Voir la source de Représentations d'un groupe fini

{{En-tête label|BA|année=2008}}
{{confusion|présentation d'un groupe}}
En [[mathématiques]], un [[groupe (mathématiques)|groupe]] est une [[structure algébrique]] qui consiste en un ensemble muni d'une unique [[loi de composition interne]]. Cette loi vérifie alors certaines propriétés : elle est [[associativité|associative]], elle possède un [[élément neutre]] et tout élément admet un [[inverse]]. Un groupe fini est un groupe dont le nombre d'éléments est fini. La simplicité de la définition cache une structure dont la complexité peut devenir redoutable si l'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]], c'est-à-dire le nombre d'éléments, du groupe grandit. Une '''représentation d'un groupe fini''' est une méthode pour étudier une telle structure. Elle revient à étudier le groupe comme un ensemble de [[symétrie]]s d'un [[espace euclidien]]. Par exemple, le groupe des [[permutation]]s d'un ensemble à trois éléments se ''représente'' comme le groupe des [[application linéaire|applications linéaires]] du plan laissant globalement invariant un [[triangle équilatéral]] dont le centre est l'origine.

Une représentation se décompose en éléments simples, appelés [[représentation irréductible|représentations irréductibles]] et qui sont en nombre fini. Elles représentent les briques élémentaires qui permettent de construire toutes les représentations. La [[géométrie euclidienne]] joue un rôle dans cet univers. Une représentation quelconque se décompose en représentations irréductibles qui [[Action de groupe (mathématiques)|agissent]] sur des [[sous-espace vectoriel|plus petits espaces]] tous [[orthogonalité|orthogonaux]] les uns par rapport aux autres. Une manière d'étudier une représentation donnée est de considérer l'application qui, à un élément du groupe, associe la somme des coefficients diagonaux d'une [[matrice (mathématiques)|matrice]] représentant l'application linéaire image. Cette application porte un nom, on parle du [[caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractère de la représentation]]. Elle fait aussi partie d'un [[espace euclidien]] appelé l'espace des [[Fonction centrale d'un groupe fini|fonctions centrales]]. Une [[base orthonormée]] de cet espace est composée des caractères des représentations irréductibles et le calcul des coordonnées d'un caractère quelconque dans cette base permet d'obtenir la [[décomposition en éléments simples]]. Comme souvent en algèbre, l'étude est plus simple si l'espace vectoriel utilise comme nombres les [[nombre complexe|imaginaires]]. Le produit scalaire dont il est question ici est alors défini sur les nombres complexes, on parle parfois de [[produit hermitien]] et de géométrie hermitienne.

Historiquement, cette théorie est apparue pour répondre à une question provenant de la [[théorie de Galois]]. L'étude des solutions d'une [[équation algébrique|équation polynomiale]] amène à l'étude d'une représentation d'un groupe, dit de [[groupe de Galois|Galois]]. [[Richard Dedekind|Dedekind]], un mathématicien allemand de la deuxième moitié du {{s-|XIX}}, cherchait à factoriser le [[groupe de Galois]] d'une équation du quatrième degré, {{Référence souhaitée|date=18/8/15|c'est-à-dire trouver un ensemble de ses [[sous-groupe distingué|sous-groupes normaux]] pouvant successivement le quotienter jusqu'à obtenir un [[groupe quotient]] n'ayant aucun sous-groupe normal (donc un [[groupe simple]], par définition). Ces ensembles de sous-groupes normaux peuvent à leur tour être factorisés de la même façon, de telle sorte que l'on obtient un ensemble composé de sous-groupes normaux et simples, appelé liste des facteurs simples du groupe, [[Théorème de Jordan-Hölder|qui est unique à chaque groupe]], donc commun à toutes les factorisations d'au moins un groupe (mais il ne faut pas oublier que plusieurs groupes peuvent avoir les mêmes facteurs simples!)}}. La tâche n'est pas si simple, car un tel groupe est représenté par 24 matrices de chacune 24{{2}} = 576 coefficients. N'y parvenant pas, il écrivit à [[Ferdinand Georg Frobenius|Frobenius]], qui comprit rapidement pourquoi les caractères sont la réponse à cette délicate question et comment résoudre la difficulté. Frobenius pressentit qu'il disposait là d'une approche fructueuse, ouvrant la voie à une vaste théorie, source de progrès en [[théorie des groupes]].

Cette théorie offre de fait des outils puissants pour élucider la théorie des groupes finis, permettant par exemple de déterminer le caractère [[groupe résoluble|résoluble d'un groupe]] en fonction de son ordre. De manière moins anecdotique, la représentation des groupes finis est l'outil de base de la [[Groupe fini|classification]]. L'apport algébrique ne s'arrête pas là. Les applications linéaires s'additionnent, ce qui permet de définir un [[anneau unitaire|anneau]], si l'on considère l'espace vectoriel engendré par les images du groupe. Les outils de la représentation d'un groupe fini interviennent dans l'étude de la structure d'un anneau, comme l'illustre le [[théorème d'Artin-Wedderburn]]. Enfin, la théorie de Galois, à l'origine des travaux de Frobenius, n'est pas en reste. À travers la [[théorie des corps de classes]] ou celle, moins aboutie, du [[programme de Langlands]], la représentation des groupes est au cœur de la [[recherche mathématique]] actuelle.

''Le savoir purement mathématique associé à cette théorie est traité dans l'article « [[Théorie des représentations d'un groupe fini]] ».''

== Histoire ==
=== Avant les représentations ===
==== Théorie des groupes finis ====
[[Image:evariste galois.jpg|vignette|Évariste Galois (1811-1832).]]
[[Image:Carl Friedrich Gauss.jpg|vignette|gauche|Carl Friedrich Gauss.]]

La théorie des groupes trouve son origine dans l'étude du groupe des [[bijection]]s d'un [[ensemble fini]]. Cette notion, appelée [[permutation]] date au moins du {{s-|XVII}}. Le japonais<ref>{{en}} T. Hamada, Y. Michiwaki et {{M.}} Oyama, ''On the influence of the 'Seki's School versus the Saijo School controversy' in the provinces (Japanese)'', Sugakushi Kenkyu '''64''', 1975.</ref> [[Kowa Seki]] <small>([[1642]]-[[1708]])</small> et l'allemand<ref>L. Couturat, ''La logique de Leibniz'' (Hildesheim, 1961).</ref> [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] <small>([[1646]]-[[1716]])</small> utilisent les permutations et la notion de [[Signature d'une permutation|signature]] pour définir un [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] dans des espaces de dimension trois et quatre. Une utilisation plus systématique est l'œuvre de [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]<ref>J.-L. Lagrange, ''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'', 1770.</ref> et [[Alexandre-Théophile Vandermonde|Vandermonde]]<ref>A.-T. Vandermonde, ''Mémoire sur la résolution des équations'', 1771.</ref> dans le cadre de l'[[équation polynomiale]]. En revanche, l'ensemble des permutations n'est, dans aucun des cas cités, considéré comme une structure disposant d'une loi interne.

L'aube du {{s-|XIX}} voit un apport de première importance pour ce qui deviendra la théorie des groupes finis. En [[1801 en science|1801]], [[Carl Friedrich Gauss]] utilise<ref>{{la}} C. F. Gauss, ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'', 1801.</ref> les [[groupe cyclique|groupes cycliques]] pour fonder l'[[arithmétique modulaire]] et résoudre l'[[équation algébrique|équation]] [[polynôme cyclotomique|cyclotomique]] d'indice un [[nombre premier de Fermat]]. Un ensemble fini muni d'une opération interne conférant une structure de groupe est enfin utilisée. La connaissance d'une telle structure devient indispensable pour tout mathématicien étudiant l'[[arithmétique]]. Cependant, tout au long de sa vie, Gauss ne verra pas l'intérêt d'une formalisation.

[[Évariste Galois]] <small>([[1811 en science|1811]]-[[1832 en science|1832]])</small>, à la suite des travaux<ref>N. H. Abel, ''Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré'', [[1824 en science|1824]].</ref> du mathématicien norvégien [[Niels Henrik Abel|Niels Abel]] <small>([[1802 en science|1802]]-[[1829 en science|1829]])</small> permet la réalisation d'un bond fondateur de l'algèbre moderne.
À travers la problématique de l'[[équation algébrique]], il découvre<ref>E. Galois, « Sur les conditions de résolubilité des équations algébriques », ''[[Journal de mathématiques pures et appliquées]]'', 1846.</ref> non seulement la portée du champ applicatif de la structure, mais de plus, évoque un nouveau formalisme avec la notion de groupe abstrait. Ce n'est que quinze ans plus tard que la dimension de ses travaux est perçue par la communauté. La redécouverte<ref>J. Liouville, « Œuvres mathématiques d'Évariste Galois Suivie d'un avertissement de Liouville », ''Journal de mathématiques pures et appliquées'', vol. X, 1846.</ref> par [[Joseph Liouville]] des écrits de Galois en [[1846 en science|1846]] place la théorie des groupes finis comme un sujet de premier plan. [[Augustin Louis Cauchy|Augustin Cauchy]] publie vingt-cinq articles sur la question dont un sur [[théorème de Cauchy (groupes)|son célèbre théorème]]<ref>A. L. Cauchy, ''Sur le nombre de valeurs égale ou inégales que peut acquérir une fonction de n variables indépendantes, quand on permute ces variables entre elles d'une manière quelconque'', [[1845 en science|1845]].</ref>. [[Arthur Cayley]] donne une première définition abstraite d'un groupe<ref>{{article|lang=en|nom1=A. Cayley|titre=On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ<sup>n</sup>=1|périodique=Philos. Mag.|lien périodique=Philosophical Magazine|volume=7|numéro=4|pages=40–47|année=[[1854 en science|1854]]}}.</ref>. Le domaine d'application s'étend, en [[1877 en science|1877]], [[Felix Klein]] remarque<ref>F. Klein, ''Conférences sur l'icosaèdre et les solutions de l'équation du cinquième degré'', 1877.</ref> que le groupe des isométries laissant invariant l'[[icosaèdre]] est isomorphe au groupe de Galois d'une [[équation quintique]], la [[géométrie algébrique]] naît et les groupes finis y jouent un rôle clé. La connaissance du sujet s'accroît, [[Ludwig Sylow]] énonce [[Théorèmes de Sylow|ses célèbres théorèmes]]<ref>{{Article|nom=M. L. Sylow|titre=Théorème sur les groupes de substitutions|périodique=[[Mathematische Annalen]]|volume=V|année=1872|pages=584-594}}.</ref> en 1872 et [[Heinrich Weber (mathématicien)|Heinrich Weber]] donne la définition<ref>{{de}} H. Weber, ''Lehrbuch der Algebra'', Braunschweig, 1924.</ref> moderne d'un groupe en [[1895 en science|1895]].

==== Caractère et groupe d'automorphismes ====
[[Image:Dedekind.jpeg|vignette|Richard Dedekind ([[1831 en science|1831]]-[[1916 en science|1916]]), fondateur de la théorie des déterminants de groupe, ancêtre des représentations.]]

Un outil essentiel aux représentations des groupes est celui du [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractère]]. Il correspond, avec notre regard moderne, à la [[trace (algèbre)|trace]] des différents automorphismes correspondant au groupe représenté. Une fois encore, le sujet n'est pas vierge au moment de la naissance de la théorie des représentations.

On peut citer le [[symbole de Legendre]] du siècle précédent pour l'explicitation de la [[loi de réciprocité quadratique]], comme premier exemple de caractère avant la lettre. [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Gustav Dirichlet]] utilise pour la première fois le terme de caractère<ref>{{de}} G. Dirichlet, ''Vorlesungen über Zahlentheorie'', {{3e|éd.}}, Vieweg, Braunschweig, [[1879 en science|1879]].</ref> pour une [[fonction multiplicative]], proche du symbole précédent.

[[Richard Dedekind]] transporte les idées associées aux groupes finis. Il définit formellement la notion de [[Caractère (mathématiques)|caractère d'un groupe]] [[groupe abélien fini|abélien fini]] comme un [[Morphisme de groupes|morphisme]] de ce groupe dans celui des [[nombre complexe|nombres complexes]] non nuls<ref>{{article|lang=en|id=Lam, Part I|auteur=[[Tsit Yuen Lam]]|titre=Representation of finite groups: A Hundred years, Part I|périodique=Notices AMS|volume=45|année=1998}}, [http://classic-web.archive.org/web/20070412014220/http://www.ams.org/notices/199803/lam.pdf pdf], [http://math.berkeley.edu/~lam/html/frobams1.ps ps], {{p.|363}}.</ref>. Les caractères sont parfaitement connus ainsi que leurs relations d'[[orthogonalité]], mais uniquement dans le contexte [[commutativité|commutatif]].

Enfin, l'idée de groupe fini d'[[automorphisme]]s n'est pas non plus inconnue. [[Camille Jordan (mathématicien)|Camille Jordan]], en [[1870 en science|1870]], étudie les [[groupe de Galois|groupes de Galois]]<ref>C. Jordan, ''Traité des substitutions et des équations algébriques'', 1870.</ref> comme un groupe de matrices qu'il appelle le groupe linéaire. Il étudie le cas sur les [[corps fini]]s premiers, c’est-à-dire de cardinal un nombre premier et traite le cas de la factorisation d'un unique automorphisme. Felix Klein, depuis son célèbre [[programme d'Erlangen]] est aussi un familier du concept. [[Leopold Kronecker]] et Richard Dedekind développent les prémisses de la théorie des anneaux et des [[corps commutatif|corps]]<ref>{{Article|auteur=R. Dedekind|titre=Sur la théorie des nombres entiers algébriques|revue=Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques|série=2|vol=1|numéro=1|année=[[1871 en science|1871]]|p.=207-248|url=http://www.numdam.org/item/BSMA_1877_2_1_1_207_1}}.</ref>. Le groupe de Galois n'est défini qu'à partir d'[[automorphisme]]s et non plus comme un [[groupe de permutations]] de [[racine d'un polynôme|racines]].

Si l'idée d'une incarnation d'un groupe fini comme une famille d'automorphismes est parfaitement comprise à la fin du siècle, elle se heurte à une difficulté réelle. Par exemple, pour une équation du quatrième degré, le groupe comprend déjà 24 éléments, correspondant chacun à une matrice 24×24. Dedekind développe la méthode des déterminants de groupes<ref>{{Chapitre|lang=en|auteur=K. W. Johnson|titre=The Dedekind-Frobenius group determinant, new life in an old method|titre ouvrage=Groups St Andrews 97 in Bath|vol=II|collection=London Math. Soc. Lecture Note Series|numéro dans collection=261|année=1999|url={{Google Livres|1UbpiaSYSNYC|page=PA417}}|page=417-428}}.</ref>. S'il réussit à {{précision nécessaire|date=avril 2012|factoriser}} le [[groupe symétrique]] d'indice trois, il est dans une impasse pour le cas général.

En [[1896 en science|1896]], la théorie des groupes finis, ainsi que les outils nécessaires à l'élaboration de la théorie des représentations sont largement développés. Cependant, la taille ainsi que la complexité calculatoire représentent une barrière que Dedekind ne voit pas comment franchir. Il envoie à [[Ferdinand Georg Frobenius]] deux lettres à ce sujet<ref>{{Harvsp|Lam, Part I|p=365}}.</ref>, les {{date|25 mars}} et {{date|6 avril 1896}}. Le destinataire n'est pas un novice. Il a, par exemple, démontré les [[théorèmes de Sylow]] dans le cas des groupes abstraits<ref>{{Article|lang=de|auteur=G. Frobenius|titre=Neuer Beweis des Sylowschen Satzes|revue=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. reine angew. Math.]]|vol=100|année=[[1887 en science|1887]]|p.=179-181}}.</ref> et reformulé abstraitement, avec [[Ludwig Stickelberger]], le [[théorème de Kronecker]] sur la structure des groupes abéliens finis<ref>{{Article|lang=de|auteur=G. Frobenius|auteur2=L. Stickelberger|titre=Über Gruppen von vertauschbaren Elementen|revue=J. reine angew. Math.|vol=86|année=1879|p.=217-262|url=https://eudml.org/doc/148395}}.</ref>.

=== Naissance de la théorie (1896) ===
[[Image:Lettre fondatrice de la théorie des représentations.jpg|vignette|Lettre de Frobenius à Dedekind du 12 avril 1896.]]

Peu de théories possèdent une date de naissance précise. Les groupes apparaissent par exemple petit à petit, depuis Lagrange jusqu’à la définition exacte de Weber, l'évolution est lente et continue. La théorie des représentations est une exception, les historiens associent systématiquement sa naissance au mois d'avril<ref>{{en}} C. W. Curtis, « Representation theory of finite groups, from Frobenius to Brauer », ''Math. Intelligencer'', 1992, {{p.|48-57}}.</ref> 1896.

Frobenius répond à Dedekind par trois missives<ref>{{en}} [[Thomas Hawkins|T. Hawkins]], « The origins of the theory of group characters », ''[[Archive for History of Exact Sciences|Arch. Hist. Exact Sci.]]'', vol. 7, [[1971 en science|1971]], {{p.|142-170}}.</ref> datées des 12, 17 et 26 du mois. Il parvient à {{précision nécessaire|date=avril 2012|factoriser les [[représentations du groupe symétrique|groupes symétriques d'indice 4]] et 5}} ainsi que leurs sous-groupes alternés et le [[groupe simple]] d'ordre 168. Il comprend que son approche est à la base d'une vaste théorie et rédige rapidement les traités fondateurs.

Le {{date|16 juillet}}, il publie un premier article<ref>{{de}} F. G. Frobenius, « Über Gruppencharaktere », ''Sitzungsber. [[Académie royale des sciences de Prusse|Preuss. Akad. Wiss. Berlin]]'', 1896.</ref>. On peut y lire {{Citation|je développerai ici le concept (de caractère pour un groupe fini quelconque) avec la croyance que, à travers cette introduction, la théorie des groupes sera substantiellement enrichie}}. Les caractères ne se limitent plus au cas abélien, voilà la première clé de son succès.

Cette généralisation permet une factorisation de déterminant de groupe, ce qui amène une deuxième publication<ref>{{de}} F. G. Frobenius, « Über die Primfactoren der Gruppendeterminante », ''Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin'', 1896.</ref>. Enfin, l'existence d'un [[produit hermitien]] naturel pour lequel les caractères irréductibles forment une [[base orthonormale]] fournit le sujet d'un troisième article<ref>{{de}} F. G. Frobenius, ''Zur Theorie der Scharen bilinearer Formen'', Zürich, 1896.</ref>. Tous ces résultats sont publiés la même année.

À la fin de l'année 1896, beaucoup reste à faire. La notion de représentation n'est pas apparente, l'objet d'étude reste le déterminant de groupe. La notion d'irréductibilité n'est pas là, aucune technique d'extension ne permet d'analyser un groupe à partir de ses [[sous-groupe]]s, le rapport entre la représentation et l'arithmétique n'est pas établi et seul le cas des nombres complexes est étudié. Cependant, la généralisation des caractères a permis un saut important et laisse présager la naissance d'une théorie aux conséquences riches.

=== Essor (1897-1917) ===
==== Frobenius ====
L'idée fondatrice est fertile, les différentes questions associées à la théorie trouvent des réponses rapides et [[Ferdinand Georg Frobenius|Frobenius]] reste un acteur majeur. Il publie jusqu'à la fin de sa vie vingt articles sur la théorie des groupes finis<ref>{{harvsp|Lam, Part I|p=370}}.</ref>, essentiellement sur le sujet des représentations.
En [[1897 en science|1897]], les notions de représentation et d'irréductibilité apparaissent<ref>{{de}} F. G. Frobenius, « Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch lineare Substitutionen », ''Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin'', 1897.</ref> même si de nombreuses évolutions seront encore nécessaires pour que les caractères prennent notre définition moderne, à savoir la [[trace (algèbre)|trace]] d'une représentation. L'enrichissement de la structure, à travers l'ancêtre de notion d'[[Algèbre d'un groupe fini|algèbre de groupe]] est aussi présente dans cet article, dans le cas des [[nombre complexe|nombres complexes]] ou [[quaternion|hyper-complexes]]. Frobenius l'emprunte aux travaux du mathématicien [[Theodor Molien]] qui a, de manière totalement indépendante<ref>{{de}} T. Molien, ''Über Systeme höherer complexer Zahlen'', [[1893 en science|1893]].</ref>{{,}}<ref>{{de}} T. Molien, ''Über die Invarianten der linearen Substitutionsgruppen'', 1897.</ref> travaillé sur le caractère [[Module semi-simple|semi-simple]] de l'[[algèbre sur un corps|algèbre]] associée. Si Frobenius reconnaît l'importance de ses travaux, Molien reste essentiellement dans l'obscurité.
L'année suivante, Frobenius découvre une première méthode d'extension<ref>{{de}} F. G. Frobenius, « Über Relationen zwischen den Charakteren einer Gruppe und denen ihrer Untergruppen », ''Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin'', 1898.</ref> correspondant à notre [[Représentation induite d'un groupe fini|représentation induite]], il établit la remarquable formule de [[réciprocité de Frobenius|réciprocité]] qui porte maintenant son nom. En [[1899 en science|1899]], il établit<ref>{{de}} F. G. Frobenius, « Über die Composition der Charaktere einer Gruppe », ''Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin'', 1899.</ref> les formules du [[Produit tensoriel et représentations de groupes finis|produit tensoriel de caractères]] alors que la notion de [[produit tensoriel]] n'est pas encore formalisée, il parle de ''composition''.
En [[1900 en science|1900]], le mathématicien détermine<ref>{{de}} F. G. Frobenius, « Über die Charaktere der symmetrischen Gruppen », ''Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin'', 1900.</ref> les caractères des [[groupe symétrique|groupes symétriques]] et l'année suivante ceux des [[groupe alterné|groupes alternés]]<ref>{{de}} F. G. Frobenius, « Über die Charaktere der alternirenden Gruppen », ''Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin'', 1901.</ref>.

Au début de {{s-|XX}}, les travaux de Frobenius assurent à la théorie une base solide, les caractères sont généralisés aux groupes non abéliens, les théorèmes d'orthogonalité sont présents, et les techniques d'extension soit par produit tensoriel soit par induction sont comprises. Un regard rétrospectif y voit néanmoins encore trois lacunes. La théorie garde les traces de son origine, les déterminants de groupes forment toujours la structure fondamentale. L'aspect lourd et calculatoire reste inévitable. Les seuls corps véritablement étudiés sont de caractéristique nulle, évacuant ainsi un pan qui apparaît maintenant comme essentiel. Enfin, la dimension arithmétique est quasiment absente. Si le troisième point est juste esquissé et doit attendre les années 1920 avec les travaux d'[[Emil Artin]] pour prendre son essor, les deux autres sont largement traités dans la période de temps du paragraphe. Cependant, les contributions majeures sur ces domaines sont le fruit d'autres mathématiciens.

==== Université de Chicago ====
[[Image:Campus Spring.jpg|vignette|gauche|Université de Chicago en automne.]]

Une jeune école mathématique, l'école américaine, influence la théorie naissante. Durant cette époque, l'[[université de Chicago]] est à la pointe de la recherche sur le nouveau continent. R. C. Archibald écrit : {{Citation|Durant la période [[1892 en science|1892]]-[[1908 en science|1908]], l'université de Chicago est insurpassable aux États-Unis comme institution pour l'étude des mathématiques avancées<ref>{{en}} R. C. Archibald, ''A semicentennial history of the American Mathematical Society 1888-1938'', New York, 1980, {{p.|144-150}}.</ref>.}} La théorie est étudiée à partir d'un autre angle, [[Leonard Eugene Dickson]] écrit en [[1896 en science|1896]] sa thèse de doctorat à l'université de Chicago à propos des groupes linéaires sur des corps finis quelconques, généralisant les résultats de Jordan. Il démontre que tout corps fini commutatif est une [[extension de Galois]] d'un corps premier. Elle est publiée<ref>{{en}} L. E. Dickson, ''Linear Groups - With an Exposition of the Galois Field Theory'', Dover, 2003.</ref> en Europe en [[1901 en science|1901]]. [[Heinrich Maschke]], un élève de Klein, rejoint l'université de Chicago en [[1892 en science|1892]] ; il démontre [[théorème de Maschke|son théorème]]<ref>{{article|lang=de|auteur=H. Maschke|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0052&DMDID=dmdlog32|titre=Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen…|périodique=Mathematische Annalen|volume=52|année=1899|pages=363-368}}.</ref> qui stipule que toute représentation est somme directe de représentations irréductibles. En suivant l'esprit de l'école de Chicago, la démonstration est aussi donnée pour les corps finis (avec une inévitable condition sur l'ordre du groupe). Le mathématicien allemand [[Alfred Loewy]] avait, sans preuve, publié ce résultat deux ans auparavant en [[1896 en science|1896]]. Enfin, [[Joseph Wedderburn]] rejoint l'université de Chicago durant les années [[1904 en science|1904]]-[[1905 en science|1905]] et travaille avec Dickson sur les structures d'algèbres semi-simples, dont un exemple important est donné par les algèbres de groupes finis. C'est cependant en [[1907 en science|1907]] à [[Édimbourg]] qu'il publie son article<ref>{{en}} J. Wedderburn, « On hypercomplex numbers », ''Proc. [[London Mathematical Society|London Math. Soc.]]'', 1907.</ref> peut-être le plus célèbre, classifiant toutes les algèbres semi-simples et finalisant les travaux de Molien et Frobenius. L'apport de Chicago peut se résumer en deux points essentiels pour la théorie des représentations : l'approche par les déterminants de groupes tombe en désuétude au profit de la notion de représentation, simplifiant les calculs et la théorie est étudiée sur les corps de caractéristiques quelconques.

==== Issai Schur ====
Une autre figure de la théorie de la représentation est essentielle pour la simplification des démonstrations et l'enrichissement de la théorie. [[Issai Schur]] est un élève de Frobenius. En 1901, il soutient sa thèse<ref>{{de}} I. Schur, ''Uber eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen'', [[Université de Göttingen]], 1901.</ref> sur les représentations [[nombre rationnel|rationnelles]] d'un groupe fini sur un espace vectoriel complexe.

Il travaille sur le sujet entre les années 1904 et 1907 et utilise [[lemme de Schur|le lemme à son nom]]. Si quelques lignes suffisent à sa démonstration, il simplifie considérablement bon nombre de preuves, particulièrement sur les caractères et leur orthogonalité.

La thèse de Schur apporte, durant cette période une autre contribution majeure. L'analyse de l'aspect rationnel des représentations permet l'introduction des outils de l'[[arithmétique]] dans la théorie. Cet enrichissement est à l'origine de nombreuses démonstrations, on peut citer par exemple le fait que toute représentation irréductible possède un degré qui divise l'ordre du groupe (cf. « [[Algèbre d'un groupe fini]] »).

==== William Burnside ====
[[Image:Burnside 2.jpeg|vignette|William Burnside.]]
[[William Burnside]], après Frobenius, est généralement considéré comme le deuxième fondateur<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=C. W. Curtis|titre=Pioneers of Representation Theory|sous-titre=Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer|lieu=Providence, RI|collection=History of Mathematics|numéro dans collection=15|année=1999|isbn=0821826778}}.</ref> de la théorie des représentations. Son intérêt pour les groupes finis est antérieur aux travaux de Frobenius. Il est l'auteur d'un article<ref>{{en}} W. Burnside, « Notes on the theory of groups of finite order », ''Proc. London Math. Soc.'', vol. 26, 1895, {{p.|191-214}}.</ref> de [[1895 en science|1895]] démontrant que tout groupe fini possédant un [[P-groupe|2-groupe]] maximal cyclique n'est pas [[groupe simple|simple]].

Il comprend immédiatement l'apport de la théorie des représentations. Sa démarche est néanmoins différente de celle de Frobenius ou de Schur. Sur la cinquantaine<ref>{{article|lang=en|auteur=A. Wagner|titre=A bibliography of William Burnside (1852-1927)|revue=[[Historia Mathematica]]|vol=5|numéro=3|année=1978|p.=307-312}}.</ref> d'articles publiés sur la théorie des groupes, l'essentiel de son travail consiste à utiliser les résultats de la théorie pour établir les fondements d'une classification des groupes finis.

Il ouvre des conjectures comme le [[problème de Burnside]] de 1902 sur les [[partie génératrice d'un groupe|groupes de type fini]] et d'[[exposant d'un groupe|exposant]] fini<ref>{{article|lang=en|auteur=William Burnside|titre=On an unsettled question in the theory of discontinuous groups|revue=Quart. J. Math.|vol=33|année=1902|p.=230-238}}.</ref> et utilise les représentations pour [[Théorème de Burnside (problème de 1902)|défricher cette question]]<ref>{{article|lang=en|auteur=William Burnside|titre=On criteria for the finiteness of the order of a group of linear substitutions|revue=Proc. London Math. Soc.|vol=2|numéro=3|année=1905|p.=435-440}}.</ref>. Cette conjecture, malgré de nombreux travaux, comme ceux<ref>{{en}} E. Zelmanov, ''Solution of the restricted Burnside problem for groups of odd exponent'', Math. USSR Izvestiya 36 (1), [[1991 en science|1991]], {{p.|41-60}}.</ref> d'[[Efim Zelmanov]] qui lui apporte une [[médaille Fields]] en [[1994 en science|1994]], reste encore essentiellement ouverte en 2006.

Ses travaux<ref name="Burnside">{{en}} W. Burnside, ''Theory of Groups of Finite Order'', Dover, 2004.</ref> de [[1905 en science|1905]] l'amènent à étudier le cardinal d'un [[groupe résoluble]]. Il utilise, pour la démonstration d'[[Théorème de Burnside (groupe résoluble)|un de ses théorèmes]], l'un des théorèmes de Sylow et de nombreuses facettes de la théorie des représentations, comme les caractères de Frobenius ou l'arithmétique de Schur. Une fois encore, il donne un début de réponse à une grande question, largement étudiée au {{s-|XX}}. Elle est finalement tranchée par [[John Griggs Thompson|John Thompson]] qui reçoit en 1970 une médaille Fields pour son article<ref>{{en}} J. Thompson et W. Feit, ''Chapter I, from Solvability of groups of odd order'' Math, vol. 13, {{n°|3}}, [[1963 en science|1963]].</ref> écrit en commun avec [[Walter Feit]] et qui démontre que [[Théorème de Feit et Thompson|tout groupe d'ordre impair est résoluble]].

Burnside écrit un livre de référence<ref name="Burnside"/> sur la théorie des groupes. La seconde édition, datant de [[1911 en science|1911]] est toujours d'actualité.

== Introduction par l'exemple ==
=== Groupe symétrique d'indice trois ===
{{Article détaillé|Représentations du groupe symétrique#Les trois représentations irréductibles de S3{{!}}Les trois représentations irréductibles de S{{ind|3}}}}
[[Image:Isométries du triangle.jpg|vignette|Représentation de S<sub>3</sub> comme groupe des isométries du triangle.]]

La première question associée à la théorie est la recherche d'un ensemble d'[[application linéaire|applications linéaires]] inversibles, que l'on associe aux éléments d'un groupe fini ''G''. Dans cet exemple ''G'' est le groupe des [[permutation]]s d'un ensemble à trois éléments noté ''S''<sub>3</sub>. L'association φ entre les éléments du groupe et les applications linéaires doit respecter la loi du groupe. Si ''g'' et ''h'' sont deux éléments du groupe, l'application linéaire associée à ''g.h'' doit être la composition des applications associées à ''g'' et à ''h'' :
<center><math>\forall g,h \in G\quad \varphi(gh) = \varphi(g)\varphi(h).</math></center>
On parle d'un [[morphisme de groupes]]. L'exemple le plus simple est l'application qui, à n'importe quel élément, associe l'application linéaire identité. Cette application est manifestement une représentation, mais elle n'a que peu d'intérêt, on parle de ''[[représentation triviale]]''. Un deuxième exemple consiste à envoyer un élément de ''S''<sub>3</sub> sur –1 si la permutation est une [[Permutation#Permutations particulières|transposition]] et sur 1 sinon : cette représentation porte le nom de ''[[signature d'une permutation|signature]]''. L'espace vectoriel est encore de dimension 1.

Le troisième cas est illustré sur la figure de droite. L'espace vectoriel est de dimension 2 et équipé d'un [[produit scalaire]]. On considère trois vecteurs ''i'', ''j'' et ''k'', de norme 1, et faisant chacun un angle de 2π/3 avec les deux autres. Le groupe ''S''<sub>3</sub> [[action de groupe (mathématiques)|opère]] sur ces trois vecteurs, c'est-à-dire qu'une permutation ''g'' du groupe peut s'appliquer à l'ensemble de ces trois vecteurs, ce qui définit une application de l'ensemble {''i'', ''j'', ''k''} dans lui-même. Il existe une unique manière de prolonger ces applications en applications linéaires de ''E'' et toutes ses applications linéaires sont inversibles. On a ainsi défini une troisième représentation. À la différence des deux autres, celle-ci est ''fidèle'', c'est-à-dire qu'à deux éléments de ''G'' distincts on associe deux applications linéaires différentes. En un sens, le groupe formé par les applications linéaires est une ''copie'' de ''S''<sub>3</sub>, on parle alors d'[[Morphisme de groupes|isomorphisme de groupes]].

On remarque que chacune de ces représentations envoie les éléments du groupe sur des [[isométrie]]s, c'est-à-dire des applications linéaires qui conservent les distances et les angles. On peut montrer que pour toute représentation, il est possible de munir l'espace vectoriel sous-jacent d'un [[produit scalaire]] invariant par le groupe.

Une quatrième représentation est importante car la technique utilisée est applicable à tous les groupes finis et à n'importe quel corps. On note {''a''<sub>i</sub>} pour ''i'' variant de 1 à 6, les différents éléments de ''S''<sub>3</sub> et l'on considère ces éléments comme une base d'un espace vectoriel de dimension 6. On définit φ(''a''<sub>i</sub>) comme l'application linéaire qui à la base (''a''<sub>1</sub>,..., ''a''<sub>6</sub>) associe la base (''a''<sub>i</sub>.''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>i</sub>.''a''<sub>6</sub>). L'image d'une base par φ(''a''<sub>i</sub>) étant une base, cette application linéaire est donc un automorphisme de l'espace vectoriel. Cette représentation est la [[représentation régulière]] du groupe. Elle est un peu plus complexe, l'espace vectoriel est ici de dimension 6, il faut donc des [[matrice (mathématiques)|matrices]] 6 × 6 pour la représenter. Il est utile de la ''factoriser'', c'est-à-dire de trouver des [[Sous-espace stable|sous-espaces vectoriels stables]] par toutes les applications linéaires de la représentation et dont la [[Sous-espace supplémentaire|somme directe]] soit égale à l'espace entier. Sur chacun des sous-espaces, la représentation est plus petite, donc plus simple. Lorsque le corps de base est [[Nombre complexe|ℂ]], on trouve de fait une décomposition en quatre sous-espaces, deux de dimension 1 et deux de dimension 2. Sur ceux de dimension 1, on trouve une fois la représentation triviale et une fois la signature. Sur ceux de dimension 2, on trouve chaque fois, à un isomorphisme près, la représentation de dimension 2 déjà évoquée dans ce paragraphe.

Ce cas particulier est relativement simple, il fut résolu avant l'apparition de la théorie des représentations par une approche calculatoire. Des démonstrations modernes et non calculatoires sont présentes dans l'article associé.

=== Groupe symétrique d'indice quatre ===
{{Article détaillé|Représentations du groupe symétrique}}
[[Image:Rotations du cube.jpg|vignette|Représentation de S<sub>4</sub> comme groupe des rotations du cube.]]

L'origine des représentations provient de la [[théorie de Galois]]. Un objet caractéristique de cette théorie est un [[polynôme formel|polynôme]], qui, pour rester simple, est choisi ici à coefficients dans les nombres rationnels, par exemple ''P''(''X'') = ''X''<sup>4</sup> + ''X'' + 1. L'axe d'analyse de la théorie de Galois est celui de l'étude du plus petit [[corps commutatif|corps]] ''K'' contenant toutes les racines de ''P''(''X''), il est appelé [[corps de décomposition]] et peut être considéré comme un sous-corps de ℂ, l'ensemble des nombres complexes. Connaître la structure de ce corps revient à connaître celle de son groupe des automorphismes, encore appelé [[groupe de Galois]]. Il correspond à l'ensemble des bijections de ''K'', qui respectent à la fois les additions et les multiplications. C'est toujours un groupe fini.

Ces résultats ne terminent pas la question, la détermination du groupe de Galois est une question souvent difficile. Une manière de l'appréhender est de considérer ''K'' comme un espace vectoriel sur le corps des nombres rationnels, chaque élément du groupe apparaît alors comme un ensemble de matrices et ce groupe de matrices est une copie du groupe de Galois. Cette direction de recherche débouche immédiatement sur une complexité calculatoire nécessitant des outils théoriques pour aboutir à des théorèmes. Cette difficulté est illustrée par l'exemple du polynôme ''P''(''X''). Le groupe de Galois est représenté par 24 matrices 24x24, ce qui fait beaucoup de coefficients à manipuler pour un groupe qui s'avère être ''S''<sub>4</sub>, le groupe des permutations d'un ensemble à quatre éléments.

La bonne technique consiste encore en une factorisation, c'est-à-dire la recherche d'une décomposition de l'espace de dimension 24 en une somme directe de plus petits sous-espaces vectoriels qui soient stables par chaque application linéaire du groupe. Dans un premier temps, on cherche les représentations non factorisables, c'est-à-dire qui ne contiennent aucun sous-espace vectoriel stable par toutes les applications linéaires du groupe, on les appelle des [[représentation irréductible|représentations irréductibles]]. Elles sont des facteurs potentiels dans la décomposition de la grosse représentation de dimension 24, on démontre que chaque facteur irréductible est représenté autant de fois que la dimension de son espace vectoriel, dans la grosse représentation.

Il existe 5 représentations irréductibles, finalement pas si difficiles à expliciter. Les deux premières sont la représentation triviale et la signature, chacune de dimension 1. Pour trouver la troisième, il suffit de remarquer que ''S''<sub>4</sub> possède un [[sous-groupe distingué]] copie du [[groupe de Klein]]. Le quotient des deux groupes est égal à ''S''<sub>3</sub>. Il existe une représentation de dimension 2, qui à chaque élément de ''S''<sub>4</sub>, associe la représentation de sa classe si cet élément est quotienté par le groupe de Klein. Cette représentation correspond à celle de ''S''<sub>3</sub> déterminée au paragraphe précédent.

La quatrième s'obtient en considérant un espace de dimension 4 ayant une base orthonormale (''e<sub>i</sub>'') pour ''i'' variant de 1 à 4. On associe à ''g'', un élément de ''S''<sub>4</sub>, l'application qui à la base associe la même base, mais cette fois permutée par ''g''. Cette application se prolonge en une isométrie. Ce n'est pas encore la bonne représentation car elle contient une copie de la représentation triviale, mais l'orthogonal du sous-espace vectoriel de la représentation triviale est celle recherchée. Elle correspond au groupe des rotations du cube, illustré à droite. La dernière est simplement le produit de cette représentation et de la signature.

== Représentations, caractères et algèbre de groupe ==
=== Représentations d'un groupe ===
{{Article détaillé|Théorie des représentations d'un groupe fini}}
[[Image:Heinrich Maschke.jpg|vignette|gauche|[[Heinrich Maschke]], auteur du théorème portant son nom.]]
Une représentation d'un groupe ''G'' d'ordre fini est la donnée (''V'', ρ) d'un [[espace vectoriel de dimension finie]] et d'un morphisme ρ de ''G'' dans l'ensemble ''GL''(''V'') des automorphismes de ''V''. On obtient les propriétés suivantes :
<center><math> \forall s, t \in G \quad \rho(s)\circ \rho(t) = \rho(st) \quad et \quad \rho(1) = Id_V</math></center>

Comme le montrent les exemples précédents, une représentation peut apparaître de manière complexe. Le premier objectif est de la ''réduire'' par la recherche de sous-représentations. Une '''sous-représentation''' est la donnée d'un sous-espace vectoriel de ''V'' stable par chaque image de ρ. Si un tel sous-espace n'existe pas (à part l'espace vectoriel nul et l'espace entier ''V'') on parle de '''représentation irréductible'''.

Un résultat important, le [[théorème de Maschke]], est que, si la [[caractéristique d'un corps|caractéristique du corps]] ne [[Diviseur|divise]] pas l'ordre du groupe ''G'', alors l'espace ''V'' est [[somme directe]] de sous-espaces irréductibles. La situation décrite dans les deux exemples n'est pas une exception.

Cette situation est différente, par exemple, de celle de la [[réduction d'endomorphisme]]. En dimension 2, un [[endomorphisme nilpotent]] d'ordre deux possède un [[noyau (algèbre)|noyau]], qui comme tout noyau est stable par l'endomorphisme. Cependant il n'existe pas de supplémentaire stable, car tout supplémentaire est envoyé par l'endomorphisme sur le noyau.

Il n'existe qu'un nombre fini de représentations irréductibles pour un groupe fini donné, à un isomorphisme près. Les représentations isomorphes sont en général identifiées dans la théorie. Un '''isomorphisme''' τ entre deux représentations (''V'', ρ) et (''V' '', ρ') est un isomorphisme d'espaces vectoriels de ''V'' dans ''V' '' tel que :
<center><math>\forall s \in G \quad \rho'_s = \tau^{-1} \circ\rho_s \circ \tau \;</math></center>

La logique suivie dans les exemples est celle de la théorie. Dans un premier temps, les représentations irréductibles sont déterminées. Une méthode simple permet de connaître le nombre de représentations irréductibles distinctes pour un groupe donné. Ensuite, pour une représentation donnée, une analyse permet de savoir quelles représentations irréductibles elle contient.

=== Caractères du groupe ===
{{Article détaillé|Caractère d'une représentation d'un groupe fini}}

[[Image:Caractères du groupe symétrique d'ordre trois.jpg|vignette|Caractères du groupe symétrique d'indice trois.]]

Un des deux piliers de la théorie est celui des caractères des représentations. Le '''caractère''' d'une représentation (''V'', ρ) est la fonction qui à un élément ''s'' associe la [[trace (algèbre)|trace]] de ρ<sub>''s''</sub>. Un '''caractère irréductible''' est le caractère d'une représentation irréductible. Si le corps de l'espace ''V'' est de caractéristique première avec ''g'' l'ordre du groupe et si le polynôme ''X<sup>g</sup>'' - 1 est scindé dans le corps, alors les caractères possèdent des propriétés remarquables.

Ce sont des [[Fonction centrale d'un groupe fini|fonctions centrales]] c’est-à-dire qu'elles sont constantes sur les [[action par conjugaison|classes de conjugaison]] du groupe. De plus, le [[lemme de Schur]] permet de démontrer que les caractères irréductibles forment une [[base orthonormale]] de l'espace des fonctions centrales.

Ces propriétés permettent simplement de factoriser l'exemple donné sur ''S''<sub>3</sub>. L'espace des fonctions centrales est de dimension ''trois'' car il existe trois classes de conjugaison différentes. Si φ et ψ sont deux fonctions centrales, ''c'' la classe des cycles d'ordre ''trois'' et ''t'' la classe des transpositions, alors si <math>\scriptstyle \overline a</math> désigne le [[conjugué]] du complexe ''a'', le [[produit hermitien]] ''(l'équivalent du [[produit scalaire]] pour les espaces vectoriels complexes)'' est donné par la formule :
<center><math>< \varphi \, | \, \psi> = \frac 16 \Big( \varphi (1)\overline{\psi(1)} + 3.\varphi(t)\overline{\psi(t)}+ 2.\varphi(c). \overline{\psi(c)} \Big)</math></center>
La norme de chacune des trois représentations ''t'', ''σ'' et ''θ'' est bien égale à un et ils sont orthogonaux deux à deux, ce qui montre qu'ils forment la base des représentations et sont bien les trois représentations irréductibles. Il suffit de calculer le produit hermitien de la représentation de Galois pour déterminer sa factorisation.

La figure de droite illustre le groupe ''S''<sub>3</sub>. Les caractères représentés par des boules orange sont les trois irréductibles, la boule bleue représente le caractère de la représentation de Galois. Elle est combinaison linaire des trois caractères irréductibles avec les coefficient ''un'' pour la triviale, ''un'' pour la signature et ''deux'' pour celle des isométries du triangle.

=== Algèbre du groupe ===
{{Article détaillé|Algèbre d'un groupe fini}}
[[Image:Wedderburn.jpeg|vignette|droite|Joseph Wedderburn.]]
Le deuxième pilier est constitué par l'algèbre du groupe, en général notée ''K''[''G'']. Le groupe est linéarisé, c’est-à-dire qu'il est identifié à une base d'un ''K'' espace vectoriel. Le prolongement de la représentation à la structure forme une [[algèbre sur un corps]] :
<center><math>\forall (a_s)_{s\in G}\, , \, (b_t)_{t\in G}\in K^G \quad (\sum_{s\in G} a_s.s)(\sum_{t\in G} b_t.t)= \sum_{s\in G}\sum_{t\in G} a_sb_t.st</math></center>
{{Pas clair|date=6/10/206|La structure est doublée d'une autre, celle de ''G''-[[module sur un anneau|module]] sur l'[[anneau unitaire|anneau]] ''K''[''G'']. Elle correspond au prolongement d'une représentation à l'algèbre ''K''[''G''].}}

[[#Représentations d'un groupe|Si la caractéristique de ''K'' de divise pas l'ordre de ''G'']], cette algèbre est [[Anneau semi-simple|semi-simple]]. Une théorie algébrique entière, riche en théorèmes, permet alors d'élucider d'autres aspects de la structure. Le plus important est probablement [[Théorème d'Artin-Wedderburn|celui d'Artin-Wedderburn]]. Il indique, dans ce contexte, que l'algèbre est le [[Produit d'anneaux|produit direct]] d'une famille finie de sous-algèbres, dont chacune est une algèbre de [[Matrice carrée|matrices carrées]] sur un [[Corps (mathématiques)|corps (non nécessairement commutatif)]] contenant ''K''.

Un exemple est celui du [[centre (algèbre)|centre]] de ''K''[''G'']. C'est un anneau semi-simple correspondant à un produit de la forme ''K<sup>h</sup>'' où ''h'' est le nombre de sous-algèbres simples. Le centre s'avère être isomorphe aux fonctions centrales du paragraphe précédent. L'isomorphisme est suffisamment naturel pour que les deux structures soit souvent identifiées. Les propriétés d'orthonormalité s'expriment de manières différentes, sources de nombreux théorèmes comme la loi de [[réciprocité de Frobenius]].

Un tel centre ouvre des perspectives nouvelles, c'est un anneau commutatif sur un corps ''K'', il est donc possible d'utiliser les outils de l'[[arithmétique]]. Une démarche de cette nature permet par exemple de démontrer que le degré de toute représentation irréductible divise l'ordre du groupe.

{{référence souhaitée|date=6/10/2016|Si la caractéristique de ''K'' divise l'ordre de ''G'', l'algèbre ''K''[''G''] apporte encore des outils essentiels. La théorie des anneaux, et plus particulièrement celle des idéaux, permet d'élucider la structure.}}

== Usages ==
=== Théorie de Galois ===
{{Article détaillé|Théorie de Galois}}
La théorie de Galois, peut se voir comme l'étude des relations algébriques qui lient les différents éléments d'un [[corps commutatif]], c'est-à-dire un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication tel que tout élément non nul est inversible et tel que les deux opérations soient commutatives. La théorie dite classique s'intéresse aux corps pas trop gros, qui se représentent comme un [[espace vectoriel]] de dimension finie sur un corps initial. Un exemple simple est donnée par les nombres de la forme ''a'' + ''b''{{math|i}}, où ''a'' et ''b'' sont deux [[nombre rationnel|rationnels]] et {{math|i}} l'[[unité imaginaire]]. On parle d'[[extension quadratique]], l'exemple précédent est celui des [[rationnel de Gauss|rationnels de Gauss]]. L'un des succès originaux de la théorie est d'indiquer quand une [[équation algébrique|équation polynomiale]] est [[Théorème d'Abel (algèbre)|résoluble par radicaux]], c'est-à-dire quand il est possible d'exprimer la racine d'un polynôme à l'aide des quatre opérations et de l'opération [[Racine d'un nombre|racine]].

Un résultat clé de la théorie stipule que la structure d'un corps ''L'' est décrite par la [[théorème fondamental de la théorie de Galois|correspondance de Galois]]. Elle porte sur un [[groupe de Galois|groupe particulier]], dit de Galois, celui des bijections de ''K'' dans ''K'' qui respectent les deux opérations du corps. Le groupe de Galois des rationnels de Gauss comporte deux éléments, l'identité et l'application [[conjugué]]e. Si les rationnels de Gauss sont vus comme un espace vectoriel de dimension 2, de base {{math|(1, i)}}, le groupe de Galois peut être vu comme une représentation d'un groupe à deux éléments. Pour plus de simplicité, on peut incarner le groupe de Galois par des matrices, puis considérer ces matrices à coefficients dans les rationnels, comme celles d'applications linéaires sur un espace vectoriel complexe, ce qui est beaucoup plus simple à étudier.

Disposer d'une théorie comme celle de la représentation d'un groupe fini pour étudier le groupe de Galois s'avère rapidement indispensable. On peut citer comme exemple celui du [[Théorème d'Abel (algèbre)|théorème d'Abel]] sur la possibilité de résoudre une équation polynomiale par radical. Sous sa forme galoisienne, ce résultat s'exprime par le fait que l'équation est résoluble si et seulement si le groupe de Galois possède une propriété particulière. On dit alors que le groupe est [[groupe résoluble|résoluble]]. Le théorème de Burnside sur cette question, décrit dans paragraphe précédent est ainsi typiquement galoisien.

=== Théorie algébrique des nombres ===
{{Article détaillé|Théorie algébrique des nombres}}

L'usage des représentations et des caractères des groupes abéliens finis, fait son apparition en arithmétique bien avant les travaux de Frobenius. Un important [[théorème de la progression arithmétique|théorème, dit de la progression arithmétique]], démontré<ref>{{de}} Dirichlet, « Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression », ''Bericht Verhandl. König. Preuss. Akad. Wiss.'', vol. 8, [[1837 en science|1837]], {{p.|108-110}}.</ref> par [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] utilise des caractères de cette nature<ref>Cet exemple est cité comme ancêtre de la théorie dans un cours de l'Ecole Polytechnique [http://www.enseignement.polytechnique.fr/mathematiques/MAT331/TCX2007/Amphi1.pdf Représentation des groupes finis, théorie des caractères].</ref>.

Le cas non abélien, au cœur de la théorie présentée dans cet article, n'est pas en reste. La structure étudiée par la théorie algébrique des nombres est très liée à la théorie de Galois. Une manière simple de voir cette structure est de ne considérer que les [[entier algébrique|entiers algébriques]] d'un corps de la même nature que ceux du paragraphe précédent. Un entier algébrique est un élément de ce corps racine d'un polynôme unitaire (c'est-à-dire dont le coefficient du monôme de plus haut degré est égal à 1) et à coefficients dans les [[entier relatif|entiers relatifs]]. Les entiers algébriques des nombres rationnels sont les entiers relatifs, ceux des rationnels de Gauss sont les nombres de la forme ''a'' + {{math|i}}''b'', où cette fois ''a'' et ''b'' sont des entiers relatifs.

Une fois encore le groupe des bijections respectant l'addition et la multiplication, on parle d'[[automorphisme]] d'[[anneau unitaire|anneau]], s'avère essentiel. On parle toujours de groupe de Galois. Une démarche de la même nature que celle du paragraphe précédent permet d'associer à ce groupe, une représentation naturelle. Cette représentation est importante pour comprendre les [[idéal|idéaux]] d'un anneau d'entiers algébriques. Les idéaux sont un être mathématique découvert par [[Ernst Kummer]] pour résoudre le [[démonstrations du dernier théorème de Fermat|dernier théorème de Fermat]] dans de nombreux cas. Si les anneaux d'entiers algébriques ressemblent, à beaucoup d'égards, aux entiers relatifs, le [[théorème fondamental de l'arithmétique]] stipulant l'existence et une forme d'unicité d'une décomposition en facteurs premiers ne s'applique plus. Ce que Kummer appelait des « {{Lien|trad=Ideal number|Nombre idéal|texte=nombres idéaux}} » est une manière<ref>{{en}} [[Harold Edwards|H. M. Edwards]], « The background of Kummer's proof of Fermat's Last Theorem for regular primes », ''Arch. Hist. Exact Sci.'', vol. 14, 1975.</ref> de pallier cette lacune, les [[idéal premier|idéaux premiers]] remplaçant les nombres premiers (cf. « [[Idéal fractionnaire]] »).

Bien comprendre la manière dont se structurent les idéaux est un facteur déterminant pour résoudre des problèmes d'arithmétique. Le groupe de Galois est important car l'image d'un idéal par un élément du groupe est encore un idéal. D'une certaine manière, la structure du groupe se reporte sur des classes d'idéaux. Un exemple d'usage est l'[[équation de Pell-Fermat]]. Si elle semble simple, sa résolution s'avère redoutable. Elle correspond à l'[[équation diophantienne]] suivante :
<center><math>x^2 - ny^2 =m</math>.</center>
Une équation diophantienne est une équation à coefficients entiers dont les solutions recherchées sont entières. Ici ''n'' est un entier non [[Carré parfait|carré]] et ''m'' un entier non nul. Dans le cas général, cette équation est résolue<ref>Voir par exemple {{Ouvrage|lang=en|auteur=[[David A. Cox]]|titre=Primes of the Form {{math|x{{2}} + ny{{2}}}}|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année première édition=1989|année=2011|isbn=978-1-11803100-1|url={{Google Livres|tlTZC-k-l2EC}}}}.</ref> par [[David Hilbert]] à l'aide d'une première ébauche de la [[théorie des corps de classes]]. La connaissance du groupe de Galois, souvent obtenue par l'étude de la représentation naturelle, est le nœud de la démonstration. La recherche arithmétique actuelle fait toujours grand usage des représentations d'un groupe fini. Un exemple archétypal est un prolongement de la théorie des corps de classes dans le cas non commutatif. Il porte le nom de [[programme de Langlands]]. Une fois encore les représentations sont indispensables<ref>Une présentation vulgarisée de cette théorie est proposée par : [[Laurent Lafforgue|L. Lafforgue]], ''[http://images.math.cnrs.fr/pdf2004/Lafforgue.pdf La théorie de Galois et l'arithmétique]'', 2004.</ref>.

=== Algèbre non commutative ===
{{Article détaillé|Théorème d'Artin-Wedderburn}}
La théorie de Galois, à travers les corps de solutions d'une équation algébrique ou son anneau des entiers algébriques, est capable de fournir de nombreux exemples d'ensembles munis d'une addition et d'une multiplication. Ces structures ont toutes un élément commun, la multiplication est commutative.

Les mathématiques, comme les sciences de la nature, mettent en évidence des cas où la multiplication n'est pas commutative. Beaucoup d'ensembles de [[matrice (mathématiques)|matrices]], sont naturellement munis de ces deux opérations et disposent d'une multiplication qui ne l'est pas. [[William Rowan Hamilton|William Hamilton]] passe dix ans de sa vie<ref>{{en}} T. L. Hankins, ''Sir William Rowan Hamilton'', Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1980.</ref> pour trouver un ensemble de cette nature capable de formaliser plus simplement la [[mécanique newtonienne]]. Il découvre à cette occasion le premier corps gauche, c'est-à-dire un ensemble tel que tous les éléments non nuls sont inversibles, mais qui n'est pas commutatif appelé [[quaternion]].

L'exemple des corps est significatif de l'apport de la représentation des groupes finis dans cette branche des mathématiques. On peut remarquer dans un premier temps que tout corps gauche ''L'' est une [[Algèbre associative sur un corps|algèbre]] sur son [[Centre (algèbre)|centre]], qui est un sous-corps commutatif ; par exemple le corps des quaternions est une algèbre sur le corps des réels. {{Pas clair|date=4/10/2016|Cette méthode permet de voir ''L'' comme une conséquence d'une représentation de ''G''. Une approche analogue est utilisée pour construire les quaternions dans le [[Groupe des quaternions#Représentation|§ « Représentation » de l'article sur le groupe des quaternions]].}}

D'une manière plus générale, considérer une représentation comme une algèbre d'un groupe fini est une méthode puissante pour étudier une famille d'anneaux dits [[algèbre semi-simple|semi-simples]] et contenant de nombreux représentants non commutatifs. Le théorème central de cette théorie porte le nom d'[[théorème d'Artin-Wedderburn|Artin-Wedderburn]]<ref>Pour plus de détails voir l'article détaillé ou : [[Pierre Cartier|P. Cartier]], [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SSL/SSL_1954-1955__1_/SSL_1954-1955__1__A10_0/SSL_1954-1955__1__A10_0.pdf Théorie des algèbres semi-simples], Séminaire Sophus Lie.</ref>.

=== Réseau ===
{{Article détaillé|Réseau (géométrie)}}
[[Image:Dravite cristal.jpg|vignette|La structure d'un [[cristal]] s'analyse à travers la représentation d'un groupe fini. Il correspond au [[groupe orthogonal]] du [[réseau (géométrie)|réseau]] associé. Celui-ci est un cristal de [[Tourmaline|dravite]].]]
Un réseau est un groupe discret de '''R'''<sup>''n''</sup>, générateur de l'espace vectoriel. Une question qui se pose est celle du [[groupe orthogonal]], c'est-à-dire l'ensemble des [[isométrie]]s linéaires, d'une telle structure. On montre assez simplement qu'un tel groupe est fini et dans le cas de la dimension 2, les outils élémentaires de la [[théorie des groupes]] et de l'algèbre linéaire permet d'élucider cette question. En revanche, quand la dimension augmente les outils associés à la représentation d'un groupe fini, particulièrement les caractères, s'avèrent indispensables.

Le cas de la dimension 3 intéresse particulièrement les [[cristallographie|cristallographes]]. Un [[cristal]] se modélise par un réseau, auquel cette science donne le nom de [[réseau de Bravais|Bravais]]<ref>{{en}} M. I. A. U. Müller et H. Wondratschek, ''Historical introduction'', International Tables for Crystallography (2006), vol. A1, ch. 1.1, {{p.|2-5}}.</ref>. Cette géométrie est à l'origine de propriétés mécaniques, optiques ou encore électriques. À travers les tables de caractères, il est possible de déterminer le groupe orthogonal, qui, dans ce contexte, prend le nom de [[groupe de symétrie]] ou groupe ponctuel.

Une question analogue, aussi en dimension 3, se traite aisément avec les outils des représentations d'un groupe fini, celui des [[solide de Platon|solides de Platon]]. Ils correspondent aux [[polyèdre régulier|polyèdres réguliers]] [[ensemble convexe|convexes]] d'un espace de dimension 3. L'analyse de groupes admettant une représentation irréductible de dimension 3 permet d'établir l'existence et les caractéristiques des différents solides de Platon. Les exemples du [[tétraèdre]], du [[dodécaèdre]] et de l'[[icosaèdre]] sont traités dans l'article [[groupe alterné]].

Les dimensions plus élevées sont l'objet d'études de la part des [[cryptologue]]s. Si la dimension augmente, la recherche du plus petit vecteur non nul est un problème conjecturé comme [[Théorie de la complexité des algorithmes|difficile]]. Difficile prend ici un sens très précis. Il ne signifie pas que personne ne sait le résoudre, mais que les seules méthodes accessibles, avec la vitesse actuelle (2008) des ordinateurs, demande beaucoup de temps, typiquement un temps supérieur à l'[[âge de l'univers]]<ref>{{Computational Complexity (Papadimitriou)}}.</ref>. Un des codes assurant une des meilleures sécurité<ref>{{en}} J. Hoffstein, J Pipher et J. Silverman, « [http://www.ntru.com/cryptolab/pdf/ANTS97.pdf A ring based Public Key Cryptosystem] {{Lien archive|url=http://www.ntru.com/cryptolab/pdf/ANTS97.pdf |horodatage archive=20071021011338 |titre=Copie archivée }} », ''Algorithmic Number Theory (ANTS III)'', Portland, OR, juin 1998.</ref> est fondé sur la géométrie d'un réseau de cette nature, il porte le nom de [[NTRUEncrypt|NTRU]].

=== Classification des groupes finis ===
{{Article détaillé|Groupe fini|Classification des groupes simples finis}}

La théorie des représentations est l'un des outils essentiels pour la classification des groupes. Pour les groupes d'ordre petit, les [[théorèmes de Sylow]] suffisent en général. En revanche, cette approche est trop limitée pour une étude générale. Les théorèmes de Burnside, sur le [[Théorème de Burnside (groupe résoluble)|cardinal d'un groupe résoluble]] ou sur les [[Théorème de Burnside (problème de 1902)|groupes d'exposant fini et de type fini]] sont des exemples caractéristiques. On trouve des cas d'utilisations un peu élémentaires de la théorie, par exemple pour établir le caractère [[groupe simple|simple]] d'un [[groupe simple d'ordre 168|groupe d'ordre 168]].

Une des techniques, pour élucider la structure d'un groupe fini un peu complexe est de considérer sa représentation en tant que [[groupe orthogonal]] d'un réseau. Un exemple est le [[réseau de Leech]], de dimension 24, son groupe orthogonal permet de mettre en évidence les [[groupes de Conway]], dont le plus grand, généralement noté ''CO''<sub>1</sub>, comporte {{formatnum:4157776806543360000}} éléments. C'est un [[groupe sporadique]] obtenu par quotient du groupe orthogonal par son [[centre d'un groupe|centre]]<ref>{{en}} [[John Horton Conway|J. H. Conway]], « A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups », ''[[PNAS]]'', vol. 61, 1968, {{p.|398-400}}.</ref>.

Le plus célèbre cas est probablement le [[groupe Monstre]], le plus gros des 26 groupes sporadiques [[groupe simple|simples]]. Son existence était annoncée depuis une dizaine d'années avant sa construction<ref>[http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http%3A%2F%2Fwww.enseignement.polytechnique.fr%2Fmathematiques%2FMAT331%2FTCX2007%2FAmphi1.pdf Représentations des groupes finis, théorie des caractères] {{refinc|date=décembre 201|Enseignement de l'École Polytechnique}}, {{p.|5}}.</ref>. Elle devait découler d'une représentation de dimension {{formatnum:196883}}, conjecturée et explicitée sans l'aide d'ordinateur. Elle devrait clore la [[classification des groupes simples finis]].

== Notes et références ==
{{références}}

== Voir aussi ==
=== Liens externes ===
*{{Lien web|url=https://www.idpoisson.fr/beck/wp-content/uploads/sites/16/2018/06/td-repres-groupe-fini.pdf|titre=TD Représentation des groupes finis|auteur=Vincent Beck|date=2005-2006}} du cours de [[Master (France)|M2]] de [[Michel Broué]] ([[Université Paris VII - Diderot]]), et [https://www.idpoisson.fr/beck/wp-content/uploads/sites/16/2018/06/corrige-repres-groupe-fini.pdf corrigé]

=== Bibliographie ===
* [[N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique]], Algèbre'', chap. VIII
* [[Pierre Colmez]], ''Eléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres)'', Éditions de l'École polytechnique {{Lire en ligne|url=http://www.math.jussieu.fr/~colmez/poly-09.pdf}}
* {{Hall1}}
* {{Article|lang=en|auteur=[[Anthony W. Knapp]]|url=http://www.ams.org/notices/199605/knapp-2.pdf|titre=Group representation and Harmonic analysis: From Euler to Langlands, Part II|revue=[[Notices of the American Mathematical Society|Notices Amer. Math. Soc.]]|vol=43|numéro=5|année=1996|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070403200800/http://www.ams.org/notices/199605/knapp-2.pdf|archivedate=3 avril 2007}}
* {{Lang1}}
* {{Serre2}}

{{Palette|Représentations des groupes finis}}
{{Portail|mathématiques}}
{{Bon article|vote=BA|oldid=32553652|date=18 août 2008}}

[[Catégorie:Théorie des représentations|*]]

[[zh:有限群表示理論]]