Voir la source de Relation binaire

{{Homon|Relation|Binaire}}
En [[mathématiques]], une '''relation binaire entre deux ensembles''' <math>E</math> et <math>F</math> (ou  simplement ''relation entre <math>E</math> et <math>F</math>'') est définie par un [[Inclusion (mathématiques)|sous-ensemble]] du [[produit cartésien]] <math>E\times F</math>, soit une collection de [[couple (mathématiques)|couples]] dont la première composante est dans ''<math>E</math>'' et la seconde dans <math>F</math>. Cette collection est désignée par le ''graphe de la relation''. Les composantes d'un couple appartenant au graphe d'une relation ''<math> \mathcal{R}</math>'' sont dits ''en relation'' par ''<math> \mathcal{R}</math>''. Une relation binaire est parfois appelée '''correspondance''' entre les deux ensembles.

Par exemple, en [[géométrie plane]], la relation d'incidence entre un point et une droite du plan « le point ''A'' est sur la droite ''d'' » est une relation binaire entre l'ensemble des points et l'ensemble des droites du plan. Les [[application (mathématiques)|fonctions ou applications]] d'un ensemble <math>E</math> dans un ensemble <math>F</math> peuvent être vues comme des cas particuliers de relations binaires entre <math>E</math> et <math>F</math>.

Lorsque <math>F=E</math>, l'ordre des deux composantes d'un couple a son importance. Par exemple, la relation « … est strictement inférieur à … », notée <, sur l'ensemble '''N''' des [[entier naturel|entiers naturels]] est une relation sur '''N''' ; on note <math>n<p</math> pour indiquer que <math>n</math> et <math>p</math> sont en relation. Le couple (1, 2) est un élément du graphe, contrairement au couple (2, 1).

La notion de relation peut être généralisée à plus de deux arguments, voir « [[Relation (mathématiques)]] ».

== Introduction ==
De manière informelle, une relation entre deux [[ensemble]]s est une proposition qui lie certains éléments du premier ensemble avec d'autres éléments du second ensemble.

Sur un ensemble ''F'' constitué de filles et un ensemble ''G'' constitué de garçons, par exemple, on pourrait définir une relation « Alice aime Bernard », ou une autre relation  « Béatrice connaît Paul »… On peut donc voir la relation comme étant des fils reliant des éléments de deux ensembles.
[[Fichier:Relation binaire.png|thumb|center|Exemple de représentation sagittale dans le cas d'une composition externe entre deux ensembles disjoints.]]

Si la relation est une composition interne au sein du même ensemble, ou entre deux ensembles  dont l'un recouvre totalement ou en partie l'autre, la représentation sagittale pourra être plutôt celle d'un [[graphe orienté]], afin de ne positionner qu'une seule fois au même endroit [[Théorie des graphes|sur le graphe les nœuds]] qui représentent des éléments présents dans les deux ensembles. (Le sens des flèches doit être explicitement indiqué, et les liens d'un nœud vers lui-même pour chacun des éléments liés réflexivement ne doivent pas être omis à moins qu'ils soient implicites pour tous les éléments d'une relation interne).

Dans le cas d'un [[ensemble fini]], on peut alors tenter de représenter la relation par un diagramme. Si ''F'' = {Lucie, Béatrice, Delphine, Alice} et si ''G'' = {Bernard, Antoine, Paul, Charles}, la relation ''aime'' peut être schématisée par le diagramme joint (un tel diagramme est dit [[diagramme sagittal]]).

On peut également représenter cette relation, par un tableau à deux entrées, avec en première colonne la liste des éléments de l'ensemble de départ  ''F'', et en première ligne celle des éléments de l'ensemble d'arrivée ''G''. Les couples sont représentés par des croix dans les cases à l'intersection de la ligne de la première composante et de la colonne de la seconde composante.

{| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" align="center"
|+ ''Exemple de [[représentation matricielle]]''.
! style="border: 1px #ccc" | .
! style="border: 1px #ccc" | Bernard
! style="border: 1px #ccc" | Antoine
! style="border: 1px #ccc" | Paul
! style="border: 1px #ccc" | Charles
|----
! style="border: 1px #ccc" | Lucie
| style="border: 1px #ccc" | X
| style="border: 1px #ccc" | X
| style="border: 1px #ccc" | X
| style="border: 1px #ccc" | .
|----
! style="border: 1px #ccc" | Béatrice
| style="border: 1px #ccc" | .
| style="border: 1px #ccc" | X
| style="border: 1px #ccc" | .
| style="border: 1px #ccc" | .
|----
! style="border: 1px #ccc" | Delphine
| style="border: 1px #ccc" | .
| style="border: 1px #ccc" | .
| style="border: 1px #ccc" | .
| style="border: 1px #ccc" | .
|----
! style="border: 1px #ccc" | Alice
| style="border: 1px #ccc" | X
| style="border: 1px #ccc" | .
| style="border: 1px #ccc" | X
| style="border: 1px #ccc" | .
|}


On pourra déplorer le fait que Delphine n'aime personne, que Lucie ait un cœur généreux et que Charles puisse se sentir seul.

On peut aussi tenter de faire la liste des couples ainsi en relation (pour plus de commodité, on ne conservera que les deux premières lettres du prénom) :
:Gr = {(Lu,Be) , (Lu, An) , (Lu, Pa) , (Bé, An) , (Al, Pa) , (Al, Be)}
En mathématiques, un « couple » est formé de deux éléments mis entre parenthèses dans un ordre particulier. La relation est définie comme un ensemble de couples, c'est-à-dire que si deux éléments sont reliés entre eux, alors le couple est un élément de l'ensemble ''relation''. Si l'on appelle ''F'' l'ensemble des filles, et ''G'' l'ensemble des garçons, alors l'ensemble de tous les couples possibles est appelé « produit cartésien de ''F'' par ''G'' » et est noté ''F'' × ''G'' et la relation ''aime'' est alors définie par l'ensemble ''F'', l'ensemble ''G'' et un sous-ensemble de ''F'' × ''G''.

== Définition formelle ==

Une '''relation binaire''' <math> \mathcal{R}</math> d'un ensemble <math>E</math> vers un ensemble ''<math>F</math>'' est définie par une partie <math> \mathcal{G}</math> de <math>E\times F</math>.

Si <math> (x,y)\in\mathcal{G}</math>, on dit que <math> x</math> est en relation avec <math> y</math> et l'on note «  ''<math> x\mathcal{R}y</math>''  » ([[notation infixe|notation infixée]]), « <math> \mathcal{R}(x,y)</math>», « <math> \mathcal{R}\,x\,y</math>  » ([[notation préfixée|notations préfixées]]).

On remarquera qu'il est nécessaire, pour une relation binaire, de préciser l'ensemble <math>E</math> (appelé '''ensemble de départ'''<ref name=EII.10/>), l'ensemble ''<math>F</math>'' (appelé '''ensemble d'arrivée'''<ref name=EII.10/>) et la partie <math> \mathcal{G}</math> de <math>E\times F</math> appelée le '''graphe'''<ref name=EII.10/> de la relation. Mais pour simplifier, on identifie souvent la relation <math> \mathcal{R}</math> avec son graphe <math> \mathcal{G}</math>.

Quand une relation binaire est définie d'un ensemble <math>E</math> vers lui-même (autrement dit <math> E = F</math> dans la définition précédente, donc définie par une partie <math> \mathcal{G}</math> de <math> E^2</math>), on l'appelle aussi '''relation interne''' dans <math>E</math>, ou simplement relation dans <math>E</math>.

;Exemples
:*Pour tout ensemble <math>E</math>, la [[Appartenance (mathématiques)|relation d'appartenance]] sur <math> E\times P(E)</math> a pour ensemble de départ <math>E</math> et pour [[ensemble d'arrivée]] l'[[Ensemble des parties d'un ensemble|ensemble ''P''(''E'') des parties de ''E'']].
:*La [[Inclusion (mathématiques)|relation d'inclusion]] sur <math> P(E)</math> est une relation interne ([[#Relation d'ordre|d'ordre]]) .

L''''ensemble de définition''', ou '''domaine'''<ref name=EII.10>{{Harvsp|Bourbaki|p=E II.10}}, {{Google Livres|VDGifaOQogcC|page autre=SL252-PA10|aperçu}}.</ref> de <math> \mathcal{R}</math> est l'[[Image directe|image]] de son graphe par la [[Produit cartésien#Produit cartésien d'une famille d'ensembles|première projection]] <math>E\times F\to E</math>, c'est-à-dire l'ensemble :
{{Retrait|<math>\{x\in E\mid\exists y\in F\quad (x,y)\in \mathcal G\}.</math>}}
L''''image''', ou '''ensemble des valeurs'''<ref name=EII.10/> de <math> \mathcal{R}</math> est l'image de son graphe par la seconde projection <math>E\times F\to F</math>, c'est-à-dire l'ensemble :
{{Retrait|<math>\{y\in F\mid\exists x\in E\quad (x,y)\in \mathcal G\}.</math>}}

Si <math> \mathcal{R}</math> et <math> \mathcal{S}</math> sont deux relations de <math>E</math> vers ''<math>F</math>'', <math> \mathcal{S}</math> est dite '''plus fine que''' <math> \mathcal{R}</math> si son graphe est inclus dans celui de <math> \mathcal{R}</math>, c'est-à-dire si <math> x\mathcal S y\Rightarrow x\mathcal R y</math>.

Une relation binaire peut aussi être vue comme une « [[fonction multivaluée]] », également appelée « correspondance », et le vocabulaire dans ce contexte désigne les mêmes notions (en particulier : [[Graphe d'une fonction|graphe]], [[ensemble de définition]], [[Image d'une application|image]], [[Bijection réciproque|réciproque]])<ref>{{Ouvrage|auteur1=Dany-Jack Mercier|titre=Acquisition des fondamentaux pour les concours|volume=1|éditeur=[[Publibook]]|année=2012|passage=104|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|jMafcpcMN4UC|page=104}}}}.</ref>.

== Composition, réciproque et complémentaire ==

=== Composition ===
Si <math>\mathcal R</math> est une relation de <math>E</math> vers <math>F</math> et <math>\mathcal S</math> une relation de ''<math>F</math>'' vers <math> G</math>, on peut définir une relation <math>\mathcal S\circ\mathcal R</math> de <math>E</math> vers <math> G</math> par :
: <math>\mathcal G_{\mathcal S\circ\mathcal R}=\left\{(x,y)\in E\times G\mid\exists z\in F\quad(x,z)\in\mathcal G_R\text{ et }(z,y)\in\mathcal G_S\right\}.</math>

Notation : si <math>\mathcal R</math> est une relation interne sur un ensemble <math>E</math> et <math> n</math> un entier naturel, on note <math>\mathcal R^n</math> la composition de <math>\mathcal R</math> avec elle-même <math> n</math> fois, avec la convention que <math>\mathcal R^0</math> dénote la [[Égalité (mathématiques)|relation d'égalité]] sur <math>E</math>.

=== Réciproque ===
Si <math>\mathcal R</math> est une relation de <math>E</math> vers ''<math>F</math>'', on peut définir une  relation de ''<math>F</math>'' vers <math>E</math> dite relation  '''inverse''', '''réciproque''' ou '''converse''', par : 
:<math>\mathcal G_{\mathcal R^{-1}}=\left\{(x,y)\in F\times E\mid(y,x)\in\mathcal G_{\mathcal R}\right\}.</math>

Exemples :
: « plus petit que » (≤) et « plus grand que » (≥) sont des relations réciproques l'une de l'autre (pour n'importe quelle [[#Relation d'ordre|relation d'ordre]] ≤) ;
: « aime » et « est aimé par » sont aussi réciproques l'une de l'autre.

La représentation d'une relation réciproque se déduit simplement de celle de la correspondance de départ :
* pour la représentation sagittale, en changeant le sens des liens (vu de la gauche vers la droite sur le schéma) ;
* pour une représentation matricielle, en échangeant lignes et colonnes, c'est-à-dire en prenant la [[matrice transposée]].

Par construction, la réciproque d'une relation binaire a les propriétés suivantes :
*le domaine et l'image de <math> \mathcal{R}</math>{{-1}} sont respectivement l'image et le domaine de <math> \mathcal{R}</math> ;
* la réciproque de la réciproque d'une relation <math> \mathcal{R}</math> est la relation <math> \mathcal{R}</math> elle-même.

De plus, une [[#Définition formelle|relation interne]] est [[#Relation symétrique|symétrique]] (resp. [[#Relation réflexive|réflexive]], resp. [[#Relation irréflexive|antiréflexive]]) si (et seulement si) sa réciproque l'est.

=== Complémentaire ===
Si <math>\mathcal{R}</math> est une relation de <math>E</math> vers ''<math>F</math>'', on peut définir une  relation de <math>E</math> vers ''<math>F</math>'' dite relation '''complémentaire'''<ref>Voir, par exemple, la définition 5 de ce [http://imss-www.upmf-grenoble.fr/prevert/SpecialiteIHS/Maths/Rel_Bin_0708.pdf petit cours].</ref>, ou '''complément logique''', par : 
:<math> \mathcal{G}_{\mathcal{{}\over R}} = \left\{ ( x , y ) \in E \times F \mid( x , y ) \notin \mathcal{G}_{\mathcal{R}} \right\}.</math>

Exemples :
: « plus petit que » (≤) et « strictement plus grand que » (>) sont des relations complémentaires l'une de l'autre pour n'importe quel [[ordre total]] ≤ (comme l'ordre sur les réels) ;
: « aime » et « n'aime pas » sont aussi complémentaires l'une de l'autre.

La représentation de la relation complémentaire de <math> \mathcal{R}</math> se déduit simplement de celle de <math> \mathcal{R}</math> :
* pour la représentation sagittale, en supprimant tous les liens déjà existants et ajoutant ceux qui n'existent pas encore (y compris ceux en sens opposés si c'est une composition interne et la représentation est un graphe orienté sur un seul ensemble, sinon en ajoutant ceux qui manquent dans le même sens entre les éléments des deux ensembles tracés séparément) ;
* pour une représentation matricielle, en remplaçant par leur complément logique les valeurs booléennes de chacune des cellules de la matrice.

Par construction, le complémentaire d'une relation binaire a les propriétés suivantes :
* le complémentaire du complémentaire d'une relation <math> \mathcal{R}</math> est la relation <math> \mathcal{R}</math> elle-même ;
* le complémentaire de la réciproque d'une relation <math> \mathcal{R}</math> est la réciproque du complémentaire de <math> \mathcal{R}</math>.

De plus, une [[#Définition formelle|relation interne]] est :
*[[#Relation symétrique|symétrique]] si et seulement si sa relation complémentaire l'est ;
*[[#Relation réflexive|réflexive]] si et seulement si sa relation complémentaire est [[#Relation irréflexive|antiréflexive]].

== Relation fonctionnelle ==
{{Article détaillé|Fonction (mathématiques)}}
Lorsque, pour tout élément <math> x</math> de <math>E</math>, <math> x</math> n'est en relation qu'avec 0 ou 1 élément <math> y</math> de ''<math>F</math>'', on dit que la relation est ''fonctionnelle''. C'est une façon élémentaire de définir la notion de '''fonction'''.
En [[langage formel]], la propriété précédente s'écrit :
:<math> \forall x \in E\quad\forall y \in F\quad\forall z \in F\quad[ ( x , y ) \in \mathcal{G}_{\mathcal{R}} \land ( x , z ) \in \mathcal{G}_{\mathcal{R}} ] \Rightarrow  ( y = z ).</math>

Exemple important :
: La [[Diagonale#Pour un ensemble|diagonale]] de <math>E</math> est définie par :
:: <math> \Delta_E = \left\{ ( x , x )\mid x \in E \right\}.</math>
: C'est le graphe de la relation d'[[Égalité (mathématiques)|égalité]] sur '''<math>E</math>''', notée <math> =_E</math>, ou <math> =</math> en l'absence d'ambiguïté sur l'ensemble concerné.
: Cette relation est aussi une fonction, l'[[Application identité|identité]] de <math>E</math>, notée <math> id_E</math>.

== Relation sur (ou dans) un ensemble ==
[[File:ClasiBinaFr 001.svg|thumb|right]]
Dans le cas particulier où <math> E=F</math>, on dit que <math> \mathcal{R}</math> est une relation binaire définie '''sur''' <math>E</math> ou '''dans''' <math>E</math>.

=== Propriétés liées à la réflexivité ===
{{Article détaillé|Relation réflexive{{!}}Relation réflexive et Relation antiréflexive}}

==== Relation réflexive ====
La relation <math> \mathcal{R}</math> sur <math>E</math> est dite [[Relation réflexive|réflexive]] si tout élément de <math>E</math> est en relation avec lui-même, c'est-à-dire si :
:<math> \forall x \in E\quad x \mathcal{R} x.</math>

==== Relation irréflexive ====
La relation <math> \mathcal{R}</math> sur <math>E</math> est irréflexive ou [[Relation antiréflexive|antiréflexive]] si aucun élément de <math>E</math> n'est en relation avec lui-même, c'est-à-dire si :
:<math> \forall x \in E\quad x \cancel{\mathcal R} x.</math>

Une relation peut n'être ni réflexive, ni antiréflexive.

=== Propriétés liées à la symétrie ===

==== Relation symétrique ====
{{Voir|Relation symétrique}}
La relation <math> \mathcal{R}</math> est [[Relation symétrique|symétrique]] si :
:<math>\forall (x,y) \in E^{2}, x \mathcal{R} y\Rightarrow y \mathcal{R} x.</math>

==== Relation antisymétrique ====
{{Voir|Relation antisymétrique|Relation asymétrique}}

La relation <math> \mathcal{R}</math> est dite :
*[[Relation antisymétrique|antisymétrique]] (ou faiblement antisymétrique) si :{{Retrait|<math>\forall (x,y) \in E^{2}, ( x \mathcal{R} y\wedge y \mathcal{R} x )\Rightarrow x = y</math> ;}}
*[[Relation asymétrique|asymétrique]] (ou fortement antisymétrique) si :
{{Retrait|<math>\forall (x,y) \in E^{2}, x \mathcal{R} y\Rightarrow ( y\cancel \mathcal{R} x ),</math>}}  ou encore, si elle est à la fois antisymétrique (au sens faible) et [[#Relation irréflexive|antiréflexive]].
Une relation peut n'être ni symétrique, ni antisymétrique.

=== Transitivité ===
{{Article détaillé|Relation transitive}}
La relation <math> \mathcal{R}</math> sur <math>E</math> est [[Relation transitive|transitive]] si, lorsqu'un premier élément de <math>E</math> est en relation avec un deuxième élément lui-même en relation avec un troisième, le premier élément est aussi en relation avec le troisième, c'est-à-dire si :
:<math> \forall x,y,z\in E\quad(x \mathcal{R} y\wedge y \mathcal{R} z)\Rightarrow x\mathcal{R} z,</math>
ou encore, si son graphe contient celui de sa composée avec elle-même, ce qui s'écrit :
:<math> \mathcal{G}_{\mathcal{R} \circ \mathcal{R}} \subseteq \mathcal{G}_{\mathcal{R}}.</math>

On appelle [[Fermeture transitive|clôture transitive, ou fermeture transitive]] de <math>\mathcal{R}</math> la relation
:<math>\mathcal{R}^{trans}=\bigcup_{n\geq 1}\mathcal{R}^n.</math>
C'est la plus petite (au sens de l'inclusion des graphes) relation transitive contenant <math> \mathcal{R}</math>.

=== Relation totale ===
La relation <math> \mathcal{R}</math> sur <math>E</math> est dite '''{{Lien|trad=Connected relation|Relation totale|texte=totale}}'''<!--https://books.google.fr/books?id=wCFH1RWSknYC&pg=PA188--> si : 
:<math> \forall x,y\in E\quad x \mathcal{R} y\vee  y \mathcal{R} x</math>
ou encore, si l'union de son graphe avec celui de sa réciproque est égal au [[Produit cartésien|carré cartésien]] de <math>E</math>, ce qui s'écrit :
:<math> \mathcal{G}_{\mathcal{R}} \cup \mathcal{G}_{\mathcal{R}^{-1}} = E^2</math>.

On emploie le plus souvent ce qualificatif à propos des [[#Relation d'ordre|relations d'ordre]].

Toute relation totale est [[#Relation réflexive|réflexive]].

=== Relation d'équivalence ===
{{Article détaillé|Relation d'équivalence}}
Une [[relation d'équivalence]] est une relation [[#Relation réflexive|réflexive]], [[#Transitivité|transitive]] et [[#Relation symétrique|symétrique]].

=== Relation d'ordre ===
{{Article détaillé|Relation d'ordre}}
Une [[relation d'ordre]] est une relation [[#Relation réflexive|réflexive]], [[#Transitivité|transitive]] et [[#Relation antisymétrique|antisymétrique]].

Si une relation d'ordre est [[#Relation totale|totale]], on dit que c'est un [[ordre total]]. Dans les [[Ordre total#Contre-exemples|cas contraires]], on dit que c'est seulement un ordre partiel.

=== Relation de tournoi ===
Un tournoi est une relation binaire [[#Relation totale|totale]] et [[#Relation antisymétrique|antisymétrique]]<ref>Nathalie Caspard, Bruno Leclerc, Bernard Monjardet, ''Ensembles ordonnés finis : concepts, résultats et usages'', Springer, 2007, [https://books.google.fr/books?id=xLHxGJz2mPUC&pg=PA59#v=onepage&q&f=false Définition 2.24, p. 59]</ref>. La condition s'écrit :

<math>\forall (x,y) \in E^2,\left(x \neq y \Rightarrow (xRy\Leftrightarrow  y\cancel R x)\right)
\and \left(x =y \Rightarrow xRy \right)</math>

Cette définition est à rapprocher (sans lui correspondre totalement) à celle de [[tournoi (théorie des graphes)|tournoi]] en théorie des graphes : un tournoi est un graphe orienté vérifiant<ref>Houmem Belkhechine. ''[https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00609544/document Indécomposabilité des graphes et des tournois]'', Mathématiques générales, Université Claude Bernard - Lyon I; Université de Sfax. Faculté des sciences, 2009, p. 14.</ref> 
:<math>\forall (x,y) \in E^2,x \neq y, (x,y)\in \mathcal A \Leftrightarrow  (y,x) \notin \mathcal A</math>
où <math>\mathcal A</math> est l’ensemble des arêtes du graphe.

Un tournoi permet de modéliser les tournois en compétition sportive où chaque équipe joue contre toutes les autres sans match nul.

=== Relation bien fondée ===
{{article détaillé|Relation bien fondée}}

== Dénombrements concernant les relations binaires entre des ensembles finis ==
Considérons un ensemble <math>E</math> fini de cardinal <math> n</math> et un ensemble ''<math>F</math>'' fini de cardinal <math> p</math>.

Il y a autant de relations binaires de <math>E</math> sur ''<math>F</math>'' que de parties de <math>E\times F</math> (ou d'applications de <math>E\times F</math> dans {0, 1} ), ce qui donne <math> 2^{np}</math> relations.

En particulier, si <math> E = F</math>, on trouve <math> 2^{n^2}</math> relations binaires sur <math>E</math>, dont
*<math> 2^{n(n-1)}</math> relations réflexives, voir la {{OEIS|A053763}}.
*<math> 2^{n(n+1)/2}</math> relations symétriques.
*<math> 2^{n(n-1)/2}</math> relations réflexives et symétriques, voir la {{OEIS|A006125}}.
*<math> 2^n.3^{n(n-1)/2}</math> relations antisymétriques, voir la {{OEIS|A083667}}.
*<math> 3^{n(n-1)/2}</math> relations totales.
*<math> 2^{n(n+1)/2}</math> relations de tournoi.
*<math> n!</math> relations d'ordre totales.
*<math>B_n</math> relations d'équivalences, où <math>B_n</math> est le [[nombre de Bell]].
* Pour le nombre de relations transitives, il n'y a pas actuellement de formule « fermée » ; voir la {{OEIS|A006905}}.
*De même pour le nombre de relations d'ordre : voir la {{OEIS|A001035}}.
== La catégorie des relations binaires ==
Les relations binaires et la composition des relations forment une [[Théorie des catégories|catégorie]] que l'on appelle la [[catégorie des relations]] et que l'on note '''Rel'''.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Liens ==
* {{Bourbaki-Ensembles}}
* {{halmos65}}
* {{moschovakis-notes}}
* [[Alfred Tarski]] & Givant, Steven, 1987. 2004, « A Formalization of Set Theory Without Variables », [[American Mathematical Society]].
* {{lien | langue = en | fr = Roger Maddux | trad= Roger Maddux| texte=Maddux, Roger D.}}, 2006. ''Relation Algebras'', vol. 150 in "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", Elsevier Science.

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Relation binaire|*]]