=Fractals everywhere|éditeur=|année=1993|pages totales=531|passage=exercice 6.8 p.30|isbn=978-0-12-079069-2|isbn2=0-12-079069-6|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=oh7NoePgmOIC&printsec=frontcover}}</ref>:
[[Fichier:Rectangle et sa frontière.svg|vignette|a=3, b=2, d<sub>H</sub>(R,Fr(R))=LK=1]]
{{refsou|Soit R un rectangle de largeur b et de longueur a. Alors la [[distance de Hausdorff]] entre R et sa [[frontière (topologie)]] est égale à b/2. Elle est réalisée pour tout KL où K est un point d'un segment de longueur a-b inclus dans la [[Médiane (géométrie)|médiane]] relative à la largeur et L le projeté orthogonal de K sur une longueur du rectangle. Cette distance est utile pour calculer la distance de Hausdorff entre deux itérés successifs du [[tapis de Sierpinski]] associé à un rectangle.}}
{{Références}}
{{Clr}}

== Annexes ==
{{Autres projets|commons=Category:Rectangular objects|commons titre=Objets rectangulaires|wiktionary=rectangle}}
* Bibliographie : Patricia Rulence-Pâques, ''Perception de surface et inférence de surface : le cas de la surface du rectangle'', EHESS, Université Paris 5, 1996 (thèse de doctorat de Psychologie)
* Filmographie : ''Rectangle et rectangles'', séquence de 8 min 29 s, 1984, du film canadien ''{{Lang|en|Geometry on the move, playing with shapes and forms}} / Géométrie en mouvement, jeux et formes'', réalisé par Gayle Thomas, [[René Jodoin]] et [[Norman McLaren]], [[Office national du film du Canada]], 2006 ([[DVD]])

{{Palette|Polygones}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Quadrilatère]]